Финансовая математика сб задач. Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
Пример 2.2 Коммерческие банки Си В начисляют доход один разв полгода, причем банк С по простой ставке, а банк В по сложной ставке процентов. Через год в этих банках средства инвестора увеличиваются на 60 %. В какой банк выгоднее положить деньги на полгода ив какой на полтора года Решение. По условию задачи коэффициенты наращения банков Си В равны, поэтому 1, 6 C k k = = . Откуда для банка С ставка простых процентов определяется из выражения 1 1 2 1, 6 k ni i = + = + = , отсюда 1, 6 1 0, 3 Для банка Вставка сложных процентов составляет 2 (1 ) 1, Вт. е. 1, 6 1 0, 265 i = − Следовательно, выгоднее положить деньги на полгода в банк С. Для сравнения результатов финансовых операций с банками Си В можно составить следующую таблицу. t 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 n 1 2 3 4 5 6 7 8 k 1,3 1,6 1,9 2,2 2,5 2,8 3,1 3,4 k C 1,265 1,6 2,02 2,56 3,24 4,1 5,18 Из таблицы следует, что, например, на полтора года (как и вообще на любой срок свыше года) выгоднее положить деньги в банк В, поскольку k C = 2,02 > k = 1,9. Пример 2.3 М. Е. Салтыков-Щедрин описывает в Господах Головле- вых» такую сцену Порфирий Владимирович… сидит у себя 22 в кабинете, исписывая цифирными вкладками листы бумаги. На этот раз его занимает вопрос сколько было бы у него теперь денег, если б маменька… подаренные ему при рождении дедушкой назубок, сто рублей… не присвоила себе, а положила бы вкладом в ломбард на имя малолетнего Порфирия Выходит, однако, немного восемьсот рублей. Определите сложную ставку процентов годовых ломбарда по вкладам, если Порфирию в момент его расчетов было 50 лет. Решение. Из условия задачи имеем n = 50; S 0 = 100 руб S T = 800 руб. По формуле сложных процентов наращенная сумма равна 0 (1 ) n T S S i = + , откуда ставка сложных процентов составит 0 800 50 1 1 0, 0425 100 T S n i S = − = − = = 4,25 Пример 2.4 Знаменитый американский ученый и государственный деятель Бенджамин Франклин завещал жителям города Бостона 1 000 ф. ст. наследующих условиях — деньги давать под 5 % годовых молодым ремесленникам — через 100 лет из накопленных денег (с учетом процентов на проценты) 100 000 ф. ст. пустить на строительство общественных зданий — оставшиеся после этого деньги отдать под те же проценты еще налет по истечении этого срока накопленную сумму разделить между бостонскими жителями и правлением Масачусетской общины, которой передать 3 млн. ф. ст. Сколько денег должно было достаться бостонским жителям через 200 лет после смерти Б. Франклина (он умер в 1790 г Решение. Из условия задачи имеем S 0 = 1 000 ф. ст. прилет. Завещанный капитал через 100 лет составил S T = 1 000 (1 + 0,05)100 = 131 501 ф. ст. 23 2. После выделения 100 000 ф. ст. на постройку общественных зданий осталось 131 501 – 100 000 = 31 501 ф. ст. 3. Через 100 лет наращенный капитал составил S = 31 501(1 + 0,05)100 = 4 142 421 ф. ст. 4. Бостонским жителям из этой суммы после вычета 3 млн ф. ст. осталось 4 142 421 – 3 000 000 = 1 142 421 ф. ст. Если число нецелое, то может использоваться смешанный способ начисления процентов год 0 год год 1 100 100 T Т Т i i T T S S T T ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ = + + − ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ . (2.3) Здесь год — целая часть числа. Если проценты начисляются только за целые периоды, то год 1 100 Т Т T i S S ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (2.4) Пример 2.5 Инвестор хочет поместить $100 000 на десять с половиной лет под сложную процентную ставку в 15 % годовых. Решение. Начальная сумма S 0 = 100 000; период возьмем год = 365; соответственно число дней T = 3 832; процентная ставка. В зависимости от способа начисления процентов накопленная сумма будет составлять S T = 433 755 (см. (2.2)), S T = 434 814 см. (2.3)), S T = 404 556 (см. (2.4)). Как ив случае простой процентной ставки, сложная процентная ставка может изменяться в некоторые моменты времени. Для начисления выплат попеременной сложной процентной ставке используется формула 0 