Финансовая математика сб задач. Ббк я ф издается в соответствии с планом учебнометодической работы Сибагс рецензенты А. Л. Осипов канд физмат наук, доцент кафедры экономической информатики нгуэу Е.
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
Пример 3.3 Клиент имеет вексель на 10 000 руб, который он хочет учесть 01.03.1998 г. в банке по сложной учетной ставке, равной 7 %. Какую сумму он получит, если срок погашения векселя 01.08.1998 г Решение. Срок от даты учета до даты погашения векселя равен Т = 31 + 30 + 31 + 30 + 31 + 1 – 1 = 153 дня Число дней в году Т год = 365 дней S T = 10 000 руб d= 0,07. Клиент получит сумму год 365 0 (1 ) 10 000 1 0, 07 9 700 руб. 38 коп. T T T c S S d = − = − = Пример 3.4 Банк учитывает вексель за 2 года до срока его оплаты по простой учетной ставке d = 6 %. Какую сложную учетную ставку должен установить банк, чтобы его доход остался прежним Решение По условию задачи n = 2 года d = 0,06. Доход банка D = S T – S 0 . При применении простой учетной ставки d: год 41 При применении сложной учетной ставки d c : (1 (1 ) ) n T c D S d = − По условию доход одинаковый, поэтому должно выполняться соотношение (1 (1 ) ) n T c T D S d ndS = − − = , следовательно, (1 – ст. е. сложная учетная ставка должна быть несколько больше, чем простая. В финансовых операциях используется также и номинальная годовая учетная ставка, по которой при начислении m разв году можно определить 0 1 100 Tm T T f S S m ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ год Пример 3.5 Банк учитывает вексель по номинальной учетной ставке f = 8 % с начислением процентов 3 раза в году и желает перейти к сложной учетной ставке d c . Какой величины должна быть ставка d c , чтобы доход банка не изменился Решение Из условия задачи f = 0,08 %; m = 3. Обозначим число лет за n. Чтобы доход не менялся, выданная банком сумма должна быть одинакова. В случае номинальной учетной ставки d год В случае сложной учетной ставки d c 0 1 100 T T T dс S S = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ год Отсюда: 1 1 100 год год, 42 3 0, 08 1 1 1 1 0, 078 3 m f dc m = − − = − − = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ , те. сложная учетная ставка будет меньше номинальной. В теоретических финансовых расчетах часто используется непрерывное начисление процентов При этом годовая процентная ставка δ называется силой роста и может задаваться как постоянной, таки зависящей от времени. Выплаты при переменной силе роста рассчитываются по формуле 0 0 n dt T S S При линейном изменении силы роста от времени множитель наращения имеет вид 0 в б (б в ) 2 n n n t dt k e e ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∫ = = , где α — начальное значение силы роста, β — прирост силы роста. При экспоненциальном изменении силы роста от времени множитель наращения имеет вид ( б б Начальную сумму для рассмотренных случаев можно переписать в виде в б 0 n n T S S e − − = , ( 1) 0 n e T S S Начальная сумма при постоянной силе роста рассчитывается по формуле д 0 n Т S S e − = 43 Связь дискретных ставок i и j с силой роста находится из равенства множителей наращения дискретных и непрерывных ставок те. д, д 1 mn n j e m + = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Решив эти уравнения, получим д ln(1 ) c i = + , д Пример 3.6 Наращенная сумма в течение 3,5 лет составляет 30 000 руб. Найти первоначальную сумму и силу роста при условии, что проценты начисляются по сложной годовой ставке 22 %. Вычислить наращенную сумму при непрерывном начислении процентов. Решение. Сила роста δ = ln(1 + i) = ln1,22 = 0,19885084. Первоначальная сумма составит 0 3,5 1 30 000 14 957, 6 1, 22 год руб. Наращенная сумма при непрерывном начислении процентов составит д 0,19885084 0 14 957, 6 300 000 n T S S e е ⋅ = = = руб. Таким образом, наращенные суммы при дискретном и непрерывном начислении совпадают. В целом вычисления с применением дисконтирования могут быть сложны, и для облегчения вычислений могут использоваться таблицы дисконтирования. В этих таблицах приведены дисконтирующие множители, соответствующие различным процентным ставкам в зависимости от временного периода. Так, ниже в таблице приведены дисконтирующие множители для процентных ставок от 4 дои для периодов от 1 года до 5 лет. 44 Годовая процентная ставка Количество лет 4 % 6 % 8 % 10 % 1 2 3 4 5 0,962 0,925 