Финансовая математика сб задач. Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.

• Название: Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.
• Анкор: Финансовая математика сб задач.pdf
• Дата: 22.12.2017
• Размер: 1.15 Mb.
• Имя файла: Финансовая математика сб задач.pdf
• Тип: Сборник задач; #12536
• страница: 5 из 9

g = б g = 40%.
4.49. Определить приемлемую процентную ставку с барьерной ставкой 15 %, если месячный темп инфляции составляет
3 %. Прибыль облагается налогом поставке. Пусть ставка налога на проценты равна 10 %. Процентная ставка — 30 % годовых, срок начисления процентов —
3 года. Первоначальная сумма ссуды — 1 000 000 руб. Определить размеры налога на проценты при начислении простых и сложных процентов.

65 Тема 5 ПОТОК ПЛАТЕЖЕЙ ИЛИ ФИНАНСОВАЯ РЕНТА Получение и погашение долгосрочного кредита, погашение различных видов задолженности, денежные показатели инвестиционного процесса предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплати поступлений, называемых потоком платежей. Специальный поток платежей, в котором временные интервалы между двумя последовательными равными платежами постоянны, называется финансовой рентой Финансовая рента возникает, например, при выплате процентов по облигациям либо при погашении потребительского кредита. При расчете финансовых рент часто возникает необходимость определения суммы всех платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты (пост-
нумерандо):
1 1
( , , )
1 1
Tm
T
m
p
j
m
S T m p
R
j
m
+
−
=
+
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. (5.1) Здесь R — член ренты, те. величина каждого платежа p — число платежей в году m — число начислений процентов в году срок ренты в годах (время от начала ренты до конца последнего периода выплат. В формуле (5.1) подразумевается целое число периодов выплат T.

66 Если необходимо вычисление сумм платежей в начальный момент времени (современную стоимость денег, то
1 1
(0, , )
1 1
Tm
T
m
p
j
m
S
m p
R
j
m
−
−
+
=
+
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
. (5.2) Пример 5.1 Какую сумму можно получить за ренту, если ее взносы равны руби она продолжается 62 года из расчета по 5 %? Решение. Воспользуемся формулой (5.2):
S
T
(
0, m, p)= [1 000 / 0,05](1 – [1 / (1,05 62
)]) = 19 028 руб. 83 коп. Пример 5.2 В течение 5 лет разв квартал в пенсионный фонд вносится по 250 000 руб. Начисление процентов производится каждые полгода приставке годовых. Найти конечную сумму. Решение Из условия задачи имеем T = 5, R = 250 000, m = 2,
p
= 4, j = 20 %. Тогда
1 1
100
( , , )
1 1
100
Tm
T
m
p
j
m
S
T m p
R
j
m
+
−
=
+
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
;
S
T
= 8 163 184. Пример 5.3 Сколько лет продолжается рента стоимостью 100 000 руб, платежи которой равны 5 456 руб. 40 коп, если рента рассчитана по 5,25 %?

67 Решение Здесь R = 5 456 руб. 40 коп S
T
(0, m, p)= 100 000 руб. Воспользуемся формулой (5.2), тогда ln 1 3, 2747 100 64 0, 0512
ln 1 100
S
j
R
T
j
−
= Для многих частных случаев коэффициент наращения ренты табулирован. Так в случае
1
m
p
= =
значения
,
(1
)
1
n
n i
i
s
i
+
−
=
представлены в Приложении, табл. 1. Если есть последовательность интервалов времени с общим сроком
1 2
n
n
n
= +
, то
2 1
2
,
,
,
(1
)
n
n i
n i
n В случае
1,
1
m
p
≠
=
значения
, /
, /
(1
/
)
1
(1
/
)
1
mn
mn j m
m
m j m
s
j m
s
j Если
1,
1
m
p
=
≠
, то коэффициент наращения
,
,
1 1/ ,
(1
)
1
(1
)
1
n
n i
p
n i
p i
p
s
i
s
s
i
+
−
=
=
+
−
. В этом случае член ренты R/p. Если
1,
1
m
p
≠
≠
, то коэффициент наращения
, /
,
,
/ , /
(1
/
)
1
(1
/
)
1
mn
mn j m
p m
n i
m
m p j m
p
s
j m
s
s
j m
+
−
=
=
+
−
. В этом случае член ренты R/p. Для частных случаев коэффициент приведения ренты также табулирован. Так в случае
1
m
p
= =
значения
,
1 (1
)
n
n i
i
a
i
−
− +представлены в Приложении, табл. 2.

68 В случае
1,
1
m
p
≠
=
значения
, /
, /
1 (1
/
)
(1
/
)
1
mn
mn j m
m
m j m
a
j m
s
j m
−
− +Если
1,
1
m
p
=
≠
, то коэффициент наращения
,
,
1 1/ ,
1 (1
)
(1
)
1
n
n i
p
n i
p i
p
a
i
a
s
i
−
− +
=
=
+
−
. В этом случае член ренты R/p. Если
1,
1
m
p
≠
≠
, то коэффициент наращения
, /
,
,
/ , /
(1
/
)
1
(1
/
)
1
mn
mn j m
p m
n i
m
m p j m
p
a
j m
a
s
j m
+
−
=
=
+
−
. В этом случае член ренты R/p. В предложенных выше формулах рента осуществлялась по схеме постнумерандо. Ренты, оплачиваемые вначале периода, называются пренумерандо и рассчитываются по формулам
*
1 1
( , , )
1 1
1
Tm
m
p
T
m
p
j
j
m
S T m p
R
m
j
m
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
⎛
⎞
⎝
⎠
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
. (5.3)
*
1 1
(0, , )
1 1
1
Tm
m
p
T
m
p
j
j
m
S
m p
R
m
j
m
−
⎛
⎞
− +
⎜
⎟
⎛
⎞
⎝
⎠
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
. (5.4) Пример 5.4 Квартирант платит за квартиру 10 000 руб. в год и желает заменить такой способ расчета уплатой по четвертям года. Домохозяин соглашается на такое предложение, нос тем условием, чтобы расчет четвертных взносов был сделан из 2 % процентов в четверть года. Сколько должен платить квартирант вначале каждой четверти года

