Панкова теория основ электроэнергетики методические указания. Тоэ методичка. Б. Ю. Алтунин, А. А. Кралин, Н. Г. Панкова теоретические основы электротехники часть 2 Методические указания для студентов направления 13.
 Скачать 3.17 Mb.
|
|
к источнику постоянного и переменного напряжения Ток в такой цепи (рис) определяется дифференциальным уравнением где для источника постоянного напряжения 0 U u , для источника переменного напряжения Согласно рассмотренной методике, для тока можно записать св пр i i i Для постоянного напряжения принужденная составляющая тока R U i 0 пр Характеристическое уравнение первого порядка 0 R Lp , его единственный корень L R p и постоянная времени Таким образом, свободная составляющая тока L t Ae i св Запишем уравнение полного тока L t Ae R U i 0 В соответствии с первым законом коммутации, 0 ) 0 ( 0 i 15 По начальным условиям определяем постоянную интегрирования 0 0 0 A R U i , Таким образом, ток вцепив переходном процессе описывается уравнением L t e R U R U t i 0 0 , а напряжение на катушке индуктивности – выражением Качественный вид кривых t i и t u L , соответствующих полученным решениям, представлен на рис. 1.4. Рис.1.3 Рис.1.4 При переменном источнике питания комплексная амплитуда принужденной составляющей рассчитывается с использованием символического метода j т j U j т m e I e L R e U L j R U I 2 2 прт , где амплитудное значение и фаза ; 2 2 L R U I т т R L arctg Уравнение принужденной составляющей тока t I i т sin пр Выражение свободной составляющей не зависит от типа источника напряжения. Следовательно, L t т Ae t I i sin По начальным условиям определяем постоянную интегрирования 16 sin ; 0 sin ) 0 ( т т I A A I i Таким образом, окончательно получаем уравнение полного тока L t т т e I t I t i sin На рис приведены графики принужденного, свободного и полного токов. Рис.1.5 Рис.1.6 Выполним анализ полученного выражения полного тока При начальной фазе напряжения постоянная интегрирования А. Таким образом, в этом случае коммутация не повлечет за собой переходного процесса ив цепи сразу возникнет принужденный установившийся режим. При 2 свободная составляющая тока максимальна по модулю и ток переходного процесса достигает своей наибольшей величины. Если постоянная времени L значительна по величине, то за полпериода свободная составляющая существенно не уменьшается и максимальная величина тока переходного процесса может примерно вдвое превышать амплитуду принужденного тока пр установившегося режима (рис. В пределе при L максимальное значение тока переходного режима равно удвоенной амплитуде принужденного тока т. Переходные процессы при отключении катушки индуктивности от источника питания При размыкании ключа(рис. 1.6) катушка индуктивности отключается от источника и шунтируется разрядным сопротивлением R, соединенным последовательно с обратным диодом. Принужденная составляющая тока через катушку индуктивности равна нулю. 17 Характеристическое уравнение первого порядка 0 k R R Lp , его корень и постоянная времени В соответствии с первым законом коммутации A R U i k 0 Ток через катушку индуктивности и напряжение на ней описываются уравнениями, 0 L t k к e U R R t u Анализ показывает, что при размыкании цепей, содержащих индуктивные элементы, на них могут возникать большие перенапряжения, которые требуют принятия специальных мер по защите. Действительно, при n=R/R k >>1 модуль напряжения на катушке индуктивности в момент коммутации будет превышать напряжение источника nUo u ) 0 ( . При отсутствии разрядного сопротивления указанное напряжение прикладывается к размыкающим контактам, вследствие чего между ними возникает дуга. 1.4.3. Переходные процессы в Сцепи при ее разряде и заряде от источника постоянного напряжения Рассмотрим переходные процессы вцепи, состоящей из последовательно соединенных участков с сопротивлением R и конденсатора емкостью С (рис.1.7). Рис При переводе ключа в положение 1 