Панкова теория основ электроэнергетики методические указания. Тоэ методичка. Б. Ю. Алтунин, А. А. Кралин, Н. Г. Панкова теоретические основы электротехники часть 2 Методические указания для студентов направления 13.
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
=1Нп, то это значит, что напряжениеи ток на выходе U 2 , I 2 меньше напряженияи тока на входе U 1 , I 1 в 2,718 раза, а по мощности, поскольку для рассматриваемого случая 2 2 2 1 1 2 1 2 1 e I U I U P P S S , - враз. Запишем уравнение симметричного четырехполюсника с использованием коэффициента распространения. По определению e C B A (2.16) Преобразуем (2.16) 1 2 C B A C B A C B A C B A e (2.17) Решая (2.17) и (2.18) относительно и C B , получим chγ 2 и shγ 2 Учтем соотношения сиси получаем уравнения четырехполюсника, записанные через гиперболические функции с 2 1 Z I U U ; с Форму записи уравнений четырехполюсника через гиперболические функции используют в теории фильтров. 2.5. Назначение и классификация электрических фильтров Электрическим фильтром называется четырехполюсник, устанавливаемый между источником питания и нагрузкой и служащий для беспрепятственного (с малым затуханием) пропускания токов одних частот и задержки (или пропускания с большим затуханием) токов других частот. Диапазон частот, пропускаемых фильтром без затухания (с малым затуханием, называется полосой пропускания или полосой прозрачности диапазон частот, пропускаемых с большим затуханием, называется полосой затухания или полосой задерживания. Качество фильтра считается тем выше, чем 49 ярче выражены его фильтрующие свойства, те. чем сильнее возрастает затухание в полосе задерживания. В качестве пассивных фильтров обычно применяются четырехполюсники на основе катушек индуктивности и конденсаторов. Возможно также применение пассивных фильтров, используемых при больших сопротивлениях нагрузки. Фильтры применяются как в радиотехнике и технике связи, где имеют место токи достаточно высоких частот, таки в силовой электронике и электротехнике. Для упрощения анализа будем считать, что фильтры составлены из идеальных катушек индуктивности и конденсаторов, те. элементов соответственно с нулевым активным сопротивлением и проводимостью. Это допущение достаточно корректно при высоких частотах, когда индуктивные сопротивления катушек много больше их активных сопротивлений (ωL>>R k ), а емкостные проводимости конденсаторов много больше их активных проводимостей (ωC>>g c ). Фильтрующие свойства четырехполюсников обусловлены возникающими в них резонансными режимами – резонансами токов и напряжений. Фильтры обычно собираются по симметричной Т- или П-образной схеме, те. при Z 1 = или Z’ 1 = Z’ 2 . В этой связи при изучении фильтров будем использовать введенные в предыдущей лекции понятия коэффициентов затухания и фазы. Классификация фильтров в зависимости от диапазона пропускаемых частот приведена в табл. Таблица 2.2 Классификация фильтров Название фильтра Диапазон пропускаемых частот Низкочастотный фильтр фильтр нижних частот) 0≤ω≤ω C1 Высокочастотный фильтр фильтр верхних частот) ω C2 ≤ω≤∞ Полосовой фильтр (полосно-пропускающий фильтр) ω C1 ≤ω≤ω C2 Режекторный фильтр (полосно-задерживающий фильтр) 0≤ω≤ω C1 и ω C2 ≤ω≤∞, где В соответствии с материалом, изложенным в предыдущей лекции, если фильтр имеет нагрузку, сопротивление которой при всех частотах равно характеристическому, то напряжения и соответственно токи на его входе и выходе связаны соотношением В идеальном случаев полосе пропускания (прозрачности, те. в соответствии си. Следовательно, идеальный фильтр должен быть реализован на основе идеальных катушек индуктивности и конденсаторов. Вне области пропускания (в полосе затухания) в идеальном случаете и 50 2.6. Простейшие низкочастотные и высокочастотные фильтры Рассмотрим схему простейшего низкочастотного фильтра, представленную на риса. а) б) Рис. 2.4 Связь коэффициентов четырехполюсника с параметрами элементов Т- образной схемы замещения определяется соотношениями A=1+Z 1 /Z 3 ; B=Z 1 +Z 2 +Z 1 Z 2 /Z 3 ; С D=1+Z 2 /Z 3 или конкретно для фильтра на риса Из уравнений четырехполюсника, записанных с использованием гиперболических функций, вытекает, что Однако в соответствии с (2.19) - вещественная переменная, а следовательно, . (2.22) Поскольку в полосе пропускания частот коэффициент затухания α=0 , тона основании (2.21) Так