69 Решение 1
100
(0, , )
1 100 1
1 100
Tm
m
p
T
m
p
j
j
m
S
m p
R
m
j
m
−
⎛
⎞
− +
⎜
⎟
⎛
⎞
⎝
⎠
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
;
10 000 3,884 ;
x
=
10 000 2 574 руб. 70 коп. Пример 5.5 Иван Иванович вносит ежегодно вначале года в банк по
800 руб. под сложные 5 %. Какой образуется капитал к концу го года Решение Понятно, что если деньги вносятся вначале года, то применяем схему пренумерандо. Деньги нас интересуют через лет, поэтому применяем формулу (5.3), имеем
20
*
1 1
800 1, 05 (1, 05 1)
100
(20,1,1)
1 27 777 100 0.05 Приведенная стоимость бессрочного аннуитета Для оценки движения финансовых потоков во времени применяют различные формулы финансовой математики, в том числе и расчет приведенной стоимости бессрочного аннуитета. Сущность расчета заключается в том, что денежный поток состоящий из одинаковых по величине выплати неограниченный повремени, имеет конечную сегодняшнюю стоимость, так как при инфляции больше нуля сегодняшняя стоимость периодической выплаты постоянно уменьшается ив бесконечности стремится к нулю.

70 Формула приведенной стоимости бессрочного аннуитета:
( )
R
S
i
∞ =
, где S(∞) — приведенная (текущая) стоимость
R — величина равномерного поступления
i — процентная ставка. Пример 5.6 Необходимо рассчитать стоимость бессрочного аннуитета при 100 рублях ежегодных выплати ставке равной 12 %. Решение S(∞) = 100 / 0,12 = 833 руб. 33 коп. Для выполнения вышеприведенных условий необходимо инвестировать 833 руб. 33 коп. При использовании данного финансового инструмента необходимо учитывать, что приемлемая ставка дисконтирования процентная ставка) должна включать в себя безрисковую ставку и премию за риск. В общей бессрочной ренте периоды начисления процентов не совпадают с периодами выплат. Если W — величина выплат общей обычной ренты, то
(
)
1 1
m
p
i
R
W
i
−
=
− +Пример 5.7 Найти текущее значение приведенной бессрочной ренты с выплатами по 230 000 руб. вначале каждого квартала и эффективной ставкой 10 % годовых. Решение. Определим величину выплат эквивалентной простой обычной ренты
( )
0,25 0,1 230 976 815 руб. 10 коп (1,1)
1 1
m
p
i
R
W
i
−
−
=
=
=
−
− +Тогда
976 815,1
( )
= 9 768 151 0,1
R
S
i
∞ =
=
руб.

71 Непрерывная рента Формула для вычисления наращенной суммы р-срочной ренты с непрерывным начислением процентов и силой роста определяется как д
д
1
( , , )
1
T
T
p
e
S T
p
R
p Формула для современной стоимости р-срочной ренты сне- прерывным начислением процентов и силой роста определяется как д
д
1
(0, , )
1
T
T
p
e
S
p
R
p Пример 5.8 В фонд ежегодно поступают средства по 10 000 руб. в течение лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются непрерывно. Определить величину фонда наконец срока и ее современную стоимость. Решение. Наращенная сумма ренты находится по формуле
0,15 7 0,15 4
10 000 1
( , , )
121 535 руб. 83 руб 1
T
e
S Современная стоимость р-срочной ренты
0,15 7 0,15 4
10 000 1
(0, , )
42 529 руб. 98 коп 1
T
e
S
p
p e
−
⋅
−
∞
=
=
⎛
⎞
−
⎜
⎟
⎝
⎠

72 Погашение или амортизация долга Планирование погашения задолженности, кредита или ссуды заключается в определении периодических расходов по займут. е. размеров срочных уплат. Срочные уплатыохватывают как текущие процентные платежи, таки средства, предназначенные для погашения основного долга. Параметры плана погашения долга
T — срок займа в годах
i — годовая ставка процентов, начисляемых на сумму задолженности срочные уплаты (периодические расходы по займу
d
t
— размер погашения основной суммы долга нам периоде остаток задолженности на начало го периода
P
t
— выплаченные проценты нам периоде. Количественный анализ долгосрочной задолженности (займа) применяется для достижения сбалансированности, те. адекватности его параметров принятым условиям финансового соглашения, путем планирования погашения долга. Планирование погашения долга заключается в определении периодических расходов, связанных с займом такие расходы называются обслуживанием долга Разовая сумма обслуживания долга — срочная уплата, в которую входят
⎯ текущие процентные платежи
⎯ средства, для погашения (амортизации) основной суммы долга. Размеры срочных уплат зависят от условий займа
⎯ срока
⎯ уровня процентной ставки
⎯ способа погашения основной суммы долга и выплаты процентов. Рассмотрим различные способы погашения задолженности, поскольку в зависимости от выбора способа погашения стоимость кредита (сумма выплачиваемых процентов) будет различной. Здесь возможны два варианта

73 а) погашение единовременным платежом, те. возврат всей суммы в срок б) погашение долга в рассрочку, те. частями. Погашение долга единовременным платежом Погашение основной суммы долга единовременным платежом в конце срока с постоянной выплатой процентов Рассмотрим погашение единовременным платежом В простейшем случае кредит погашается единым платежом в конце срока
y = D(1 + i)
T
, где y — срочная уплата
D — сумма долга. Этот платеж, как наращенная сумма долга, состоит из двух частей
⎯ возврата основной суммы долга (
D
);
⎯ выплаты процентов подолгу, где
P = D
(1 +
i
)
n – В финансовой практике встречаются случаи, когда у кредитора возникает необходимость вернуть часть денег досрочно. В таких случаях возникает риск невозврата, поскольку требуемой суммы на такой момент времени может и не быть. При значительной сумме долга разовый платеж требует создания так называемого фонда погашения путем периодических взносов. Фонд погашения аккумулирует денежные средства, направленные на погашение задолженности. Наиболее эффективно размещение фонда погашения с начислением на взносы процентов, например, на специальном счете в банке. Нетрудно заметить, что такие платежи по своей сути являются финансовой рентой (аннуитетом), поэтому задача сводится к определению одного из параметров финансовой ренты — члена ренты. Здесь возможны два варианта. Первый — выплата процентов по мере их начисления, а основная сумма денег возвращается в конце срока займа.

