Финансовая математика сб задач. Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
Замена потока платежей рентой Замена потока платежей рентой или замена нескольких рент на несколько других рент также базируется на уравнении эквивалентности. Рассмотрим случай замены произвольного потока платежей с выплатами R t в моменты времени n t , где t = 1, 2, …, Т, где t — номер выплаты, Т — общее количество выплат на ренту с неоднократными выплатами в году. В основу замены кладется равенство современных стоимостей заменяемого потока и заменяющей ренты, те Пример 6.8 Три платежа 2 000 руб. со сроком 2 года, 4 000 руб. со сроком года и 3 000 руб. со сроком 4 года заменяются рентой с ежеквартальными выплатами в году со сроком 5 лет. Стороны договорились об использовании сложной процентной ставки годовых. Определить ежеквартальную выплату. Решение. Уравнение эквивалентности можно записать в виде ( ) 1 4 5 2 3 4 1 1,18 2000 4 000 3000 1,18 1,18 1,18 1,18 1 R p − − = + + ⎡ ⎤ − ⎣ ⎦ ; и после преобразования имеем 13,323931 5 418, Отсюда находим ежеквартальную выплату 406 руб. 66 коп 102 Рассмотрим замену нескольких рент одной р-срочной рентой. При составлении уравнения эквивалентности находят современную стоимость каждой из заменяемых рент, суммируют их и приравнивают эту сумму современной стоимости заменяющей р-срочной ренты ( ) 1 0 1 1 (1 ) 1 К + = ∑ + − ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ , где S 0k современная стоимость заменяемой ренты. Пример 6.9 Три ренты заменяются одной р-срочной рентой с ежемесячными выплатами 3 000 руб. в месяц. Параметры заменяемых рент: 1) годовая рента с ежегодными выплатами 10 000 руб. в год в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых 2) годовая рента с ежегодными выплатами 10 000 руб. в год в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по номинальной ставке 15 % годовых, причем проценты начисляются поквартально 3) рента с ежегодными выплатами 10 000 руб. в год в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Пересчет осуществляется по процентной ставке 18 % годовых. Определить срок заменяющей ренты. Решение. Современная стоимость й заменяемой ренты равна руб. 20 коп+ +Современная стоимость й заменяемой ренты равна 4 7 02 4 1 (1 0,15 / 4) 40546 руб. 72 коп 0,15 / 4) 1 S R − ⋅ − +Современная стоимость й заменяемой ренты равна 12 7 03 3 1 (1 0.15 /12) 10000 42649 руб. 81 коп 0,15 /12) 1 S − ⋅ − + = = + − 103 Сумма современных стоимостей трех заменяемых рент 0 1 124 800 руб. 73 коп. К k k S = = ∑ Определим срок ( ) { } 1 2 1 12 0 ln 1 1 1 ln(1 ) 124800, 73 ln 1 (1,18 1) 3000 5, 2. ln(1,18) k p S i R n i = − + − ∑ = − + − − = Округлим срок до 5 лет. Ежегодная выплата заменяющей ренты определяется по формуле ( ) 1 0 1 1 1 36 951 руб. 02 коп (К +Ежемесячная выплата 3 079 руб. 25 коп. R p = Пример 6.10 Если деньги стоят 4 % годовых при ежеквартальном начислении, найти одноразовую выплату, эквивалентную серии из 10 000 руб, погашаемых через 2 года, и 15 000 руб, погашаемых через 5 лета) для настоящего времени, б) через 2 года, в) через 5 лет. Решение. Сумма в настоящий момент времени S 0 = 1 000 × 1,01 –8 = = 9 234 руб. 83 коп. Через 5 лет S 0 = 1 000 × 1,01 12 = 11 268 руб. 25 коп. Аналогично рассуждая, получим Сумма Настоящее время Через 2 года Через 5 лет Первая 9 234,83 10 000 11 268,25 Вторая 12 293,17 13 311,74 15 000 Всего 21 528,00 23 311,74 26 268,25 104 Так как S 0 = 21 528 × 1,01 8 = 23 311 руб. 74 копи руб. 74 коп. × 1,01 12 = 26 268 руб. 25 коп, то все суммы эквивалентны. УПРАЖНЕНИЯ 6.1. Компания-эмитент кредитных карточек взимает 2,4 % в месяц с сумм дебетового остатка. Номинальная ставка процента составляет 2,4 × 12 = 28,8 % в год. Найти чистую ставку, те. процентную ставку в годовом исчислении. 6.2. Ссуда в размере $1 000 выдана под сложные проценты на два с половиной года под 9 % годовых. Найти эквивалентную простую процентную ставку. 6.3. Каковы будут эквивалентные номинальные годовые процентные ставки с начислениями по полугодиями ежеквартально, если соответствующая им эффективная ставка равна 20 %? 6.4. В рекламном объявлении финансовой компании сообщается, что ежедневное увеличение вклада составляет 3 руб. на каждую тысячу. Определить эффективную годовую ставку процентов при заключении договора с компанией на месяц, полгода и год. 6.5. На вклад ежемесячно начисляются сложные проценты по номинальной годовой процентной ставке 16 %. За какой срок первоначальный капитал увеличится в 3 раза Чему будет равна эффективная ставка, эквивалентная номинальной 6.6. Определить, под какую простую ставку процентов выгоднее поместить капитал на 1 год с ежемесячным начислением 10 %, с ежеквартальным начислением 100 % или с ежегодным 1 000 %. 6.7. Срок оплаты долгового обязательства составляет полгода по простой учетной ставке 40 %. Оценить доходность операции по эквивалентным ставкам (считать, что номинальная ставка начисляется ежеквартально. 105 6.8. Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10 % годовых. Определить, какой должна быть номинальная ставка при ежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12 % годовых. 6.10. Вексель учтен за год до даты его погашения по учетной ставке 15 %. Какова доходность учетной операции в виде процентной ставки 6.11. Какой сложной годовой ставкой можно заменить в контракте простую ставку % (Т год =3 65), не изменяя финансовых последствий. Срок операции 580 дней. 6.12. При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24 % годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально 6.13. Первый платеж, равный 900 руб, должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб, выплачивается через дней. Сравнить эти платежи при простой процентной ставки 15 % годовых и при базе Т год = 360. 6.14. Предприниматель может получить ссуду либо на условиях ежемесячного начисления процентов из расчета 26 % годовых, либо на условиях полугодового начисления процентов из расчета 27 %. Какой вариант более предпочтителен 6.15. Рассчитать эффективную годовую учетную ставку при различной частоте начисления дисконта (ежегодно, ежемесячно, ежедневно) и номинальной учетной ставке сложных процентов равной 10 %. Количество дней в году принять равным 365. 6.16. За долговое обязательство в 300 000 руб. банком было выплачено 200 000 руб. За какое время до срока погашения было учтено это обязательство, если банком использовалась эффективная учетная ставка 8 % годовых Чему будет равна при 106 таких условиях номинальная учетная ставка при ежемесячном дисконтировании 6.17. Банк выплачивает на вложенные в него деньги 8 % годовых (сложных. Какую ставку j m должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились, если а) m = 2, б) m = 6, в) m = 12? 6.18. Банк начисляет на вложенные в него деньги проценты по номинальной ставке 6 % с поквартальным начислением процентов и собирается перейти к ежемесячному начислению процентов. Какую номинальную ставку должен установить банк, чтобы доходы клиентов не изменились Первый платеж, равный 900 руб, должен быть выплачен через 30 дней, а второй, равный 920 руб, выплачивается через дней. Определить критическую ставку при базе Т год =360. Первый платеж, равный 9 000 руб, должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 000 руб, выплачивается через 5 лет. Сравнить платежи при сложной годовой ставке 15 % годовых. Первый платеж, равный 9 000 руб, должен быть выплачен через 2 года, а второй, равный 12 000 руб, выплачивается через 5 лет. Сравнить платежи при сложной годовой ставке 15 % годовых. Определить критическую ставку. 