Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Анкор: Реферат
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.54 Mb.
• Имя файла: diffury_demo.pdf
• Тип: Методичка; #548037
• страница: 5 из 12

Пример 16
Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение: данное уравнение имеет «классический» вид
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




линейного уравнения. Проведем замену:
v
u
v
u
y
uv
y







и подставим
uv
y 
и
v
u
v
u
y





в исходное уравнение
2 2
x
xe
xy
y




:
2 2
x
xe
xuv
v
u
v
u






После подстановки вынесем множитель за скобки, какие два слагаемых нужно мучить – смотрите предыдущий пример. Хотя, наверное, все уже поняли:
2
)
2
(
x
xe
xv
v
u
v
u







© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
29
Составляем систему. Для этого приравниванием к нулю то, что находится в скобках:
0 2



xv
v
, автоматически получая и второе уравнение системы:
2 2
0
x
x
xe
v
u
xe
u
v
u








В результате:









2 0
2
x
xe
v
u
xv
v
Из первого уравнения найдем функцию v :
2
ln
2 2
2
x
v
xdx
v
dv
xdx
v
dv
xv
dx
dv










2
x
e
v


– без константы! Найденную функцию подставляем во второе уравнение системы
2
x
xe
v
u



:
2 2
x
x
xe
e
u





Теперь находим функцию u . Уравнение опять получилось простенькое:
x
dx
du 
C
x
xdx
u




2 2
Обе функции найдены:
2
x
e
v


C
x
u


2 2
Таким образом, общее решение:
2 2
2
x
e
C
x
uv
y











Ответ: общее решение:
const
C
e
C
x
y
x











где
,
2 2
2
Без остановки решаем самостоятельно:
Пример 17
Найти общее решение дифференциального уравнения
x
ytgx
y
cos
1



, выполнить проверку.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
30
Как видите, алгоритм довольно прост. В чём особенность решения линейных
неоднородных уравнений 1-го порядка? Особенность состоит в том, практически всегда в ответе получается общее решение, в отличие от тех же однородных уравнений
, где общее решение хорошо выражается крайне редко и ответ приходится записывать в виде
общего интеграла.
Рассмотрим что-нибудь с дробями:
Пример 18
Найти частное решение дифференциального уравнения
0 2
2




x
e
x
y
y
, удовлетворяющее начальному условию
e
y

)
1
(
Напоминаю, что такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
И сразу обратим внимание, что уравнение представлено не совсем в стандартной форме. Этого можно не делать, но я все-таки рекомендую всегда переписывать уравнения в привычном виде
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




:
2 2
x
e
x
y
y



Алгоритм решения полностью сохраняется, за исключением того, что в конце прибавится один небольшой пунктик. Данное уравнение является линейным неоднородным, проведем замену
v
u
v
u
y
uv
y





 ,
:
2 2
x
e
x
uv
v
u
v
u





и типовой «вынос» за скобки:
2 2
x
e
x
v
v
u
v
u






 



Составим и решим систему:









2 2
0
x
e
v
u
x
v
v
Из первого уравнения найдем v :
x
v
x
v
x
v
x
dx
v
dv
x
v
dx
dv
1
ln ln ln ln ln ln
1











x
v
1

– подставим найденную функцию во второе уравнение
2 2
x
e
v
u 

системы:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
31
C
e
x
d
e
dx
xe
u
dx
xe
du
e
x
dx
du
x
x
x
x
x









2 2
2 2
2
)
(
2 2
2 1
2
(здесь интеграл взят методом подведения функции под знак дифференциала)
Обе функции найдены, таким образом, общее решение:
const
C
x
C
e
x
C
e
uv
y
x
x







где
,
1
)
(
2 2
На заключительном этапе нужно решить задачу Коши, то есть найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию
e
y

)
1
(
:
Ответ: частное решение:
x
e
y
x
2

Ещё раз повторим алгоритм проверки частного решения. Сначала проверяем, действительно ли выполняется начальное условие
e
y