74 Если проценты выплачиваются ежегодно, тогда величина срочной уплаты (расходов должника по погашению долга) равна
(1
)
1
T
Di
y
P
R
Dq
i
= + где D — первоначальная сумма долга
q — ставка процентов по условиям займа
T — срок долга в годах
i — ставка процентов при создании фонда погашения. Здесь фигурируют две ставки процентов i — определяет скорость роста суммы фонда погашения, q — сумму выплачиваемых за заем процентов. Пример 5.9 По долговому обязательству выдана сумма $100 000 под
10 % годовых на 3 года с ежегодной выплатой процентов подолгу. Для погашения суммы долга единовременным платежом создается фонд, куда ежегодно вносятся равные суммы, на которые начисляются проценты поставке. Найти ежегодные расходы должника. Решение. Ежегодные расходы должника составляют величину срочной уплаты
y = P + R,
P = Dq = 100 000
× 0,1 = $10 000;
3 100 Ч 29 921 дол. 31 цент.
(1
)
1
(1+0,11)
1
n
Di
R
i
=
=
+
−
−
Отсюда
y = 10 000 дол. + 29 921 дол. 31 цент = 39 921 дол. 31 цент. Таким образом, ежегодные расходы должника по обслуживанию долга составят 39 921 дол. 31 цент. Более наглядными эффективным способом планирования долга является составление таблицы, в которой отражают все основные характеристики обслуживания долга.

75 Такой план погашения долга единовременным платежом с ежегодной выплатой процентов и созданием погасительно- го фонда представлен таблицей. План погашения долга единовременным платежом Год Долг
(D) Выплата процентов = Dq) Взносы в погасительный фонд, R Величина срочной уплаты) Накопленная сумма долга
[D
t+1
=D
t
(1+i)+R]
1 100 000 10 000 29 921,31 39 921,31 29 921,31 2
100 000 10 000 29 921,31 39 921,31 63 133,96 3
100 000 10 000 29 921,31 39 921,31 100 000,00 Итого
—
30 000 89 763,93 119 763,93
— Таким образом, из приведенной таблицы видно ежегодные расходы по обслуживанию долга составят $39 921,31 , что в целом за 3 года составит сумму $119 763,93 , причем выплата процентов за
3 года $30 000 , а на погашение основного долга в размере $100 000 приходится всего лишь $89 763,93 , те является набежавшими процентами на размещенные средства в фонде погашения. Таким образом, создание фонда погашения является необходимым элементом составления плана погашения долга, так как позволяет не только снизить риск не возврата денежных средств, но и сократить расходы по обслуживанию суммы долга. Б. Погашение основной суммы долга и процентов по нему единовременным платежом в конце срока ссуды. Погашение долга единовременным платежом состоит в выплате процентов одновременно с погашением долга. В этом случае взносы в фонд погашения являются одновременно и величиной срочной уплаты (членом финансовой ренты
(1
)
(1
)
1
T
T
D
i i
y
i
+
=
+
−
, где D — первоначальная сумма долга
q — ставка процентов по условиям займа
T — срок долга в годах
i — ставка процентов при создании погасительного фонда.

76 Пример 5.10 Рассмотрим предыдущий пример, изменив условия погашение единовременным платежом, как суммы основного долга, таки выплаты процентов. Решение. Величина срочной уплаты равна
y = 100 000(1 + 0,11)3 : 3,3421000 = 39 825,26. Таким образом, величина ежегодных расходов по обслуживанию долга составит $39 825,26 , что несколько меньше аналогичного показателя в предыдущем примере, следовательно, меньше и общая сумма расходов по обслуживанию долга, составляющая величину $119 475,78 . План погашения долга единовременным платежом Год Долг
(D
t
) Взносы в погасительный фонд
(R
t
= y
t
) Накопленная величина в погасительном фонде (S
t
) Проценты подолгу (Величина погашения текущего долга
(S
t
– P
t
)
1 100 000 39 825,26 39 825,26 10 000 29 825,26 2
110 000 39 825,26 84 031,30 11 000 84 020,30 3
121 000 39 825,26 133 100,00 12 100 121 000,00 Итого 133 100 119 475,78
—
33 100
— Как видно из таблицы, происходит ежегодное увеличение суммы долга за счет присоединения к нему процентов, поэтому к концу срока долг возрастет до $133 100 , из которых выплата процентов составит $33 100 . Однако за счет увеличения размера взносов в погасительный фонд общая величина обслуживания долга уменьшается. Погашение долга в рассрочку В практике финансовой деятельности долг часто погашается в рассрочку, те. распределенными во времени платежами. При погашении основной суммы долга частями его текущее значение будет уменьшаться, и, следовательно, сумма процентных платежей также будет уменьшаться. Погашение долга частями также может осуществляться различными способами. В зависимости от преследуемых интересов стороны могут выбирать различные, удобные для них режимы в виде постоянных или переменных финансовых рента также нерегулярных потоков их платежей.
1. Погашение основной суммы долга равными частями Одним из вариантов погашения долга в рассрочку является погашение основной суммы долга равными частями При этом величина погашения долга определяется следующим образом
d
t
= D : T = const, где d
t
— величина погашения основной суммы долга
D — первоначальная сумма долга
T — срок долга в годах
t — номер года, t = 1, 2, …, n. Проценты начисляются на уменьшаемую сумму основного долга P
t
= D
t
q, где D
t
— остаток долга на начало очередного года
q — ставка процентов, начисляемых на сумму долга. Тогда размер срочной уплаты можно представить как сумму процентов и сумму погашения долга y
t
= P
t
+ d
t
, где y
t
— срочная уплата наконец текущего года. При погашении долга равными суммами c платежами p разв году с одновременной выплатой процентов параметры плана погашения определяются по формулам
1
,
1, ...,
;
100
,
1, ...,
;
,
100
t
t
t
t
t
t
t
t
D i
D
y
t
Tp
p
Tp
D
D
D
t
Tp
Tp
i
d
Pt
Tp
p
D
+
=
+
=
=
−
=
=
=