6.22. Три платежа 8 000 руб, 10 000 руби руб. с выплатами апреля июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причем 1 июля этого же года выплачиваются руби руб. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 25 % годовых, база — 360 дней, а количество дней в месяце 30. Определить дату выплаты суммы 26 000 руб. 6.23. Три платежа 2 000 руб. со сроком 2 года, 4 000 руб. со сроком 3 года и 3 000 руб. со сроком 4 года заменяются двумя, причем через год выплачивается 2 000 руби руб. Стороны договорились об использовании сложной процентной ставки 25 % годовых. Определить срок выплаты суммы 8 500 руб 107 6.24. Долг 10 000 руб. следует выплатить через 10 лет. Если деньги стоят 5 % годовых, найти эквивалентный долга) через 1 год, б) 15 лет. 6.25. Деньги стоят 3 % годовых с полугодовым начислением. Найти сумму наконец года, эквивалентную 20 000 000 руб. по окончании 4 лет. 6.26. Вексель на 10 000 руб. со сложным процентом при номинальной ставке 6 % с ежеквартальным начислением должен быть погашен через 3 года. Какая сумма, полагающаяся через 8 лет, эквивалентна этой сумме при номинальной ставке 4 % при полугодовом начислении процентов 6.27. Имеются два обязательства. Условия первого выплатить руб. через 4 месяца условия второго выплатить 450 000 руб. через 8 месяцев. Применяется простая ставка в 20 % годовых. Можно ли считать их равноценными 6.28. Имеются два обязательства. Условия первого выплатить руб. через 4 месяца условия второго выплатить 450 000 руб. через 8 месяцев. Применяется простая ставка в 20 % годовых. Найти барьерную ставку. Два платежа 1 000 000 и 500 000 руб. со сроками уплаты соответственно 150 и 180 дней объединяются в один со сроком дней. Стороны согласились на применение при конверсии простой ставки, равной 20 Платежи в 1 000 000 и 2 000 000 руби сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в один со сроком 2,5 года. При консолидации используется сложная ставка 20 %. 6.31. Суммы в размере 10 000 000 , 20 000 000 и 15 000 000 руб. должны быть выплачены через 50, 80 и 150 дней соответственно. Стороны договорились заменить их одним платежом с учетом процентной ставки 10 % годовых и базой Т год = 365. Когда будет осуществлена выплата Платежи в 1 000 000 и 2 000 000 руби сроками уплаты через 2 и 3 года объединяются в сумму 3 000 000 руб. При консолидации используется сложная ставка 20 %. Определить срок платежа. Две суммы 10 000 000 и 5 000 000 руб. должны быть выплачены 1 ноября и 1 января следующего года. Стороны решили пересмотреть порядок выплат должник 1 декабря выплачивает руб. Остаток долга гасится 1 марта. Найти сумму остатка при условии, что перерасчет осуществляется поставке простых процентов, равной 20 % и базой Т год = 365. Имеется обязательство уплатить 10 000 000 руб. через 4 месяца и 7 000 000 руб. через 8 месяцев после некоторой даты. По новому обязательству необходимо выплату произвести равными суммами через 3 и 9 месяцев. Изменение условий осуществляется с использованием простой ставки, равной 10 % и базой Т год = 365. 6.35. Существует обязательство уплатить 100 000 руб. через 5 лет. Стороны согласились изменить условия погашения долга следующим образом через 2 года выплачивается 30 000 руб, а оставшийся долг — спустя 4 года после первой выплаты. Определить сумму последнего платежа, если ставка равна 10 % годовых. Петров имеет 2 векселя, подписанные Ивановым: один — с датой погашения через 3 года наруби второй на 200 000 руб. с датой погашения через 8 лет. Петров с Ивановым договорились, что деньги стоят 6 % годовых с полугодовым начислением процентов. Сколько должен заплатить Иванов через 5 лет, погашая весь долг. Для множества, состоящего из трех последовательных выплат в размере 25 000 руб. каждая, ожидаемых через 1 год, 3 года и 5 лет, найти эквивалентные поставке годовых значение через 2 года. Долг должен быть выплачен двумя платежами 49 000 руб. в конце первого года и 115 000 руб. в конце четвертого года. Найти эквивалентную этим выплатам сумму единовременного платежа при начислении процентов поставке годовых а) сегодня, б) в конце третьего года. 6.39. Если деньги стоят эффективных 5 %, какие равные платежи через 1 год и через 3 года будут эквивалентно заменяться следующей серией обязательств выплатить 100 000 руб. через 3 года и 200 000 руб. с накоплением процентов через 4 года при норме 6 % годовых с полугодовым начислением 6.40. Заменить следующий поток платежей 200 000 руб. через год, 175 000 — через 2 года, 210 000 руб. — через 4 года, эквивалентным множеством, состоящим из двух выплат, равных по величине первая — через 1,5 года, вторая — через 4 года. Проценты начисляются поставке годовых каждые 6 месяцев. Долг должен быть погашен двумя платежами 120 000 руб через один год и 450 000 руб через 3 года. Приставке годовых найти срок, когда замена обеих выплат одной выплатой в размере 480 000 руб. будет справедливой. 6.42. Для множества, состоящего из трех выплат 100 000 руб сегодня, 200 000 руб через 2 года, 300 000 руб через 5 лет, найти средний срок, те. дату, когда это множество выплат эквивалентно руб. Проценты начисляются поставке годовых. 6.43. 100 000 руб. погашается через 5 лети руб через 10 лет. Если деньги стоят 4 % годовых, через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата а) 250 000 руб, б) 300 000 руб 6.44. 100 000 руб. погашается через 5 лети руб через 10 лет. Если деньги стоят 4 % годовых, через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата 300 000 руб. Расчет провести по приближенной формуле. 6.45. Для множества, состоящего из пяти выплат 115 000 руб сегодня, 90 000 руб через 2 месяца, 650 000 руб через 4 месяца, 300 000 руб через 6 месяцев, оценить средний срок. Проценты начисляются поставке в месяц. Найти по приближенной формуле. 110 6.46. Фермер покупает товары стоимостью 10 000 000 руб. Он заплатил 2 000 000 руб. сразу и заплатит на 5 000 000 руб. больше через 3 месяца. Если процент начисляется на сумму неоплаченного баланса со ставкой 6 % годовых с ежемесячным начислением, какой должна быть последняя выплата по окончании месяцев 6.47. Петров делал следующие вклады в сбербанке, который начисляет проценты в соответствии с годовой ставкой 2 % с полугодовым начислением 10 000 000 руб. 5 лет назад и 5 000 000 руб. 3 года назад. Он брал со счета 2 000 000 руб. год назад и планирует взять остальную сумму через год. Какую сумму он получит 6.48. Сидоров имеет 100 000 руб. в сбербанке, который начисляет проценты со ставкой 4 % годовых с ежеквартальным начислением процентов. Какие одинаковые взносы в конце каждого квартала нужно делать Сидорову, чтобы на его счете в банке через год было 300 000 руб 6.49. Контракт предполагает платежи по 1 000 000 руб. в конце каждого квартала в течение следующего года и дополнительный заключительный платеж 5 000 000 руб. по его окончании. Какова стоимость этого контракта наличными, если деньги стоят 6 % годовых при ежеквартальном начислении 6.50. Иванов имел 10 000 000 руб. на счете в сбербанке 10 лет назад. Сбербанк начисляет проценты согласно ставке 3 % годовых с полугодовым начислением. Иванов взял со счета 2 000 000 руб. 5 лет назад и 3 000 000 руб. 2 года назад. Какая сумма сегодня лежит на счете Иванова? 