Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения
![]()
|
Ответ: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 85 Пример 25. Решение: Данное уравнение является уравнением Бернулли. Разделим обе части на: Очевидно, что является решением данного уравнения. Проведём замену: Полученное линейное неоднородное уравнение решим методом вариации произвольной постоянной: 1) Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения: 2) В неоднородном уравнении проведём замену: Таким образом: Обратная замена: Ответ: общий интеграл:, ещё одно решение: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 86 Пример 28. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным дифференциалах: , значит, данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид: , в нашем случае: Если, то: – подставляем в. Ответ: общий интеграл: Проверка. Найдём частные производные: и составим дифференциальное уравнение: В результате получено исходное ДУ, значит, решение найдено правильно. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 87 Пример 30. Решение: проверим, является ли данное ДУ уравнением в полным дифференциалах: , значит, данное дифференциальное уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид: Способ первый: –.работаем с этой производной, – про эту производную пока забываем. Так как, то: Дифференцируем по и приравниваем результат к «забытой» производной: Преобразуем правую часть с помощью формулы: Восстанавливаем функцию: – и подставляем её в Ответ: общий интеграл Способ второй: – про эту производную пока забываем. – будем работать с этой производной. Если, то: Найдём частную производную по и приравняем её к «забытой» производной: Из последнего равенства следует, что: – подставляем в «недостроенную» функцию. Ответ: общий интеграл. Вопрос: какой способ проще? © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 88 Пример 32. Решение: а) Дважды интегрируем правую часть: Ответ: б) Преобразуем уравнение:. Данное ДУ имеет вид. Дважды интегрируем правую часть: Ответ: общее решение: в) Трижды интегрируем правую часть: Ответ: общее решение: Пример 34. Решение: Преобразуем уравнение: Данное уравнение имеет вид. Трижды интегрируем правую часть: В соответствии с начальным условием: В соответствии с начальным условием: В соответствии с начальным условием: Ответ: частное решение: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 89 Пример 36. Решение: В данном уравнении в явном виде не участвуют функция и первая производная. Проведём замену: Если, то Таким образом, уравнение понижено до первого порядка: В результате получено уравнение с разделяющимися переменными, разделяем переменные и интегрируем: Проведём обратную замену: Данное уравнение имеет вид:. Дважды интегрируем правую часть: Ответ: общее решение: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 90 Пример 38. Решение: составим и решим характеристическое уравнение: , – различные действительные корни Ответ: общее решение: Проверка: найдем производные, и подставим их в левую часть исходного уравнения: – в результате получена правая часть , таким образом, общее решение найдено правильно. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 91 Пример 40. Решение: составим и решим характеристическое уравнение: Получены два кратных действительных корня Ответ: общее решение: Пример 42. Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: – сопряженные комплексные корни Ответ: общее решение: Пример 44. Решение: Составим и решим характеристическое уравнение: – получены сопряженные комплексные корни, поэтому общее решение: Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям: , то есть, (значение константы получилось сразу же). То есть. Ответ: частное решение: Проверка: – начальное условие выполнено. – второе начальное условие выполнено. Подставим и в левую часть исходного уравнения: Получена правая часть исходного уравнения (ноль). Такие образом, частное решение найдено верно. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 92 Пример 46. Решение: а) 1) Найдём обще решение соответствующего однородного уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: – получены сопряженные комплексные корни, таким образом: 2) Подберём частное решение неоднородного уравнения. Так как правая часть неоднородного уравнения является константой, то в качестве первоначального варианта подбора рассматриваем, где – пока ещё неизвестный коэффициент. Поскольку в общем решении НЕТ одинокой константы, то частное решение следует искать в том же виде. Подставим и очевидные производные в левую часть исходного уравнения: – после упрощений приравниваем результат к правой части исходного уравнения. Из последнего равенства следует, что – подставляем найденное значение в «заготовку»:. Для проверки подставим и в неоднородное уравнение: – получено верное равенство, т.е. частное решение найдено правильно. 