78 Пример 5.11 Сумма $100 000 выдана под 10 % годовых на 3 года. Определить величину срочной уплаты при погашении основной суммы долга равными ежегодными частями. Решение. Величина суммы долга равна
d
t
= D : T = 100 000 : 3 = $33 333,33. Поскольку величина срочной уплаты при таком способе погашения долга меняется из года в год, тов этом случае без построения плана погашения долга в виде таблицы просто не обойтись. План погашения основной суммы долга равными частями Год (t) Долг (D) Сумма погашения долга (d
t
) Выплата процентов (P
t
) Величина срочной уплаты
(y
t
)
1 100 000,00 33 333,33 10 000,00 43 333,33 2
66 666,67 33 333,33 6 666,67 40 000,00 3
33 333,34 33 333,34 3 333,33 36 666,67 Итого
—
100 000,00 20 000,00 120 000,00 Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составили, из которых $20 000 составляют проценты, а $100 000 — погашение основной суммы долга.
2. Погашение долга и процентов по нему равными суммами в течение срока ссуды Долг также можно погашать в рассрочку равными срочными
уплатами, которые включают в себя как погашение основной суммы долга, таки величину процентов по нему
y
t
= P
t
+ d
t
= const. При погашении долга в рассрочку величина долга систематически убывает, что приводит к уменьшению процентов и, соответственно, увеличению сумм, идущих на погашение долга это так называемое прогрессивное погашение. Поскольку срочные уплаты равны, то их последовательность представляет собой финансовую ренту, современное значение которой должно быть равно сумме долга.

79 По формуле для определения платежа постоянной годовой финансовой ренты с выплатами в конце периода размер срочной уплаты равен (1
)
t
T
Dq
y
q
−
=
− +где y
t
— величина срочной уплаты
D — первоначальная сумма долга
q — процентная ставка на сумму долга
T — срок долга в годах
t — номер года, t = 1, 2, …, n. При погашении долга равными срочными уплатами с платежами разв году с одновременной выплатой процентов параметры плана погашения определяются по формулам
1 1
1 1
100
,
1, ...,
;
1 1
100
,
1, ...,
;
,
100 Пример 5.12 Условия предыдущей задачи, но погашение долга предусматривает уплату равными срочными выплатами. Решение. Срочная уплата, включающая в себя погашение основной суммы долга и выплату процентов подолгу, равна
y
t
= 100 000,00 : 2,486851991 = $40 211,48. Отсюда общие расходы по погашению долга равны
Σy
t
= 40 211,48
× 3 = $120 634,44.

80 Таким образом, ежегодные расходы по погашению долга будут составлять $40 211,48, аза весь срок финансовой операции. При этом варианте погашения долга также возможно построение таблицы. План погашения долга равными срочными уплатами Год (t) Долг
(D
t
) Срочная уплата (y
t
) Проценты
(P
t
) Сумма погашения основного долга (d
t
=y
t
– P
t
)
1 100 000,00 40 211,48 100 00,00 30 211,48 2
69 788,52 40 211,48 6 978,85 33 232,63 3
36 555,89 40 211,48 3 655,59 36 555,89 Итого
—
120 634,44 20 634,44 100 000,00 Таким образом, общие расходы по обслуживанию долга составляют, из которых $100 000 идут на погашение долга, а $20 634,44 — проценты. В таблице наглядно представлено распределение суммы срочной уплаты на выплату процентов и непосредственное погашение долга. Потребительский кредит Частным случаем погашения долга равными срочными упла- тами является потребительский кредит, при котором проценты начисляются сразу на всю сумму кредита, а сумма задолженности равномерно погашается на протяжении всего срока кредита. Проценты в потребительском кредите начисляются сразу на всю сумму долга по простой ставке
P = DTi. Тогда общая сумма расходов по погашению кредита складывается из выплаты процентов и суммы основного долга
Σ
y
t
= D +P.

81 Следовательно, размер срочной уплаты определяется по формуле
Σy
t
= (
D + P) : Tm, где T — срок кредита в годах
m — количество взносов в течение года. Пример 5.13 Потребительский кредит на сумму 5 000 руб. открыт наго- да поставке годовых. Погашение кредита равными взносами ежеквартально. Определить стоимость кредита и размер ежеквартальных взносов.
Решение.Стоимость кредита — это проценты, равные
P = DTi = 5 000
× 2 × 0,25 = 2 500 руб. Общая сумма расходов по обслуживанию кредита равна
Σy
t
= D +P = 5 000 + 2 500 = 7 500 руб. Ежеквартальные взносы составят величину
Σy
t
= (
D + P) : Tm = 7 500 : 2
× 4 = 937,50 руб. Таким образом, ежеквартальные взносы в размере 937,50 руб. позволяют выплатить сумму долга и выплатить проценты. Если бы использовалось прогрессивное погашение, те. начисление процентов на остаток долга, то это было бы заметно дешевле для должника. Расчленение величины срочной уплаты в потребительском кредите на процентные платежи и погашение основной суммы долга в мировой практике называется методом 78». Это связано стем, что для потребительского кредита сроком на 12 месяцев и ежемесячным погашением сумма порядковых номеров месяцев будет равна 78, что и дало название такому методу начисления процентов. Это правило можно обобщить для T лети платежей в году
N = pT [(pT + 1) : 2], где N — сумма последовательных номеров выплат. Отсюда очень легко расчленить срочную уплату на процентные платежи и сумму погашения основного долга y
t
= P
t
+ d
t
, где P
t
— процентный платеж
d
t
— сумма погашения основного долга.

82 Тогда величина процентного платежа определяется следующим образом P
t
= P(t / N), а сумма погашения основного долга как разница срочной уплаты и процентных выплат R
t
= y
t
– P
t
. Рассмотрим предыдущий пример, расчленив срочную уплату на составляющие элементы, все данные представив в виде таблицы. План погашения потребительского кредита Платеж t Долг
(D
t
=D
t-1
- Срочная уплата (y
t
) Проценты
[P
t
=P (t/N)] Погашение основной суммы долга
(d
t
= y
t
- P
t
)
1 8 5
000,00 937,50 555,56 381,94 2 7 4
618,06 937,50 486,11 451,39 3 6 4
166,67 937,50 416,67 520,83 4 5 3
645,84 937,50 347,22 590,28 5 4 3
055,56 937,50 277,78 659,72 6 3 2
395,84 937,50 208,33 729,17 7 2 1
666,67 937,50 УПРАЖНЕНИЯ
5.1. Имеется следующий график платежей во времени
1.01.1999 груб груб груб груб. Определить сумму задолженности наги ее современную стоимость на момент выплаты первой суммы приставке наращения 15 % годовых.
5.2. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда наконец срока.

