Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения
 Скачать 1.54 Mb.
|
|
Рекомендую прорешать эти уравнения, независимо от уровня вашей подготовки – это позволит размяться и вспомнить основные методы нахождения интегралов: Пример 9 Решить дифференциальные уравнения а) 0 ) 1 ( dx e ydy e y x ; б) ) 1 ( 3 2 y x y x y Если на чём-то появился «затык», то не теряйте время и обращайтесь к образцу, где я проставил ссылки на нужные темы и уроки. Кроме того, «внешний вид» ваших ответов может отличаться от «внешнего вида» моих ответов – как отмечалось выше, общий интеграл можно записать не единственным способом. И возьмите на заметку важную вещь: Если ваш ответ не совпал с заранее известным ответом (задачника, например), или вам выдала «не тот ответ» какая-нибудь программа – то это ещё не значит, что ваш ответ неправильный! Особенно часто мои читатели приводят аргумент «но программа же не тот ответ выдаёт!». Да, возможно, читатель и в самом деле ошибся, но здесь я всегда замечаю следующее: 1) программу мог написать «на коленке» какой-нибудь студент, 2) и даже в «серьёзных» программах бывают ошибки, а в задачниках – опечатки (и довольно часто), 3) зачастую машина решит вам так – как не решит ни один человек :) – наверное, все сталкивались с забавным автоматическим переводом текста на другой язык, вот и здесь так же. Поэтому более высокий приоритет (и авторитет) имеет ручная проверка! Да, конечно, иногда встречаются «тяжёлые случаи», но это скорее исключение, чем правило. Но я-то не буду томить вас долгими ожиданиями – прямо сейчас, с энтузиазмом и восторженными глазами, мы перейдём к изучению следующего параграфа =) © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 16 1.3. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка В чём отличие однородных дифференциальных уравнений 1-го порядка от других типов ДУ? Это проще всего сразу же пояснить на конкретном примере: Пример 10 Решить дифференциальное уравнение x y xe y y x Однако не спешим. Что в первую очередь следует проанализировать при решении любого дифференциального уравнения первого порядка? Правильно – нужно проверить, а нельзя ли в нём разделить переменные ? Попробуйте мысленно или на черновике попереносить слагаемые из части в часть, повыносить множители за скобки, поперекидывать их по правилу пропорции…. После непродолжительных и тщетных попыток, вы придёте к выводу, что «школьными» действиями переменные тут разделить нельзя. Возникает вопрос – как же решить этот диффур? Нужно проверить, а не является ли данное уравнение однородным? Проверка несложная, и сам алгоритм проверки можно сформулировать так: В исходное уравнение x y xe y y x : вместо x подставляем x ; вместо y подставляем y ; производную не трогаем: x y xe y y x Буква лямбда – это условный параметр, и здесь он играет следующую роль: если в результате преобразований удастся «уничтожить» ВСЕ лямбды и получить исходное уравнение, то данное дифференциальное уравнение является однородным. Очевидно, что лямбды сразу сокращаются в показателе степени: x y xe y y x Теперь в правой части выносим лямбду за скобки: ) ( x y xe y y x В результате параметр исчез как сон, как утренний туман: x y xe y y x – и мы получили исходное уравнение. Вывод: данное уравнение является однородным. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 17 Как решить однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка? У меня очень хорошая новость. Абсолютно все такие уравнения можно решить с помощью одной-единственной (!) стандартной замены. Функцию «игрек» нужно заменить произведением некоторой функции t (тоже зависящей от «икс») и «икса»: x x t y ) ( , или короче: tx y Используя правило дифференцирования произведения, найдём производную: t x t t x t x t x t tx y 1 ) ( ) ( ) ( Теперь подставляем tx y и t x t y в исходное уравнение x y xe y y x : x tx xe tx t x t x ) ( Что даст такая замена? После данной замены и проведенных упрощений мы гарантировано получим уравнение с разделяющимися переменными ЗАПОМИНАЕМ как первую любовь:) tx y и, соответственно, t x t y После подстановки проводим максимальные упрощения: ) ( ) ( t e t x t x t x t e t t x t t e x t В результате получено уравнение с разделяющимися переменными. Далее алгоритм работает по накатанной колее. Поскольку t – это функция, зависящая от «икс», то её производную можно записать стандартной дробью dx dt t Таким образом, наше уравнение приобретает вид: t e dx dt x Разделяем переменные, при этом в левой части нужно собрать только «тэ», а в правой части – только «иксы»: x dx dt e t Переменные разделены, интегрируем: x dx dt e t Согласно моему первому техническому совету, константу «оформляем» под логарифм: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 18 После того, как уравнение проинтегрировано, нужно провести обратную замену, она тоже стандартна и единственна: Если tx y , то x y t В данном случае получаем: Ответ: общий интеграл: const C Cx e x y где , ln Общее решение однородного уравнения почти всегда записывают в виде общего интеграла. Дело в том, что в большинстве случаев невозможно выразить «игрек» в явном виде (получить общее решение), а если и возможно, то чаще всего получается громоздкий и корявый ответ. В нашем примере общее решение выразить можно, навешиваем логарифмы на обе части общего интеграла: Cx x y Cx e x y ln ln ln ln ln Cx x y ln ln – ну, ещё куда ни шло, хотя всё равно смотрится кривовато. Полученный ответ можно проверить. Для этого нужно продифференцировать общий интеграл: x x y x y e C Сx x y x y e Cx Сx x y e Cx e x y x y x y x y 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ln 2 2 Избавляемся от дробей, умножая каждую часть уравнения на 2 x : x y x y x y e x y x y x y x y e x x x x y x y e ) ( 1 ) ( 2 2 2 в результате получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено правильно. