Панкова теория основ электроэнергетики методические указания. Тоэ методичка. Б. Ю. Алтунин, А. А. Кралин, Н. Г. Панкова теоретические основы электротехники часть 2 Методические указания для студентов направления 13.

• Название: Б. Ю. Алтунин, А. А. Кралин, Н. Г. Панкова теоретические основы электротехники часть 2 Методические указания для студентов направления 13.
• Анкор: Панкова теория основ электроэнергетики методические указания
• Дата: 04.03.2023
• Размер: 3.17 Mb.
• Имя файла: Тоэ методичка.pdf
• Тип: Методические указания; #967670
• страница: 6 из 10

3.2. Бесконечно длинная однородная линия. Согласованный режим работы В случае бесконечно длинной линии в выражениях (3.5) и (3.6) для напряжения и тока слагаемые, содержащие
x
e
, должны отсутствовать, так как стремление лишает эти составляющие физического смысла.
Следовательно, в рассматриваемом случае
0 2
A
. Таким образом, в решении уравнений линии бесконечной длины отсутствуют обратные волны тока и напряжения. В соответствии с вышесказанным
x
e
A
U
1
, На основании соотношений
(3.12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в

63 любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению На основании соотношений (3.12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению На основании соотношений (3.12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению На основании соотношений (3.12) можно сделать важный вывод, что для бесконечно длинной линии в любой ее точке, в том числе и на входе, отношение комплексов напряжения и тока есть постоянная величина, равная волновому сопротивлению вх с
Z
I
U
Z
Таким образом, если такую линию мысленно рассечь в любом месте и вместо откинутой бесконечно длинной части подключить сопротивление, численно равное волновому, то режим работы оставшегося участка конечной длины не изменится. Отсюда можно сделать два вывода
- уравнения бесконечно длинной линии распространяются на линию конечной длины, нагруженную на сопротивление, равное волновому. В этом случае также имеют место только прямые волны напряжения и тока
- у линии, нагруженной на волновое сопротивление, входное сопротивление также равно волновому. Режим работы длинной линии, нагруженной на сопротивление, равное волновому, называется согласованным, а сама линия называется линией с согласованной нагрузкой Отметим, что данный режим практически важен для передачи информации, поскольку характеризуется отсутствием отраженных (обратных) волн, обусловливающих помехи. Согласованная нагрузка полностью поглощает мощность волны, достигшей конца линии. Эта мощность называется натуральной. Поскольку в любом

64 сечении согласованной линии сопротивление равно волновому, угол сдвига между напряжением и током неизменен. Таким образом, если мощность, получаемая линией от генератора, равна cos
1 1
1
I
U
P
, то мощность в конце линий длиной в данном случае
l
l
l
e
P
e
I
e
U
I
U
P
2 1
1 1
2 2
2
cos cos
, откуда КПД линии
l
e
P
P
2 и затухание
1 2
ln
2 Как указывалось при рассмотрении четырехполюсников, единицей затухания является непер, соответствующий затуханию по мощности враз, а по напряжению или току – враз. Линия без искажений
Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является ческим, те. его можно разложить вряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для составляющих его гармонических затухание и фазовая скорость различны, те. если последние являются ми частоты. Таким образом, для ствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи ции, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой стью и одинаковым затуханием, скольку только в этом случае, шись, они образуют в конце линии нал, подобный входному. Пусть сигнал, который требуется передать без искажений по линии, является периодическим, те. его можно разложить вряд Фурье. Сигнал будет искажаться, если для составляющих его гармонических затухание и фазовая скорость различны, те. если последние являются функциями частоты. Таким образом, для отсутствия искажений, что очень важно, например, в линиях передачи информации, необходимо, чтобы все гармоники распространялись с одинаковой скоростью и одинаковым затуханием, поскольку только в этом случае,

65 сложившись, они образуют в конце линии сигнал, подобный входному. Идеальным в этом случае является так называемая линия без потерь у которой сопротивление и проводимость равны нулю. Действительно, в этом случаете. независимо от частоты коэффициент затухания const
0
и фазовая скорость Однако искажения могут отсутствовать ив линии с потерями. Условие передачи сигналов без искажения вытекает из совместного рассмотрения выражений для постоянной распространения
j
C
Z
j
g
Z
Y
Z
Y
Z
0
C
0
C
0
C
0 0
(3.13) и фазовой скорости
C
0 1
Z
C
V
(3.14) Из (3.13) и (3.14) вытекает, что для получения const и const
V
, что обеспечивает отсутствие искажений, необходимо, чтобы const
C
Z
, те. чтобы волновое сопротивление не зависело от частоты.
j
C
g
j
L
R
C
L
C
j
g
L
j
R
Y
Z
Z
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
C
/
/
(3.15) Как показывает анализ (3), при
0 0
0 0
C
g
L
R
(3.16)
0 0
C
/ C
L
Z
есть вещественная константа. Линия, параметры которой удовлетворяют условию (3.16), называется линией без искажений. Фазовая скорость для такой линии