)
1
(
?
e
e
y


1
)
1
(
2 1
– да, начальное условие выполнено.
Теперь берём полученный ответ
x
e
y
x
2

и находим производную. Используем правило дифференцирования частного:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)
(
)
(
x
e
e
x
e
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
y
x
x
x
x
x
x
x





















Подставим
x
e
y
x
2

и
2 2
2 2
x
e
e
y
x
x



в исходное уравнение
0 2
2




x
e
x
y
y
:
0 2
2 0
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2








x
x
x
x
x
x
x
x
e
x
e
x
e
e
e
x
x
e
x
e
e
0 0  – получено верное равенство, в чём и хотелось убедиться.
Пример 19
Найти решение задачи Коши
3
)
1
(
1 2





x
x
y
y
,
2 1
)
0
(

y
Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце книги.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
32
Не знаю, обратили вы внимание или нет, но всех задачах я «объявляю» тип дифференциального уравнения. Это не случайность!
В начале решения крайне желательно указать тип уравнения
Это опять же не является каким-то строгим правилом, но «голое» решение могут запросто «завернуть» со вполне обоснованным вопросом: А почему вы здесь провели
такую замену? Риск незачёта серьёзно увеличивается, если в вашей работе «одни формулы». Поэтому
решение нужно обязательно снабжать словесными
комментариями
, пусть минимальными, в частности, указывать, что это за зверь.
Перейдем к рассмотрению чуть более замысловатых уравнений:
Пример 20
Найти решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения
3 2
2



xy
y
x
,
1
)
1
(


y
Решение:в данном уравнении слагаемые снова не на своих местах, поэтому сначала максимально близко приближаем диффур к виду
)
(
)
(
x
q
y
x
p
y




:
3 2
2



xy
y
x
Что в нём особенного? Во-первых, в правой части у нас константа
3
)
(

x
q
. Это допустимо. Во-вторых, рядом с производной есть множитель
2
x
, который зависит только от «икс». Это тоже допустимо. Из-за этих особенностей линейное уравнение не перестает быть линейным.
Алгоритм решения полностью сохраняется за исключением пары нюансов в самом начале. Проведем замену
v
u
v
u
y
uv
y







:
3 2
)
(
2





xuv
v
u
v
u
x
Теперь следовало бы выполнить вынесение множителя за скобки. Прозвучит каламбурно, но сначала нам нужно раскрыть скобку, поскольку одно из нужных нам слагаемых недоступно:
Вот теперь проводим вынесение множителя скобки:
Обратите внимание на тот факт, что за скобки мы вынесли не только функцию u , но еще и «икс». Всё,что можно вынести за скобки – выносим.
Составим и решим систему:








3 0
2 2
v
u
x
v
v
x
Из первого уравнения найдем v :

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
33 2
ln ln ln
2
ln
2 2
x
v
x
v
x
dx
v
dv
v
dx
dv
x






2
x
v 
– подставим во второе уравнение системы:
3 2
2


 x
u
x
4 3
x
dx
du 
3 4
1 3
x
C
x
dx
u




Таким образом, общее решение:
const
C
x
Cx
x
x
C
uv
y









 


где
,
1 1
2 2
3
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:
0 1
1 1
1 1
)
1
(
2









C
C
C
y
Ответ: частное решение:
x
y
1


– проверка тут чуть ли не устная.
Самостоятельно щёлкаем следующий орешек:
Пример 21
Найти частное решение ДУ
x
e
x
y
x
y
x





2 3
)
1
(
,
0
)
1
(

y
Какие трудности встречаются в ходе решения линейного неоднородного
уравнения? Основной камень преткновения состоит в том, что может появиться довольно сложный интеграл. Как правило, неприятный интеграл появляется при нахождении функции u (в то время как с нахождением функции v обычно проблем не возникает).
Второй момент касается вообще всех диффуров, а именно их «внешнего вида». Он зачастую обманчив:
не редкость, когда «страшный» диффур на самом деле оказывается несложным,
а «легкий» на вид диффур вызывает мучительную боль за бесцельно прожитые часы
Ну вот, например:
2 3
2 2
y
x
xy
y