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 19 Кстати, в разобранном примере я не совсем «прилично» записал общий интеграл: Cx e x y ln . Это не ошибка, но лучше таки представить его в виде C y x F ) ; ( . И для этого сразу после интегрирования, константу следовало записать без логарифма: С x e t ln (вот и исключение из правила) и после обратной замены получить общий интеграл в «классическом» виде: const C С x e x y где , ln Следует отметить, что многие составители задачников и методичек прямо указывают на соблюдение «приличий», и я – не исключение:) Пример 11 Проверить на однородность и решить дифференциальное уравнение y y x y x 2 2 3 2 , ответ представить в виде C y x F ) ; ( Проверку проведёте на досуге, т.к. здесь она достаточно сложнА, и я даже не стал её приводить, а то вы больше придёте к такому маньяку :) Это вообще неприятная особенность однородных диффуров – проверять их общие интегралы обычно трудно, для этого необходима весьма и весьма приличная техника дифференцирования. Но по возможности всегда проверяйте! А теперь обещанный важный момент, о котором я упомянул в самом начале книги, выделю жирными чёрными буквами: Если в ходе преобразований мы «сбрасываем» множитель (не константу) в знаменатель, то РИСКУЕМ потерять решения! Так, в процессе решения уравнения y y x ( Пример 1 ) «игрек» оказывается в знаменателе: x dx y dy , но 0 y , очевидно, является решением ДУ и в результате неравносильного преобразования (деления) есть все шансы его потерять! Другое дело, что оно вошло в общее решение Cx y при нулевом значении константы. Сброс «икса» в знаменатель тоже обошелся без последствий, т.к. 0 x не является решением уравнения. Аналогичная история с уравнением 0 ) 1 2 ( сtgx y y Пример 3 , в ходе решения которого мы «сбросили» 1 2 y в знаменатель. Строго говоря, следовало здесь проверить, а не является ли 2 1 y решением данного диффура. Ведь является! Но и тут «всё обошлось», поскольку эта функция вошла в общий интеграл x C y sin 1 2 при 0 C И если с «разделяющимися» уравнениями такое «прокатывает», то с однородными и некоторыми другими диффурами может и «не прокатить». С высокой вероятностью. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 20 Проанализируем уже прорешанные задачи этого параграфа: в Пример 10 был «сброс» икса, однако не является решением уравнения. А вот в Пример 11 мы разделили на 2 2 2 3 3 x y t , но это тоже «сошло с рук»: поскольку, то решения потеряться не могли, их тут попросту нет. Но «счастливые случаи» я, конечно же, устроил специально, и не факт, что на практике попадутся именно они: Пример 12 Решить уравнение 0 2 y xy y x И перед тем, как решать, СТОП, не торопимся, а мысленно либо на черновике анализируем: нельзя ли разделить переменные? Нет, нельзя. Проверим уравнение на однородность, для этого ВМЕСТО x подставляем x и ВМЕСТО y подставляем y : 0 2 0 2 0 2 2 y xy y x y xy y x y y x y x выносим «лямбду» за скобки , после чего она ликвидируется: 0 2 0 ) 2 ( y xy y x y xy y x В результате получено исходное ДУ, значит, оно является однородным. Следует отметить, что на чистовике такую проверку проводить не нужно (если специально не просят), и очень быстро вы приноровитесь выполнять её устно. Проведём типовую замену, а именно подставим tx y и t x t y в исходное уравнение: 0 2 ) ( tx tx x t x t x Выносим «икс» из-под корня и за скобки: 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 2 ) ( t x t x t t t x t x tx t x t x t x И вот здесь нас подстерегает первый опасный момент: сейчас мы разделим обе части на x , после чего он исчезнет. Поэтому нужно проконтролировать, не является ли 0 x решением ДУ. Подставляем 0 x исходное уравнение: 0 0 0 y – получено неверное равенство, значит, 0 x не является решением и от него можно смело избавляться: 0 2 t x t Разделяем переменные: t dx dt x 2 © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 21 x dx t dt 2 И сейчас произошло второе опасное событие: t мы сбросили в знаменатель, поэтому нужно проверить, не является ли 0 t решением ДУ. Поскольку x y t , то речь идёт о функции 0 y – подставляем её вместе с производной 0 ) 0 ( y в исходное уравнение 0 2 y xy y x , где всё очевидно: 0 0 0 0 – получено верное равенство, значит, 0 y – это одно из решений ДУ, и мы его рискуем потерять. Берём это на заметку и продолжаем решение. Интегрируем обе части: C x t x dx t dt ln 2 Упрощать нечего, поэтому проводим обратную замену x y t : C x x y ln – константу лучше записать без логарифма, поскольку результат мы уже без напоминаний представим в виде C y x F ) ; ( . Хотя, тут можно выразить и общее решение x C x y 2 ln , определив таки константу под логарифм. Но зачем лишние действия? – условие никак не оговаривает вид ответа. А теперь вспоминаем о решении 0 y . В общий интеграл оно не вошло, и поэтому его нужно дополнительно указать в ответе: Ответ: общий интеграл: const C C x x y где , ln , ещё одно решение: 0 y Потеря решения будет серьёзным недочётом и основанием для незачёта задачи! Следует отметить, что если по условию требуется найти только частное решение, удовлетворяющее, например, условию 1 ) 1 ( y , то за «опасными» действиями можно особо не следить, быстренько находим общий интеграл C x x y ln и нужное решение: 1 ln 1 0 1 1 ln 1 1 x x y C C C – искомый частный интеграл. Но, тем не менее, остаётся пусть маленький, но шанс, что мы потеряем именно то решение, которое нужно. Или не маленький – зависит от злого гения автора задачника :) Продолжаем, сейчас будет становиться всё жарче и жарче! |