0 1 1 100 k t K T k T k i S S = ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∏ . (2.5) Коэффициент наращения вычисляется по формуле 0 1 0 Пример 2.6 Контракт на ссуду в $1 000 000 000 налет предусматривает следующий порядок начисления процентов первые 5 лет — под 8 % годовых, вторые 5 лет — под 10 % годовых, второе десятилетие под 20 % годовых. Найти сумму процентов к выплате. Решение. Используя формулу (2.5) S 0 = 1 000 000 000; примем год = 365; соответствующие процентные ставки будут за периоды времени t 1 = 1 825; t 2 = 1 825; t 3 = 3 650. Конечные выплаты составят S T = 14 651 924 216; проценты по контракту составят P = $13 651 924 216. При начислении сложных процентов m разв году выплаты рассчитываются по формуле год 100 T m Т Т j S S m = + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Ставку в этом случае принято называть номинальной годовой процентной ставкой. Пример 2.7 Рассмотрим вложение в 1 000 дол. США под процентную ставку в 6 % годовых. Проценты начисляются ежеквартально. Какая сумма денег будет на счете через 5 лет. Решение. Общая сумма на счете по окончании 5 лет рассчитывается следующим образом S T = S 0 (1 + j/100m) nm , где S 0 = 1 000, j = 6 %, n = 5, m = 4 (4 периода, квартала, в году. 25 Отсюда S T = 1 000(1 + 6/100 × 4) 4 ×5 = 1 000(1 + 0,015) = 1 000 × × 1,3469= 1 дол. Сравните полученное значение с общей суммой на счете в случае, если проценты выплачиваются ежегодно. В этом случае дол. Ставка процента в годовом исчислении есть чистый процент, уплачиваемый за пользование кредитом или получаемый от инвестиции, в котором учитывается сложение процентов за несколько временных периодов. Мы рассмотрели задачу вычисления суммы годового сложного процента при ежеквартальном начислении процентов. Во многих случаях вложение приращивает сумму процентов ежемесячно, хотя указана только годовая ставка процента. Для таких вложений обязательно указание ставки процента в годовом исчислении, стем чтобы можно было реально сравнить инвестиционные предложения или варианты кредитования. Пример 2.8 Какой капитал следует поместить по сложным процентам по 5,25 % в год, чтобы через 93 года иметь 4 817 000 руб Решение. Согласно формуле (2.1) начальная сумма S 0 = [4 817 000/((1+0,0525) 93 )] ≈ 41 316 руб. Пример Насколько лет следует поместить капитал в 3 000 руб, на сложные проценты по таксе 4 % с годовым периодом наращения, чтобы иметь 102 358 руб Решение. Согласно формуле (2.1) период наращения T = [(lnS T – lnS 0 )/(ln(1+i))] ≈ 90 лет. Пример 2.10 «Уникомбанк» предлагал кредиты частным лицам на сумму от 500 до 10 000 руб. на срок от 1 до 6 месяцев, процентные ставки по валютным кредитам — 30 % годовых, по рублевым кредитам — 38 % годовых, проценты выплачиваются заемщиком ежемесячно, погашение кредита — в конце 26 его срока кредита. Курс DM 1 : 3,5 руб, курс $ USA 1 : 6 руб. Определить показатели и оптимальную схему финансовой операции по кредиту на сумму 5 000 руб. сроком на 6 месяцев. Решение. По условию задачи i 1 =30%; i 2 =38%; начальный кредит в DM и долларах 0 5 000 5 000 S = 5 000 = = DM1 428,57 = = $833,33 3,5 Плата за кредит в рублях за один месяц P 1 = 5 000(1 + + 0,38 / 12) – 5 000 = 158,33. Плата за кредит в DM за один месяц P 2 = 1 428,57(1 + 0,3 / 12) – 1 428,57 = 35,7; плата за кредит в долларах за один месяц P 2 = 833,33(1 + 0,3 / 12) – 833,33 = 20,83. Плату за первые 6 месяцев можно свести в таблицу Месяц Рубль DM $ 1 158,33 35,7 20,83 2 316,66 71,4 41,66 3 474,99 107,1 62,49 4 633,32 142,8 83,32 5 791,65 178,5 104,15 6 949,98 214,2 124,98 Плата в рублях за 6 месяцев DM214,2 × 3,5 = 749,7 руб. $124,98 × 6 = 749,88 руб. Пример 2.11 Через сколько времени капитал, отданный под p%, удвоится Решение. По условию задачи ясно, что надо разрешить следующее уравнение относительно t: 2 S 0 = S 0 (1+i) t , где 100 p i = . Имеем ln 2 0, 6931 ln(1 ) ln(1 ) t i i = = + + , но для достаточно малых i 2 3 4 ln(1 ) ...; 2 3 4 i i i i i + = − + − + приблизительно 0, 6931 1 2 t i i = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 27 при i = 0,02 получим t = 