83 5.3. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых. Определить коэффициент приведения ренты и современную стоимость фонда.
5.4. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить коэффициент наращения ренты и величину фонда наконец срока.
5.5. В фонд ежегодно в конце года поступают средства по
10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить современную стоимость фонда.
5.6. Студент Петров в конце каждого месяца кладет в банк
1 000 руб. Проценты начисляются ежемесячно по номинальной годовой ставке сложных процентов, составляющей 12 %. Определить наращенную сумму на счете вкладчика через 2 года.
5.7. Товар ценой в 3 000 руб. продается в кредит на 2 года под 12 % годовых с равными ежеквартальными погасительными платежами, причем начисляются простые проценты. Определить долг с процентами, проценты и величину разового погасительно- го платежа.
5.8. Преподаватель СибАГС желает приобрести в банке ренту с ежемесячной выплатой ему, а в случае его смерти — жене или детям $1 000 в последний рабочий день каждого месяца в течение
4 лет. При постоянной ставке 2 % в месяц нужно оценить себестоимость для банка этой ренты на момент продажи для случаев начала выплат немедленно.
5.9. Согласно условиям финансового соглашения насчет в банке в течение 7 лет в конце года будут поступать денежные суммы в размере 6 тыс. руб. Оцените этот поток платежей, если банк применяет процентную ставку 22 % годовых и сложные проценты начисляются один разв конце года.

84 5.10. В фонд ежегодно вначале года поступают средства по
10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых. Определить величину фонда наконец срока и современную стоимость.
5.11. В фонд ежегодно вначале года поступают средства по
10 000 руб. в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Определить наращенную стоимость ренты и современную стоимость фонда.
5.12. В течение 6 лет ежегодно насчет в банке ежедневно будут поступать одинаковые платежи, составляя в сумме 40 000 руб. Определить сумму, накопленную к концу шестого года при использовании процентной ставки 12 % годовых, количество дней в году принять равным 360.
5.13. По условиям кредитного договора с банком фирма должна проводить погашение суммы кредита в течение 4 лет ежегодными равными платежами по 20 000 руб, вносимыми в конце года с начислением на них 15 % годовых. Определить современную величину ренты с использованием метода математического дисконтирования.
5.14. Залет необходимо накопить 50 000 руб. Какова должна быть величина вклада, если процентная ставка равна 20 % годовых, а денежные поступления и начисление сложных процентов осуществляются в конце года
5.15. Известно, что принц Чарльз при разводе с Дианой выплатил последней 17 000 000 ф. ст. Как сообщалось, эта сумма была определена в расчете на то, что принцесса проживет еще 50 лет. Определить размер члена ренты при условии, что процентная ставка равна 10 %, а выплаты производятся помесячно.
5.16. По условиям контракта насчет в банке поступают в течение 7 лет вначале каждого квартала платежи. Разовый платеж составляет 4 000 руб. Найти сумму денег на счете через
7 лет, если банк начисляет сложные проценты из расчета 28 % годовых.

85 5.17. В фонд ежегодно поступают средства, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся в конце каждого квартала, а проценты начисляются ежемесячно. Величина фонда наконец срока составит 100 000 руб, годовая выплата — 10 000 руб. Определить срок ренты.
5.18. Фирма «ФиК — это звучит гордо хочет создать фонд в размере 350 000 руб. С этой целью в конце каждого года фирма предполагает вносить по 60 000 руб. в банк под 28 % годовых. Найти срок, необходимый для создания фонда, если банк начисляет сложные проценты ежегодно по полугодиям ежемесячно.
5.19. Кредит на сумму 10 000 000 руб. с ежегодным начислением сложных процентов поставке, равной 20 % годовых, должен погашаться в течение 5 лет равными срочными уплатами. Определить размер срочной уплаты, общих расходов заемщика по погашению кредита и сумму выплаченных процентов, если погасительные платежи осуществляются а) ежеквартально, б) ежемесячно.
5.20. В фонд ежегодно в конце года поступают средства в течение лет, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Наращенная сумма к концу срока составит 100 000 руб. Определить коэффициент наращения иго- довую выплату.
5.21. В фонд ежегодно вначале года поступают средства в течение 7 лет, на которые начисляются проценты поставке годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются ежемесячно. Наращенная сумма к концу срока составит 100 000 руб. Определить квартальную выплату ренты.
5.22. По контракту заказчик через 2 года после окончания строительства здания строительной фирмой производит оплату в течение 3 лет равными ежегодными платежами по 8 000 руб. По- стнумерандо (в конце каждого года) проценты начисляются из расчета 20 % годовых. Определить выигрыш заказчика.