111 Тема 7 ДЕПОЗИТНЫЕ СЕРТИФИКАТЫ И ВЕКСЕЛЯ Термин финансовый инструмент является одним из наиболее часто используемых в рыночном жаргоне и включает в себя широкое многообразие финансовых документов — от простейших до синтетических. Далее будут рассматриваться только те финансовые инструменты, которые имеют непосредственное отношение к срочным финансовым операциям наличные, банковские депозиты, векселя, облигации, иностранная валюта, акции, акционные индексы финансовые фьючерсы и опционы. Подавляющая часть всех банковских ресурсов формируется за счет депозитных операций, состоящих из текущих счетов и вкладов. Текущий счет позволяет инвестору вносить и получать необходимые суммы в любое время. По текущим счетам либо выплачиваются малые проценты, либо вовсе не выплачиваются. Вклады бывают срочные и до востребования. По срочным вкладам выплачиваются большие проценты, чем до востребования. Депозитом называется определенная денежная сумма, помещенная на хранение в банк на определенное время от имени частного лица, корпорации или государственной организации. Депозит является одним из способов сохранения денег от инфляции. Депозитный сертификат — это ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем денежных средств в банк на определенный сроки являющаяся для владельца источником дохода по процентам. Широко используется инвесторами, компаниями и учреждениями как передаваемое краткосрочное средство инвестирования. Срочные вкладные депозитные сертификаты свободно обращаются на вторичном рынке. 112 Депозитные сертификаты характеризуются следующими параметрами D — размером T — сроком i t — процентной ставкой S t — текущей рыночной ценой V t — текущей стоимостью. Здесь и далее переменная [0, ] t T ∈ обозначает время, прошедшее с момента начала любой финансовой операции. Текущая стоимость депозитного сертификата определяется либо по формуле год 100 t t i T t V D T ⎛ ⎞ − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (7.1) если проценты выплачиваются вначале срока депозита, либо по формуле год 100 t t i t V D T = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ , (7.2) если проценты выплачиваются по окончании срока депозита, где банковская процентная ставка в момент времени t. Доходность операции купли-продажи краткосрочного депозитного сертификата определяется по формуле год 1 1 c T S S Y S t − = , (7.3) где S 1 — цена покупки сертификата, S 2 — цена продажи сертификата, t c — продолжительность времени между покупкой и продажей. Пример 7.1 Инвестор приобрел одномесячный депозитный сертификат на $3 000 000 по цене $3 001 000, который продал через 12 дней за $3 007 000. S 1 = 3 001 000, S 2 = 3 007 000, год = 360, t c = 12. Операция купли-продажи имеет доходность Y = 5,998 %. 113 Векселя Вексель — это необеспеченное письменное обещание должника выплатить кредитору долг в назначенный срок, указанный в векселе. Единственной гарантией платежей является финансовая надежность эмитента. Вексель является объектом купли- продажи, и его цена меняется в зависимости от изменения учетной процентной ставки и оставшегося срока до платежа по векселю. На векселе указываются срок платежа, место платежа, наименование того, кому или по приказу кого платеж должен быть совершен, указаны дата и место составления векселя, имеется подпись лица, выдавшего документ. Векселя применяют для получения дохода от размещения временно свободных средств, повышения сервиса при взаимо- расчете с партнерами, как один из возможных вариантов защиты от инфляции и т. д. Простой вексель — это ничем не обусловленное бесспорное обещание должника уплатить определенную сумму по истечении срока векселя. Дисконтная ставка банка больше процентной ставки, на которую выдан вексель на размер комиссионных за предоставленную услугу, в какую входит плата за учет, взятие на себя риска непогашения, риска изменения уровня инфляции, соотношения с другими валютами и т. д. Чем больше значение процентной ставки, тем быстрее увеличивается стоимость векселя. Стоимость векселя в момент погашения рассчитывается аналогично простым процентам (FV). Теоретическая стоимость векселя в момент учета рассчитывается также аналогично простым процентам (S t ). Выплачиваемая банком сумма (V t ) меньше теоретической стоимости векселя (S t ) из-за комиссионных, получаемых банком за услугу, оказываемую векселедержателю поболее раннему получению наличных средств. В момент погашения векселя векселедателем банк получает проценты, накопившиеся с момента учета векселя, рассчитываемые как FV — S t . Суммарная прибыль банка будет состоять 114 из комиссионных и процентов FV – V t . Недополученный доход векселедателя составит разницу между теоретической стоимостью векселя в момент учета и предложенной банком суммой (S t – V t ), что будет соответствовать разнице между процентной ставкой и дисконтной ставкой, предложенной банком. FV (Future Value) — сумма, которую получит владелец спустя определенное время (дословно — будущая стоимость денег год (7.4) Срочная стоимость векселя в момент учета банком год (7.5) Текущая стоимость векселя рассчитывается по формуле года доходность по формуле 365 100% t t t FV V Y V T t − = − , (7.7) где V t — стоимость векселя в момент его оформления (номинальная стоимость i — процентная ставка, уплачиваемая векселедателем d — дисконтная ставка, по которой вексель учитывается банком T — срок действия векселя в днях (время от момента оформления до погашения векселя t — срок между оформлением и учетом векселя в днях год — продолжительность года в днях FV — будущая стоимость векселя к погашению S t — срочная стоимость векселя в момент учета банком S 0 — выплачиваемая банком сумма в обмен на вексель Y t — доходность. Переводной вексель или тратта — это письменное предложение уплатить определенную сумму. Выдача переводного векселя называется трассированием. Лицо, которое выписывает тратту трассант; лицо, на которое выдан вексель и которое должно произвести по нему платеж трассат; лицо в пользу, на имя которого трассат должен произвести платеж ремитент. Казначейские векселя выпускаются государством для покрытия своих расходов. Они являются краткосрочными ценными бумагами и широко используются как средство платежа. Казначейские векселя существуют только в книжной форме записи, и инвесторы не имеют на руках сертификатов. Характерной деятельностью банков является учет векселей. Владелец векселя может не ждать наступления срока платежа по векселю, а продать вексель банку, те. учесть вексель. Теперь уже банк будет хранить вексель и при наступлении назначенного срока предъявит его к платежу. За свою услугу банк удержит с продавца векселя учетную процентную ставку. Новые выпуски векселей осуществляются на регулярных еженедельных аукционах, на которых устанавливается начальная дисконтная процентная ставка векселя. В течение периода снижающихся процентных ставок рыночная стоимость векселя растет, а при возрастании процентных ставок — падает. Изменение процентной ставки не имеет никакого значения для инвестора, который собирается держать вексель до наступления срока платежа. Пример 7.2 Тратта выдана на 10 000 000 руб. с уплатой 17.11.1996 г. Владелец документа учел его в банке 23.09.1996 г. Учетная ставка равна 8 % годовых. Решение. FV = 10 000 000; год = 360; T – t = 55; d t = 8; Y t = 8,21 %; V t = 9 877 778 — полученная при учете векселя сумма. УПРАЖНЕНИЯ 7.1. Сберегательный банк предлагал долгосрочный кредит до 10 лет на покупку дома при условии наличия поручителей и 116 залога. Максимальная сумма кредита — $60 000. Процент по кредиту составлял 15 % годовых. Банк «СБС-АГРО» предлагал кредит на срок до 10 лет поставке годовых при условии выплаты к моменту выдачи кредита 30 % стоимости дома, 70 % составит сумма кредита. «Промбизнесбанк» предлагал кредит сроком 1,5 года на тех же условиях, что и банк «СБС-АГРО», но ставка по кредиту составляет от 28 до 30 % годовых. «Альфа-банк» предлагал краткосрочный кредит на 1 годна любую сумму при условии наличия поручительства и внесения ценных бумаг в залог. Ставка по валютному кредиту 18÷25 %, по рублевому кредиту — 21 %. Выбрать схему наиболее выгодного варианта кредита для покупки дома стоимостью $40 000. 