как пределы изменения : , то границы полосы определяются неравенством , которому удовлетворяют частоты, лежащие в диапазоне 51 Для характеристического сопротивления фильтра на основании (2.20) и (2.21) имеем Анализ соотношения (2.24) показывает, что с ростом частоты ω в пределах, определяемых неравенством (2.23), характеристическое сопротивление фильтра уменьшается до нуля, оставаясь активным. Поскольку, при нагрузке фильтра сопротивлением, равным характеристическому, его входное сопротивление также будет равно , то, вследствие вещественности , можно сделать заключение, что фильтр работает в режиме резонанса, что было отмечено ранее. При частотах больших , как это следует из (2.24), характеристическое сопротивление приобретает индуктивный характер. На рис. 2.5 приведены качественные зависимости α(ω), β(ω), и Рис. 2.5 Следует отметить, что вне полосы пропускания β=π . Действительно, поскольку коэффициент А – вещественный, то всегда должно удовлетворяться равенство (2.25) Так как вне полосы прозрачности α≠0, то соотношение (2.25) может выполняться только при В полосе задерживания коэффициент затухания α определяется из уравнения) при β=π. Существенным при этом является факт постепенного нарастания, те. в полосе затухания фильтр не является идеальным. Аналогичный 52 вывод о неидеальности реального фильтра можно сделать и для полосы прозрачности, поскольку обеспечить практически согласованный режим работы фильтра во всей полосе прозрачности невозможно, а следовательно, в полосе пропускания коэффициент затухания α будет отличен от нуля. Другим вариантом простейшего низкочастотного фильтра может служить четырехполюсник по схеме на рис. б. Схема простейшего высокочастотного фильтра приведена на риса. а) б) Рис Для данного фильтра коэффициенты четырехполюсника определяются выражениями Как и для рассмотренного выше случая, А – вещественная переменная. Поэтому на основании (2.26) Данному неравенству удовлетворяет диапазон изменения частот Характеристическое сопротивление фильтра изменяясь в пределах от нуля до с ростом частоты, остается вещественным. Это соответствует, как уже отмечалось, работе фильтра, нагруженного характеристическим сопротивлением в резонансном режиме. Поскольку такое согласование фильтра с нагрузкой во всей полосе пропускания практически невозможно, реально фильтр работает св ограниченном диапазоне частот. Вне области пропускания частот α определяется из уравнения при . Плавное изменение коэффициента затухания в соответствии с (2.30) показывает, что в полосе задерживания фильтр не является идеальным. Качественный вид зависимостей α(ω), β(ω) и для высокочастотного фильтра представлен на рис. 2.6. Рис. 2.6 Следует отметить, что другим примером простейшего высокочастотного фильтра может служить П-образный четырехполюсник на рис. б. 2.7. Полосно-пропускающие и полосно-заграждающие фильтры Полосовой фильтр формально получается путем последовательного соединения низкочастотного фильтра с полосой пропускания ω ω C2 и высокочастотного фильтра с полосой пропускания ω ω C2 , причем ω C1 ω C2 . Схема простейшего полосового фильтра приведена на риса, а на рис. б представлены качественные зависимости для него. 54 Рис У режекторного фильтра полоса прозрачности разделена на две части полосой затухания. Схема простейшего режекторного фильтра и качественные зависимости α(ω), для него приведены на рис. Рис. 2.8 В заключение необходимо отметить, что для улучшения характеристик фильтров всех типов их целесообразно выполнять в виде цепной схемы, представляющей собой каскадно включенные четырехполюсники. При обеспечении согласованного режима работы всех n звеньев схемы коэффициент затухания ц такого фильтра возрастает в соответствии с выражением ц , что приближает фильтр к идеальному. 55 Вопросы и задачи для самопроверки 1. Приведите уравнения четырехполюсника в А-форме. Сколько коэффициентов четырехполюсника являются независимыми 2. Как определить коэффициенты А-формы четырехполюсника 3. Приведите схемы замещения четырехполюсника. 4. Как определяются коэффициенты одной формы записи уравнений четырехполюсника через коэффициенты другой Определить связь коэффициентов- и форм с коэффициентами А-формы. 