86 5.23. Сдан участок в аренду налет. Арендная плата будет осуществляться ежегодно по схеме постнумерандо наследующих условиях впервые лет — по 20 000 руб, в оставшиеся 3 года по 12 000 руб. Требуется оценить приведенную стоимость этого договора, если процентная ставка сложных процентов равна
22 % годовых.
5.24. Предполагается, что в течение первых 2 лет насчет откладывается по 800 000 руб. в конце каждого года, а в следующие три года — по 850 000 руб. в конце каждого года. Определите будущую стоимость этих вложений к концу пятого года, если ставка процента — 11 %.
5.25. Предполагается, что в течение первых 3 лет насчет откладывается по 500 000 руб. в конце каждого года, а в следующие
2 года — по 150 000 руб. в конце каждого года. Определите будущую стоимость этих вложений к концу пятого года, если ставка процента — 8 %.
5.26. Предполагается, что в течение первых 2 лет насчет откладывается по 800 000 руб. вначале каждого года, а в следующие года — по 850 000 руб. вначале каждого года. Определите будущую стоимость этих вложений к концу пятого года, если ставка процента — 9 %.
5.27. По договору страховая компания принимает рентные платежи от клиента по полугодиям равными частями по 25 000 руб. в течение лет. Банк, обслуживающий эту компанию, начисляет сложные проценты ежеквартально из расчета 25 % годовых. Определить наращенную сумму в банке на счете страховой компании и приведенную наращенную сумму по истечении срока договора.
5.28. Провести выбор варианта формирования договора с банком, обслуживающим фирму, для создания фонда модернизации основных фондов в размере 200 000 руб
1) внесение рентных платежей по полугодиям в течение 3 лет под сложные 20 % годовых с ежеквартальным начислением процентов) внесение рентных платежей также по полугодиям, под сложные 20 % годовых с начислением процентов по полугодиям. Определить современную величину ренты наиболее выгодного варианта.
5.29. Банк предлагает ренту постнумерандо налет с ежеквартальной выплатой $100. Годовая процентная ставка в течение всего периода остается постоянной и равна 12 % годовых. Пока- кой цене можно приобрести такую ренту
5.30. При аварии на химическом заводе в Бхопале (Индия. Корпорация Юнион Карбайд» предложила в качестве компенсации пострадавшим $200 000 000 выплачиваемых в течение
35 лет. Чему равна компенсация, выплаченная единовременно, при условии, что выплаты производятся ежемесячно с 10 % годовой ставкой.
5.31. Клиент в конце каждого года вкладывает 3 000 руб. в банк, выплачивающий сложные проценты поставке годовых. Определите сумму, которая будет на счете клиента через
7 лет. Если эта сумма получается в результате однократного помещения денег в банк вначале первого года, то какой величины должен быть взнос Как изменятся найденные величины, если деньги вкладываются вначале каждого года
5.32. Ссуда размером 100 000 руб. выдана под номинальную ставку 12 % годовых. Контракт предусматривает ежемесячные выплаты поруби выплаты остатка долга к концу летнего срока. Определить остаток долга.
5.33. Банк предоставляет фирме кредит в течение 3 лет ежегодными платежами в размере 1 000 000 руб. вначале каждого года под процентную ставку 20 % годовых. Фирма выплачивает
1 000 000, 2 000 000 и 1 000 000 руб. последовательно, в конце третьего, четвертого и пятого годов. Определить выгоду банка.
5.34. Кредит на сумму 6 000 000 руб. открыт на 2 года при процентной ставке, равной 40 % годовых. Погашение кредита должно осуществляться равными взносами. Определить стоимость кредита, погашаемую сумму и размер взносов, если пога-

88 сительные платежи осуществляются а) в конце каждого года, б) в конце каждого полугодия.
5.35. Кредитор заключил контракт, согласно которому должник обязуется выплатить сумму, современная величина которой
60 000 руб, залет равными суммами в конце каждого года, причем на непогашенный остаток будут по полугодиям начисляться сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 24 %. По какой цене кредитор может продать этот контракт банку, который на ссуженные деньги начисляет ежеквартально сложные проценты по годовой номинальной процентной ставке 28 %?
5.36. Рассчитайте сегодняшнюю стоимость бессрочного ан- нуитета при условии, что величина равномерного поступления составляет 3 200 руб. в год, процентная ставка — 14,4 %.
5.37. Определите, какое значение ежегодного вклада будет соответствовать текущей стоимости бессрочного аннуитета в 37 100 руб. при процентной ставке 7,25 %.
5.38. При какой процентной ставке текущая стоимость бессрочного аннуитета будет равна 51 000 руб, если каждый годна счет кладется 5 500 руб
5.39. Вы имеете возможность инвестировать одинаковую сумму денег в один из двух проектов. Первый проект позволит получить бессрочную ренту постнумерандо с ежегодными выплатами в размере 20 000 руб. Второй проект принесет 40 000 руби руб. в течение 1 года и 2 лет соответственно. Какой из этих проектов лучше, если процентная ставка составляет 25 % годовых Можно ли так изменить процентную ставку, что ответ станет противоположным
5.40. Фирма собирается учредить фонд для ежегодной в конце года) выплаты пособий своим работникам. Определите сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долгов конце каждого года 12 000 руб, если банк начисляет сложные проценты поставке ежегодно ежеквартально.

89 5.41. В фонд ежегодно поступают средства в течение 7 лет, на которые начисляются проценты по силе роста 15 % годовых, причем выплаты производятся поквартально, а проценты начисляются непрерывно. Современная стоимость ренты составляет
50 000 руб. Определить ежегодную выплату.
5.42. Некто занимает 10 000 руб. по таксе в 7 % в год стем, чтобы заплатить весь долги проценты на него равными взносами в течение 12 лет, учитывая каждый взнос в конце года. Как велика должна быть ежегодная уплата и каков должен быть план погашения долга
5.43. По кредитному договору на 800 000 руб. сроком налет фирма должна проводить погашение долга равными частями в конце каждого года. На остаток долга банк начисляет 10 % годовых. Составить план погашения амортизации долга и определить сумму процентов по кредиту.
5.44. В условии предыдущей задачи возврат долга перенести наконец каждого квартала. Построить план погашения долга в виде таблицы. Определить сумму процентов по кредиту.
5.45. Вы заняли налет под 10 % годовых, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Возвращать нужно равными суммами в конце каждого года. Определите, какой процент будет уплачен в третьем году.
5.46. Долг в сумме 100 000 000 руб. выдан налет под 20 % годовых. Для его погашения создан погасительный фонд. На ин- вестируемые в нем средства начисляются проценты поставке. Необходимо найти размеры срочных уплат. Пусть фонд формируется 5 лет, взносы производятся в конце каждого года равными суммами.
5.47. Долг в сумме 100 000 000 руб. выдан налет под 20 % годовых. Для его погашения создан погасительный фонд. На ин- вестируемые в нем средства начисляются проценты поставке. Необходимо найти размер ренты и план формирования фонда. Пусть средства в фонд вносятся только в последние

90 4 года, взносы производятся в конце каждого года равными суммами. Долг в сумме 100 000 000 руб. выдан налет под 20 % годовых. Для его погашения создан погасительный фонд. На ин- вестируемые в нем средства начисляются проценты поставке. Необходимо найти размер ренты. Пусть средства в фонд вносятся в конце каждого месяца равными суммами. Проценты выплачиваются кредитору ежегодно.
5.49. Долг 100 000 000 руб. необходимо погасить равными суммами залет. Платежи производятся в конце года. За заем выплачивается 5 % годовых. Построить план погашения долга.
5.50. Долг 100 000 000 руб. необходимо погасить равными срочными уплатами залет. Платежи производятся в конце года. За заем выплачивается 5 % годовых. Построить план погашения долга.