35, если p = 5 %, то t = 14 и т. д, те. приближенное число лет, по истечении которых капитал удвоится, равняется 70, деленному на таксу (если p < 10). Приближенная формула, показывающая число лет, по истечении которых капитал утроится, такова t = 112/(p); число лет, по истечении которых капитал учетверится, таково t = 142/(p); и т. д. На практике применяется еще и непрерывное начисление процентов по номинальной годовой процентной ставке. В этом случае вычисление наращенной суммы находят из выражения 100 0 0 iT T S S e T УПРАЖНЕНИЯ 2.1. Студентка ФиК СибАГС Глафира сделала вклад в банк на депозит в сумме 1 000 руб. под 50 % годовых сроком налет. Определить наращенную сумму, которую Глафира будет иметь на своем счете в банке через 5 лет. 2.2. В кредитном договорена сумму 1 000 000 руби сроком на 4 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 20 % годовых. Определить наращенную сумму. 2.3. Банк предоставил ссуду в размере 10 000 руб. на 30 месяцев под 30 % годовых на условиях ежегодного начисления процентов по смешанной схеме. Какую сумму предстоит вернуть банку по истечении срока 2.4. Вкладчик хотел бы залет удвоить сумму, помещаемую в банк на депозит. Какую годовую номинальную процентную ставку должен предложить банк при начислении сложных процентов каждые полгода 2.5. Через 180 дней подписания кредитного договора должник уплатил банку 300 руб. Кредит выдан под 20 % годовых. Определить первоначальную сумму долга при различных способах начисления процентов. 28 2.6. Годовая ставка сложных процентов равна 8 %. Через сколько лет начальная сумма удвоится 2.7. Какой должна быть ставка ссудного процента, чтобы 10 000 руб. увеличились до 30 000 руб, за срок вклада 5 лет 2.8. Малое предприятие имеет на расчетном счете в банке 20 000 000 руб. Депозитная ставка банка составляет 15 % годовых. Предлагается объединить оборотные средства в совместном предприятии, которое прогнозирует удвоение капитала через 5 лет. Провести сравнение вариантов вложения капитала. 2.9. Банк предлагает долгосрочные кредиты под 28 % годовых с ежеквартальным начислением процентов, 30 % годовых с полугодовым начислением процентов и 20 % годовых с ежемесячным начислением процентов. Определить наиболее выгодный для банка вариант кредитования. 2.10. Найдите сумму накоплений от следующих вложений при условии, что процент начисляется ежемесячно и прибавляется к исходной сумме а) 4 000 ф. ст. под 6 % годовых на 18 месяцев б) 1 000 ф. ст. под 2 % годовых на 3 года. 2.11. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20 % годовых плюс маржа 10 % впервые два года, 8 % в третий год, 5 % в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года. 2.12. Инвестиционная компания «ACT» в 1994 г. принимала вклады от населения с ежемесячной выплатой 40 % при заключении контракта на срок не менее трех месяцев, ежеквартальной выплатой 120 % и ежегодной выплатой 1000 %. Сформировать наиболее выгодный вариант финансовой операции. 2.13. Сбербанк предлагал разместить вклады наследующих условиях поставке сложных процентов 16,5 % годовых с ежемесячной выплатой по рублевым вкладам по сложным процентам 11 % годовых с ежемесячными выплатами по валютным вкладам. Определить оптимальную схему финансовой операции с суммой $6 000. 2.14. Сбербанк в январе 1998 г. принимал валютные вклады от частных лиц как в наличном, таки в безналичном виде в следующих вариантах 1) вклады до востребования по сложной ставке 2 % годовых, принимаются дополнительные взносы и совершаются частичные выдачи со вклада. Срок хранения неограничен. Начисление процентов и присоединение их к остатку производится ежеквартально 2) срочные депозиты последующим ставкам на 3 месяца — 5 % в год, 6 месяцев — 6 % в год, 9 месяцев — 7 % в год и 12 месяцев — 8,5 % в год. Дополнительные взносы не принимаются и частичные выдачи с вклада не производятся, возможна пролонгация 3) вклад с ежемесячным начислением процентов поставке в месяц. Доход зависит от средневзвешенного остатка на счете за месяц. Срок хранения вклада неограничен. Найти наиболее выгодный вариант вложения $1 000. 