Курсовая работа. Биномиальные коэффициенты

• Название: Биномиальные коэффициенты
• Дата: 19.09.2018
• Размер: 0.86 Mb.
• Имя файла: Курсовая работа.doc
• Тип: Курсовая; #51079
• страница: 1 из 5

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

БРЯНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

имени академика И.Г. Петровского

Филиал в г. Новозыбкове

Кафедра математики, физики и информатики

Курсовая работа

на тему:
«БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ»


Выполнила:

студентка 402 группы

Сторожева В.Ю.
Научный руководитель:

старший преподаватель

Савичева Г.В.

Новозыбков 2009

Оглавление

Введение 4

Глава 1. Комбинаторные схемы 6

1.1 Расстановки без повторений 6


1.1.1. Правило суммы 6

1.1.2. Правило прямого произведения 7

1.1.3. Размещение без повторения 7

1.1.4. Перестановки 7

1.1.5. Сочетания 8

1.2 Полиномиальная формула 9

1.2.1.Бином Ньютона 9

Глава 2. Биномиальные коэффициенты 12

2.1 Понятие биноминальных коэффициентов 12

2.2 Основные тождества 14

Заключение 36

Список литературы 37

Приложение 39

Введение

Комбинаторика – раздел математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подсчитанных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Комбинаторика становится наукой лишь в XVII веке – в период, когда возникла теория вероятности. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было подсчитывать число различных комбинаций, подсчитанных тем или иным условием. После первых работ , выполненных в XVI в. итальянскими учеными Дж.Кардано, Н.Тартальей и Г.Галилеем, такие задачи изучал французский математик Б.Паскаль. В 1665 году был опубликован трактат об «Арифметическом треугольнике», в котором был рассмотрен треугольник Паскаля, популярность чисел составляющих треугольник Паскаля, не удивительна: они возникают в самых естественных задачах алгебры, комбинаторики, теории вероятности, математического анализа, теории чисел.

В нашей жизни мы широко используем раздел математики, называемый комбинаторным анализом. Этот раздел математики изучает так называемые конечные множества. Множества, состоящее из n элементов, называются n –элементными. Однако мы можем выбрать k элементов из n – элементного множества. Каждая k-элементная часть n-элементного множества называется сочетание из n элементов по k . Одна из задач комбинаторного анализа состоит в нахождении числа комбинаций из n элементов по k. Обычно это число обозначается через . Это обозначение называют биномиальными коэффициентами, а формулу С= - биномиальной теоремой или Биномом Ньютона. Заслуга Ньютона в том, что он обобщил эту формулу для нецелого показатель n.

В данной курсовой работе будет сделан обзор комбинаторных формул и биномиальных коэффициентов, наиболее важных для вычислительных задач.

Цель работы: рассмотреть сравнительно не большое число простых правел, с помощью которых можно решать подавляющее большинство практических задач с биномиальными коэффициентами.

Работа будет полезной для студентов математического факультета при изучении комбинаторных схем и биномиальных коэффициентов.

Глава 1. Комбинаторные схемы

1.1 Расстановки без повторений

Пусть имеются два множества А и В.Рассмотрим все пары элементов при условии, что первый элемент берется из множества A, а второй — из множества B. Полученное таким образом множество называется прямым произведением AB множеств Aи B.Напомним некоторые операции над множествами, которыми время от времени будем пользоваться.

АВ={()|_,}-прямое произведение множеств.

АВ={|} - объединение множеств.

AB-пересечение множеств.

A\B = - разность множеств.

Ø - пустое множество.

U - универсальное множество.

=UA={x|xA}-дополнение множества.

1.1.1. Правило суммы

Пусть Aи B конечные множества такие, что AB=Ø, и . Тогда .

Интерпретация. Если элемент можно выбрать mспособами, а элемент -n способами, то выбор элемента можно осуществить т + nспособами. Пусть— попарно непересекающиеся множества, Ø, где i ≠ j. Тогда, очевидно, выполняется равенство

1.1.2. Правило прямого произведения

Пусть А и В конечные множества, и , тогда .
Интерпретация.Если элемент можно выбрать mспособами и если после каждого такого выбора элемент можно выбрать n способами, то выбор пары (a,b)в указанном порядке можно осуществить способами. В этом случае говорят, что выбор элементов множества А не зависит от способа выбора элементов множества В. Пусть теперь— произвольные множества,.Тогда

_{Приложение 3.1.}

1.1.3. Размещение без повторения

Имеются n различных предметов . Сколько из них можно составить расстановок длины k? Две расстановки считаются различными, если они отличаются видом входящих в них элементов или порядком их в расстановке. Такие расстановки называются размещения без повторений, а их число обозначают А. При составлении данных расстановок на первое место можно Поставить любой из имеющихся nпредметов. На второе место теперь можно поставить только любой из n— 1 оставшихся. И, наконец, на k-е место — любой из п-k+1 оставшихся предметов. По правилу прямого произведения получаем, что общее число размещений без повторений из nпо k; равно Напомним, что 0!=1

Приложение 3.2.

1.1.4. Перестановки

При составлении размещений без повторений из n по k; получали расстановки, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком элементов. Но если брать расстановки, которые включают все n элементов, то они могут отличаться друг от друга лишь порядком входящих в них элементов. Такие расстановки называются перестановками из nэлементов, а их число обозначается P. Следовательно, число перестановок равно!. Перестановки π=(π,π,…,π) элементов 1, 2,..., nзаписывают и в матричной форме , где верхняя строка — это по рядковые номера 1, 2,..., n позиций элементов в перестановке; нижняя строка — тот же набор чисел 1,2,..., n, взятых в каком-либо порядке; П — номер элемента на j-м месте перестановки. Порядок столбцов в перестановках, записанных в матричной форме, не является существенным, так как в этом случае номер позиции каждого элемента в перестановке указывается явно в верхней строке. Например, перестановка (3,2,4,1) из четырех элементов может быть записана как и т.д.

Приложение 3.3

1.1.5. Сочетания

В тех случаях, когда не интересует порядок элементов в расстановке, а интересует лишь ее состав, то говорят о сочетаниях. Сочетаниями из nразличных элементов по k; называют все возможные расстановки длины k, образованные из этих элементов и отличающиеся друг от друга составом, но не порядком элементов. Общее число сочетаний обозначают через С или .
Определим это число. Составим все сочетания из n по k. Затем переставим в каждом сочетании элементы всеми возможными способами. Теперь мы получили расстановки, отличающиеся либо составом, либо порядком, т.е. это все размещения без повторений из n по k. Их число равно А. Учитывая, что каждое сочетание дает k! размещений, то по правилу произведения можно записать или . Тогда

Приложение 3.4.