91 Тема 6 ФИНАНСОВАЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОБЯЗАТЕЛЬСТВ В практической деятельности часто возникает необходимость замены одного потока платежей другим или одним платежом. При этом соблюдается неизменность финансовых отношений сторон, дои после заключения контракта, или, как говорят, финансовая эквивалентность обязательств. Расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности. Уравнением эквивалентности называют равенство сумм заменяемых и заменяющих платежей, приведенных к одному моменту времени. Простейшим видом финансовой операции является однократное предоставление кредитором в долг какой-либо суммы заемщику (дебитору) с условием, что через некоторое время n будет возвращена сумма S
T
. Для оценки эффективности такой операции можно использовать следующие показатели
— относительный рост, относительная величина ставки процента, называемая интересом
0 0
T
S
S
i
S
−
=
;
— относительная скидка, или дисконт Эти показатели характеризуют приращение капитала кредитора, отнесенное либо к первоначальной сумме (интерес, либо к конечной сумме (дисконт.

92 Между этими показателями существует связь, которая находится путем совместного решения этих уравнений, откуда можно получить следующие модели
;
1 Уравнение эквивалентности Для определения выгодности финансовых операций используют сравнительную доходность, которая на основе допущения о равенстве финансовых результатов различных вариантов проведения операций приводит к понятию эквивалентных процентных ставок простых или сложных процентов. Это позволяет получить инструмент корректного сравнения финансовых операций. Эквивалентные ставки дают одинаковые финансовые результаты или наращенные суммы S
T
при равных промежутках времени. Для этих целей используют базовые модели вычисления наращенных сумм реальных процентных ставок
(
)
0 0
1
,
,
1
T
T
S
S
S
ni
S
nd
=
+
=
−
(
)
0 0
1
,
,
(1
)
n
T
c
T
n
c
S
S
S
i
S
d
=
+
=
−
0 На этом основании можно в обобщенном виде написать модели связи возможных вариантов сочетания эквивалентных ставок. Для нахождения эквивалентных ставок составляют уравнения эквивалентности последующим правилам. Рассматривается результат инвестирования капитала на срок n лет S
T
=
S
0
+
D, где D — доход.

93 Эту операцию можно сопоставить с эквивалентной операцией вложения средств, например, поставке простых процентов э Тогда сумма вложенных средств с процентами будет равна
(
)
0 1
T
э
S
S
ni
=
+
Доход по этой операции составит
0 0
0
год
T
э
э
T
D
S
S
S ni
S i
T
=
−
=
=
, где T — срок операции в днях. Следовательно, эквивалентная ставка простых процентов будет равна год э n
S При учете денежных обязательств, например векселей с использованием учетной ставки, доход (дисконт) определяется формулой
0
T
T
D
ndS
S
S
=
=
− , откуда эквивалентная ставка простых процентов будет равна э n
S
nd На основе равенства двух выражений можно составить уравнения эквивалентности для других сочетаний различных вариантов процентных ставок. Так, например, приравнивая наращенные суммы при схемах начисления простых и сложных процентов, получим следующее уравнение эквивалентности
(
)
0 0
1
(1
) ,
n
c
S
ni
S
i
+
=
+

94 из которого следует определение эквивалентной ставки простых процентов
(
)
1 1
,
n
c
э
i
i
n
+
−
=
или эквивалентной ставки сложных процентов
1 э Для начисления сложных процентов получаем следующее уравнение эквивалентности
(
)
0 0
1 откуда получим эквивалентную годовую ставку сложных процентов э 1,
m
j
i
m
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
= +
− которая определяет так называемую годовую эффективную ставку сложных процентов, эквивалентную номинальной сложной процентной ставке, и не зависит от срока операции n. Эффективная ставка сложных процентов, эквивалентная сложной учетной ставке, равна сэ c
,
1
c
d
i
d
=
−
а эквивалентная номинальной сложной учетной процентной ставке равна
1 1.
m
cy
f
i
m
⎛
⎞
= Эти показатели необходимы для оценки реальной доходности финансовых операций или для сравнения различных процентных ставок, что в конечном итоге позволяет вычислить доходность и аргументировать выбор варианта для инвестирования капитала. Пример 6.1 Кредит на 2 года получен под 60 % — номинальную ставку сложных процентов. Начисление происходит ежеквартально. Оценить эффективность операции через эквивалентные простую и сложную ставки процентов. Решение. Из условия примера имеем, 6,
2,
4.
j
n
m
=
=
=

95 1. Эквивалентная ставка простых процентов
(
)
0 0
1 1
nm
j
S
ni
S
m
⎛
⎞
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
; э 1
1, 03.
m
j
m
i
n
⎛
⎞
+
−
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
2. Эквивалентная эффективная ставка сложных процентов
(
)
0 0
1 1
nm
n
c
j
S
i
S
m
⎛
⎞
+
=
+
⎜
⎟
⎝
⎠
; э 1 0, 749.
m
j
i
m
⎛
⎞
= +
− Объединение потока платежей в один Объединение потока платежей в один называется также консолидацией платежей. При этом определяют либо сумму консолидированного платежа при известном сроке, либо срок при известной сумме. Рассмотрим задачу определения суммы платежа. Пусть имеются k платежей, которые заменяются одной суммой с известным сроком n
0
. Нужно определить Всем платежам до момента присвоим номер t и пусть будет таких платежей Та платежам после момента присвоен номер l и всего таких платежей L. Сумма консолидированного платежа при начислении простых процентов определяется по формуле
(
)
0 0
0 1
1 0
1 1 (
)
T
L
l
t
t
l
l
S
S
S
n
n i
t
n
n Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей, то формула перепишется в виде
(
)
0 0
1 1
t
t
t
S
S
n
n i
=
=
+
−
∑
⎡
⎤
⎣
⎦

96 Пример 6.2 Три платежа 5 000 руб. со сроком 130 дней, 3 000 руб. со сроком дней и 8 000 руб. со сроком 320 дней заменяются одним со сроком 250 дней. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 20 % годовых. Определить сумму консолидированного платежа при базе Т
год
=365. Решение. Сумма консолидированного платежа
0 250 130 250 165 5 000 1+
0,2 +3 000 1+
0,2 365 365 8 000
+
16 172 руб. 98 коп 250 1+
0,2 Сумма консолидированного платежа при начислении сложных процентов определяется по формуле
[ ]
0 0
0 0
1 Если срок консолидированного платежа наступит позже последнего срока заменяемых платежей, то формула перепишется в виде
[ ]
0 0
1 Пример 6.3 Три платежа 5 000 руб. со сроком 2 года, 4 000 руб. со сроком
4 года и 6 000 руб. со сроком 5 лет заменяются одним со сроком
3 года. Стороны договорились об использовании сложной процентной ставки 25 % годовых. Определить сумму консолидированного платежа. Решение. Сумма консолидированного платежа при начислении сложных процентов
0 2
4 000 6 000 5 000 1, 25 +
+
=18 290 1,25 руб