2.15. Московский банк в январе 1998 г. предлагал три варианта вложений денежных средств на срок 1 месяц — 0,6 % в месяц, на срок 2 месяца — 0,7 % в месяц, на срок 3 месяца — 0,9 % в месяц. Минимальная сумма первоначального взноса — 300 руб. Размер дополнительного взноса — не менее 100 руб. Контракт предусматривает ежемесячные начисления процентов и их капитализацию, а также пролонгацию договора по вкладу без явки вкладчика. Определить наиболее выгодную схему финансовой операции для вкладчика, располагающего суммой 1 000 руб. 2.16. «Инкомбанк» в январе 1998 г. принимал депозитные вклады. Сроки депозитов — 3, 6 и 12 месяцев. Выплата процентов ежеквартальная. Минимальная сумма депозита для VISA- RUSSI — 1 000 руб. (25 % годовых, для VISA-CLASSIC — $500 (15 % годовых. VISA с депозитом сочетает в себе удобства платежного средства, принимаемого к оплате по всей России и всему миру. Определить доходность депозитного вклада и наиболее выгодную схему операций для вкладчика, располагающего суммой $500. 2.17. Студентка Фекла имела возможность положить вклад в размере 5 000 руб. в «Промстройбанк» сроком на 3 месяца. Сформировать наиболее выгодную схему финансовой операции, если банк предлагал три варианта начисления процентов 19 % годовых вклад Юбилейный — 19 % годовых с ежемесячным реинвестированием вклад Инвестор — по сложной ставке 19,81 % годовых. Банк за банковские операции берет налог в размере 1 % с суммы за каждый вклад. 2.18. Начисление процентов на сумму срочного вклада по формуле сложных процентов. Банк 5.09.1998 г. заключает с вкладчиком договор срочного банковского вклада надень (срок возврата вклада — 26.08.1998 г. Сумма вклада — 15 000 руб. Процентная ставка — 15 %. По условиям договора, начисленные по итогам каждого дня срока действия депозита проценты увеличивают сумму вклада. 2.19. Коммерческий банк «Московия» принимал вклады от населения в 1993 г. наследующих условиях на срок 3 месяца с выплатой 150 % годовых, минимальная сумма вклада — 1 000 000 руб на срок 6 месяцев с выплатой 175 % годовых, минимальная сумма вклада — 50 тыс. руб. Выплата процентов — по окончании срока действия договора. Найти наиболее выгодный вариант вложения 1 000 000 руб. 2.20. «Промстройбанк» в 2002 г. принимал вклады от населения под простые и сложные проценты на 3 месяца — под 21 % годовых, на 6 месяцев — под 18,5 % годовых, на 12 месяцев — 20,09 % годовых. Сравнить доходность различных вкладов. 2.21. В честь летнего юбилея «Инкомбанк» предлагал с 1 января 1998 г. следующие условия по вкладам минимальная сумма — $500 или 3 000 руб, выплата процентов по валютным вкладам — каждые 30 дней, при сумме вклада $50 000 и более — каждые 15 дней, по рублевому вкладу — каждые 3 месяца. Срок 31 вклада — 360 дней. При открытии вклада бесплатно выдается пластиковая карта. Проценты по вкладам могут переводиться на эту карту или капитализироваться. Ставка по рублевому вкладу — 25 % годовых, по валютному — 15 % годовых. Сравнить доходность различных вариантов вложений денежных средств. 2.22. Финансовая компания Рога без копыт предлагала вкладчикам на двухлетний срок два варианта начисления процентов 1) в первый год — 6 % ежеквартально, во второй по 10 % ежеквартально 2) в первое полугодие — по 10 % ежеквартально, а в каждом последующем полугодии ежеквартальная ставка возрастает на 4 %. Сравнить варианты, используя множитель наращения, для схемы простых и сложных процентов. 2.23. Банк принимал валютные вклады от юридических ЮЛ) и физических лиц (Ф. Л) наследующих условиях Вклады Ю. Л. Эквивалент от $1 000, % Эквивалент от $100 000 , % 3 дня 3 4 7 дней 4,5 5 14 дней 5 7 21 день 8 10 1 месяц 10 12 2 месяца 12 14 3 месяца 14 15 6 месяцев 15 16 9 месяцев 16 17 1 год 17 18 Минимальная сумма Вид вклада от Ф. Л. Дол. США Нем. марки Ставка годовых, % 1 месяц 300 400 6 3 месяца 500 600 10 6 месяцев 500 600 14 12 месяцев 500 600 18 32 Определить оптимальный вариант схемы финансирования коммерческой фирмы и физического лица, располагающих суммой. Банк выдал клиенту кредит в сумме 500 000 руб. 20 марта на 2 месяца до 20 мая