66 0
0 0
0 0
C
0 1
1 и затухание
C
0 Следует отметить, что у реальных линий (и воздушных, и кабельных)
0 0
0 0
/
/
C
g
L
R
V
. Поэтому для придания реальным линиям свойств линий без искажения искусственно увеличивают их индуктивность путем включения через одинаковые интервалы специальных катушек индуктивности, а в случае кабельных линий – также за счет обвивания их жил ферромагнитной лентой.
3.4. Уравнения линии конечной длины Постоянные
1
A ив полученных в предыдущей лекции формулах
x
x
e
A
e
A
U
2 1
;
(3.17)
)
(
1 2
1
C
x
x
e
A
e
A
Z
I
(3.18) определяются на основании граничных условий. Пусть для линии длиной l (см. рис. 3.1) заданы напряжение U и ток вначале линии, те. при
0
x
.Тогда из (3.17) и (3.18) получаем
,
;
2 1
C
1 2
1 откуда
).
(
2 1
);
(
2 1
C
1 1
2
C
1 1
1
Z
I
U
A
Z
I
U
A

67 Рис. 3.3 Подставив найденные выражения ив) и (3.6), получим
,
shγ
chγ
)
(
2 1
)
(
2 1
)
(
2 1
)
(
2 1
C
C
C
C
1 1
1 1
1 1
1 1
x
Z
I
x
U
e
e
Z
I
e
e
U
e
Z
I
U
e
Z
I
U
U
x
x
x
x
x
x
(3.19) chγ
shγ
)
(
2 1
)
(
2 1
)
(
2 1
)
(
2 1
1 1
1 1
1 1
1 1
C
C
C
C
C
C
x
I
x
Z
U
e
e
I
e
e
Z
U
e
Z
I
U
Z
e
Z
I
U
Z
I
x
x
x
x
x
x
(3.20) Уравнения (3.19) и (3.20) позволяют определить токи напряжение в любой точке линии по их известным значениям вначале линии. Обычно в практических задачах бывают заданы напряжение и ток в конце линии. Для выражения напряжения и тока в линии через эти величины перепишем уравнения (5) ив виде
)
'
(
2
)
'
(
1
x
l
x
l
e
A
e
A
U
;
(3.21)
)
'
(
2
)
'
(
1
C
1
x
l
x
l
e
A
e
A
Z
I
(3.22) Обозначив 1
и
l
e
A
B
2 2
из уравнений (3.21) и (3.22) при
,
0
'
x
получим откуда

68
).
(
2 1
),
(
2 1
C
2 2
2
C
2 После подстановки найденных выражений ив) и (3.22) получаем уравнения, позволяющие определить токи напряжение по их значениям в конце линии
);
(
shγ
)
(
chγ
C
2 2
x
l
Z
I
x
l
U
U
(3.23)
)
(
chγ
)
(
shγ
2 2
C
x
l
I
x
l
Z
U
I
(3.24)
3.5. Уравнения длинной линии как четырехполюсника В соответствии си) напряжения и токи вначале ив конце линии связаны между собой соотношениями
;
sh ch
2 2
1
l
Z
I
l
U
U
C
l
I
l
Z
U
I
C
ch sh
2 Эти уравнения соответствуют уравнениям симметричного четырехполюсника, коэффициенты которого и Z
l
C
; при этом условие выполняется. Указанное означает, что к длинным линиям могут быть применены элементы теории четырехполюсников, и, следовательно, как всякий симметричный четырехполюсник, длинная линия может быть представлена симметричной Т- или П- образной схемами замещения.
3.6. Определение параметров длинной линии из опытов холостого хода и короткого замыкания Как и у четырехполюсников, параметры длинной линии могут быть определены из опытов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ). При ХХ
l
U
U
l
chγ
2
хх и хх l
Z
l
U
I
, откуда входное сопротивление

