Глава. Глава 3. Аналитическая геометрия
 Скачать 1.38 Mb.
|
|
3.7. Кривые второго порядка на плоскости. Введем на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим кривую, определяемую неявно общим алгебраическим уравнением второй степени  , (3.35)где: A, B, C, D, E, F – некоторые числа, причем A, B, C не равны нулю одновременно. Кривая в декартовых координатах, описываемая уравнением (3.35), называется кривой второго порядка. Может случиться так, что уравнению (3.35) не соответствует ни одна точка с вещественными координатами (x, y) и тогда уравнение (3.35) определяет мнимую кривую второго порядка. Например, уравнению  не соответствует ни одна точка в декартовой системе координат. В дальнейшем такие кривые не рассматриваются. Перечислим шесть важных случаев общего уравнения кривых второго порядка (канонические кривые). 1). Уравнение эллипса:  с полуосями a, b. При a = b - окружность с центром в начале координат.2). Уравнение гиперболы:  с полуосями a, b.3). Уравнение параболы:  .4). Уравнение пары пересекающихся прямых:  .5). Уравнение пары параллельных прямых:  или  .6). Уравнение, определяющее точку:  .Рассмотрим вкратце эти канонические кривые и некоторые их свойства. 3.7.1. Эллипс.
 (3.36)с полуосями a, b. Нетрудно видеть, что это кривая, симметричная относительно начала координат. Такие кривые называются центральными кривыми. Точки  ,  ,  ,  называются вершинами эллипса. Пусть для определенности a > b. Положим  и отметим на оси X точки  и  , отстоящие от начала координат на расстоянии  и  соответственно. Эти точки называются фокусами эллипса. Эллипс определяется как геометрическое место точек, сумма расстояний которых до фокусов и есть величина постоянная, равная 2а. Действительно,    , откуда  и  или  . Возводя в квадрат обе части, получим  . Так как  , то  и, поделив обе части на  , получим уравнение эллипса  . Величина  называется эксцентриситетом эллипса ( ) и характеризует «сплюснутость» эллипса вдоль полуоси a. При c = 0 (a = b) имеем уравнение окружности, при  ( ) эллипс переходит в отрезок прямой [-a, a]. Уравнение эллипса также можно записать в параметрическом виде  ,  . (3.37)Действительно,  . Если начало координат перенести в точку  , то в новых декартовых же координатах  уравнение эллипса по-прежнему будет иметь канонический вид  , а в старых (исходных) запишется как (3.38)3.7.2. Гипербола.
 . (3.39)Это также центральная кривая. Параметры a и b называются полуосями гиперболы. Точки ее пересечения с осью ОХ с абсциссами x = a и  называются вершинами гиперболы, ось OX – ее действительной осью. Ось OY гипербола не пересекает, и эта ось называется мнимой осью гиперболы, а точки  и  называются ее мнимыми вершинами. Положим  и отметим на оси X точки и с абсциссами  и  соответственно, которые называются ее фокусами. Расстояние между фокусами  называется фокальным расстоянием. Гипербола определяется как геометрическое место точек, разность расстояний которых до фокусов и есть величина постоянная, равная 2a. По определению, имеем, выбирая в качестве расстояния разность  , получим первую (правую) ветвь гиперболы. Далее:  . Возведем в квадрат обе части  или, снова возводя в квадрат, получим  . Отсюда  . Если исходить из равенства  , то аналогичным образом получим вторую (левую) ветвь гиперболы. Уравнение гиперболы можно также записать в виде  . Тогда  и при  получаем уравнения двух прямых  , которые являются асимптотами гиперболы. Эксцентриситет гиперболы  Нетрудно видеть, что  и также характеризует ее «сплюснутость». При гипербола приближается к своему вырожденному состоянию – двум полупрямым на действительной оси. По аналогии с параметрическим уравнением эллипса, можно записать параметрическое уравнение гиперболы  , (3.40)Действительно,  . Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение гиперболы по-прежнему будет иметь канонический вид  , а в старых (исходных) запишется как  . (3.41)3.7.3. Парабола
 , (3.42)которая является нецентральной линией. Точка F на оси абсцисс  называется фокусом параболы, а прямая  называется директрисой параболы. Тогда парабола определяется как геометрическое место точек M(x, y), равноудаленных от фокуса и директрисы. Действительно,  , ,  , то есть,  или  . Парабола не имеет асимптот. Если начало координат перенести в точку , то в новых декартовых же координатах уравнение параболы также по-прежнему будет иметь канонический вид  , а в старых (исходных) запишется как  . (3.43)3.7.4. Пара пересекающихся прямых Уравнение  определяет пару пересекающихся прямых. Действительно, если этому уравнению удовлетворяет какая-либо точка M(x, y), то она удовлетворяет одному из уравнений  или  , или обоим этим уравнениям. 3.8. ЗАДАЧИ 1. Написать каноническое уравнение эллипса и построить его: а)  ,  ; б)  ,  ;в)  , расстояние между директрисами равно 5.2. Установить, что уравнение определяет эллипс (или окружность); найти его центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис; изобразить эллипс на координатной плоскости: а)  ; б)  .3. Составить уравнение окружности, изобразить ее на координатной плоскости  , если:а) центр окружности находится в точке С(2;-3) и радиус равен 7; б) окружность проходит через точку А(2;6), а ее центр находится в точке С(-1;2); в) окружность проходит через три точки А(1;1), В(1;-1), D(2;0). 4. Написать каноническое уравнение гиперболы и построить ее: а)  ,  ; б)  ,  ;в)  , расстояние между директрисами равно  .5. Установить, что уравнение определяет гиперболу; найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис и асимптот; изобразить гиперболу на координатной плоскости:  .6. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, если: а) парабола расположена в левой полуплоскости, симметрична относительно оси  и имеет параметр  ;б) фокус параболы находится в точке  , а осью симметрии является ось  .7. Установить, что уравнение определяет параболу, найти ее параметр, координаты вершины, уравнение директрисы; построить график: а)  ; б)  .8. Дан эллипс  . Найти гиперболу, у которой фокусы совпадают с фокусами эллипса и эксцентриситет равен 1.25. |