3) Составим общее решение неоднородного уравнения: Ответ: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 93 б) 1)Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения. Берём наш неоднородный диффур и обнуляем правую часть: Составим и решим характеристическое уравнение: – получены различные действительные корни, поэтому общее решение: 2) Найдём частное решение неоднородного уравнения. Поскольку в правой части находится многочлен 3-й степени, то в качестве первоначальной версии подбора выдвигаем, где – пока ещё неизвестные коэффициенты. Теперь смотрим на общее решение – в нём нет ни куба «икс», ни квадрата, ни линейного члена, ни одинокой константы. Поэтому частное решение НЕ НУЖНО домножать на «икс», и мы ищем его в неизменном виде. Найдём первую и вторую производную: Подставим и в левую часть неоднородного уравнения, раскроем скобки: – и приравняем результат к правой части исходного уравнения. Теперь нужно приравнять коэффициенты при соответствующих степенях и составить систему линейных уравнений. В картинках процесс выглядит так: Уравнения лучше записать в порядке убывания степеней, начиная с коэффициентов при кубах «икс»: В данном случае система получилась очень простой, и многие из вас, наверное, справились с ней устно. Подставляем найденные значения в наш исходный подбор: – частное решение неоднородного уравнения: И сразу выполним проверку, найдём: и подставим и в левую часть неоднородного уравнения: – получена правая часть исходного уравнения, значит, частное решение найдено правильно. 3) Запишем общее решение неоднородного уравнения: Ответ: общее решение: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 94 Пример 48. Решение: 1) Найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: Составим и решим характеристическое уравнение: , – получены различные действительные значения, которые удовлетворяют характеристическому уравнению (не забываем проверить!). Таким образом: 2) Выполним подбор частного решения. Поскольку в правой части исходного уравнения находится экспонента, умноженная на константу, то в качестве первоначально версии подбора выдвигаем. Теперь смотрим на общее решение однородного уравнения – в нём уже есть такое слагаемое: Поэтому первоначальную версию следует домножить на «икс» и искать частное решение в виде: , где – пока еще неизвестный коэффициент. Используя правило дифференцирования произведения, найдём первую и вторую производную: Подставим, и в левую часть исходного уравнения и проведём максимальные упрощения: – после чего приравняем результат к правой части исходного уравнения. Из последнего равенства автоматически получаем – подставляем найденное значение в наш подбор: – искомое частное решение. Быстренько выполним проверку, а именно найдём, и подставим их вместе с в левую часть: – в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить. 3) Составляем общее решение неоднородного уравнения: , которое можно было, в принципе, сразу записать в ответ: общее решение: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 95 Пример 51. Решение: найдём общее решение соответствующего однородного уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение: – различные действительные корни, поэтому: Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде Примечание: первоначальная версия подбора подлежит домножению на, так как в общем решении уже есть слагаемое. Найдём производные: и подставим их в левую часть неоднородного уравнения: – после максимальных упрощений приравниваем результат к правой части. Приравняем коэффициенты при соответствующих степенях и решим систему: – подставляем во 2-е уравнение: Таким образом: Общее решение неоднородного уравнения: Найдём частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Применяем к общему решению условие: Найдём производную: и применим к ней начальное условие: Составим и решим систему: , откуда следует, что – подставляем найденные значения в общее решение Ответ: частное решение: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 96 Выполним проверку. Проверим выполнение начального условия: – выполнено. Найдём производную: и проверим выполнение начального условия: – выполнено. Найдём вторую производную: и подставим её вместе с в левую часть исходного уравнения: – в результате получена правая часть исходного уравнения. Вывод: задание решено верно. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 97 Пример 53. Решение: найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: – характеристическое уравнение имеет сопряженные, чисто мнимые комплексные корни, поэтому:. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: Примечание: первоначальная версия подлежит домножению на «икс», поскольку в общем решении уже есть такие слагаемые. Найдём производные: Подставим и в левую часть неоднородного уравнения: – приравниваем результат к правой части. Приравниваем коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях: Примечание : – по той причине, что в правой части отсутствует синус, и формально его можно записать с нулевым коэффициентом: Таким образом:. Проверка найденного частного решения: Подставим и в левую часть исходного уравнения: – в результате получена правая часть, в чём и требовалось убедиться. Составим общее решение неоднородного уравнения: Ответ: общее решение: Пример 55. Решение: а) составим и решим характеристическое уравнение: , – получены два различных действительных корня и два сопряженных комплексных корня. Ответ: общее решение б) Составим и решим характеристическое уравнение: , – получены пять кратных нулевых корней и действительный корень Ответ: общее решение © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 98 |