69
l
Z
I
U
l
cth
Z
C
хх l
хх вх хх
(3.25) При КЗ
l
Z
I
U
l
shγ
C
2
кз и
l
I
I
l
chγ
2
кз
. Следовательно,
l
Z
I
U
l
th
Z
C
кз l
кз кз вх
(3.26) На основании (3.25) и (3.26) кз вх.
хх вх.
C
Z
Z
Z
(3.27) и хх вх.
кз вх.
2
Z
Z
th
l
, откуда хх вх.
кз вх.
хх вх.
кз вх.
хх вх.
кз вх.
Z
Z
1
Z
Z
1
ln
2 1
Z
Z
Arcth
γl
(3.28) Выражения (3.27) и (3.28) на основании данных эксперимента позволяют определить вторичные параметры
C
Z и линии, по которым затем могут быть рассчитаны ее первичные параметры 0
0
,
,
g
L
R
и. Линия без потерь Линией без потерь называется линия, у которой первичные параметры
0
R
и равны нулю. В этом случае, как было показано ранее,
0
и 0
C
L
. Таким образом,
2 2
j
VT
j
V
j
j
, откуда Раскроем гиперболические функции от комплексного аргумента sin ch cos sh
)
(
sh
,
sin sh cos Тогда для линии без потерь, те. при, имеют место соотношения

70
)
(
2
cos
)
(
ch
x
l
x
l
и Таким образом, уравнения длинной линии в гиперболических функциях от комплексного аргумента для линии без потерь трансформируются в уравнения, записанные с использованием круговых тригонометрических функций от вещественного аргумента
)
(
2
sin
)
(
2
cos
C
2 2
x
l
Z
I
j
x
l
U
U
;
(3.29)
)
(
2
cos
)
(
2
sin
2
C
2
x
l
I
x
l
Z
U
j
I
(3.30) Строго говоря, линия без потерь (цепь с распределенными параметрами без потерь) представляет собой идеализированный случай. Однако при выполнении и 0
C
g
, что имеет место, например, для высокочастотных цепей, линию можно считать линией без потерь и, следовательно, описывать ее уравнениями (3.29) и (3.30).
3.8. Стоячие волны в длинных линиях Как было показано выше, решение уравнений длинной линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн. В результате их наложения в цепях с распределенными параметрами возникают стоячие волны.Рассмотрим два предельных случая ХХ и КЗ в линии без потерь, когда поглощаемая приемником активная мощность равна нулю. При ХХ на основании уравнений
(3.29) и (3.30) имеем '
2
cos
2
x
U
U
и '
2
sin
C
2
x
Z
U
j
I
, откуда для мгновенных значений напряжения и тока можно записать
,
'
2
sin
2
'
2
sin
2
'
2
cos sin
)
,
'
(
2 2
2
x
t
U
x
t
U
x
t
U
t
x
u
m
m
m
(3.31)
'
2
sin
2
'
2
sin
2
'
2
sin cos
)
,
'
(
C
2
C
2
C
2
x
t
Z
U
x
t
Z
U
x
t
Z
U
t
x
u
m
m
m
(3.32) Последние уравнения представляют собой уравнения стоячих волн, являющихся результатом наложения прямой и обратной волн с одинаковыми амплитудами Рис. 3.4 При ХХ в соответствии си) в точках с координатами, где
k
- целое число, имеют место максимумы напряжения, называемые пучностями, и нули тока, называемые узлами В точках с координатами пучности и узлы напряжения и тока меняются местами см. рис. 3.4). Таким образом, узлы и пучности неподвижны и пучности одной переменной совпадают с узлами другой, и наоборот. При КЗ на основании уравнений (3.29) и (3.30)
'
2
sin
C
2
x
Z
I
j
U
и '
2
cos
2
x
I
I
, откуда для мгновенных значений можно записать '.
2
cos sin
)
'
(
,
'
2
sin cos
)
'
(
2 В этом случае напряжение и ток представляют собой стоячие волны, причем по сравнению с режимом ХХ пучности и узлы напряжения и тока соответственно меняются местами. Поскольку в узлах мощность тождественно равна нулю, стоячие волны в передаче энергии вдоль линии не участвуют. Ее передают только бегущие волны. Чем сильнее нагрузка отличается от согласованной, тем сильнее выражены обратные и, следовательно, стоячие волны. В рассмотренных предельных случаях ХХ и КЗ имеют место только стоячие волны, и мощность на нагрузке равна нулю.

72
3.9. Входное сопротивление длинной линии Входным сопротивлением длинной линии (цепи с распределенными параметрами) называется такое сосредоточенное сопротивление, подключение которого вместо линии к зажимам источника не изменит режим работы последнего. В общем случае для линии с произвольной нагрузкой
Н
Z для входного сопротивления можно записать
l
Z
Z
l
Z
Z
Z
l
Z
l
Z
l
Z
l
Z
Z
l
I
l
Z
U
l
Z
I
l
U
I
U
Z
C
thγ
thγ
chγ
shγ
shγ
chγ
chγ
shγ
shγ
chγ
H
C
C
H
C
C
H
C
H
C
2 2
C
2 2
1 1
вх