0,889 0,855 0,822 0,943 0,890 0,840 0,792 0,747 0,926 0,857 0,794 0,735 0,681 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621 Такую таблицу можно использовать для определения суммы вложения, необходимой для достижения определенной суммы в течение заданного периода времени. Так, если через 5 лет при процентной ставке в 6 % требуется иметь суммув 500 ф. ст, то необходимая сумма вложения находится по таблице следующим образом вложение налет при процентной ставке 6 % имеет дисконтирующий множитель 0,747, что видно из таблицы. Следовательно, сумма, которую необходимо вложить сейчас, чтобы потом иметь 500 ф. ст, рассчитывается следующим образом 0,747 × 500 = 373,50 ф. ст. УПРАЖНЕНИЯ 3.1. Какой вклад необходимо сделать, чтобы через 10 лет получить 12 500 руб, при процентной ставке равной 11,7 %? 3.2. По векселю через 5 лет должна быть выплачена сумма 1 000 000 руб. Банк учел вексель по сложной учетной ставке 10 % годовых. Определить дисконт. 3.3. Провести сравнение для заемщика математического дисконтирования и банковского учета по учетной ставке 30 % при величине кредита 50 000 руб. 3.4. На капитал в 3 000 000 руб. в течение 3 лет осуществляется наращение простыми процентами по учетной ставке 33 %. Найти приращение первоначального капитала за каждый год и общую наращенную сумму. 45 3.5. Вексель на сумму 1 000 руб. с погашением 10 декабря предъявлен в банк для оплаты 20 октября по учетной ставке 25 % годовых. Определить сумму, выплаченную владельцу векселя, и сумму дисконта при использовании германской практики расчетов. 3.6. Вексель на сумму 1 000 руб. предъявлен в банк для оплаты задней до срока его погашения. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, если банк может использовать простую ставку процентов или учетную ставку, равную 20 % годовых, при использовании германской практики расчетов. 3.7. Вексель на сумму 500 000 руб. выдан на 100 дней сна- числением по нему процентов поставке годовых при использовании германской практики расчетов. Банк учел вексель задней до срока оплаты по учетной ставке 15 % годовых. Определить сумму, полученную предъявителем векселя, и сумму дохода банка. 3.8. Требуется найти современное значение долга, полная стоимость которого через 3 года составит 7 000 руб. Проценты начисляются последующим ставкам a) 140 % в конце каждого года б) 20 % в конце каждого квартала в) 120 % годовых в конце каждого месяца. 3.9. Определить сумму вложения, необходимую сейчас, стем, чтобы накопить сумму в 1 000 ф. ст. по окончании заданных периодов аза лет при 4 % годовых б) за 2 года при 7 % годовых в) залет при 10 % годовых. 3.10. Банк начисляет проценты на вклады до востребования по сложной ставке 80 % годовых с использованием германской практики. Определить сумму вклада для накопления с 10 мая по 25 ноября 2005 груб. Банк начисляет ежемесячно сложные проценты по номинальной годовой ставке 80 % годовых с использованием французской практики. Определить сумму вклада для накопления с 12 февраля до 8 августа 2005 груб. Банк начисляет ежемесячно сложные проценты по номинальной ставке 10 % годовых с использованием английской практики. Определить сумму вклада для накопления с 12 января по 5 августа 2005 груб. Сравнить количество дней, необходимых для накопления руб. при ежемесячном начислении процентов по сложной номинальной ставке 60 % годовых, при различных практиках начисления процентов германской, английской и французской. 3.14. Кредит 40 000 руб. выдается по простой ставке 50 % годовых. Определить срок кредита, если заемщик желает получить руб. 3.15. Определить все варианты учетных ставок для кредита 40 000 руб. на полгода, если заемщик получает 30 000 руб. 3.16. Вексель учтен в банке по учетной ставке 30 % годовых за полгода до срока его погашения. Определить значение эффективной годовой ставки процентов. 3.17. До срока оплаты векселя осталось 100 дней. Вексель учтен в банке по учетной ставке 40 % годовых при расчетном количестве дней в году 360. Определить доходность операции учета по эффективной ставке простых процентов для расчетного количества дней в году 365. 