Панкова теория основ электроэнергетики методические указания. Тоэ методичка. Б. Ю. Алтунин, А. А. Кралин, Н. Г. Панкова теоретические основы электротехники часть 2 Методические указания для студентов направления 13.
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
1 1 ' , (1.30) V B X A Y 2 2 (1.31) Здесь X и X - столбцовые матрицы соответственно переменных состояния и их первых производных повремени- столбцовая матрица источников ЭДС и токов, называемая вектором входных величин 1 A - квадратная матрица размерностью (где n – число переменных состояния, определяемая топологией электрической цепи и параметрами ее элементов 1 B - прямоугольная матрица связи между источниками и переменными состояния (количество строк равно n, а столбцов – числу источников m); Y - столбцовая матрица выходных (искомых) величин, называемая вектором выходных величин 2 A - прямоугольная матрица связи переменных состояния с искомыми величинами количество строк равно числу искомых величин ка столбцов – n); 2 B - прямоугольная размерностью матрица связи входных и выходных величин. Начальные условия для уравнения (1.30) задаются вектором начальных значений В качестве примера составления уравнений состояния рассмотрим цепь на риса, в которой требуется определить токи 2 i и 3 i . а) б) Рис. 1.20 По законам Кирхгофа для данной цепи запишем уравнения 0 3 2 1 J i i i , (1.32) u u dt di L i R C 1 1 1 , (1.33) 0 2 2 R i u C (1.34) Поскольку dt Cdu i C 3 с учетом соотношения (1.34) перепишем уравнения) ив следующем виде ; 1 0 1 1 1 2 J C u i C u CR dt du C C ; 1 0 1 1 1 или в матричной форме записи согласно (1.30): 38 J u L C i u L R L C CR i u C C 0 1 1 0 1 1 1 1 1 Матричное уравнение вида (1.31) вытекает из соотношений (1.32) и (1.34): J u i u R R i i C 1 0 0 0 1 1 0 1 1 2 2 Вектор начальных значений T T C JR i u X 0 0 0 2 1 Непосредственное использование законов Кирхгофа при составлении уравнений состояния для сложных цепей может оказаться затруднительным. В этой связи используют специальную методику упорядоченного составления уравнений состояния Д. Методика включает в себя следующие основные этапы 1. Составляется граф схемы (рис. б, к ветвям дерева которого последовательно включаются сначала ветви с источниками ЭДС, затем ветви с конденсаторами. Если дерево не связывает все узлы, то добавляются ветви с резисторами ив последнюю очередь ветви с катушками индуктивности. Дерево, составленное по этим правилам, называют нормальным. В качестве связей (хорд) сначала выделены источники тока, затем индуктивные элементы, резистивные ветви ив последнюю очередь ветви связи с конденсаторами. Подграф, составленный по этим правилам, называют нормальным подграфом связей (хорд. 2. Осуществляется нумерация ветвей графа (и элементов в схеме, проводимая в следующей последовательности первыми нумеруются участки графа (схемы) с конденсаторами, затем резисторами, включенными в дерево, следующими нумеруются ветви связи с резисторами и, наконец, ветви с индуктивными элементами (рис. б. 3. Составляется таблица, описывающая соединение элементов вцепи. Впервой строке таблицы (табл. 2) перечисляются емкостные и резистивные элементы дерева, а также источники напряжения (ЭДС. В первом столбце перечисляются резистивные и индуктивные элементы ветвей связи, а также источники тока. Таблица 1.2 Процедура заполнения таблицы заключается в поочередном мысленном замыкании ветвей дерева с помощью ветвей связи дополучения контура с последующим обходом последнего согласно ориентации соответствующей ветви 11 22 u 33 -1 0 0 44 1 1 1 J 1 0 39 связи. Со знаком «+» записываются ветви графа, ориентация которых совпадает с направлением обхода контура, и со знаком «-» ветви, имеющие противоположную ориентацию. Осуществляется расписывание таблицы по столбцами