7.2. Определите сумму, которую предложит банк за простой вексель номинальной стоимостью в 1 000 000 руб, выпущенный в обращение 15 января 2000 г. по схеме обыкновенных процентов сточным числом дней, если срок погашения — 3 июня 2000 г. процентная ставка — 19,25 %, дисконтная ставка банка — 23,75 % и дата, когда решили учесть вексель — 1 марта 2000 г. Сколько получит средств банк в результате данной операции 7.3. ОАО я хлопчатобумажная фабрика предъявило для учета вексель на сумму 4 350 000 руб. со сроком погашения 02.11.2003 г. Вексель предъявлен 29.11.2003 г. Банк предложил учесть вексель по учетной ставке 24,8 % годовых. Определите выплаченную банком сумму ОАО. 7.4. ЗАО Белый парус реализовало товар в кредит с оформлением простого векселя номинальной стоимостью 3 240 000 руб, выпущенного в обращение 2 октября 2002 г. по схеме обыкновенных процентов сточным числом дней, со сроком погашения — 12 января г, процентной ставкой за кредит — 17,5 %. Через 60 дней векселедержатель обратился в банк для проведения операции по учету векселя. Банк предложил учесть вексель по дисконтной ставке, равной 21,25 %. Определите сумму, полученную фирмой, и сколько средств получит банк в результате данной операции. 117 7.5. Компания Североатлантический яхт-клуб» приобрела заправочную станцию с оформлением простого векселя номинальной стоимостью $9 700 000, выпущенного в обращение 1 мая 2000 г. по схеме обыкновенных процентов сточным числом дней, со сроком погашения — 1 августа 2000 г. 15 июля векселедержатель учел вексель в банке по дисконтной ставке, равной 8,15 %, и получил за него $9 856 000. Определите размер процентной ставки, уплачиваемой векселедателем. 7.6. Detroit Steel Company 1 апреля 1995 г. за поставленный товар оформила простой вексель с номинальной стоимостью в $230 000, процентной ставкой за кредит — 11,25 % (по схеме обыкновенных процентов сточным числом дней. Определите размер дисконтной ставки, по которой вексель учитывался банком, если срок погашения — 13 августа 1995 г, векселедержатель учел вексель 10 июня 1995 г. и корпорация при учете векселя получила $234 3000. 7.7. Virginia Technological Inc. 2 января 2001 г. продала в кредит, с оформлением простого векселя (по схеме обыкновенных процентов сточным числом дней) с номинальной стоимостью в $1 230 000, процентной ставкой за кредит — 8,8 %, продукцию. Определите срок между учетом и оформлением векселя в днях, если срок погашения — 12 мая 2001 г, дисконтная ставка банка — 11,2 % и корпорация при учете векселя получила $1 245 000. 7.8. Indiana Oil Inc. 23 октября 1998 г. продала в кредит, с оформлением простого векселя (по схеме обыкновенных процентов сточным числом дней) продукцию. Процентная ставка за пользование кредитом — 9,75 %. Определите стоимость векселя в момент оформления, если срок погашения — 23 мая 1999 г, дисконтная ставка банка — 12,32 % и корпорация при учете векселя 1 февраля 1999 г. получила $5 637 000. 7.9. Векселедержатель предъявил для учета вексель на сумму руб. со сроком погашения — 28.09.1997 г. Вексель предъявлен 13.09.1997 г. Банк согласился учесть вексель по простой учетной ставке 30 % годовых. Определить сумму, которую векселедержатель получит от банка. 118 7.10. Вексель на сумму 15 000 руб. предъявлен в банк задней до срока погашения. Банк учитывает вексель по простой процентной ставке 22 % годовых. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, и величину дисконта банка, если при учете использовался способ 365/365. 7.11. Банк учитывает вексель задней до срока по простой учетной ставке 12 %, используя временную базу в 360 дней. Определить доходность такой операции по простой процентной ставке наращения при временной базе, равной 365. 7.12. Предприятие продало товар на условиях потребительского кредита с оформлением простого векселя номинальная стоимость — 150 000 руб, срок векселя — 60 дней, ставка простых процентов за предоставленный кредит — 15 % годовых. Через 45 дней с момента оформления векселя предприятие решило учесть вексель в банке предложенная банком дисконтная ставка простых процентов составляет 25 %. Рассчитать суммы, получаемые предприятием и банком, если используется способ 365/360. 7.13. Срок оплаты векселя составляет 3 месяца по сложной учетной ставке 27 %. Оценить доходность операции по эквивалентным номинальной ставке дисконтирования и силе роста, если номинальная ставка начисляется разв год. 7.14. Г-н Петров имеет вексель на 15 000 руб, который он хочет учесть 1 марта текущего года по сложной учетной ставке, равной 7 %. Какую сумму он получит, если срок векселя а) 1 июля того же года, б) 1 июля следующего года 7.15. Банк учитывает вексель задней до срока его оплаты по простой учетной ставке 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился 7.16. Банк учитывает вексель по учетной ставке 8 % за полгода до срока оплаты и желает перейти к сложной учетной ставке. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился 119 7.17. Некто занял деньги под 6 % на 1 год и 5 месяцев, причем кредитор выдал 549 руб, за вычетом процентных денег с занятой суммы. На какую сумму был написан вексель при этой сделке 7.18. Вексель на 1 400 руб. учтен поза месяцев до срока. Сколько денег получено по векселю Определить доходность операции. 7.19. Вексель в 1 250 руб. продан за 2 месяца 20 дней до срока с учетом по 4,5 %. За какую сумму продан вексель Определить доходность операции. 7.20. Банк учитывает вексель в 6 400 руб. за 3 месяца до срока по учетной ставке 12 %. Сколько рублей получено поэтому векселю Определить доходность операции. 7.21. Вексель в 6 400 руб. продан заруб. десятью месяцами раньше срока. По какой учетной ставке сделан учет 7.22. Вексель в 920 руб. учтен за 1 год 3 месяца до срока заруб коп. Найти величину учетной ставки. 7.23. По векселю в 2 450 руб. за 8 месяцев до срока получено руб. 40 коп. По какой процентной ставке сделан учет 7.24. По векселю за 10 месяцев до срока уплачена сумма, равная 14/15 цены самого векселя. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя 7.25. Учет с векселя, проданного за 1 год 4 месяца до срока, составил 0,08 вексельной суммы. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя 7.26. Вексель в 5 400 руб. учтен за 5 месяцев и 10 дней до срока заруб. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя 7.27. За вексель в 3 200 руб, сроком 15 декабря, уплачено 30 августа того же года 3 144 руб. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя 120 7.28. За вексель в 1 000 руб, сроком 10 июня 2001 г, уплачено руб. 50 коп. 25 мая 2000 г. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя 7.29. По векселю за 8 месяцев 10 дней до срока уплачено 2 600 руб. с учетом по 5 1 / 3 %. Определить вексельную сумму. 7.30. Некто сделал учет векселя поза месяца и 15 дней до срока и получил поэтому векселю 1 736 руб. 90 коп. Определить вексельную сумму. 