Панкова теория основ электроэнергетики методические указания. Тоэ методичка. Б. Ю. Алтунин, А. А. Кралин, Н. Г. Панкова теоретические основы электротехники часть 2 Методические указания для студентов направления 13.
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
1.6. Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме Пусть имеем некоторую ветвь n m (рис. 1.13), выделенную из некоторой сложной цепи и содержащую R, L, C и источник ЭДС Рис Замыкание ключа во внешней цепи приводит к переходному процессу, при этом начальные условия для тока в ветви и напряжения на конденсаторе в общем случае ненулевые. Для мгновенных значений токов и напряжений можно записать t C mn t e u idt C dt di L iR t u 0 Тогда на основании приведенных выше соотношений получим p E p u Li Cp Lp R p I p U C mn 0 0 1 ; 27 p Z p E p u Li p U p I C mn 0 0 (1.20) где Cp Lp R p Z 1 - операторное сопротивление рассматриваемого участка цепи. Следует обратить внимание, что операторное сопротивление p Z соответствует комплексному сопротивлению ветви вцепи синусоидального тока при замене оператора р на j . Слагаемое представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в магнитном поле индуктивной катушки вследствие протекания через нее тока i(0) до коммутации. Слагаемое представляет собой внутреннюю ЭДС, обусловленную запасом энергии в электрическом поле конденсатора вследствие наличия напряжения на нем ) 0 ( C u непосредственно до коммутации. Уравнение (1.20) является математической записью закона Ома для участка цепи с источником ЭДС в операторной форме. В соответствии с ним для ветви на рис. 1.13 можно составить операторную схему замещения, представленную на рис. 1.14. В соответствии с (1.20) внутренняя ЭДС направлена согласно с направлением тока I(p), внутренняя ЭДС p u C / ) 0 ( - встречно току. Рис Первый закон Кирхгофа в операторной форме алгебраическая сумма изображений токов, сходящихся в узле, равна нулю n p I 1 0 (1.21) Второй закон Кирхгофа в операторной форме – алгебраическая сумма изображений ЭДС, действующих в контуре, равна алгебраической сумме изображений напряжений на пассивных элементах этого контура, m m p U p E 1 1 (1.22) 28 При записи уравнений по второму закону Кирхгофа следует помнить о необходимости учета внутренних ЭДС (ненулевых начальных условий. Сих учетом последнее соотношение может быть переписано в развернутом виде m m C p I Cp Lp R p u i L p E 1 1 1 0 0 (1.23) В качестве примера запишем выражение для изображений токов вцепи на рис. 1.15 для двух случаев а- 0 0 C u ; баб) Рис В первом случае (риса) при нулевых начальных условиях определим в соответствии с законом Ома в операторной форме (1.20) изображения токов ) ( 1 p I , ), ( 2 p I ) ( 3 p I : 2 1 2 1 2 0 2 2 1 0 1 1 1 R R Cp R R p Cp R U Cp R R R p U p I ; 2 1 2 1 0 2 1 2 1 1 R R Cp R R p U Cp R p I p I ; 2 1 2 1 2 0 2 2 1 Во втором случае при ненулевых начальных условиях 0 0 C u следует учесть внутреннюю ЭДС и составить операторную схему замещения рис. 1.15, б. Изображения токов в ней определяются любым методом расчета линейных цепей, например, методом контурных токов 29 , 0 1 ; 2 22 2 11 0 2 22 2 1 откуда p I p I 11 1 1; p I p I p I 22 11 2 и p I p I 22 3 1.7. Переход от изображений к оригиналам. Теорема разложения Вторым этапом расчета переходных процессов является переход от изображения искомой величины к ее оригиналу, который может быть осуществлен следующими способами 1. Непосредственное применение формулы обратного преобразования Лапласа с использованием теоремы вычетов j j pt dp e p F j t f 2 1 , которое представляет собой решение интегрального уравнения (1.14). Этот способ используется в символьных вычислениях компьютерной математики, например. По таблицам соответствия между оригиналами и изображениями. В научной и учебной литературе имеется достаточно большое число формул соответствия, охватывающих практически все задачи электротехники. Согласно данному способу, необходимо получить изображение искомой величины в виде соответствующем табличному, после чего выписать из таблицы выражение оригинала. Например, для изображения тока вцепи (рис. 1.3) можно записать изображение тока L R p p R U pL R p U p Z p U p I 1 1 0 Тогда, в соответствии сданными табл. 1.1, t L R e R U t i 1 0 , что соответствует известному результату. 