…это простое уравнение? Как вы думаете?
Вперёд! – оно нас уже заждалось =)

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
34
1.5. Дифференциальное уравнение Бернулли
Не путать с методом Бернулли. Данное уравнение по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка:
n
y
x
q
y
x
p
y
)
(
)
(




с теми же частными разновидностями:
)
(x
p
или
)
(x
q
может быть числом, а у производной может присутствовать множитель
)
(x
r
Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»:
n
y
, при этом
1

n
(иначе получится
уравнение с разделяющимися переменными
) и
0

n
(т.к. получится как раз
линейное
неоднородное ДУ
).
Степень n может быть не только положительной, но и отрицательной, например:
y
y
1 1


, а также обыкновенной дробью, например:
y
y 
2 1
Если
0

n
, то уравнение Бернулли имеет очевидное решение
0

y
, которое
«теряется» в ходе использования типового алгоритма:
Пример 22
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
2 3
2 2
y
x
xy
y



,
1
)
0
(

y
И вопрос на засыпку: с чего начать решение? С проверки нельзя ли разделить переменные
! Нельзя. Так же очевидно, что уравнение не однородно
, и по причине множителя
2
y
– не линейно
. Данный диффур имеет «классический» вид
n
y
x
q
y
x
p
y
)
(
)
(



уравнения Бернулли.
Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?
Уравнение Бернулли сводится к
линейному неоднородному уравнению
с
помощью замены, и алгоритм решения незамысловат:
На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем
2
y
в низ левой части и проводим почленное деление:
3 2
2 2
x
y
xy
y



– вот здесь-то как раз и теряется решение
0

y
. Но в нашем случае это не имеет особого значения, поскольку требуется решить задачу Коши:
3 2
2 2
x
y
x
y
y



Теперь надо избавиться от «игрека» вот в этом слагаемом:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
35
Для этого проводим замену:
)
(
1
x
z
y

, то есть меняем дробь с «игреком» на функцию «зет». Найдём её производную, распишу очень подробно:
2 2
1
)
(
1
y
y
y
y
y
y
z



















, откуда выразим
z
y
y




2
Таким образом, в результате замены
z
y
y
z
y





2
,
1
уравнение
3 2
2
x
y
x
y
y



превращается в уравнение:
3 2
2
x
xz
z




из эстетических соображений сменим знаки:
3 2
2
x
xz
z




В результате получено линейное неоднородное уравнение с той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».Дальше алгоритм работает по накатанной колее, проводим стандартную замену
v
u
v
u
z
uv
z







:
3 3
2
)
2
(
2 2
x
xv
v
u
v
u
x
xuv
v
u
v
u












Составим и решим систему:









3 2
0 2
x
v
u
xv
v
Из первого уравнения найдем v :
2
ln
2 2
x
v
xdx
v
dv
xv
dx
dv








2
x
e
v


– подставляем найденную функцию во второе уравнение:
3 2
2
x
e
u
x





2 3
2
x
e
x
dx
du


(*)
2 2
3




dx
e
x
u
x
Этот интеграл берётся по частям, и вместо занятых u и v , я буду использовать буквы «а» и «бэ»:
2 2
2 2
)
(
2 2
2 2
2
x
x
x
x
e
x
d
e
dx
xe
b
dx
xe
db
xdx
da
x
a














и по формуле:
2
(*)
2 2
2 2
2







x
x
x
e
x
dx
xe
e
x

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
36
Таким образом:
1
)
(
2 2
2 2
2 2











x
Ce
e
C
e
e
x
uv
z
x
x
x
x
Но это ещё далеко не всё, вспоминаем, что
z
y

1
и выполняем обратную замену:
const
C
x
Ce
z
y
x






где
,
1 1
1 2
2
– общее решение.
Обратите внимание, что решение
0

y
в это семейство не вошло, но сейчас данный факт не актуален, поскольку нам нужно решить задачу Коши, а именно найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию
1
)
0
(

y
:
0 1
1 1
1 0
1
)
0
(
2 0








С
C
Ce
y