Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Анкор: Реферат
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.54 Mb.
• Имя файла: diffury_demo.pdf
• Тип: Методичка; #548037
• страница: 12 из 12

Ответ:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
85
Пример 25. Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим
обе части на:
Очевидно, что является решением данного уравнения.
Проведём замену:
Полученное линейное неоднородное уравнение решим методом вариации
произвольной постоянной:
1) Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:
2) В неоднородном уравнении проведём замену:
Таким образом:
Обратная замена:
Ответ: общий интеграл:, ещё одно решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
86
Пример 28. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным
дифференциалах:
, значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и
имеет вид:
, в нашем случае:
Если, то:
– подставляем в.
Ответ: общий интеграл:
Проверка. Найдём частные производные:
и составим дифференциальное уравнение:
В результате получено исходное ДУ, значит, решение найдено правильно.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
87
Пример 30. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным
дифференциалах:
, значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных
дифференциалах и имеет вид:
Способ первый:
–.работаем с этой производной,
– про эту производную пока забываем.
Так как, то:
Дифференцируем по и приравниваем результат к «забытой» производной:
Преобразуем правую часть с помощью формулы:
Восстанавливаем функцию:
– и подставляем её в
Ответ: общий интеграл
Способ второй:
– про эту производную пока забываем.
– будем работать с этой производной.
Если, то:
Найдём частную производную по и приравняем её к «забытой» производной:
Из последнего равенства следует, что:
– подставляем в «недостроенную» функцию.
Ответ: общий интеграл.
Вопрос:
какой способ проще?