5. Дайте определение режима согласованной нагрузки симметричного четырехполюсника. Что определяет коэффициент распространения 6. Определить коэффициенты А, В, Си для П-образной схемы замещения четырехполюсника на рис. б. Ответ 2 3 / 1 Z Z A ; 3 Z B ; ) /( ) ( 2 1 3 2 1 Z Z Z Z Z C ; 1 3 / 1 Z Z D 7. Коэффициенты уравнений пассивного четырехполюсника j A 1 ; B=-j10 Ом См. Определить параметры Т-образной схемы замещения. Ответ Z 1 =10 Ом Z 2 =-j10 Ом Z 3 =10 Ом. 8. Параметры Т-образной схемы замещения четырехполюсника Ом 10 Ом. Определить, при каком сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырехполюсника будет равно нагрузочному сопротивлению Ответ: 0 72 , 31 н 95 , 14 j e Z Ом. 9. Для чего служат фильтры Что такое полосы прозрачности и затухания 10. Как классифицируются фильтры в зависимости от диапазона пропускаемых частот В каком режиме работают фильтры в полосе пропускания частот 12. Как можно улучшить характеристики фильтра Определить границы полосы прозрачности фильтров на риса и а, если L=10 мГн, а С =10 мкФ. Ответ 1 С рад/c, 2236 2 С рад/c. 56 Глава 3. Цепи с распределенными параметрами В предыдущих лекциях рассматривались электрические цепи, геометрические размеры которых, а также входящих в них элементов не играли роли, те. электрические и магнитные поля были локализованы соответственно в пределах конденсатора и катушки индуктивности, а потери мощности – в резисторе. Однако на практике часто приходится иметь дело с цепями (линии электропередачи, передачи информации, обмотки электрических машин и аппаратов и т.д.), где электромагнитное поле и потери равномерно или неравномерно распределены вдоль всей цепи. В результате напряжения и токи на различных участках даже неразветвленной цепи отличаются друг от друга, те. являются функциями двух независимых переменных времени t и пространственной координаты. Такие цепи называются цепями с распределенными параметрами. Смысл данного названия заключается в том, что у цепей данного класса каждый бесконечно малый элемент их длины характеризуется сопротивлением, индуктивностью, а между проводами соответственно емкостью и проводимо- стью. Рис. 3.1 Для оценки, к какому типу отнести цепь с сосредоточенными или распределенными параметрами, следует сравнить ее длину l с длиной электромагнитной волны VT λ . Если λ 1 , 0 05 , 0 l , то линию следует рассматривать как цепь с распределенными параметрами. Например, для Гц им с 3 8 V , км 300 l . Для Гц 8 f им, те. уже прим, к линии следует подходить как к цепи с распределенными параметрами. Для исследования процессов вцепи с распределенными параметрами (другое название – длинная линия) введем дополнительное условие о равномерности распределения вдоль линии ее параметров индуктивности, сопротивления, емкости и проводимости. Такую линию называют однородной. Линию с неравномерным распределением параметров часто можно разбить на однородные участки. 57 3.1. Уравнения однородной линии в стационарном режиме Под первичными параметрами линии будем понимать сопротивление, индуктивность 0 L , проводимость и емкость 0 С , отнесенные к единице ее длины. Для получения уравнений однородной линии разобьем ее на отдельные участки бесконечно малой длины со структурой, показанной на рис. 3.1. Пусть напряжение и ток вначале такого элементарного четырехполюсника равны u и i, а в конце соответственно dx x u u и Разность напряжений вначале и конце участка определяется падением напряжения на резистивном и индуктивном элементах, а изменение тока на участке равно сумме токов утечки и смещения через проводимость и емкость. Таким образом, по законам Кирхгофа ; 0 0 t i x u dx L dx R dx t i dx L dx R dx x u 0 или после сокращения на dx ; 0 0 t i L R x u (3.1) 0 0 t i L R x u (3.2 ) Теорию цепей с распределенными параметрами в установившихся режимах будем рассматривать для случая синусоидального тока. Тогда полученные соотношения при 0 f можно распространить и нацепи постоянного тока, а воспользовавшись разложением вряд Фурье, – на линии периодического несинусоидального тока. Вводя комплексные величины и заменяя на j , на основании) и (3.2) получаем ; ) ( 0 0 0 I Z I L j R x U (3.3) ; ) ( 0 С (3.4) где 0 и 0 0 0 C j g Y - соответственно комплексные сопротивление и проводимость на единицу длины линии. 