по строкам. В первом случае получаются уравнения по первому закону Кирхгофа, во втором – по второму. В рассматриваемом случае J i i i 44 33 откуда в соответствии с нумерацией токов в исходной цепи J i R u C J i i C dt du C C 1 2 1 2 1 При расписывании таблицы соединений по строкам напряжения напас- сивных элементах необходимо брать со знаками противоположными табличным) Из (1.35) непосредственно вытекает u i R u L dt di C 1 1 1 Таким образом, формализованным способом получены уравнения, аналогичные составленным выше с использованием законов Кирхгофа. Вопросы и задачи для самопроверки 1. Как находится общее решение линейного дифференциального уравнения в классическом методе расчета переходных процессов Объясните понятия принужденной и свободной составляющих общего решения. 2. Сформулируйте законы коммутации с энергетических позиций. 3. В каких электрических цепях и почему возможен колебательный переходный процесс 4. Определите величину токов 0 , 0 , 0 3 2 1 i i i , напряжений на конденсаторе 0 C u и на катушке индуктивности 0 L u в момент коммутации вцепи на рис. 1.2, если 10 Ом 20 Ом, 300 В. 5. Сформулируйте понятие характеристического уравнения и получите его в общем виде для схемы на рис. 6. Может ли характеристическое уравнение электрической цепи иметь корни а) 5-5j; б) -3j; в) 5j, 5j; г) -8-8j; д) -2+3j, -2-3j; e) -4+2j, 4+2j; ж) -5, 5. 7. Составить характеристическое уравнение для цепи на рис. 1.2, используя выражение входного сопротивления относительно места разрыва ветви с резистором 3 R . 8. Почему можно разрывать ветвь с конденсатором и нельзя – ветвь с индуктивным элементом 9. Для цепи на рис. составить характеристическое уравнение и определить, при каких значениях 2 R переходный процесс в ней будет носить 40 апериодический характер, если L=1 Гн, 100 Ом, мкФ. Рис Рис 10. Определить t i в цепи на рис. 1.22, если 2 1 R R Ом, 01 , 0 L Гн , 2618 , 0 1000 sin 2 В J = 4 А Ответ: t e t t i 1000 7 6 1000 sin 10 А. Определить ток t i через катушку индуктивности вцепи на рис. 1.23, если В, 20 Ом 80 Ом 8 Ом 2 L Гн. Ответ t e t i 20 1 5 , 7 А. Рис Рис Определить ток в ветви с конденсатором вцепи на рис. 1.24, если 60 Ом 20 Ом 4 3 2 R R 0 Ом, L=0,2 Гн; мкФ. Ответ t t e e t i 3 3 10 10 5 , 1 4 , 2 А. Для схемы на рис изобразите операторную схему замещения и поясните, как в ней учитываются ненулевые независимые начальные условия 14. Сформулируйте законы Ома и Кирхгофа в операторной форме. Какими способами на практике осуществляется переход от изображения к оригиналу Какие этапы включает в себя операторный метод расчета переходных процессов Чему численно соответствуют переходная проводимость и переходная функция по напряжению 18. Какой принцип лежит в основе метода расчета переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля и для каких цепей может быть использован данный метод 19. Что включает в себя система уравнений при расчете переходного процесса вцепи методом переменных состояния 20. Перечислите основные этапы методики составления уравнений состояния Глава 2. Четырехполюсники и электрические фильтры 2.1. Основные определения. Формы записи уравнений пассивного четырехполюсника Четырехполюсник – это часть схемы произвольной конфигурации, имеющая две пары зажимов, обычно называемые входными и выходными. Примерами четырыхполюсника являются трансформатор, усилитель, потенциометр, линия электропередачи и другие электротехнические устройства, у которых можно выделить две пары полюсов. Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания, который присоединяется к входным зажимами нагрузкой, которая присоединяется к выходным зажимам. В общем случае четырехполюсники можно разделить на активные,в структуру которых входят источники энергии, и пассивные ветви которых не содержат источников энергии. В данном разделе рассматриваются элементы теории пассивных четырехполюсников. Пассивный четырехполюсник будем обозначать прямоугольником с буквой П (рису которого имеется два входных зажима 1,1' и два выходных зажима 2,2'. Входной ток обозначим 1 I , входное напряжение, токи напряжение на выходе - 2 I и 2 U . Для записи уравнений четырехполюсника выделим в произвольной схеме ветвь с единственным источником энергии и любую другую ветвь с некоторым сопротивлением риса. Рис В соответствии с принципом компенсации заменим исходное сопротивление источником с напряжением 2 рис. б. Тогда на основании метода наложения для цепи на рис. б можно записать 2 12 1 11 1 U Y U Y I ; (2.1) 2 22 1 21 2 U Y U Y I (2.2) Решая полученные уравнения (2.1) и (2.2) относительно напряжения и тока на первичных зажимах, получим а) б) 42 2 21 2 21 22 1 1 I Y U Y Y U ; 2 21 11 2 21 21 12 22 11 2 12 2 21 2 21 22 11 Преобразуем полученные уравнения 2 2 1 I B U A U ; (2.3) 2 2 1 I D U C I , (2.4) где 21 22 Y Y A ; 21 1 Y B ; 21 21 12 22 11 Y Y Y Y Y C ; 21 коэффициенты четырехполюсника Учитывая, что в соответствии с принципом взаимности 21 12 Y Y , получаем соотношение связи коэффициентов четырехполюсника между собой 1 21 21 21 12 22 11 21 21 11 22 Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y C B D A (2.5) Уравнения (2.3) и (2.4) представляют собой основные уравнения четырехполюсника, называемые уравнениями четырехполюсника в А-форме табл. Существует шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, который характеризуется двумя напряжениями 1 U и 2 U и двумя токами и 2 I , причем любые две величины можно выразить через остальные. Так как число сочетаний из четырех по два равно шести, то и возможно шесть форм записи уравнений пассивного четырехполюсника, которые приведены в табл. 1. Положительные направления токов для различных форм записи уравнений приведены на рис. 2.2. Рис Выбор той или иной формы уравнений определяется областью и типом решаемой задачи. 43 Таблица 2.1 Форма Уравнения Связь с коэффициентами основных уравнений А-форма 2 12 2 11 1 I A U A U ; 2 22 2 21 1 I A U A I ; форма 2 12 1 11 1 U Y U Y I ; 2 22 1 21 2 U Y U Y I ; B D Y 11 ; B Y 1 12 ; 21 12 Y Y ; B A Y 22 ; форма 2 12 1 11 1 I Z I Z U ; 2 22 1 21 2 I Z I Z U ; C A Z 11 ; C Z 1 12 ; 21 12 Z Z ; C D Z 22 ; Н-форма 2 12 1 11 1 U H I H U ; 2 22 1 21 2 U H I H I ; D B H 11 ; D H 1 12 ; 12 21 H H ; D C H 22 ; форма 2 12 1 11 1 I G U G I ; 2 22 1 21 2 I G U G U ; A C G 11 ; A G 1 12 ; 12 21 G G ; A B G 22 ; форма 1 12 1 11 2 I B U B U ; 1 22 1 21 2 I B U B I D B 11 ; B B 12 ; C B 21 ; Если при перемене местами источника и приемника энергии их токи не меняются, то такой четырехполюсник называется симметричным.Как видно из сравнения Аи В- форм в табл. 1, это выполняется при Четырехполюсники, не удовлетворяющие данному условию, называются несимметричными. 2.2. Определение коэффициентов А - формы записи уравнений четырехполюсника При практическом использовании уравнений четырехполюсника для анализа цепей необходимо знать значения его коэффициентов. Коэффициенты четырехполюсника могут быть определены экспериментальным или расчетным путями. При этом в соответствии с соотношением (2.5) определение любых трех коэффициентов дает возможность определить и четвертый. 