30 3. С использованием теоремы разложения. Пусть изображение p F искомой переменной определяется отношением двух полиномов 0 1 1 1 0 1 1 1 a p a p a p a b p b p b p b p M p N p F n n n n m m m m , где степень полинома в числителе меньше степени полинома в знаменателе ( n m ) и полином 0 ) ( p M не имеет кратных корней. Это выражение может быть представлено в виде суммы простых дробей n p p A p M p N 1 , где p - к-й корень уравнения Для определения коэффициентов A умножим левую и правую части соотношения на p p : При Раскрывая полученную неопределенность по правилу Лопиталя, получим Таким образом, Учитывая, что множители p M p N ' у слагаемых суммы правой части есть постоянные числа и оригиналами простых дробей являются показательные функции (табл) 31 p e t 1 , окончательно получаем формулу разложения n t p e p M p N t f 1 ' (1.24) Если один из корней уравнения 0 ) ( p M равен нулю, то ему в правой части уравнения (1.24) соответствует слагаемое ) 0 ( / ) 0 ( M N , представляющее собой составляющую искомого тока (напряжения, обусловленную источниками постоянного тока или напряжения. Сделаем важные замечания к формуле разложения. 1. При наличии вцепи синусоидальной ЭДС t E t e m sin для перехода от комплекса к функции времени от правой части формулы разложения берется мнимая часть, те. выражение при j. Если при этом вцепи есть другие источники, например, постоянная ЭДС Е и ЭДС экспоненциальной формы t e E 0 и начальные условия для токов в ветвях с индуктивными элементами и напряжений на конденсаторах ненулевые, то они должны быть все введены в формулу предварительно умноженными на j, поскольку только в этом случае они будут учтены при взятии мнимой части от формулы разложения, те. p Z p u Li p E p E j j p e E p I C j m 0 0 0 (1.25) 2. Принужденной составляющей от действия источника синусоидальной ЭДС в формуле разложения соответствует слагаемое, определяемое корнем j p . Для сложных схем такое ее вычисление может оказаться достаточно трудоемким, в связи с чем принужденную составляющую в этих случаях целесообразно определять отдельно символическим методом, а свободную – операторным. Комплексно-сопряженным корням уравнения в формуле разложения соответствуют комплексно-сопряженные слагаемые, которые в сумме дают удвоенный вещественный член, те. для к-й пары комплексно- сопряженных корней имеет место t p e p M p N t f ' Re 2 (1.26) 32 1.8. Последовательность расчета переходных процессов операторным методом. Примеры расчета 1. Определение независимых начальных условий путем расчета докоммутаци- онного режима работы цепи. 2. Составление операторной схемы замещения цепи. 3. Запись уравнений по законам Кирхгофа или другим методам расчета линейных цепей в операторной форме с учетом начальных условий. 4. Решение полученных уравнений относительно изображений искомых величин. Определение оригиналов (с помощью формулы разложения или таблиц соответствия оригиналов и изображений) по найденным изображениям. В качестве примера использования операторного метода определим ток через катушку индуктивности вцепи на рис. 1.16. Рис С учетом нулевого начального условия операторное изображение тока pL R R R R p R U pL R R pL R pL R R p U p I 2 1 2 1 2 0 2 2 2 2 1 Для нахождения оригинала t i воспользуемся формулой разложения при нулевом корне 1 ' 1 1 ' 1 0 0 p M p e p N M N t i t p , (1.27) где 2 0 R U p N , ) ( 2 1 2 Тогда 1 0 ' 0 0 R U M N и корень уравнения L R R R R p 2 1 2 Подставляя найденные значения в формулу разложения (1.27), получим t L R R R R e R U R U t i 2 1 2 1 1 0 1 0 33 Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля При рассмотрении метода наложения было показано, что ток в любой ветви схемы может быть представлен в виде m m U g i , где m g - собственная или взаимная m проводимость. Это соотношение будет иметь силу ив переходном режиме, если в момент времени t=0 замыкание ключа в й ветви подключает к цепи находящийся в этой ветви источник постоянного напряжения m U : При этом является функцией времени и называется переходной проводимостью. В соответствии с определением переходная проводимость численно равна току в ветви при подключении цепи к постоянному напряжению B U m 1 . Переходная функция. Если линейную электрическую цепь с нулевыми начальными условиями подключить к источнику постоянного напряжения U, то между произвольными точками m и n цепи возникнет напряжение, являющееся функцией времени U t h t u mn , (1.28) где t h - переходная функция численно равная напряжению между точками m и n схемы при подаче на ее вход постоянного напряжения B U m 1 . Переходную проводимость t g и переходную функцию по напряжению t h можно найти расчетным или экспериментальным (осциллографирование) путями. В качестве примера