58 Продифференцировав (3.3) пои подставив выражение из (3.4), запишем Характеристическое уравнение 0 0 0 2 Y Z p , откуда ) ( 0 Таким образом, x x x j x x x e e A e e A e A e A U 2 1 2 1 , (где - постоянная распространения - коэффициент тухания; - коэффициент фазы. где - постоянная пространения; - коэффициент затухания- коэффициент фазы. где - постоянная распространения - коэффициент затухания - коэффициент фазы. Для тока согласно уравнению (3.3) можно записать ) ( 1 ) ( 1 с 1 0 0 x xx x x e A e A Z e A e A Z dx U d Z I , (где 0 с- волновое сопротивление. где 0 с- волновое сопротивление. 59 где 0 с- волновое сопротивление. Волновое сопротивление и постоянную распространения называют вторичными параметрами линии, которые характеризуют ее свойства как устройства для передачи энергии или информации. Определяя 1 1 1 j e A A и 2 2 j e A A , на основании (3.5) запишем ) sin( 2 ) sin( 2 ) , ( 1 2 1 1 x e A x e A t x u x x . (Аналогичное уравнение гласно (3.6) можно записать для тока. Слагаемые в правой части соотношения (3.7) можно трактовать как бегущие волны первая движется и затухает в направлении возрастания x , вторая – убывания. Действительно, в ванный момент времени каждое из гаемых представляет собой щую (вследствие потерь энергии) моническую функцию координаты x , а в фиксированной точке – ную функцию времени. Аналогичное уравнение гласно (3.6) можно записать для тока. Слагаемые в правой части соотношения (3.7) можно трактовать как бегущие волны первая движется и затухает в направлении возрастания x , вторая – убывания. Действительно, в ванный момент времени каждое из гаемых представляет собой щую (вследствие потерь энергии) моническую функцию координаты x , а в фиксированной точке – ную функцию времени. Аналогичное уравнение согласно (3.6) можно записать для тока. Слагаемые в правой части соотношения (3.7) можно трактовать как бегущие волны первая движется и затухает в направлении возрастания x , вторая – убывания. Действительно, в фиксированный момент времени каждое из слагаемых представляет собой затухающую (вследствие потерь энергии) гармоническую функцию координаты x , а в фиксированной точке – синусоидальную функцию времени Волну, движущую от начала линии в сторону возрастания x , называют прямой а движущуюся от конца линии в направлении убывания x , – обратной. u 1 t x e A α 1 2 x x e A α 1 2 2 t V 2 Рис. Рис. 3.2 На рис. 3.2 представлена затухающая синусоида прямой волны для моментов времени 1 t и 2 t ) ( 1 2 t t . Перемещение волны характеризуется фазовой скоростью Это скорость перемещения по линии неизменного фазового состояния, те. скорость, с которой нужно перемещаться вдоль линии, чтобы наблюдать одну и туже фазу волны const 1 x . Продифференцировав) повремени, получим Продифференцировав (3.8) повремени, получим Продифференцировав (3.8) повремени, получим V . (Длиной ны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на 2 рад. В ветствии сданным определением Длиной волны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе 61 на 2 рад. В соответствии сданным ределением Длиной волны называется ние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на 2 рад. В соответствии сданным делением Длиной волны называется стояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на 2 рад. В соответствии сданным делением Длиной волны называется расстояние между двумя ее ближайшими точками, различающимися по фазе на 2 рад. В соответствии сданным определением, откуда и с учетом (3.9) В соответствии с введенными понятиями прямой и обратной волн распределение напряжения вдоль линии в любой момент времени можно трактовать как результат наложения двух волн прямой и обратной, перемещающихся вдоль линии с одинаковой фазовой скоростью, нов противоположных направлениях обр пр, (где в соответствии спр и x e A U 2 обр (3.10) где в соответствии спр и x e A U 2 обр 62 где в соответствии спр и x e A U 2 обр Представление напряжения в виде суммы прямой и обратной волн согласно) означает, что положительные направления напряжения для обеих волн выбраны одинаково от верхнего провода к нижнему. Аналогично для тока на основании (3.6) можно записать обр пр, (где спр Z e A I x и собр где спр Z e A I x и собр где спр Z e A I x и собр Положительные направления прямой и обратной волн тока в соответствии с (11) различны положительное направление прямой волны совпадает с положительным направлением тока от начала к концу линии, а положительное направление обратной волны ему противоположно. На основании (3.10) и (3.11) для прямых и обратных волн напряжения и тока выполняется закон Ома: ; с пр пр Z U I с обр обр Z U I |