поставке годовых. Выплата процентов — ежемесячная. Штраф за несвоевременное погашение кредита с суммы не возврата — 0,2 % за каждый день просрочки. Определить сумму долга на 1 июня. 2.25. Финансовая компания в рекламном объявлении указывает, что вложенная сумма увеличивается на 0,5 % ежедневно с начислением процентов на проценты. Определить эффективную годовую ставку процентов при заключении договора на 3 месяца, полгода и год. 2.26. «Инвестсбербанк» предоставлял валютные кредиты под 30 % годовых, а рублевые кредиты — под 36 % годовых. Какой вариант кредита на сумму $100 000 предпочтительнее взять заемщику на 2 года, если в январе 1998 г. курс покупки в обменном пункте валюты составлял 6 руб. за $1. 2.27. «Инвестсбербанк» в 1997 г. выдавал ипотечные кредиты в размере до 60 % от ликвидной стоимости квартиры с заключением договора залога (квартира должна быть свободной от прописки. При этом клиент остается собственником квартиры. Ставки кредитования — 36 % годовых в рублях или 30 % годовых в валюте. Срок выдачи кредита — не более двух лет. Выплата процентов заемщиком — ежемесячно, погашение кредита в конце срока. Кредит под залог дачи, гаража выдается в размере до 75 % от стоимости по оценке банка с заключением договора залога и закладыванием недвижимости банку ставка кредитования — 42 % годовых, срок выдачи кредита — 6 месяцев, сумма кредита — от 10 до 50 млн руб. Составить оптимальный вариант смешанного кредита для покупки пакета ГКО на сумму 200 млн руб. для работы на рынке ценных бумаги получения дохода от проведения операции. 33 2.28. Какой величины достигнет долг, равный 15 000 руб, через 5,7 года приросте по сложной ставке 16,5 % годовых при начислении процентов разв году и помесячно 2.29. Московский банк предлагал ипотечные ссуды на срок до 10 лет под залог покупаемой недвижимости для физических лиц на условиях оплаты заемщиком 30 % стоимости, например, квартиры на момент получения кредита 70 % составляет сумма кредита, наличие гарантов обязательно (физических или юридических лиц. Ставка процентов составляет 15 % по валютному кредиту и 24 % по рублевому кредиту. Построить сетевую модель взаимодействия участников операции по покупке квартиры под залог квартиры стоимостью $30 000 и провести финансовые расчеты. 2.30. Банк предлагал краткосрочные кредиты на условиях либо 22 % годовых с ежеквартальным начислением процентов, либо 25 % с годовым начислением процентов. Провести выбор оптимального варианта операции, если выплата процентов происходит единовременно с погашением кредита. 2.31. Банки выдают долгосрочные кредиты налет при использовании простой и сложной ставок процентов в размере 30 % годовых. Определить возвращаемые суммы долга по кредиту в 2 000 руб. сроком налет при начислении процентов по полугодиям, ежеквартально и непрерывно. 2.32. В таблице приведены планируемые суммы накоплений от вложения исходной суммы в 1 000 ф. ст. за определенное количество лет Сумма в конце года при годовой ставке сложного процента Год 2 % 4 % 6 % 8 % 1 1020 1060 2 1040,40 1081 1166,40 3 1124,86 1191,02 1259,71 4 1082,43 1169,86 а) заполните пропуски в таблице с помощью формулы сложного процента 34 б) с помощью таблицы найдите итоговые накопления от следующих вложений 2 000 ф. ст. под 4 % годовых на 3 года 10 000 ф. ст. под 8 % годовых на 4 года 500 ф. ст. под 6 % годовых на 2 года. 2.33. Вычислите ставку процента в годовом исчислении на основании текущей информации, где процентные ставки даны в годовых процентах. В каждом из следующих случаев определите накопленную сумму наконец года а) вложение 100 ф. ст. при номинальной ставке 6 % с ежемесячным начислением процентов б) вложение 500 ф. ст. при номинальной ставке 10 % с ежеквартальным начислением процентов в) вложение 1000 ф. ст. при номинальной ставке 7 % сна- числением процентов каждые полгода. 