7.31. По векселю, которому до срока оставалось еще 7 месяцев и 24 дня, уплачено 3 587 руб. 50 коп. с учетом по 6,(6) %. Найти вексельную сумму. 7.32. Срок векселя — 4 марта 1994 га апреля 1993 г. банк учел его по учетной ставке 4,5 %, уплатив 4 080 руб. На какую сумму был выписан вексель 7.33. Цена векселя 640 крона июня 2000 г. по нему заплачено крон. Когда истекает срок этого векселя, если величина учетной ставки 7,5 %? 7.34. Вексель в $240, срок которому наступает 15 февраля 2001 г, продан за $233. Когда был продан вексель, если величина учетной ставки 7,5 %? 7.35. Учет с векселя в $640 по 12,5 % составил $50. Когда был сделан этот учет, если срок векселю наступает 19 апреля 2001 г 7.36. За сколько времени до срока учтен вексель в 1 720 руб, если учет сделан пои если по векселю уплачено руб. 75 коп 7.37. По векселю в 625 крон, подлежащего уплате 22 мая 2000 г, было получено 600 крон 4 августа 1998 г. По какой процентной ставке сделан учет этого векселя 7.38. Бизнесмен А. имеет на бизнесмена Б. вексель на $2 400, подлежащий уплате через 7,5 месяцев в свою очередь, бизнесмен Б. имеет на А. вексель на $2 500, подлежащий уплате через 6 месяцев. Какой из бизнесменов должен доплатить другому и какую сумму, если по первому векселю они желают сделать учет по 4 %, а по второму — по 4,8 %? 7.39. Вексель был продан 15 сентября 1999 г. за 0,9 вексельной суммы по учетной ставке 7,5 %. Когда истекает срок векселя 7.40. Вексель продан 10 апреля 1998 г. за 0,875 его стоимости с учетом по 9 %. Определить срок векселя. 7.41. Вексель, срок которого 15 сентября 2001 г, был продан ноября 2000 г. Если бы учет был сделан на 0,5 % больше, то денег поэтому векселю было бы получено на 5 руб. меньше. Определить вексельную сумму. 7.42. За 4 месяца до срока был продан вексель так, что 0,4 вексельной суммы были учтены по 6 %, а остальная часть — по 8 %. Учет со всего векселя равен $3 000. Определить вексельную сумму. 7.43. За 10 месяцев до срока был продан вексель заруб, причем с 0,45 вексельной суммы учет был сделан по 7,5 %, ас остальной его части — по 6 %. Определить стоимость векселя. 7.44. Банк учитывает вексель задней до срока его оплаты по простой учетной ставке d n = 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы доход банка не изменился Найти доходность операции. 7.45. Иванов 16 ноября 1994 г. продал сберегательному банку вексель, который был получен им 9 февраля 1994 г. и должен быть погашен через год после указанной в векселе даты сопла- той 150 000 руби простого процента 6 % годовых. Если банк использует процентную норму дисконта, то какую сумму получит Иванов и какой будет доходность банка 7.46. Вексель на 10 175 руб, погашаемый через 90 дней, продан банку, который установил процентную норму простого процента при дисконтировании. Какой будет выручка 122 7.47. Вексель на сумму 5 000 руб, срок оплаты которого наступает через 4 года, продан с дисконтом по сложной учетной ставке 10 % годовых. Каков размер получаемой за вексель суммы и величина дисконта в рублях 7.48. Срок до погашения векселя равен 4 года. Дисконт при его учете составил 40 %. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт 7.49. Вексель учтен по учетной ставке 10 % задней до его оплаты. При выполнении операции учета с владельца векселя удержаны комиссионные в размере 0,05 % от номинала векселя. Определить доходность операции. 7.50. Джамалиев 2 октября 1994 г. продал сберегательному банку вексель, который был получен им 1 сентября 1994 г. и должен быть погашен через 60 дней после указанной в векселе даты с оплатой $2 000 и сложного процента 11 % годовых. Если банк использует процентную норму дисконта, то какую сумму получит Джамалиев и какой будет доходность банка и Джамалиева? 123 Тема 8 ОБЛИГАЦИИ Облигацией называется ценная бумага, удостоверяющая внесение ее владельцем денежных средств и подтверждающая обязательство возместить ему номинальную стоимость ценной бумаги в предусмотренный в ней срок с уплатой фиксированного процента, если иное не предусмотрено условиями выкупа. Облигации относятся к категории ценных бумаг с фиксированным доходом, поскольку обязательства по обслуживанию долга носят фиксированный характер, те. инвестиционное учреждение обязуется периодически выплачивать фиксированный процент и фиксированную выкупную сумму по истечении установленного срока. Облигации с нулевым купоном (в частности, российские ГКО) — это облигации, по которым проценты не выплачиваются, но при выпуске им назначается цена на условиях дисконтирования по сравнению с номинальной стоимостью. Эмитент выпускает облигации с указанием их номинальной стоимости FV и срока, по истечении которого облигации выкупаются (погашаются) эмитентом по номинальной стоимости. Покупатель, приобретающий облигации по цене, меньшей номинала, предоставляет тем самым эмитенту ссуду и практически является кредитором. В таком случае покупатель получает доход, определяемый разностью между номиналом и ценой покупки облигации и называемый дисконтом. Если к облигации прилагаются купоны, то, например, ежегодно или ежеквартально ему выплачиваются проценты по указанной на них ставке. Это является дополнительным, так называемым купонным доходом. Облигации характеризуются следующими параметрами FV — номинальной стоимостью T — датой погашения 124 g — купонной процентной ставкой m — числом выплат процентов в году S t — текущей рыночной ценой V t — действительной стоимостью Y t — текущей доходностью r t доходностью к погашению. При расчете доходности покупки облигаций используют понятие курса определяемого ценой облигации, выраженной в процентах от номинала 100 % t t S P FV = , откуда цена облигации при заданном курсе будет определяться выражением 0,01 t t S P Если по облигациям выплачиваются проценты, то облигации называются процентными или с купонным доходом, а доход по каждой выплате определяется от ее номинальной стоимости Пример 8.1 Курс облигаций номиналом 500 руб. составляет 75 %. Определить цену облигации. Решение. Из условия примера имеем P t = 75; FV = 500 руб. Цена облигации S t = 0,01 × P t × FV = 5 × 75 =375 руб. Пример 8.2 Доход по облигациям номиналом 1 000 руб. выплачивается каждые полгода поставке годовых. Вычислить сумму дохода по каждой выплате. Решение. Из условия примера имеем n = 0,5; g = 0,5; FV = 1 000 руб. Сумма дохода по каждой выплате I = gFV = = 1 000 × 0,5 × 0,5 = 250 руб. 125 Пример 8.3 Банковская ставка по депозитам составит 10 %, а банковская ставка по кредитам равна 15 %. Определить процент по облигациям, установленный при выпуске при условии, что их курс составляет 98. Решение. Из условия имеем i 1 = 0,1; i 2 = 0,15; P t = 98. В качестве альтернативной ставки следует выбрать процент по депозитам, тогда процент по облигациям равен 1 9,8 0, 098 9,8 %. 