97 Для определения срока консолидированного платежа уравнение эквивалентности представляют как равенство современных стоимостей заменяемых и консолидируемого платежей
0 1
0 1
1
L
l
l
l
S
S
n i
n i
=
= ∑
+
+
. Тогда срок определится из уравнения
0 0
1 1
1 1
L
l
l
l
S
n
S
i
n Пример 6.4 Три платежа 8 000 руб. со сроком 130 дней, 10 000 руб. со сроком 160 дней и 4 000 руб. со сроком 200 дней заменяются одним в размере 21 000 руб. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 20 % годовых. Определить срок консолидированного платежа при базе Т
год
=365. Решение. Сумма консолидированного платежа
1 8000 10000 4 000 20 266 руб. 92 коп 160 200 1
1 0, 2 1
0, 2 1
0, 2 365 365 365
L
l
l
l
S
n Срок консолидированного платежа
0 1
21000 1
0,18086 0, 2 20 266,92
n
⎛
⎞
=
− =
⎜
⎟
⎝
⎠
года. Срок в днях
365 0,18086 Для определения срока консолидированного платежа уравнение эквивалентности, в случае сложных процентов, представляют как равенство современных стоимостей заменяемых и консоли- дируемого платежей
0 0
1
(1
)
(1
)
l
L
l
n
n
l
S
S
i
i
=
= ∑
+
+
. Тогда срок определится из уравнения
0 1
0
ln
(1
)
ln(1
)
l
L
l
n
l
S
S
i
n
i
=
∑
+
=
+
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

98 Пример 6.5 Три платежа 2 000 руб. со сроком 2 года, 4 000 руб. со сроком
3 года и 3 000 руб. со сроком 4 года заменяются одним в размере
8 000 руб. Стороны договорились об использовании сложной процентной ставки 18 % годовых. Определить срок консолидированного платежа. Решение. Сумма консолидированного платежа
2 3
4 1
2000 4000 3000 5 418 руб. 26 коп 1,18 1,18 1,18
L
l
l
l
S
n i
=
=
+
+
=
∑
+
Срок консолидированного платежа
0 8000
ln
5 418, 26 2,354
ln 0,18
n
=
=
года. Замена одного потока платежей другим В практике довольно часто возникают ситуации, когда один поток платежей заменяется другим. Для соблюдения неизменности финансовых отношений сторон дои после заключения контракта расчет платежей в этом случае базируется на уравнении эквивалентности. Задача в общем виде может быть сформулирована следующим образом пусть заменяемые платежи с номерами 1, 2, …, m и со сроками, пронумерованными соответственно, заменяются другим потоком платежей, сумма выплат которого и сроки имеют номера 1, 2, …, v. Пусть n
0
— базовая дата, в которой осуществляется расчет всех платежей. Выбор базовой даты влияет на искомую величину выплаты при использовании простых процентов и не влияет при использовании сложных процентов. В момент выплата может быть предусмотрена и не предусмотрена. В последнем случае S
0
=0. Здесь всем заменяемым платежам до момента присвоен номера заменяющим номер l, после момента заменяемым платежам присвоен номер k, заменяющим — r.

99 При наличии простых процентов уравнение эквивалентности имеет вид
(
)
(
)
0 0
1 1
0 0
0 1
1 0
1 1 (
)
1 1 (
)
T
K
k
t
t
k
k
L
R
r
l
l
l
r
r
S
S
n
n i
t
n
n i
S
S
n
n i
S
n
n Здесь в левой части уравнения в первую сумму входят все наращенные заменяемые платежи со сроками меньше базовой даты, а во вторую сумму входят все дисконтированные заменяемые платежи со сроками больше базовой даты. Тоже самое и для замещающих платежей. Если базовая дата равна нулю, то остаются только дисконтированные составляющие
0 1
1 1
1
K
R
k
r
k
r
k
r
S
S
S
n i
n Пример 6.6 Три платежа 8 000 руб, 10 000 руби руб. с выплатами
1 апреля июня и 1 сентября данного года соответственно заменяются двумя, причем 1 июля выплачиваются 20 000 руб, а остаток — 1 декабря этого же года. Стороны договорились об использовании простой процентной ставки 25 % годовых, база —
360 дней, количество дней в месяце —30. Определить остаток долга на 1 июля и 1 декабря. Решение. Используются следующие временные интервалы
1 апреля — 15 июня — 75 дней,
15 июня — 1 июля — 15 дней,
1 июля — 1 сентября — 60 дней,
1 сентября — 1 декабря — 90 дней.

100 При базовой дате 1 июля уравнение эквивалентности имеет вид
1 90 15 8 000 1 0, 25 10 000 1 0, 25 360 360 4 000 20 000 60 150 1
0, 25 1
0, 25 360 Решив это уравнение, имеем 2 698 руб. 77 коп.
S
=
При базовой дате 1 декабря уравнение эквивалентности имеет вид
2 240 165 8 000 1 0, 25 10 000 1 0, 25 360 360 60 150 4 000 1 0, 25 20 000 1 0, 25 360 Решив это уравнение, имеем
2 2 645 руб. 83 коп.
S
=
При начислении сложных процентов при проведении к базовой дате уравнение эквивалентности имеет вид
[ ]
[ ]
0 0
0 0
0 0
1 1
1 1
1 Чаще всего за базовую дату в этом случае принимают начало процесса, те. В этом случае имеем
0 Пример 6.7 Три платежа 2 000 руб. со сроком 2 года, 4 000 руб. со сроком
3 года и 3 000 руб. со сроком 4 года заменяются двумя, причем через год выплачивается 2 000 руб, а остаток — через 5 лет. Стороны договорились об использовании сложной процентной ставки годовых. Определить остаток долга.

101 Решение. Уравнение эквивалентности можно записать в виде
2 3
4 5
2 000 4000 3000 2000 1, 25 1, 25 1, 25 1, 25 1, Отсюда находим 9 023 руб. 44 коп.
S
=