2.34. Банк выдал студенту Петрову 16 августа 1996 г. валютный кредит на сумму 10 000 дол. США, срок кредита — 2 месяца до 16 октября 1996 г ставка процентов — 35 % годовых за полное количество календарных дней (из расчета 360 дней в году, при подсчете количества дней в периоде граничные дни (первый и последний) считаются задень порядок выплаты кредита г проценты за первый месяц, 16.10.1996 г. — проценты за второй месяц и сумма кредита штрафные санкции поставке сложных процентов составляют 0,5 % от просроченных сумм кредита за каждый день просрочки очередность погашения просроченной задолженности в первую очередь погашаются начисленные штрафы, далее сумма процентов, а затем сумма кредита. Фактически 16.09.1996 г. клиент погасил проценты запер- вый месяц кредита. Далее кредит погашался в следующей последовательности г. клиент перевел $2 600 в счет погашения задолженности 25.10.1996 г. клиент перевел $3 100 в счет погашения задолженности, а 30.10.1996 клиент заявил, что готов погасить свою задолженность в полном объеме. Определить величину задолженности клиента наг. Насколько выгоднее положить деньги в банк при начислении процентов каждый месяц, чем 1 разв год, если ссудный процент составляет 9,2 % и срок вклада 6 лет 2.36. На вклад в 2 000 руб. начисляются непрерывные проценты. Найти наращенную сумму залет, если сила роста изменяется следующим образом впервые года она равна 8 %; в следующие 3 года — 10 %; ив каждый оставшийся год увеличивается на 0,5 %. 2.37. Студент Кеша вложил в банк 100 000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через год, если банк начисляет проценты по номинальной ставке а) при ежегодном начислении 5 %, б) при полугодовом — 5 %, в) при ежемесячном — 5 %, г) при ежедневном — 5 %, д) при непрерывном — 5 %? 2.38. Студентка Иоланда вложила в банк 100 000 руб. Какая сумма будет на счету этого клиента через 8 лет, если банк начисляет проценты по номинальной ставке а) при ежегодном начислении, б) при полугодовом — 5 %, в) при ежемесячном — 5 %, г) при ежедневном — 5 %, д) при непрерывном — 5 %? 2.39. Какую сумму надо положить в банк, выплачивающий непрерывные проценты поставке, чтобы через 10 лет на счету было 50 000 руб 2.40. Банк начислял на вложенные в него деньги проценты непрерывно поставке в 1990 г 12 %, в 1991 г 18 %, в 1992 и 1993 гг.— 24 %. Какая сумма будет на счету 31 декабря 1993 г, если 1 января 1990 г. на этот счет было положено 30 000 руб 2.41. Банк выдает ссуду налет или под процент 7 % годовых (сложных, или под простые проценты. Какую ставку простых процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился Банк выдает ссуду налет или под процент 7 % годовых простых, или под сложные проценты. Какую ставку сложных процентов должен установить банк, чтобы полученный им доход не изменился 36 2.43. Насколько лет следует поместить капитал в 1 000 руб, на сложные проценты по таксе 8 % с годовым периодом наращения, чтобы иметь 10 000 руб 2.44. Процентная ставка по ссуде составляет 30 % плюс маржа (доплата за накладные расходы, комиссионные 2 % в квартал в первый год и 40 % плюс маржа 3 % за полугодие во второй год. Найти коэффициент наращения за 2 года. 2.45. 10 000 000 руб. инвестированы на 2 года поставке годовых. Требуется найти наращенную за это время сумму и ее приращение при начислении процентов а) ежегодно, б) по полугодиям. 2.46. Банк начисляет сложные проценты по номинальной ставке 120 %. Найти эффективную ставку при ежедневной и ежемесячной капитализации процентов. 2.47. Требуется определить номинальную процентную ставку с начислением процентов по полугодиям, которая эквивалентна номинальной ставке 24 % с ежемесячным начислением процентов. 2.48. Найти годовую конвертируемую поквартально, соответствующую эффективной норме 6 %. 2.49. Определить номинальную ставку с квартальным начислением процентов, которая безубыточно заменит номинальную ставку 25 % при месячном начислении процентов. 