100 Если проценты по облигациям не выплачиваются, то источником дохода будет являться разность между ценой выкупа (номиналом, эмитентом) и ценой покупки, которая называется дисконтом. Такие облигации называются дисконтными, например, государственные краткосрочные обязательства (ГКО). Доход от этих облигаций находим как разность между номиналом и ценой покупки (1 0, 01 Доходность облигаций к погашению можно определить по эквивалентной ставке простых процентов год 100 t t t t t t t t T FV S P P D r S n S n Pn P T t ⎛ ⎞ − − − = = = = ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ , где Т — дата гашения облигации, t — текущая дата. Доход от покупки долгосрочных облигаций с выплатой процентов будет состоять из суммы полученных процентов и разницы между ценой их погашения (номиналом) и ценой покупки. Общая доходность с использованием простого процента 100 t t t t t t FV S P FVg g r nS S nP P − − = + = + 126 Доходность в этом случае по приближенной формуле вычисляется следующим образом 100 2 ( 100) ( 100) t t t P g r n Если проценты по облигациям выплачиваются в конце года, например, поставке сложных процентов c g , то сумма процентных денег при погашении облигации через n лет определяется выражением ( ) ( ) 1 1 1 Общий доход можно определить по формуле ( ) (1 ) 1 100 n n t t c t c P D I FV S FV g S FV g ⎡ ⎤ = +Доходность операции покупки-погашения облигации в виде эффективной ставки сложных процентов можно определить из выражений (1 ) n t S S g = + , ( ) 1 1 n t t D S S S g = На основе приведенных выше соотношений получим 1 1 1 1 100 t c n n э t t t n S D g S g S S Р + + = − = − = − . Пример 8.4 Облигации номиналом 1 000 руби со сроком обращения 180 дней были приобретены в момент их выпуска по курсу 65 и проданы через 90 дней по курсу 85. Определить доходность к погашению и текущую доходность в результате продажи для год = 360. Решение По условию задачи T – t 1 = 180, T – t 2 = 90, год = 360, P t1 = 65, P t2 = 85, FV = 1 000 руб. Доходность облигаций к погашению можно определить по эквивалентной ставке простых процентов год 100 100 65 360 1, 077 65 Текущая доходность в результате их продажи составит 1 год 2 85 65 360 1, 231 65 Пример 8.5 Облигация куплена по курсу 95 и будет погашена через 10 лет. Проценты по облигации выплачиваются в конце срока по сложной ставке 5 % годовых. Определить доходность приобретения облигаций. Решение. Из условия примера Цена облигации при заданном курсе будет определяться выражением S t = 0,01 × P t × FV = 0,95FV. Процентный доход залет составит ( ) 10 1 1 (1, 05 1) 0,629 n c I FV g FV FV ⎡ ⎤ = + − = − Доход от погашения составил D = FV(1 – 0,01P t ) = 0,05FV. Доходность покупки облигации по эффективной ставке сложных процентов равна 10 10 0, 679 1 1 1, 679 1 1, 053 1 0, 053. n t D I FV FV FV r FV FV + + + = − = − = = − = − = 128 Пример 8.6 Банк А. выдал банку Б. межбанковский валютный кредит под залог облигаций внутреннего государственного валютного займа го транша. Сумма кредита определяется путем оценки облигаций по текущей рыночной стоимости за вычетом из полученной суммы дисконта (в целях страхования от ценовых рисков. Дата выдачи кредита Т — 30 октября 1996 г дата погашения кредита и процентов по нему Т — 13 ноября 1996 г процентная ставка по кредиту составляет 13 % годовых на 360 дней в году срок кредита рассчитывается на основе полного количества календарных дней сумма облигаций по номиналу — $1 000 000; курс облигаций — 81; размер дисконта равен 10 %. Банк Б. попросил банк А. погасить непогашенные купоны по облигациям за 1 год и произвести расчеты по полученному купонному доходу 13 ноября 1996 г. (на облигации ежегодно начисляется купонный доход из расчета 3 % от номинала. За погашение купонов банк А. возьмет комиссию в размере 1 % от суммы купонного дохода. Вдень погашения кредита банки договорились оформить новый кредит под заложенные облигации, с переоценкой облигаций по курсу 81,7. Стороны договорились произвести 13 ноября взаиморасчеты. Определить, какой банк должен платить 13 ноября другому банку и какую сумму Решение. Согласно условию примера FV = 1 000 000; i = 0,13; d = 0,1; Р = 81; год, 03; 0, 01. P T g q = = = = 1. Сумма S выданного кредита 0 (1 ) 1 000 000 0,81 0,9 $729 000. 100 P S FV d = − = × × = 2. Сумма процентов за кредит 1 год 14 0,13 $3685,5 360 S T T i I T − × × = = = 129 3. Сумма купонного дохода по облигациям 1000000 0,03 $30 000. G FV g = × = × = 4. Комиссия за погашение купонного дохода 0,01 С Gq = = × = 5. Сумма нового кредита 1 (1 ) 1000 000 0,817 0,9 $735300. 100 n P S FV d = − = × × = 6. Сведем взаимные требования сторон на 13 ноября в следующую таблицу Вид платежа Банк А. платит банку Б, дол. Банк Б. платит банку А, дол. S 729 000,00 I 3 685,50 G 30 000,00 С 300,00 S n 735 300,00 Итого 765 300,00 732 985,50 В итоге 13 ноября банк А. должен уплатить банку Б. $32 014,50. Пример 8.7 Брокеру фондовой биржи ММВБ поступило распоряжение 3 октября 1996 го размещении 2 000 000 000 руб. на рынке ГКО при следующих условиях вложение денежных средств проводить только в краткосрочные выпуски (со сроком обращения менее полугода доля каждого выпуска в общем пакете должна занимать только часть объема капиталовложения и не превышать 30 %; весь пакет необходимо продать 4 ноября 1996 г. и вернуть деньги инвестору 5.10.1996 г. На торгах 4.10.1996 г. по краткосрочным выпускам ГКО номиналом 1 000 000 руб. сложились следующие цены 130 № выпуска Дата погашения Цена вот номинала (курс) 21 067 13.11.1996 г. 95,86 21 068 20.11.1996 г. 95,00 21 069 18.12.1996 г. 91,78 21 070 3.01.1997 г. 89,44 21 071 22.01.1997 г. 86,85 Сформировать пакет ГКО исходя из условия получения максимальной доходности. Рассчитать средневзвешенную доходность пакета. Выявить зависимость между доходностью ценной бумаги и сроком, оставшимся до ее погашения. Решение. Под доходностью к погашению понимается доход, приносимый вложением в ценную бумагу с ожиданием ее погашения по номиналу. Определим доходность к погашению каждого выпуска в процентах годовых год год t S t − ∆ = = ∆ ∆ , где ∆S — прирост в цене от текущего момента до погашения ∆t — количество дней 1 100 t t P S FV S FV ∆ Результаты расчетов представим в виде таблицы № выпуска Дней до погашения, % ∆S, % r t , % годовых 067 40 4,14 38,87 21 068 47 5,00 40,31 21 069 75 8,22 42,99 21 070 91 10,56 46,71 21 071 110 13,15 49,55 131 Из полученных результатов следует, что доходность ценной бумаги снижается с уменьшением срока, остающегося до ее погашения. Исходя из требований инвестора, необходимо перечислить по 600 000 000 руб. (30 % отруб) на покупку выпусков, и на оставшиеся 200 000 000 руб. купить бумаги выпуска 21 068. Рассчитаем точное количество бумаг по каждому из приобретаемых выпусков № выпуска Объем капиталовложений, руб. Стоимость одной бумаги, руб. Количество бумаг Остаток от вложений, руб. 21 071 600 000 000 868 500 690 735 000 21 070 600 000 000 894 400 670 752 000 21 069 600 000 000 917 800 653 676 600 21 068 200 000 000 950 000 210 500 000 Просуммировав все остатки от вложений, получим 2 663 600 руб. свободных (невложенных) средств. Поскольку мы уже исчерпали процентный лимит по выпускам 21 069—21 071, то остаток средств надо потратить на покупку облигаций выпуска 21 068. На оставшуюся сумму покупаем еще две бумаги данного выпуска, получая в остатке 763 600 руб. Окончательно сформированный пакет выглядит следующим образом. № выпуска Количество бумаг, шт. Объем капиталовложений 071 690 5 992 650 21 070 670 599 248 000 21 069 653 599 323 400 21 068 212 201 400 000 Свободные средства 763 600 132 Подсчитаем средневзвешенную доходность к погашению полученного пакета ценных бумаг последующей формуле 1 1 1 1 0 0 1 n n t i t t i i i r V r r V V V = = = = ∑ ∑ , где r t 1 — доходность к погашению го выпуска V i — объем вложений в й выпуск V 0 — суммарный объем всех капиталовложений, V 0 — 2 000 000 000 – 763 600 = 1 999 236 400 руб. В результате подсчета получаем t r = 45,80 % годовых. Для облигации с выплатой процентов m разв году и целой величиной год m n T − = действительная стоимость рассчитывается