44 Один из наиболее удобных экспериментальных методов определения коэффициентов четырехполюсника основан на опытах холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов и опыте холостого хода при питании со стороны первичных зажимов. В этих режимах на основании уравнений (2.3) и (2.4) получаем при 0 2 I C A I U Z XX 1 XX 1 XX 1 , (2.6) при 0 1 I C D I U Z XX 2 XX 2 XX 2 , (2.7) при 0 1 U A B I U Z КЗ 2 КЗ 2 КЗ 2 (2.8) Решение уравнений (2.6)-(2.8) относительно коэффициентов четырехполюсника КЗ 2 XX 2 XX 1 Z Z Z A ; КЗ 2 Z A B ; СТ- и П - образные схемы замещения пассивного четырехполюсника. Переход от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой При определении коэффициентов четырехполюсника расчетным путем должны быть известны схема соединения и величины сопротивлений четырехполюсника. Как было отмечено ранее, пассивный четырехполюсник характеризуется тремя независимыми постоянными коэффициентами. Следовательно, пассивный четырехполюсник можно представить в виде трехэлементной эквивалентной Т - (риса) или П - образной(рис. б) схемы замещения. Рис Для определения коэффициентов четырехполюсника для Т–образной схемы (риса) с использованием первого и второго законов Кирхгофа выразим и 1 I через 2 U и 2 I : 45 , 1 1 2 3 2 2 3 3 2 2 2 2 1 I Z Z U Z Z Z I U I I (2.9) 1 2 3 2 1 2 1 2 3 1 1 1 2 2 2 1 I Z Z Z Z Z U Z Z Z I Z I U U (2.10) Сопоставление полученных выражений (2.9) и (2.10) с соотношениями (2.3) и (2.4) дает 3 1 1 Z Z A ; 3 2 1 2 1 Z Z Z Z Z B ; 3 1 Z C ; 3 Данная задача может быть решена и другим путем. При 0 холостой ход со стороны вторичных зажимов) в соответствии си) 2 XX 1 U A U и 2 XX 1 U C I С другой стороны из схемы а получаем 3 и 3 1 XX 1 3 1 XX 1 откуда следует 3 и 1 При 0 2 U (короткое замыкание вторичных зажимов четырехполюсника) 2 КЗ 1 I B U и 2 КЗ 1 I D I Из схемы на риса получаем 2 2 2 3 2 2 2 КЗ 1 1 I Z Z Z Z I I I ; 2 3 2 1 2 1 2 2 КЗ 1 1 КЗ 1 I Z Z Z Z Z Z I I Z U Следовательно, 3 2 1 и Коэффициенты четырехполюсника для схемы на рис. б могут быть определены аналогично. Из вышесказанного можно сделать вывод, что, зная коэффициенты четырехполюсника, всегда можно найти параметры Т- и П- образных схем замещения. 46 На практике часто возникает потребность в переходе от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой. Для решения этой задачи, те. чтобы определить коэффициенты одной формы записи уравнений через коэффициенты другой, следует выразить какие-либо две одинаковые величины в этих формулах через две остальные и сопоставить их с учетом положительных направлений токов для каждой из этих форм. Так, при переходе от А- к форме на основании (2.4) имеем 1 1 2 1 2 1 2 I C D I C I C D I C U (2.11) Подстановка соотношения (2.11) в (2.3) дает 1 2 1 2 2 1 2 2 1 I C C A I C C B D A I C A I B I C D A I C A I B U A U (2.12) Сопоставляя выражения (2.11) и (2.12) с уравнениями четырехполюсника в форме (табл. 1), получим C A Z 11 ; C Z 1 12 ; C Z 1 21 ; В табл приведены соотношения для перехода от одной формы уравнений четырехполюсника к любой другой форме. Характеристическое сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника При анализе работы четырехполюсника на нагрузку н удобно использовать понятие входного сопротивления с первичной стороны вх 1 Z и коэффициента передачи 1 Учитывая, что ни н 2 1 Z U B U A U , можно записать н н н 2 2 2 1 2 ; н н н 2 н 2 1 1 вх 1 47 Зная K , вх 1 Z и 1 U , можно определить остальные переменные на входе и выходе четырехполюсника 2 U K U ; н 2 Z U I ; вх 1 На практике широко используется режим работы симметричного четырехполюсника, при котором его входное сопротивление равно нагрузочному н 2 1 Это сопротивление обозначают c Z и называют характеристическим со- противлениемсимметричного четырехполюсника, а режим работы четырехполюсника, для которого справедливо соотношение н вх c Z Z Z , называется режимом согласованной нагрузки В указанном режиме для симметричного четырехполюсника ( D A ) на основании (2.3) и (2.4) можно записать 2 c 1 U Z B A U ; (2.13) с) Разделив соотношение (2.13) на (2.14), получаем уравнение с с с , решением которого является с) С учетом (2.15) уравнения (2.13) и (2.14) приобретают вид 2 1 U C B A U ; 2 Таким образом, j e e e C B A I I U U 2 1 2 1 , |