3.18. До срока погашения векселя осталось 50 дней. Банк использует при выдаче кредитов простую ставку 120 % годовых. Определить эквивалентные значения учетной ставки, обеспечивающей равную доходность, если расчетное количество дней в году при начислении процентов по кредиту равно 365 дней, а при учете векселей — 360 дней. 47 3.19. «Автобанк» принимает вклады до востребования под 12 % годовых. Определить эквивалентное значение учетной ставки при учете векселя вдень его погашения со сроком обращения дней и количестве дней в году 360, чтобы обеспечить эквивалентную доходность при приеме вкладов до востребования. Из какого капитала можно получить 4 000 руб. через 5 лет наращением сложными процентами поставке, если наращение осуществлять ежеквартально Какова при этом получится величина дисконта 3.21. Определить современное значение суммы в 4 000 руб, если она будет выплачена через 2 года и 3 месяца и дисконтирование производилось по полугодиям по номинальной годовой учетной ставке 10 %. 3.22. Через сколько лет на счете в банке будет сумма в 5 600 руб, если вложили 3 400 руб. при коэффициенте дисконтирования годовых 3.23. Рассчитайте, при какой учетной ставке ожидаемая к поступлению сумма в $5 000 соответствует текущему значению, если время дисконтирования 6 лет. 3.24. Сумма в 5 млн руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12 % годовых. 3.25. Срок до погашения векселя равен 2 годам. Дисконт при его учете составил 30 %. Какой сложной годовой учетной ставке соответствует этот дисконт 3.26. Сумма, на которую начисляются непрерывные проценты, равна 2 млн руб, сила роста — 10 %, срок — 5 лет. Найти наращенную сумму и эквивалентную годовую ставку сложных процентов. 3.27. Определить современную стоимость платежа долгового обязательства на сумму 5 млн руб, срок оплаты которого наступает через 5 лет, при условии, что дисконтирование производится по силе роста 12 % годовых и по дискретной сложной учетной ставке такого же размера. 3.28. Пусть начальное значение силы роста равнопроцентная ставка непрерывно и линейно изменяется, прирост за год составляет 2 %. Срок наращения — 5 лет. Найти коэффициент наращения в случае увеличения и уменьшения прироста. 3.29. Начальный уровень силы роста 8 %, процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 20 %, те. темп прироста за год составляет 1,2), срок наращения — 5 лет. Необходимо определить множитель наращения. Каков ваш выбор — получение $5 000 через год или $12 000 через 6 лет, если коэффициент дисконтирования равен а) 0 %, б) 12 %, в) 20 %? Стоимость обучения в вузе за й, й, й, й и й курсы составляет 15 000, 16 000, 17 000, 18 000, 19 000 руб. соответственно. Какую сумму достаточно положить за 1 год до поступления в вуз в банк, обеспечивающий выплату 18 % годовых, для покрытия всех расходов на обучение 3.32. Рассчитайте текущую стоимость каждого из приведенных ниже денежных поступлений, если коэффициент дисконтирования равен 12 %: а) 5 млн руб, получаемые через 3 года б) 50 млн руб, получаемые через 10 лет. 3.33. Фирме нужно накопить $2 000 000, чтобы через 10 лет приобрести здание под офис. Наиболее безопасным способом накопления является приобретение без рисковых государственных ценных бумаг, генерирующих годовой доход поставке при полугодовом начислении процентов. Каким должен быть первоначальный вклад фирмы 3.34. Через 60 дней после займа Иванов выплатил ровно 10 000 руб. Сколько было занято, если 10 000 руб. включают основную сумму и обыкновенный простой процент при 12 %? 49 3.35. Иванов 16 ноября 1994 г. продал сберегательному банку вексель, согласно которому 9 февраля 1995 г. через год после выдачи векселя, по требованию Иванова векселедатель обязуется выплатить руби простой процент 6 % годовых. Если сбербанк использует 7 % норму процента авансом, какой будет выручка Какую норму процента реализует банк при такой инвестиции 3.36. Вексель на 10 175 руб, погашаемый через 90 дней, продан банку, который установил 7 % норму простого процента при дисконтировании. Какой будет процент в рублях 3.37. Иванов намерен получить ссуду в сбербанке на 120 дней. Если банк начисляет 7 % авансом, то какую сумму должен просить Иванов, чтобы получить на руки 100 000 руб 3.38. Определить текущую стоимость 100 000 руб, подлежащей уплате через 3 года, при использовании сложной процентной ставки 30 % годовых. 3.39. Кредит выдается на полгода по годовой учетной ставке 30 %. Определить сумму, получаемую заемщиком, и величину дисконта, если сумма долга равна 50 000 руб. 3.40. Владелец векселя на сумму 10 000 руб. учел его в банке за 2 месяца до срока погашения по годовой ставке 20 %. Определить выкупную (учетную) стоимость векселя, те. сумму, которую получил владелец. 