по формуле 1 1 100 1 1 n t n n j FV FVg m V j j j m m ⎛ ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , где j — банковская процентная ставка в момент времени t. Движение банковской процентной ставки и курсов облигаций происходит в противоположных направлениях. По сути дела, колебания банковской процентной ставки является единственной наиболее важной силой на рынке облигаций. Как видно из формулы, приросте банковской процентной ставки действительная стоимость облигации падает, а при убывании возрастает. При большой процентной ставке потоки денежных средств в отдаленном будущем являются менее важными, поскольку инвестор получает большую часть денег в ближайшем будущем. Мерой доходности к погашению облигации служит эквивалентная годовая ставка простых или сложных процентов или, 133 другими словами, ставка помещения r t . Купонная процентная ставка отражает годовой доход инвестора в процентах от номинальной стоимости облигации, а доходность к погашению — годовой доход в процентах от суммы первоначальных инвестиций. Банк России, объявляя доходность государственных долгосрочных обязательств (ГДО), пользуется для расчетов следующей формулой 2 1 1 1 100 100% t S S G q n r S Q − + − = + , где 100 FVg G = — доход по купону, q — ставка налога на доходы, S 1 — цена покупки облигации, S 2 — цена продажи облигации, n — количество лет от покупки до продажи, Q — процентный доход за период, начинающийся со дня, следующего заднем выплаты последнего купона и завершающийся днем расчета по сделке включительно 100 365 c t FVg Q = , где t c — количество прошедших дней после выплаты последнего купона. Доходность к погашению облигации с выплатой процентов один разв конце срока рассчитывается по формуле год Пример 8.8 Облигация номинальной стоимостью 100 000 руб. имеет купон годовых, купонные проценты выплачиваются 2 раза в год. До погашения облигации осталось 11 лет. Текущая банковская процентная ставка равна 11,8 %. Рассчитать стоимость облигации. Решение По условию задачи FV = 100 000, j =11,8, g = 6, n = 22. Действительная стоимость рассчитывается по формуле 22 22 22 100000 100000 0, 06 (1,059) 1 (1, 059) 0,118 (1, 059) 28332, 76 36 440,97 64773,73 руб. t V × − = + = = + = Для облигаций с выплатой процентов m разв году и погашаемых в конце срока по номинальной стоимости текущая рыночная стоимость определяется по формуле 1 1 1 100 1 100 100 1 1 100 n t n t t m t r r g m S FV m m r m − − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − +Если до момента погашения остается целое число лет n, то зависимость доходности от курса, по которому приобретена облигация непосредственно после очередной купонной выплаты, будет определяться следующей приближенной формулой ( ) 1 100 1 1 УПРАЖНЕНИЯ 8.1. Номинал облигации — 10 000 руб, доход по облигации — 17 % (требуемая норма прибыли, номинальный доход — 14 % годовой купонный доход, срок погашения — 8 лет. Оцените стоимость облигации. 135 8.2. Номинал облигации — 10 000 руб, доход по облигации — 11 % (требуемая норма прибыли, номинальный доход — 14 % годовой купонный доход, срок погашения — 8 лет. Оцените стоимость облигации. 8.3. По итогам торгов ГКО серии 22 029 на ММВБ нагих средневзвешенная цена составила 98,82. До погашения ГКО осталось 13 дней. Определить доходность к погашению. Рассчитайте сегодняшнюю стоимость облигации при условии, что величина годового купонного дохода составляет 1 500 руб, требуемая норма прибыли — 16,4 %, срок — 5 лет при номинальной стоимости облигации 10 000 руб. 8.5. Определите, какое значение ежегодного дохода будет соответствовать текущей стоимости облигации в 15 000 руб, если срок до погашения — 6 лет при норме прибыли — 14,1 % и номинал облигации — 10 000 руб. 8.6. Сколько времени (целых лет) потребуется, чтобы текущая стоимость облигации превысила сумму в 23 500 руб, если доход на акцию — 3 900 руб. при норме прибыли — 12,9 % годовых и номинале акции — 12 000 руб 8.7. При какой норме прибыли стоимость облигации будет равна 35000 руб, если купонный доход — 5 000 руб, срок до погашения — 6 лети номинал облигации — 20 000 руб 8.8. Бескупонная облигация будет погашена через 6 лет по номиналу 1 000 руб. По какой цене вы ее приобретете, если депозитная ставка банка на тот же срок равна 23 %? 8.9. Ежегодный купонный доход в 120 руб, приносимый облигацией с фиксированным доходом, реинвестируется посредством помещения на банковский счет под 14 % годовых в течение 6 лет. Какая сумма накопится на счете в результате реинвестирования. Облигация приносит ежегодный доход в 1 000 руб. на протяжении 5 лет. Какова текущая стоимость облигации, если процентная ставка равна 12 %? 136 8.11. Пусть ценная бумага приносит ежегодный доход в 1 000 руб, однако выплаты происходят ежеквартально, те. по 250 руб. каждые три месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Эффективная процентная ставка дисконтирования равна 12 % при ежеквартальном начислении процентов (m = 4). Какова рыночная стоимость ценной бумаги 8.12. Вам предлагают бескупонную облигацию, которая будет погашена через 6 лет по номиналу 1 000 руб. По какой цене вы ее приобретете, если банковская депозитная ставка на тот же срок равна 23 % годовых Какова будет доходность облигации, если вы ее приобретете заруб, заруб. Облигация будет погашена через 5 лет. Сегодняшний ее курс — 65. Найти доходность к погашению. 8.14. До погашения бескупонной дисконтной облигации осталось месяца. Найти рыночный курс облигации, если ставка дисконтирования выбрана 15 %. 8.15. Найти ставку помещения бескупонной облигации типа ГКО, если рыночная цена на сегодняшний день равна 79 013 руб, а облигация погашается по номиналу 1 000 руб. через года 2 месяца. Какова простая ставка доходности 8.16. По облигации производится начисление 15 % годовых с выплатой их в конце срока. Облигация куплена по курсу 75. Срок до погашения — 5 лет. Определить доходность к погашению. По облигации происходит начисление 1 % в месяц по номиналу. Проценты выплачиваются в момент погашения облигации. Облигация куплена по курсу 150. Срок до погашения — 6 лет. Найти доходность к погашению. 8.18. В условиях предыдущей задачи определить рыночную стоимость облигации, если ставка дисконтирования принята равной 12 %, номинал облигации — 2 000 руб. 8.19. Срок облигации с фиксированным купоном равен 7 годам. Купонный доход выплачивается ежегодно по норме 137 12 % от номинала в год. Найти курс облигации, если ставка дисконтирования принята равной 16 %. 8.20. Годовой купонный доход облигации равен 240 руб, дивиденды выплачиваются 4 раза в год, номинал облигации равен руб, срок до погашения — 6 лет. Найти цену облигации, если ставка помещения (номинальная процентная ставка при условии начисления процентов 4 раза в году) равна 14,47 %. 8.21. Облигация с фиксированным купоном, равным 20 % от номинала и выплачиваемым ежегодно, куплена по курсу 90. Срок облигации — 10 лет. Найти доходность с использованием простого процента и доходность по приближенной формуле. 8.22. Облигация с фиксированным купоном приобретена 31 марта 1998 г, дата погашения — 31 декабря 2000 г. Выплата купонов производится один разв году из расчета 12 % от номинала. Ставка альтернативной доходности равна 16 %. Найти накопленный купонный доход (в процентах от номинала. Считать в году 360 дней (30 дней в месяце. 