Финансовая математика сб задач. Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.

• Название: Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.
• Анкор: Финансовая математика сб задач.pdf
• Дата: 22.12.2017
• Размер: 1.15 Mb.
• Имя файла: Финансовая математика сб задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #12536
• страница: 4 из 9

Пример 4.2 Банк выдал клиенту кредит на 1 год в размере 2 000 руб. поставке годовых. Уровень инфляции за год составил 40 %. Определить с учетом инфляции реальную ставку процентов по кредиту, погашаемую сумму и сумму процентов за кредит. Решение Согласно условию задачи S
0
= 2 000 руб i = 0,06;
α = 0,4; n = 1.
1. Сумма погашения кредита с процентами без учета инфляции составит
S
T
= S
0
(1 + ni) = 2 000 (1 + 0,06) = 2 120 руб.
2. Сумма процентов S
0
ni = 2 000
× 1 × 0,06 = 120 руб.
3. Возвращаемая сумма с процентами, приведенная к моменту оформления кредита с учетом инфляции
2 120 1 514 руб. 29 коп.
б
1 б, 4
T
T
S
S
S
I
=
=
=
=
+
4. Реальный доход банка
0 1 514,29 2 000=
485 руб. 71 коп.
б
D
S
S
=
−
=
−
−
, что свидетельствует об убытке этой операции.
5. Чтобы обеспечить доходность банку в размере 6 % годовых, ставка процентов по кредиту с учетом инфляции должна быть равна
(
)
(
)(
)
1 1
1 1 б 100
/
p
ni I
ni
r
i
i
n
n
n
α α
+
−
+
+
−
=
=
= +
+
=
=
0,06 + 0,4 + 0,06
× 0,4 = 0,484; r
p
% = 48,4 %.
6. Погашаемая сумма должна составлять
0
(1
)
T
p
S
S
r
α
=
+
=
2000 (1+0,484) = 2 968 руб

54 7. Реальный доход банка составит
0 0
2968 2 000 руб, 4
S
T
D
S
S
S
I
α
α
=
−
=
−
=
−
=
, что обеспечит реальную доходность операции 6 % годовых. Для сложных процентов обозначим с ставку процентов, учитывающую инфляцию, тогда выплаты рассчитываются либо поточной формуле
(
)
(
)
0 0
1 1
n
n
T
c
c
S
S
r
S
i
I
=
+
=
+
, либо по приближенной
(
)
0 б+ +
, откуда получим модель определения ставки сложных процентов, учитывающей инфляцию
(
)
1 При постоянном темпе инфляции
(
)
(
)
1
(1
) с реальный показатель доходности б б
c
c
r
i
−
=
+
При начислении процентов несколько разв году выплаты рассчитываются по формуле
0 0
1 1
nm
nm
c
T
r
j
S
S
I
S
m
m
=
+
=
+
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
, откуда получим выражение для номинальной сложной процентной ставки, учитывающей инфляцию
1 1 100 %
nm
c
j
r
m
I
m
=
+
−
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

55 Наращенная сумма с учетом ее обесценивания вычисляется по формуле б Приведенные модели позволяют проводить взаиморасчеты с клиентами по показателям в контрактах с учетом инфляции. Пример 4.3 Вклад 1 000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 120 % годовых. Определить реальный доход вкладчика, если ожидаемый ежемесячный уровень инфляции составит 15 %. Решение. По условию примера S
0
= 1 000 руб n = 0,5; m =
12; r
α
= 1,2; α= 0,15.
1. Индекс инфляции за полгода составит
6 6
(1 б 2, 313
I
= +
=
=
2. Уровень инфляции будет равен б 1, 313
I
= − =
;
α% = 131,3 %.
3. Наращенная сумма вклада с процентами составит
6 0
1 1 000(1+0,1) =1 771 руб. 56 коп. Сумма вклада с процентами, приведенная к моменту его оформления, составит
1 771,56
= 765 руб. 91 коп. Реальный доход вкладчика составит
0 765,91 1 000=
234 руб. 9 коп

56 Следовательно, вкладчик понесет убытки с позиций покупательной способности получаемой суммы в банке. Как правило, полученные проценты облагаются налогом, что, естественно, уменьшает реальную наращенную сумму и доходность финансовых операций. Пусть ставка налога на проценты равна g, а общая сумма налогов — G. При начислении налога возможны два варианта налог начисляется завесь срок сразу, те. на всю сумму процентов, или последовательно по периодам, например в конце каждого года. При начислении простых процентов завесь срок находим
0
G
S nig
=
;
0
[1
(1
) ]
T
S
S
n
g Учет налога при определении наращенной суммы сводится к соответствующему сокращению процентной ставки вместо ставки i фактически применяется ставка (1 – g)i. Налог завесь срок для долгосрочных операций со сложными процентами получается равный Наращенная сумма после выплаты налогов составит
0
[
(1
)(1
) ]
n
T
S
S g
g
i
′ =
+ По второму варианту сумма налогов определяется за каждый истекший год. С ростом наращенной суммы растет и сумма налога. Налог за й год
1 1
0 0
[(1
)
(1
)
]
(1
)
t
t
t
t
G
S
i
i
g
S
i
ig
−
−
=
+
− +Завесь срок сумма налогов равна
1 Иначе говоря, метод взыскания налогов не влияет на его общую сумму.