. (3.33) Полученное выражение показывает, что входное сопротивление является функцией параметров линии и
C
Z , ее длины
l
и нагрузки
Н
Z . При этом зависимость входного сопротивления от длины линии, те. функция
)
(
вх
l
Z
, не является монотонной, а носит колебательный характер, обусловленный влиянием обратной (отраженной) волны. С ростом длины линии как прямая, так соответственно и отраженная волны затухают все сильнее. В результате влияние последней ослабевает и амплитуда колебаний функции
)
(
ВХ
l
Z
уменьшается. При согласованной нагрузке, те. при
C
H
Z
Z
, как было показано ранее, обратная волна отсутствует, что полностью соответствует выражению (3.33), которое при
C
H
Z
Z
трансформируется в соотношение const
C
ВХ
Z
Z
Такой же величиной определяется входное сопротивление при При некоторых значениях длины линии ее входное сопротивление может оказаться чисто активным. Длину линии, при которой вх
Z
вещественно, называют резонансной Как ив цепи с сосредоточенными параметрами, резонанс наиболее ярко наблюдается при отсутствии потерь. Для линии без потерь на основании) можно записать
l
Z
j
Z
l
jZ
Z
Z
Z
2
tg
2
tg
H
C
C
H
C
вх
(3.34) Из (3.34) для режимов холостого хода (ХХ) и короткого замыкания (КЗ), те. случаев, когда потребляемая нагрузкой активная мощность равна нулю, соответственно получаем

73
l
jZ
Z
2
сtg
С
хх вх.
;
(3.35)
l
jZ
Z
2
tg
С
кз вх.
(3.36) Исследование характера изменения хх вх.
Z
в зависимости от длины линии на основании (3.35) показывает, что при
4
/
0
l
хх вх.
Z
по модулю изменяется в пределах
-
0
хх вх.
Z
и имеет емкостный характера при - в пределах вх.хх
0
Z
и имеет индуктивный характер. Такое чередование продолжается и далее через отрезки длины линии, равные четверти длины волны (см. риса. В соответствии с (3.36) аналогичный характерно со сдвигом на четверть волны, будет иметь зависимость
)
(
кз вх
l
Z
при КЗ (см. рис. б.
4
λ
2
λ
4 3λ
вх.хх
Z
вх.кз
Z
l
0
а
б
4 Рис. 3.5 Точки, где
0
вх
Z
, соответствуют резонансу напряжений, а точки, где вх
Z
,
- резонансу токов. Таким образом, изменяя длину линии без потерь, можно имитировать емкостное и индуктивное сопротивления любой величины. Поскольку длина волны есть функция частоты, то аналогичное изменение вх
Z
можно обеспечить не изменением длины линии, а частоты генератора. При некоторых частотах входное сопротивление цепи с распределенными параметрами также становится вещественным. Такие частоты называются резонансными. Таким образом, резонансными называются частоты, при которых в линии укладывается целое число четвертей волны.

74 Вопросы и задачи для самопроверки
1. Что называется линией без искажений Как соотносятся первичные параметры в такой линии
2. Запишите уравнения линии конечной длины для случаев, когда заданы ее входные напряжение и токи когда выходные.
3. Как определяются параметры цепи с распределенными параметрами
4. Что называется линией без потерь Какими свойствами она обладает
5. При каких условиях в линии образуются стоячие волны
6. Определить напряжение и ток на входе трехфазной линии электропередачи длиной км, если кВ ф, т 2
P
,
0,8
cos2
. Параметры линии на фазу
Ом/км
2
,
0 0
R
,
Ом/км
45
,
0 0
L
,
0 0
g
,
См/км
10 62
,
2
C
6 0
. Определить КПД линии. Ответ В 5
,
102
j12,5 3
1

e
U
; А
%
75 7. Определить входное сопротивление линии без потерь длиной в четверть волны, нагруженной на емкостную нагрузку пФ
50
С
при частоте МГц. Волновое сопротивление
Ом
500
C
Z
Ответ: Ом 12
вх
j
Z
8. Однородная двухпроводная линия без искажений имеет волновое сопротивление Ом, скорость распространения волны км/с
10 3
5
V
и затухание 1,5 Нп на 100 км. Определить первичные параметры линии и также ее КПД при длине км и нагрузке, равной волновой. Ответ
Ом/км
5
,
7 0
R
;
Гн/км
10 66
,
1 3
0
L
;
См/км
10 3
5 0
g
; нФ
67
,
6
C
0
;
%
5 .
9. Линия без потерь нагружена на емкостное сопротивление, численно равное волновому. МГц, мс 3
8
V
. В конце линии
В
200 Найти
U
на расстоянии мот конца линии. Ответ В. Линия без потерь длиной
10
/
l
разомкнута на конце. Ом, вначале линии
В
200 1
U
. Найти в середине линии.
Ответ
A
j
I
38
,
0

75 Глава 4. Практическая часть