8.23. Облигация с переменным купоном давала в течение четырех лет следующие купонные доходы 850 руб, 790 руб, 830 руб, 870 руб, затем в конце четвертого года была погашена по номиналу 10 000 руб. Доходность облигации завесь период ее владения составляла 8,97 %. Найти, по какой цене была куплена облигация. 8.24. Купонный доход облигации с переменным купоном в первый год равен 150 руб, срок облигации равен 5 годам, номинал руб. В дальнейшем прогнозируется общее понижение ставок, поэтому предполагается, что в оставшиеся годы купоны будут равны соответственно 140 руб, 130 руб, 120 руб, 110 руб. Предполагаемая доходность облигации к погашению составляет 13,54 %. По какой цене была куплена облигация 8.25. Депозитный сертификат куплен задней до наступления срока погашения заруб. Задней до погашения этот депозитный сертификат продан заруб. Временная база 138 принимается равной 365 дням. Определить доходность финансовой операции в виде простой ставки наращения. 8.26. Депозитный сертификат со сроком 240 дней с номинальной стоимостью 1 000 руб. с объявленной ставкой сертификата годовых приобретен в момент эмиссии. Задней до погашения этот депозитный сертификат продан заруб временная база принимается равной 365 дням. Определить цену сертификата в момент погашения и доходность финансовой операции в виде простой ставки наращения. 8.27. Депозитный сертификат куплен задней до наступления срока погашения заруб. Номинальная стоимость этого сертификата равна 1 000 руб, срок с момента выпуска до момента погашения — 240 дням, объявленная ставка — 10 % годовых. Временная база принимается равной 365 дням. Определить доходность финансовой операции в виде простой ставки наращения. 8.28. Облигация на 10 000 000 руб, по которой выплачивается процент с нормой 5 % с полугодовым начислением процентов, будет выкупаться заруб. через 15 лет. За сколько следует ее продавать, чтобы инвестору гарантировать норму процента, равную 4, с полугодовым начислением процентов 8.29. Облигация на 10 000 000 руб, по которой выплачиваются каждые полгода, может быть отозвана за 110 % от номинальной стоимости 1 марта 1995 г. Если она в этот день не отозвана, то ее выкупят по номинальной стоимости 1 марта 2005 г. Найти покупную цену на 1 марта 2005 г. Найти покупную цену на 1 марта 1970 г, которая гарантировала бы проценты с нормой 7 % при полугодовым начислением процентов. 8.30. За миллионную облигацию выплачивается 150 000 руб. процентов облигации 1 февраля 2005 г. и 1 августа 2005 г. Эта облигация была продана 1 апреля по рыночной котировке 108,5. Сколько заплатил покупатель 8.31. За миллионную облигацию выплачивается процент с нормой 6 % с полугодовым начислением. Она выкупается по 139 номинальной стоимости 15 января 2000 г. Какой должна быть рыночная котировка 15 сентября 1988 г, для того чтобы обеспечить покупателю норму процента 4 % с полугодовым начислением процентов 8.32. Основная сумма и проценты миллионной облигации аннуитета будут выкупаться при норме 5 % десятью одинаковыми взносами. Сколько предложит потенциальный покупатель за эту облигацию, если он желает реализовать эффективную инвестиционную норму процента 4 %? 8.33. Корпорация «ФиК — это глобально выпустила облигации с нулевым купоном с погашением через 5 лет. Курс реализации облигации — 45. Найти доходность облигации на дату погашения. 8.34. Облигация, приносящая 10 % годовых относительно номинала, куплена по курсу 65, срок до погашения 3 года. Найти доходность для инвестора, если номинал и проценты выплачиваются в конце срока. 8.35. Текущий доход по облигации 8 % годовых с ежеквартальным начислением выплачивается вместе с номиналом через 5 лет. Найти курс этой облигации при условии ставки помещения облигации 12 % годовых. 8.36. Текущий доход по облигации 8 % годовых с ежеквартальным начислением выплачивается также ежеквартально в течение 5 лет. Найти курс этой облигации при условии ставки помещения облигации 12 % годовых. 8.37. Оценить курс облигации сроком налет с ежегодной выплатой купонов в размере 30 % от номинала а) в момент эмиссии б) спустя 2 года при процентной ставке 25 % годовых. 8.38. Студент ФиК СибАГС обладает облигацией номиналом руб. сроком налет, которая имеет купоны с ежегодной выплатой процентов в размере 30 % от номинала. Оценить текущую рыночную стоимость спустя 1 год и 3 квартала после эмиссии при процентной ставке 25 % годовых. 140 8.39. Оценить курс облигации сроком налет с выплатой купонов разв полгода в размере 15 % от номинала а) в момент эмиссии б) спустя полгода при процентной ставке 25 % годовых. 8.40. Облигация приобретена с ежегодными выплатами купонов в размере 20 % от номинала по курсу 106,63. Срок до погашения года. Определить доходность облигации. 8.41. Облигация с полугодовыми купонами приобретена за 3 месяца до погашения по курсу 105,23. Купонная ставка составляет годовых. Определить доходность облигации в виде ставки простых процентов. 8.42. ГКО номиналом 100 000 руби сроком обращения 180 дней были куплены в момент их выпуска по курсу 66,5 и проданы через 30 дней по курсу 88. Определить доходность купленных облигаций к погашению и текущую доходность к аукциону в результате продажи для расчетного количества дней в году 365. 8.43. Облигация куплена по курсу 80 и будет погашена через лет после покупки. Ежегодные проценты (купонные платежи) выплачиваются в конце года поставке годовых. Определить доходность этой покупки по эффективной ставке процентов. Облигация номиналом 10 000 руб. со сроком погашения лет приобретена по курсу 120. Ежегодно начисляются сложные проценты поставке годовых. Определить доход по облигации. 8.44. Облигация номинальной стоимостью 100 000. руб. имеет купон 15 % годовых, купонные проценты выплачиваются 1 разв году. До погашения облигации осталось 30 лет. Вычислить действительную стоимость облигации при банковской процентной ставке 30 % годовых. 8.46. Облигация продается по цене 75 % от номинала. Срок погашения — 5 лет, купонная ставка — 30 % годовых. Определить доходность до погашения. 141 8.47. Облигация продается по цене 95 % от номинала. Срок погашения — 10 лет. При условии выплаты купонных платежей в конце каждого квартала из расчета 8 % годовых определить доходность до погашения. 8.48. Облигации номиналом 1 000 руби со сроком обращения дней продаются по курсу 85. Определить сумму дохода от покупки 5 облигаций и доходность финансовой операции при расчете количества дней в году 360. 8.49. Пусть ценная бумага приносит ежегодный доход в 1 000 руб, однако выплаты происходят ежеквартально, те. по 250 руб. каждые 3 месяца. Доход от ценной бумаги поступает в течение 5 лет. Эффективная процентная ставка дисконтирования равна 12 %. Какова рыночная стоимость ценной бумаги 8.50. Утром 29 октября 1996 г. брокеру поступило распоряжение срочно, те. на сегодняшних торгах продать весь пакет ГКО, сформированный по условиям примера 8.7. На торгах по краткосрочным выпускам ГКО 29.10.1996 г. сложились следующие цены (номинал каждой ценной бумаги — 1 000 000 руб № выпуска Дата погашения Цена от номинала курс, % 21 067 13.11.1996 98,53 21 068 20.11. 1996 97,80 21 069 18.12. 1996 94,86 21 070 03.01. 1997 93,04 21 071 22.01. 1997 90,22 В силу специфики расчетов на ММВБ и расчетов с инвестором средства от реализации пакета поступят насчет инвестора на второй рабочий день от момента реализации. Определить доходность в рублях, полученную от вложения в ГКО, а также доходность в процентах годовых (из расчета 360 дней в году и полного количества дней в периоде) поданной финансовой операции с позиции инвестора. 142 ОТВЕТЫ Глава 1 |