начинается процесс заряда конденсатора от источника постоянного напряжения 0 U : 18 св пр C C C u u t u Принужденная составляющая напряжения на конденсаторе 0 пр U u C Из характеристического уравнения 0 определяется корень C R p 1 1 . Отсюда постоянная времени C R C 1 Таким образом, 1 При t=0 напряжение на конденсаторе равно в общем случае к моменту коммутации конденсатор может быть заряженным, те. 0 0 C u ). Тогда 0 0 U u A C и 1 0 0 Соответственно для зарядного тока можно записать 1 1 0 В зависимости от начальной величины напряжения на конденсаторе 0 C u : 1 - 0 0 C u ; 2 - 0 0 0 U u C ; 3 - 0 0 C u ; 4 - 0 0 U u C возможны четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует риса а) б) Рис При разряде конденсатора на резистор 2 R ключ на рис переводится в положение 2) пр. Постоянная времени C R C 2 Тогда, принимая, что к моменту коммутации конденсатор был заряжен дона- пряжения 0 1 C u , напряжение на нем в переходном режиме имеет вид 19 2 1 0 с t e u t u C C Соответственно разрядный ток 2 2 1 0 с e R u dt du C t i t C C В зависимости от начальной величины напряжения на конденсаторе 0 1 C u : 1 - 0 1 0 U u C ; 2 - 0 1 0 0 U u C ; 3 - 0 0 1 C u ; 4 - 0 1 0 U u C возможны также четыре вида кривых переходного процесса, которые иллюстрирует рис. б. В заключение отметим, что процессы заряда и разряда конденсатора используются в генераторах пилообразного напряжения, широко применяемых в автоматике. 1.4.4. Переходные процессы при подключении последовательной цепи к источнику напряжения Рис.1.9 Рис.1.10 Рассмотрим два случая а) источник постоянного напряжения 0 U t u ; б)источник переменного напряжения U m t U t u sin , где U - начальная фаза напряжения. Согласно классическому методу расчета переходных процессов для напряжения на конденсаторе вцепи на рис. 1.9 можно записать св пр C C C u u t u Для источника постоянного напряжения принужденная составляющая этого напряжения 0 пр U u C Характеристическое уравнение данной цепи (1.8) 20 0 1 2 LC p L R p , корни уравнения LC L R L R p 1 2 2 В зависимости от соотношения параметров цепи возможны три типа корней и соответственно три варианта выражения для свободной составляющей 1. LC L R 1 2 или кр- апериодический режим. кр - критическое сопротивление контура, меньше которого свободный процесс носит колебательный характер. В этом случае свободная составляющая определяется выражением (1.11) t p t p C e A e A u 2 2 1 св. кр- предельный случай апериодического режима. В этом случае корни L R p p p 2 2 1 и используется выражение (1.12) pt C e t A A u 2 св. кр- периодический (колебательный) характер переходного процесса. В этом случае корни 2 , 1 j p и используется выражение (1.13) св sin , где L R 2 - коэффициент затухания 0 2 0 2 2 1 T L R LC - угловая частота собственных колебаний 0 T - период собственных колебаний. Для апериодического характера переходного процесса можно записать сумму принужденной и свободной составляющих напряжения на конденсаторе t p t p C e A A U t u 2 1 2 1 0 21 Для нахождения постоянных интегрирования учтем, что в общем случае ив соответствии с первым законом коммутации 0 0 0 C i dt du C , запишем для два уравнения , 0 , 0 2 2 1 1 2 1 решая которые, получим постоянные интегрирования и выражение для u C (t): 2 1 2 0 1 0 p p p u U A C , 1 2 1 0 2 0 p p p u U A C t p e p p p t p e p p p C u U U t c u 2 2 1 1 1 2 1 2 0 Ток в последовательной R-L-C цепи 2 1 2 1 0 2 1 2 1 2 1 0 0 Си напряжение на катушке индуктивности 2 1 2 2 1 1 0 На рис. 1.10 представлены качественные кривые t u C , t i и t u L , соответствующие апериодическому переходному процессу при 0 Для апериодического переходного режима с критическим сопротивлением на основании (1.12) находим сумму принужденной и свободной составляющих напряжения на конденсаторе pt C e t A A U t u 2 При 0 t запишем два уравнения для определения постоянных интегрирования Таким образом, 22 pt e t L R u U U t u С С 2 1 0 и t L R