2.50. Какой выигрыш получит инвестор за 2 года от инвестирования руб. поставке годовых, если вместо поквартального начисления процентов на эту сумму будут начислены непрерывные проценты 37 Тема 3 ДИСКОНТИРОВАНИЕ И УЧЕТ Дисконтирование связано с распространенным в коммерческой сфере утверждением время — это тоже деньги, что обусловлено не равноценностью одинаковых по абсолютной величине сумм денежных средств сегодня и через некоторое время в будущем. Это объясняется, например, возможностью инвестировать капитал сегодня ив будущем получить доход. Кроме того, инфляционный процесс обесценивает денежную массу. Поэтому можно утверждать, что деньги сегодня ценнее будущих денег. Именно поэтому золотое правило бизнеса гласит сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра. Дисконтирование позволяет учитывать в операциях фактор времени. Обычно при удержании процентов в момент выдачи ссуды, при учете векселей, при покупке депозитных сертификатов возникает задача определения по заданной сумме S T , которую следует уплатить через время T, сумму получаемой ссуды при заданной годовой процентной ставке i. В этой ситуации начальную сумму принято называть современной величиной (приведенной стоимостью, ставку d — дисконтной или учетной процентной ставкой, величину D = S T – S 0 — дисконтом, а процедуру определения современной величины — дисконтированием. Существует два способа дисконтирования при простой процентной ставке 1) математическое дисконтирование год 1 100 T S S i T T = + . (3.1) 38 Математическое дисконтирование связано с определением так называемого современного или приведенного значения на некоторый момент времени, которое соответствует заданному значению S T в другой момент времени. Простейшая задача связана с определением суммы вклада на основе заданной конечной величины в будущем S T через временной период начислений год под заданную, например, простую ставку процентов 2) банковский учет год 100 T d T S S T = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.2) При дисконтировании обычно задают год 360. Банковский учет заключается в покупке денежных обязательств, например, векселя банком по цене, которая меньше номинальной указанной в нем суммы. В этом случае говорят, что вексель учитывается, и клиент получает сумму 0 T S S D = − , где S T — номинальная сумма данного обязательства S 0 — цена покупки векселя банком D — дисконт, сумма процентных денег доход банка. Процентный доход покупателя векселя банка может определяться по простой годовой учетной ставке % 100 Если срок год от даты учета до даты погашения будет составлять часть года, то дисконт определяется по формуле год 39 Следует заметить, что дисконтирование может быть связано и с проведением кредитной операции. В таком случае проценты начисляются вначале интервала начисления, и заемщик получает сумму за вычетом процентных денег D из суммы кредита S T , подлежащего возврату. Поэтому при проведении операции по простой учетной ставке d следует пользоваться формулой (3.2). Пример 3.1 Через полгода заемщик должен уплатить 1 000 000 руб. Ссуда выдана под 40 % годовых. Найти объем получаемых денег в случае математического дисконтирования и при банковском учете. Решение. При заключении сделки заемщик получит S 0 = 833 333 руб. при математическом дисконтировании и S 0 = 800 000 руб. при банковском учете. Для дисконтирования при сложной процентной ставке используется формула 0 1 1 год при начислении процентов один разв году и формула 0 1 1 год при начислении процентов m разв году. Пример 3.2 Инвестиционное предложение состоит в фиксированной норме прибыли из расчета 8 % годовых в течение 5 лет. Давайте рассмотрим, какую сумму необходимо положить сейчас, чтобы по истечении указанного срока накопить 2 000 ф. ст. Решение Имеем S T = 2 000, i= 8 % и n = 5. Следовательно, текущую стоимость можно вычислить следующим образом S 0 = S T / (1 + i / 100) n = 2 000 / (1+0,08) 5 = 1361,17 ф. ст. Итак, сейчас необходимо вложить 1 361,17 ф. ст, чтобы через лет эта сумма превратилась в 2 000 ф. ст. 40 Для определения учетной ставки, дающей эквивалентный результат к математическому дисконтированию, достаточно приравнять современные величины при обоих способах дисконтирования и при одинаковой конечной сумме капитала и найти учетную ставку из возникшего уравнения 1 i d T i T = + год При проведении операции по сложной учетной ставке используется формула 0 1 100 T T T dс S S = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ год |