3.41. Сумма 50 000 руб. выдается в ссуду на полгода по годовой учетной ставке 30 %. На какую сумму следует выдать вексель 3.42. Определить текущую стоимость векселя на сумму 50 000 руб. сроком на 2 года при использовании сложной учетной ставки 40 % годовых. 3.43. Банк учел вексель за 70 % его номинала за полгода до его выкупа. Какова доходность операции для банка 3.44. Сумма в 5 000 000 руб. выплачивается через 5 лет. Необходимо определить ее современную величину при условии, что применяется ставка сложных процентов, равная 12 % годовых. 50 3.45. Через 180 дней после подписания договора должник уплатит 310 000 руб. Кредит выдан под 16 % годовых. Какова первоначальная сумма долга при условии, что временная база равна 365 дням 3.46. Долговое обязательство на сумму 5 000 000 руб, срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной ставке 15 % годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта 3.47. Долговое обязательство на сумму 5 000 0000 руб, срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по сложной номинальной ставке 15 % при поквартальном учете. Каков размер полученной за долг суммы и эффективную учетную ставку 3.48. Тратта (переводной вексель) выдана 17.07.2000 г. на сумму 1 000 000 руб. с уплатой 17.11.2000 г. Владелец учел его в банке 23.09.2000 г. по учетной ставке 20 %. На всю сумму долга начисляются проценты поставке простых 20,5 % годовых. Найти полученную сумму при учете векселя. 3.49. Определить значение учетной ставки банка, эквивалентной ставке простых процентов 80 % годовых. 3.50. Дата погашения дисконтного векселя — 22 июля текущего года. Определить выкупную цену и дисконт на 2 июля векселя номиналом 100 000 000 руб, если вексельная ставка составляет годовых, а число дней в году принять за 360. 51 Тема 4 ИНФЛЯЦИЯ И НАЛОГИ Инфляция характеризуется обесценением национальной валюты, снижением ее покупательной способности и общим повышением цен в стране. При наличии инфляции инвестор может потерять часть дохода, а заемщик может выиграть за счет погашения задолженности деньгами сниженной покупательной способности. На этом основании необходимо установить количественные соотношения по определению влияния инфляции на показатели финансовой операции. Следует заметить, что если наблюдается общее снижение цен, то происходит дефляция. Все показатели финансовой операции можно разделить на две группы номинальные, рассчитанные в текущих ценах, и реальные, учитывающие влияние инфляции, рассчитанные в сопоставимых ценах базового периода. На этом основании полагают, что изменение (рост или падение) потребительских цен определяется безразмерным показателем, называемым индексом инфляции, который определяет, во сколько раз выросли цены в период (0, Та относительная величина уровня инфляции есть темп инфляции б Уровень инфляции определяют в процентах б % 100 Индекс инфляции показывает, во сколько раз выросли цены, а уровень инфляции — насколько процентов выросли цены за рассматриваемый период. 52 При проведении исследования стоимость потребительской корзины фиксируется через, например, равные промежутки времени, что можно записать таким образом S 0 , S 1 , S 2 , …, S n . Аналогично, для темпов инфляции на этих интервалах α 0 , α 1 , α 2 , …, Тогда индекс инфляции завесь период будет равен 0 0 (1 б Следует заметить, что при равенстве значений темпов инфляции на всех интервалах 0 (1 б +Пример 4.1 Постоянный темп инфляции на уровне 5 % в месяц приводит к росту ценза год в размере 12 0 (1 б, 05 1, 796 n n S I S = = + = = , те. годовой темп инфляции — 79,6 %. Пусть приросты цен по месяцам составили 1,5; 1,2; и 0,5 %. Индекс ценза месяца равен б ) 1, 015 1, 012 1, 005 1, 0323 n j i I = = + = × × = ∏ . Темп инфляции за 3 месяца — 3,23 %. Рассмотрим различные варианты начисления процентов с учетом инфляции. Для простых процентов обозначим i p ставку процентов, учитывающую инфляцию. Тогда для наращенной суммы имеем выражение ( ) ( ) 0 0 1 р I = + = + , откуда получим модель определения ставки простых процентов, учитывающей инфляцию ( ) 1 1 p ni I r n + − = , где i — реальная процентная ставка, I — индекс инфляции. 53 Наращенная сумма с учетом ее обесценивания вычисляется по формуле 0 б 0 (1 ) (1 ) p T S nr S S S ni I I + = = = + |