определим эти функции для цепи на рис. 1.17 Рис В этой схеме при замыкании ключа L t e R U t i 1 0 , 34 где Тогда переходная проводимость L t e R U t i t g 1 Переходная функция по напряжению согласно (1.28) L L t t e U e U U dt di L U t u t h 0 0 0 Зная реакцию цепи на единичное возмущающее воздействие, те. функцию переходной проводимости t g или переходную функцию t h , можно найти реакцию цепи на воздействие произвольной формы. В основе метода расчета с помощью интеграла Дюамеля лежит принцип наложения. При использовании интеграла Дюамеля для разделения переменной, по которой производится интегрирование, и переменной, определяющей момент времени, в который определяется ток вцепи, первую принято обозначать как , а вторую - как t. Пусть в момент времени 0 t к цепи с нулевыми начальными условиями пассивному двухполюснику ПД на рис. 1.18) подключается источник с напряжением произвольной формы. Для нахождения тока вцепи заменим исходную кривую ступенчатой (рис. 1.19) и просуммируем токи от начального скачка напряжения 0 u и всех ступенек напряжения u до момента t. Рис.1.18 Рис.1.19 В момент времени t составляющая общего тока, определяемая начальным скачком напряжения 0 u , равна t g u В момент времени ( ) имеет место скачок напряжения ' u u , который с учетом временного интервала от начала скачка до интересующего момента времени t обусловит составляющую тока Полный ток t i в момент времени t равен, очевидно, сумме всех составляющих тока от отдельных скачков напряжения с учетом t g u 0 , те. 35 Заменяя конечный интервал приращения времени на бесконечно малый, те. переходя от суммы к интегралу, запишем t d t g u t g u t i 0 ' 0 (1.29) Соотношение (1.29) называется интегралом Дюамеля. Следует отметить, что с использованием интеграла Дюамеля можно определять также напряжение. При этом в (1.29), вместо переходной проводимости, будет входить переходная функция по напряжению. Методика расчета с использованием интеграла Дюамеля. 1. Определение функции t g (или t h ) для исследуемой цепи. 2. Запись выражения t g (или t h ) путем формальной замены переменной на t 3. Определение производной ' u 4. Подстановка найденных функций в (1.29) и интегрирование определенного интеграла. В качестве примера использования интеграла Дюамеля определим ток при включении R-L цепи (риск источнику t e t u 5 В и параметрах цепи R=10 Ом, L=1 Гн. Определяем переходную проводимость t t L R e e R t g 10 1 1 , 0 1 1 Замена переменной 10 10 Определение производной 5 ' 5000e u 4. Нахождение тока 200 100 100 1 100 500 500 1 100 0 10 5 5 0 10 5 0 10 0 5 10 0 0 5 10 ' A e e e e e e d e e d e e d t g u t g u t i t t t t t t t t t t 36 1.10. Метод переменных состояния Уравнения электромагнитного состояния – это система уравнений, определяющих энергетический режим (состояние) электрической цепи. Метод переменных состояния основывается на упорядоченном составлении и решении системы дифференциальных уравнений первого порядка, которые разрешены относительно производных, те. записаны в виде, наиболее удобном для применения численных методов интегрирования, реализуемых средствами вычислительной техники. Количество переменных состояния, и следовательно, число уравнений состояния равно числу независимых накопителей энергии. К уравнениям состояния выдвигаются два основных требования независимость уравнений возможность восстановления на основе переменных состояния (переменных, относительно которых записаны уравнения состояния, любых других переменных. Первое требование удовлетворяется специальной методикой составления уравнений состояния, которая будет рассмотрена далее. Для выполнения второго требования в качестве переменных состояния следует принять потокосцепления (токи в ветвях с индуктивными элементами) и заряды напряжения) на конденсаторах. Действительно, зная закон изменения этих переменных во времени, их всегда можно заменить источниками ЭДС и тока сиз- вестными параметрами. Остальная цепь оказывается резистивной, и следовательно, всегда рассчитывается при известных параметрах источников. Кроме того, начальные значения этих переменных относятся к независимым, те. в общем случае рассчитываются проще других. При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений состояния, связывающих первые производные dt d dt di L и dt dq dt du C с самими переменными L i и C u q и источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий. Таким образом, полная система дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме записи имеет вид V B X A X |