C pt pt pt pt C te L u U te CpA te pA e pA e A dt du C t i 2 0 2 2 1 Для колебательного переходного процесса на основании (1.13) находим сумму принужденной и свободной составляющих напряжения на конденсаторе t Ae U t u t C 0 Для нахождения постоянных интегрирования при 0 t запишем два уравнения cos sin 0 ; sin 0 Решая уравнения, получим постоянные интегрирования sin 0 0 U u A C , Определяем уравнения для напряжения на конденсаторе ) (t u C и тока вцепи На рис. 1.11 представлены качественные кривые t u C и t i , соответствующие колебательному переходному процессу при 0 0 C u 23 Рис При подключении цепи к источнику синусоидального напряжения для нахождения принужденных составляющих тока вцепи и напряжения на конденсаторе следует воспользоваться символическим методом расчета, в соответствии с которым U j m U j m m e I C j L j R e U Z U I 1 прт ; 2 2 прт прт 1 U j Cm U j m C e U e C I I C j U , где 2 2 ) 1 ( C L R U I m m ; R C L / 1 arctg ; Таким образом, уравнения принужденных составляющих тока вцепи и напряжения на конденсаторе U m t I t i sin пр 2 sin пр U Cm C t U t u В зависимости от величины активного сопротивления возможны три режима. кр. кр. кр 1 p p 2 1 p p 0 Наибольший интерес представляет третий режим, связанный с появлением вовремя переходного процесса собственных колебаний с частотой 0 . При 24 этом возможны, в зависимости от соотношения частот собственных колебаний и напряжения источника, три характерные варианта 1 - 0 ; 2 - 0 ; 3 - 0 - которые представлены на рис. 1.12,а,б,в соответственно. абс) Рис 1.5. Операторный метод расчета переходных процессов. Операторное изображение функций, их производных и интегралов Сущность операторного метода заключается в том, что функции t f вещественной переменной t, которую называют оригиналом ставится в соответствие функция p F комплексной переменной j s p , которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него, что в свою очередь определяет переход от системы интег- ро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. При решении этих уравнений находятся изображения и, далее, путем обратного перехода – оригиналы. Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. Изображение заданной функции t f определяется в соответствии с прямым преобразованием Лапласа 0 dt t f e p F pt (1.14) В сокращенной записи соответствие между изображением и оригиналом обозначается как 25 или Следует отметить, что если оригинал t f увеличивается с ростом t, то для сходимости интеграла (1.14) необходимо более быстрое убывание модуля St e . Функции, с которыми встречаются на практике при расчете переходных процессов, этому условию удовлетворяют. В качестве примера в табл. 1 приведены изображения некоторых характерных функций, часто встречающихся при анализе переходных режимов []. Таблица 1.1 Изображения типовых функций Оригинал А Изображение 2 2 p 2 2 p p 2 2 p 2 Отметим основные свойства изображений функций. 1. Изображение суммы функций равно сумме изображений слагаемых n n p F t f 1 1 (1.15) Приумножении функции на постоянный коэффициент на тот же коэффициент умножается изображение p AF t Af (1.16) С использованием этих свойств и данных табл. 1, определим изображение экспоненциальной функции α 1 0 0 Запишем изображение производной функции. В курсе ТОЭ [] доказывается, что если существует изображение функции, то 0 f p pF dt df , где 0 f - начальное значение функции Таким образом, для напряжения на индуктивном элементе можно записать 0 Li p LpI dt di L t u L (1.17) или при нулевых начальных условиях из (1.17) p LpI dt di L t u L 26 Отсюда операторное сопротивление катушки индуктивности Аналогично для интеграла если p F t f , то С учетом ненулевых начальных условий для напряжения на конденсаторе можно записать t C C u idt C t u 0 0 1 . (1.18) Тогда изображение p u Cp p I t u C C 0 (1.19) При нулевых начальных условиях из (1.19) p I Cp t u C 1 и операторное сопротивление конденсатора . |