57 Формула для реальной доходности с учетом налога на прибыль имеет вид б б
c
r
g
i
−
−
=
+
Пример 4.4 Пусть ставка налога на проценты равна 10 %. Процентная ставка — 30 % годовых, срок начисления процентов — 3 года. Первоначальная сумма ссуды 1 млн руб. Определить размер налога на проценты при начислении простых и сложных процентов. Решение. Без уплаты налогов при простых процентах наращенная сумма
0 1
1(1 0,9) 1,9 млн руб с учетом выплаты налогов
0
(1
)
1 1(1 0, 9 0, 9)
1,81 100
T
i
g
S
S
n
−
⎛
⎞
=
+
=
+
×
=
⎜
⎟
⎝
⎠
. Сумма налога 90 000 руб. Без уплаты налогов при сложных процентах наращенная сумма год 1
100
T
T
T
i
S
S
⎛
⎞
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
;
3 30 1 1 2,197 млн руб. С учетом выплаты налогов
3 0
1
(1
)
2, 0773 млн руб. Сумма налогов 119 700 руб. При последовательной выплате налогов й год 1 000 000 руб.
× 0,1 × 0,3=30 000 руб. й год 1 000 000 руб.
× 1,3 × 0,3 × 0,1=39 000 руб. й год 1 000 000 руб.
× 1,3 2
× 0,3 × 0,1=50 700 руб. Пример 4.5 Пусть ставка налога на проценты равна 10 %. Процентная ставка — 30 % годовых, срок начисления процентов — 3 года. Первоначальная сумма ссуды 1 000 000 руб. Определить размеры налога на проценты при начислении простых и сложных процентов. Решение. При начислении простых процентов завесь срок получим следующие размеры наращенных сумм S
T
= 1 000 000
×
× (1 + 0,3 × 3) = 1 900 000 без уплаты налогов
0
[1
(1- ) ] 1 000(1 3(1 0,1)0, 3) 1 810 000 руб с учетом налогов. Сумма налога 90 000 руб.
Начислим сложные проценты
3 1 000 000(1+0,3) = 2 197 000
T
S
=
руб. без уплаты налогов
3 0
[
(1
)(1
) ] 1 000 0,1 (1 0,1)(1 0,3)
=
= 2 077 300 руб g
g
i
′
⎡
⎤
=
+ −
+
=
+ с учетом выплаты завесь срок. Сумма налога равна 119 700 руб.
УПРАЖНЕНИЯ
4.1. Ссуда в размере 100 000 000 руб. выдана на 2 года под
64 % годовых. Ожидается, что ежегодный темп инфляции будет равен 24 %. Найти сумму процентов к выплате.
4.2. Определить ожидаемый годовой уровень инфляции при уровне инфляции за месяц 8; 10; 12 и 30 %.
4.3. Постоянный темп инфляции в течение года на уровне
5 % в месяц. Найти рост цен.
4.4. Определить за полгода уровень инфляции при условии, что инфляция по месяцам составила соответственно 10; 15; 12;
9; 14 и 13 %.
4.5. Месячный темп инфляции составляет 5 %. Определить а) полугодовой и б) годовой темп инфляции.
4.6. Определить уровень инфляции за год при ежемесячном уровне инфляции 6 %.

59 4.7. Банк выдает кредит под 30 % годовых с уплатой процентов за год вперед, а сумма кредита возвращается через год. Годовой уровень инфляции составил 30 %. Определить реальную ставку процентов с учетом инфляции.
4.8. 30 мая 1988 г. дом был куплен заруб, а 30 мая
1990 г. продан заруб. Инфляция составила в 1988 и
1989 гг. 10 %, в 1990 гав г. — 50 %. Определить результат коммерческой операции купли-продажи дома.
4.9. Банк принимает вклады от населения под 20 % годовых. На этих условиях на срок 3 года был сделан вклад. За первый год инфляция составила 10 %, за второй — 20, за третий —
30 %. Определить изменения относительной величины вклада в процентах.
4.10. Определить средний уровень инфляции за 5 месяцев, если инфляция по месяцам составила 10; 20; 30; 40 и 25 %.
4.11. Приросты цен по месяцам составили 1,5; 1,2 и 0,5%. Найти темп инфляции за 3 месяца.
4.12. Известны номинальные цены наг. трех товаров А, В и С соответственно 10 000 руб, 9 000 руб, 11 000 руб а наг. соответственно 21 000 руб, 20 000 руб, 22 000 руб. Определить, насколько процентов изменились реальные цены товаров за этот период. Как изменились относительные цены товаров В и С к цене товара А Какие из указанных товаров стали относительно дешевле (дороже) входе инфляционного процесса и насколько процентов
4.13. Банк выдает кредиты под 30 % годовых с уплатой вперед, а сумма кредита возвращается через год. Определить реальную ставку процента годовых с учетом инфляции, составляющей в год. Определить среднегодовой уровень инфляции залет- ний период, если инфляция по годам составила соответственно, а последний год сопровождалась процентной дефляцией.