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
88
Пример 32. Решение:
а) Дважды интегрируем правую часть:
Ответ:
б) Преобразуем уравнение:. Данное ДУ имеет вид. Дважды интегрируем правую
часть:
Ответ: общее решение:
в) Трижды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:
Пример 34. Решение: Преобразуем уравнение:
Данное уравнение имеет вид. Трижды интегрируем правую часть:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
В соответствии с начальным условием:
Ответ: частное решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
89
Пример 36. Решение: В данном уравнении в явном виде не участвуют функция и
первая производная. Проведём замену:
Если, то
Таким образом, уравнение понижено до первого порядка:
В результате получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем
переменные и интегрируем:
Проведём обратную замену:
Данное уравнение имеет вид:.
Дважды интегрируем правую часть:
Ответ: общее решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
90
Пример 38. Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
, – различные действительные корни
Ответ: общее решение:
Проверка: найдем производные, и подставим их в левую часть исходного
уравнения:
– в результате получена правая часть , таким образом, общее решение найдено
правильно.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
91
Пример 40. Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
Получены два кратных действительных корня
Ответ: общее решение:
Пример 42. Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– сопряженные комплексные корни
Ответ: общее решение:
Пример 44. Решение: Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение:
Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям:
, то есть, (значение константы получилось сразу же).
То есть.
Ответ: частное решение:
Проверка: – начальное условие выполнено.
– второе начальное условие выполнено.
Подставим и в левую часть исходного уравнения:
Получена правая часть исходного уравнения (ноль).
Такие образом, частное решение найдено верно.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
92
Пример 46. Решение:
а) 1) Найдём обще решение соответствующего однородного уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены сопряженные комплексные корни, таким образом:
2) Подберём частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть
неоднородного уравнения является константой, то в качестве первоначального варианта
подбора рассматриваем, где – пока ещё неизвестный коэффициент. Поскольку в общем
решении НЕТ одинокой константы, то частное решение следует искать в том же виде.
Подставим и очевидные производные в левую часть исходного уравнения:
– после упрощений приравниваем результат к правой части исходного уравнения.
Из последнего равенства следует, что – подставляем найденное значение в «заготовку»:.
Для проверки подставим и в неоднородное уравнение:
– получено верное равенство, т.е. частное решение найдено правильно.
3) Составим общее решение неоднородного уравнения:
Ответ:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
93
б) 1)Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём
наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть:
Составим и решим характеристическое уравнение:
– получены различные действительные корни, поэтому общее решение:
2) Найдём частное решение неоднородного уравнения.
Поскольку в правой части находится многочлен 3-й степени, то в качестве
первоначальной версии подбора выдвигаем, где – пока ещё неизвестные коэффициенты.
Теперь смотрим на общее решение – в нём нет ни куба «икс», ни квадрата, ни
линейного члена, ни одинокой константы. Поэтому частное решение НЕ НУЖНО
домножать на «икс», и мы ищем его в неизменном виде.
Найдём первую и вторую производную:
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения, раскроем скобки:
– и приравняем результат к правой части исходного уравнения.
Теперь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и
составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так:
Уравнения лучше записать в порядке убывания степеней, начиная с
коэффициентов при кубах «икс»:
В данном случае система получилась очень простой, и многие из вас, наверное,
справились с ней устно. Подставляем найденные значения в наш исходный подбор:
– частное решение неоднородного уравнения:
И сразу выполним проверку, найдём:
и подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено
правильно.
3) Запишем общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
94
Пример 48. Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены различные действительные значения, которые удовлетворяют
характеристическому уравнению (не забываем проверить!).
Таким образом:
2) Выполним подбор частного решения. Поскольку в правой части исходного
уравнения находится экспонента, умноженная на константу, то в качестве
первоначально версии подбора выдвигаем. Теперь смотрим на общее решение
однородного уравнения – в нём уже есть такое слагаемое:
Поэтому первоначальную версию следует домножить на «икс» и искать частное
решение в виде:
, где – пока еще неизвестный коэффициент.
Используя правило дифференцирования произведения, найдём первую и вторую
производную:
Подставим, и в левую часть исходного уравнения и проведём максимальные
упрощения:
– после чего приравняем результат к правой части исходного уравнения.
Из последнего равенства автоматически получаем – подставляем найденное
значение в наш подбор: – искомое частное решение.
Быстренько выполним проверку, а именно найдём,
и подставим их вместе с в левую часть:
– в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить.
3) Составляем общее решение неоднородного уравнения:
, которое можно было, в принципе, сразу записать в
ответ: общее решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
95
Пример 51. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного
уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение:
– различные действительные корни, поэтому:
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде
Примечание:
первоначальная версия подбора подлежит домножению на, так как
в общем решении уже есть слагаемое.
Найдём производные:
и подставим их в левую часть неоднородного уравнения:
– после максимальных упрощений приравниваем результат к правой части.
Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему:
– подставляем во 2-е уравнение:
Таким образом:
Общее решение неоднородного уравнения:
Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
Применяем к общему решению условие:
Найдём производную:
и применим к ней начальное условие:
Составим и решим систему:
, откуда следует, что – подставляем найденные значения в общее решение
Ответ: частное решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
96
Выполним проверку. Проверим выполнение начального условия:
– выполнено.
Найдём производную:
и проверим выполнение начального условия:
– выполнено.
Найдём вторую производную:
и подставим её вместе с в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть исходного уравнения.
Вывод: задание решено верно.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
97
Пример 53. Решение: найдем общее решение соответствующего однородного
уравнения:
– характеристическое уравнение имеет сопряженные, чисто мнимые комплексные
корни, поэтому:.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:
Примечание:
первоначальная версия подлежит домножению на «икс», поскольку
в общем решении уже есть такие слагаемые.
Найдём производные:
Подставим и в левую часть неоднородного уравнения:
– приравниваем результат к правой части.
Приравниваем коэффициенты при соответствующих тригонометрических
функциях:
Примечание
: – по той причине, что в правой части отсутствует синус, и
формально его можно записать с нулевым коэффициентом:
Таким образом:.
Проверка найденного частного решения:
Подставим и в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть, в чём и требовалось убедиться.
Составим общее решение неоднородного уравнения:
Ответ: общее решение:
Пример 55. Решение:
а) составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены два различных действительных корня и два сопряженных
комплексных корня.
Ответ: общее решение
б) Составим и решим характеристическое уравнение:
, – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень
Ответ: общее решение

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
98