Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения
 Скачать 1.54 Mb.
|
|
Высшая математика – просто и доступно! Блиц-курс «Дифференциальные уравнения» Данный курс позволяет буквально за день-два научиться решать наиболее распространённые типы дифференциальных уравнений. Методичка предназначена для студентов заочных отделений, а также для всех читателей, которые недавно приступили к изучению темы и хотят в кратчайшие сроки освоить практику. Внимание! Это демонстрационная версия книги! Автор: Александр Емелин © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 2 Оглавление 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ....................................................... 3 1.1. Понятие дифференциального уравнения ............................................................. 3 1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.................... 4 1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка ........................ 16 1.4. Линейное неоднородное уравнение первого порядка ....................................... 26 1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли ........................................................... 34 1.6. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах ............................. 40 2. Дифференциальные уравнения высших порядков ................................................... 48 2.1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка ............... 48 2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка ....... 55 2.3. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка ..... 61 2.4. Коротко о линейных уравнениях более высоких порядков ............................. 72 Решения и ответы ............................................................................................................ 74 © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 3 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Эти два слова (ДУ) или, как их сокращают – диффуры, обычно приводят в ужас среднестатистического обывателя. Более того, дифференциальные уравнения кажутся чем-то запредельным и трудным в освоении и многим студентам: уууууу… дифференциальные уравнения, как бы мне всё это пережить?! Но я не буду «кормить» вас этими мифами и запугивать (как в той сказке), а наоборот – только развеселю! Потому что на самом деле Дифференциальные уравнения – это ПРОСТО и очень увлекательно. Добро пожаловать в мою сказку! Сначала вспомним обычные уравнения. Они содержат переменные и числа. Простейший пример: 12 3 x . Что значит решить обычное уравнение? Это значит, найди множество чисел, которые удовлетворяют данному уравнению. Легко сообразить, что детское уравнение 12 3 x имеет единственный корень 4 x . Выполним проверку, подставив найденный корень в наше уравнение: 12 4 3 12 12 – получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Диффуры устроены примерно так же! 1.1. Понятие дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 1) независимую переменную x ; 2) зависимую переменную y (функцию); 3) первую производную функции: y В некоторых случаях в уравнении может отсутствовать «икс» или (и) «игрек», но это ерунда – ВАЖНО чтобы в нём была первая производная y , и не было производных высших порядков – y , y и т.д. Как вы правильно догадываетесь, дифференциального уравнение «энного» порядка обязательно содержит производную n -го порядка: ) (n y и НЕ содержит производные более высоких порядков. Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций C y x F ) ; ( , где C – произвольная постоянная, которые удовлетворяют данному уравнению, то есть, корнями дифференциального уравнения являются функции. Такое множество функций часто называют общим интегралом дифференциального уравнения. В ряде случаев решение удаётся представить в «школьном» (явном) виде: ) ; ( C x f y , и тогда его называют общим решением дифференциального уравнения. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 4 1.2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Это простейший и самый распространённый тип дифференциального уравнения. Все методы и тонкости решений будем разбирать прямо на конкретных примерах: Пример 1 Решить дифференциальное уравнение y y x И вопрос первый: с чего начать? В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем громоздкое обозначение производной: dx dy y . Такое обозначение производной многим из вас наверняка казалось нелепым и ненужным, но в диффурах рулит именно оно! Итак, на первой шаге переписываем производную в нужном нам виде: y dx dy x Далее смотрим, а нельзя ли разделить переменные? – на это вообще всегда нужно посмотреть, когда вам дан ЛЮБОЙ диффур 1-го порядка. Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно собрать все «игреки», а в правой – все «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п. Дифференциалы dy и dx – это полноправные множители и активные участники «боевых действий». В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции (Приложение Школьные формулы): x dx y dy Переменные разделены. В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы». Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части: x dx y dy Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные (Приложение Таблица интегралов): C x y ln ln Как мы помним, к любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу C достаточно записать один раз (ибо сумма двух констант – есть константа). В большинстве случаев её помещают в правую часть. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 5 Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным, и общий интеграл C x y ln ln можно считать ответом. Однако многие с этим не согласятся :) И поэтому нам нужно попробовать найти общее решение, то есть попытаться представить функцию в явном виде. Пожалуйста, запомните первый технический приём , он очень распространен и часто применяется в практических заданиях: если в правой части после интегрирования появляется логарифм, то константу почти всегда целесообразно записать тоже под логарифмом. То есть, вместо записи C x y ln ln обычно пишут С x y ln ln ln Здесь С ln – это такая же полноценная константа, как и C (поскольку С ln с таким же успехом принимает все действительные значения, как и C ). Зачем это нужно? А для того, чтобы легче было выразить «игрек». Используем школьное свойство логарифмов: ) ln( ln ln ab b a . В данном случае: Cx y ln ln Теперь логарифмы и модули можно с чистой совестью убрать: Cx y Функция представлена в явном виде. Это и есть общее решение. Итак, множество функций const C Cx y где , является общим решением дифференциального уравнения y y x Ответы многих дифференциальных уравнений довольно легко проверить. В нашем случае это делается совсем просто, берём найденное решение Cx y и находим производную (см. Приложение Таблица производных): С Cx y ) ( Теперь подставляем наше решение Cx y и найденную производную С y в исходное уравнение y y x : Сx С x Сx Сx – в результате получено верное равенство, значит, решение найдено правильно. Иными словами, общее решение Cx y удовлетворяет уравнению y y x Придавая константе C различные значения, можно получить бесконечно много частных решений дифференциального уравнения. Любая из функций x y , x y 3 , 5 x y и т.д. удовлетворяет дифференциальному уравнению y y x Иногда общее решение так и называют – семейством функций. В данном примере общее решение const C Cx y где , – это семейство линейных функций, а точнее, семейство прямых пропорциональностей. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 6 После обстоятельного разжевывания первого примера уместно ответить на несколько наивных вопросов о дифференциальных уравнениях: 1) В этом примере нам удалось разделить переменные: x dx y dy . Всегда ли это можно сделать? Нет, не всегда. И даже чаще переменные разделить нельзя. Например, почти во всех уравнениях следующих параграфов , где нужно использовать различные приёмы и методы нахождения решений. Уравнения с разделяющимися переменными, которые мы рассматриваем сейчас – это простейший тип дифференциальных уравнений. 2) Всегда ли можно проинтегрировать дифференциальное уравнение? Нет, не всегда. Очень легко придумать «навороченное» уравнение, которое в жизнь не проинтегрировать и, кроме того, существуют туча неберущихся интегралов. Но подобные ДУ можно решить приближенно с помощью специальных методов. 3) В данном примере мы получили решение в виде общего интеграла С x y ln ln ln . Всегда ли можно из общего интеграла найти общее решение, то есть, выразить «игрек» в явном виде? Нет не всегда. Например: C xy x y y 2 arcsin ln . Ну и как тут выразить «игрек»?! В таких случаях ответ следует записать в виде общего интеграла, при этом хорошим тоном считается представить его в виде C y x F ) ; ( – с одинокой константой в правой части: C y x xy y ln arcsin 2 . Однако это вовсе не обязательное правило, а, порой, и неуместное действие. Кроме того, в ряде случаев общее решение найти можно, но оно записывается настолько громоздко и коряво, что уж лучше оставить ответ в виде общего интеграла. Пожалуй, пока достаточно. В первом же уравнении нам встретился ещё один очень важный момент, но дабы не накрыть вас лавиной новой информации, торопиться не буду. Еще одно простое ДУ и еще один типовой приём решения: Пример 2 Найти частное решение дифференциального уравнения y y 2 , удовлетворяющее начальному условию 2 ) 0 ( y По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши. Сначала находим общее решение. В уравнении нет переменной «икс», но это не должно смущать, главное, в нём есть первая производная. Переписываем производную в нужном виде: y dx dy 2 Очевидно, что переменные можно разделить, мальчики – налево, девочки – направо: dx y dy 2 © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 7 Интегрируем уравнение: dx y dy 2 * 2 ln C x y Общий интеграл получен. Здесь константу я нарисовал с надстрочной звёздочкой, дело в том, что очень скоро она превратится в другую константу. Теперь пробуем преобразовать общий интеграл в общее решение (выразить функцию в явном виде). Вспоминаем старое, доброе, школьное: b e a b a ln В данном случае: Константа в показателе смотрится как-то некошерно, поэтому её обычно спускают с небес на землю. Если подробно, то происходит это так. Используя свойство степеней (Приложение Школьные формулы), перепишем функцию следующим образом: Если * C – это константа, то * C e – тоже некоторая константа, переобозначим её буквой C : x Ce y 2 Запомните «снос» константы – это второй технический приём , который часто используют в ходе решения дифференциальных уравнений. Итак, общее решение: const C Ce y x где , 2 . Такое вот симпатичное семейство экспоненциальных функций. На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию 2 ) 0 ( y . Это тоже просто. В чём состоит задача? Необходимо подобрать такое значение константы C , чтобы выполнялось заданное начальное условие 2 ) 0 ( y Оформить можно по-разному, но понятнее всего, пожалуй, будет так. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку: 0 2 2 Ce 0 2 Ce 1 2 C то есть, 2 C Стандартная версия оформления: 2 ) 0 ( 0 0 2 С Ce Ce y Теперь в общее решение x Ce y 2 подставляем найденное значение константы 2 C : x e y 2 2 – это и есть нужное нам частное решение. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 8 Выполним проверку. Проверка частного решение включает в себя два этапа. Сначала следует проверить, а действительно ли найденное частное решение x e y 2 2 удовлетворяет начальному условию 2 ) 0 ( y ? Вместо «икса» подставляем ноль и смотрим, что получится: 2 1 2 2 2 ) 0 ( 0 0 2 e e y – да, действительно получена двойка, значит, начальное условие выполняется. Второй этап уже знаком. Берём полученное частное решение x e y 2 2 и находим производную: x x x x e x e e e y 2 2 2 2 4 ) 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 ( Подставляем x e y 2 2 и x e y 2 4 в исходное уравнение y y 2 : x x e e 2 2 2 2 4 x x e e 2 2 4 4 – получено верное равенство. Вывод: частное решение найдено правильно. Переходим к более содержательным примерам. Пример 3 Решить уравнение, выполнить проверку Решение: переписываем производную в «диффурном» виде: 0 ) 1 2 ( сtgx y dx dy Оцениваем, можно ли разделить переменные? Можно. Переносим второе слагаемое в правую часть со сменой знака: сtgx y dx dy ) 1 2 ( И перекидываем множители по правилу пропорции: ctgxdx y dy 1 2 Переменные разделены, интегрируем обе части: ctgxdx y dy 1 2 Должен предупредить, приближается судный день. Если вы плохо изучили неопределенные интегралы, прорешали мало примеров, то деваться некуда – придется их осваивать сейчас. На всякий случай привожу гиперссылку на |