60 Определить средний за полгода уровень инфляции при условии, что инфляция по месяцам составила соответственно 6;
8; 12; 9; 7 и 6 %.
4.16. Темпы инфляции за прошедший год по месяцам составили соответственно 7; 5; 6; 9; 10; 12; 6; 8; 7; 11; 9 и %. Определить средний ежемесячный темп инфляции, общий уровень инфляции за год. Определить, насколько процентов возросли цены с 1.01.2004 по 1.04.2004 г во сколько раз возросли цены наг. по отношению к ценам наг Насколько процентов цены наг. будут ниже ценна г
4.17. Цены на товары выросли враз, а заработная плата увеличилась враз. Насколько процентов изменилась реальная заработная плата
4.18. Найти сложную номинальную процентную ставку при доходности 15 % годовых и годовых темпах инфляции за 3 года а)
α
1
= 90 %, α
2
= 80 %, α
3
= 60 %;
б)
α
1
= 80 %, α
2
= 80 %,
α
3
= 80 %.
4.19. Вклад в сумме 500 000 руб. положен в банк на полгода с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной ставке 160 % годовых. Определить реальный доход вкладчика для двух ожидаемых месячных уровней инфляции 10 и 15 %.
4.20. Банк начисляет по депозитам 100 % в квартал по сложной процентной ставке. Инфляция за год составила 1 000 %. Определить реальную эффективную ставку банковского процента.
4.21. Плотник договорился выполнить работу в течение месяца заруби получил 25 % в аванс. Уровень инфляции составляет за месяц. Определить в процентах от всей суммы прибыльность такой операции плотника.
4.22. На вклад начисляются сложные проценты а) ежегодно б) ежеквартально в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка, при которой происходит реальное наращение капитала, если ежемесячный темп инфляции — 3 %.

61 4.23. При выдаче кредита на несколько лет на условиях начисления сложных процентов банк желает обеспечить реальную доходность такой финансовой операции в 16 % годовых по сложной ставке процентов. Какую процентную ставку по кредиту должен установить банк, если инфляция прогнозируется в среднем 10 % в год Оборудование стоимостью 150 000 000 руб. будет использоваться лет, после чего его стоимость будет равняться
20 000 000 руб. Найти норму обесценивания при использовании постоянного процента. На сумму 15 000 000 руб. в течение 3 месяцев начисляются простые проценты поставке годовых. Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2; 1,8 %. Чему равна наращенная сумма
4.26. Банк начисляет за пользование кредитом 50 % годовых. Определить реальную эффективную процентную ставку, учитывающую инфляцию, которая составляет 30 % в год.
4.27. Клиент выплатил проценты за пользование кредитом в размере 200 000 руб. в момент выдачи суммы кредита
2 000 000 руб. сроком на полгода. Среднемесячный уровень инфляции составил 2 %. Определить реальную процентную ставку банка.
4.28. Банк «Индустрия-сервис» проводил начисление по депозитам поставке годовых, а уровень инфляции за год составил. Определить реальную ставку банковского процента.
4.29. Первоначальный капитал 20 000 000 руб. выдается на
3 года, проценты начисляются в конце каждого квартала по номинальной ставке 80 % годовых. Определить номинальную ставку процентов и наращенную сумму с учетом инфляции, если ожидаемый годовой уровень инфляции составляет 90 %.
4.30. Вкладчик намерен внести сумму 500 000 руб. сроком на
8 месяцев в банк Возрождение, который гарантирует выплату
240 % годовых по схеме простых процентов. Ожидаемый среднемесячный темп инфляции за этот период составил 10 %. Определить номинальную и реальную сумму вклада на момент окончания срока, а также реальную годовую процентную ставку.
4.31. Определить реальную доходность операции, если при уровне инфляции 8 % в месяц выдается кредит на 2 года по номинальной ставке сложных процентов 180 % годовых, а проценты начисляются ежеквартально.
4.32. В «Уникомбанк» помещен вклад в сумме 10 000 000 руб. под 100 % годовых сроком налет. Ожидаемый темп инфляции в течение этого периода оценивается величиной 50 % в год. Определить реальную сумму, которую будет иметь инвестор.
4.33. В банк Возрождение внесена сумма 500 000 руб. под непрерывно начисляемые сложные проценты поставке годовых. Через 1,5 года со счета сняли часть суммы 240 000 руб. Какова будет реальная сумма на счете спустя 4 года, если среднегодовой темп инфляции составляет 30 %?
4.34. Кредит в размере 50 000 000 руб. выдан на 2 года. Реальная доходность операции должна составить 20 % годовых по сложной ставке ссудных процентов. Ожидаемый уровень инфляции составляет 150 % в год. Определить множитель наращения, сложную ставку процентов, учитывающую инфляцию, и наращенную сумму.
4.35. Вкладчик намерен внести 10 000 000 руб. на полгода в банк, который выплачивает 80 % годовых по схеме сложных процентов в двух вариантах или ежеквартально, или один разв момент изъятия вклада. Ожидаемый средний ежемесячный темп инфляции составляет 6 %. Оценить экономическую целесообразность этой инвестиции, те. какой реальный доходили убыток, с учетом инфляции, будет иметь вкладчик.
4.36. Коммерсант намерен взять в банке Столичный краткосрочную ссуду 30 000 000 руб. на 3 месяца под сложные 120 % годовых с единовременной выплатой погасительного платежа в конце срока действия ссуды. Прогноз среднемесячного темпа инфляции за рассматриваемый период составляет 5 %. Определить номинальную сумму платежа за пользование ссудой, приведенную

63 к уровню ценна момент получения ссуды. Какова будет реальная процентная ставка за пользование ссудой с учетом инфляции
4.37. Месячная зарплата 1.02.1996 г. составила 900 000 руб, а цена товара — 18 000 руб. Затем позже, 1.08.1996 г, зарплата достигла 1 000 000 руб, а цена товара повысилась до 36 000 руб. Среднемесячный темп инфляции в рассматриваемый период составлял. Как изменилась (в рублях и процентах) реальная цена товара с учетом инфляции и как изменилась реальная зарплата за рассматриваемый период
4.38. На сумму 15 000 000 руб. в течение 3 месяцев начисляются сложные проценты поставке годовых. Ежемесячная инфляция характеризуется темпами 2,5; 2 и 1,8 %. С учетом обесценивания найти наращенную сумму.
4.39. Вкладчик намерен внести 40 000 руб. на 1 год в банк, который гарантирует выплату 12 % сложных годовых с ежемесячной капитализацией. Ожидаемый среднемесячный темп инфляции составляет 1 %. Оценить экономическую целесообразность такого размещения денежных средств, те. какой реальный доходили убыток с учетом инфляции будет иметь вкладчик.
4.40. Годовой темп инфляции — 20 %, брутто-ставка —
25 %. Найти индекс ценза полгода. Рассчитать реальную годовую ставку.
4.41. Месячный темп инфляции составляет а) 4 % в месяц, б) 4 % — й месяц, 3 % — й месяц, 2 % — й месяц. Найти индекс цени темп инфляции за 12 и 3 месяца соответственно, также определить обесцененную наращенную сумму, если на сумму 10 000 руб. в течение указанных сроков начислялись простые проценты из расчета 50 % годовых, и определить ставку, при которой наращение равно потерям из-за инфляции.
4.42. Найти реальную простую процентную ставку (доходность) при номинальных ставках 60 и 30 % годовых и месячных темпах инфляции
1 б = 5 %, б = 2 %, б = 4 % .
4.43. Вклад в сумме 500 000 руб. положен в банк на 2 года с ежемесячным начислением сложных процентов по номинальной годовой ставке, равной 10 %. Определить реальный доход вкладчика для ожидаемого месячного уровня инфляции 5 и 0,5 %.
4.44. Какую ставку должен назначить банк, чтобы при годовой инфляции 12 % реальная ставка оказалась 6 %.
4.45. Клиент положил в банк 60 000 руб. под простую процентную ставку 40 % годовых и через полгода с учетом уплаты налога на проценты получил 70 200 руб. Определить ставку налога на проценты.
4.46
На вклад в 2 000 000 руб. в течение 4 лет начислялись каждые полгода сложные проценты по годовой номинальной ставке наращения 12 %. Определить наращенную сумму после уплаты налога на проценты, если ставка налога равна 8 %.
4.47. Вычислить чистую прибыль, которая получится в 0,8(3) года с капитала в 128 800 руб, вложенного в 6- процентные бумаги, зная, что при выдаче денег удерживается в доход государства 5 % их стоимости. Определить реальную годовую ставку доходности, если годовая процентная ставка равна 60 %, а месячный темп инфляции составляет 3 %. Прибыль облагается налогом поставке а)