Действие второе. Берем «недоделанный» результат
)
(
2
y
x
xy
x
F
и дифференцируем его по «игрек»:
)
(
)
(
0 0
)
)
(
(
2
y
x
y
x
y
x
xy
x
y
F
y
y
y
Функцию
)
( y
мы пока не знаем, но производная-то по «игрек» у неё существует, поэтому запись
)
( y
y
– совершенно законна.
Действие третье. Перепишем результат предыдущего пункта:
)
( y
x
y
F
y
и достаем из широких штанин листочек с производной:
1 2
x
y
y
F
Приравниваем одно с другим:
1 2
)
(
x
y
y
x
y
и уничтожаем всё, что можно уничтожить:
1 2
)
(
y
y
y
Находим функцию
)
( y
, для этого нужно взять интеграл:
C
y
y
dy
y
y
2
)
1 2
(
)
(
Заключительный аккорд: подставим найденную функцию
C
y
y
y
2
)
(
в
«недоделанный» результат
)
(
2
y
x
xy
x
F
:
C
y
y
x
xy
x
F
2 2
Ответ: общий интеграл:
const
C
С
y
x
xy
y
x
где
,
0 2
2
Проверка уже выполнена в самом начале урока – находим частные производные первого порядка и составляем полный дифференциал, в результате должно получиться исходное дифференциальное уравнение. Оно же получится и в результате прямого дифференцирования:
0
)
1 2
(
)
1 2
(
0
)
1 2
(
)
1 2
(
0
)
1 2
(
)
1 2
(
0 0
1 2
2
)
0
(
)
(
2 2
dx
y
x
dy
x
y
y
x
dx
dy
x
y
y
x
y
x
y
y
y
x
y
y
y
x
С
y
x
xy
y
x
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
43
Проделаем всё то же самое, только короче:
Пример 27
Решить дифференциальное уравнение
0
)
4 6
(
)
4 3
3
(
2 2
dy
y
xy
dx
x
y
x
Решение: после неутешительного анализа на «другие типы», проверим, не является ли данный диффур уравнением в полным дифференциалах. Выписываем множители при дифференциалах:
y
xy
y
xy
Q
x
y
x
P
4 6
)
4 6
(
,
4 3
3 2
2
Внимание!
Не теряем «минус» при записи
Q
!
Найдём частные производные:
y
y
y
xy
x
Q
y
y
x
y
x
y
P
x
y
6 0
6
)
4 6
(
6 0
6 0
)
4 3
3
(
2 2
x
Q
y
P
, значит, уравнение
0
)
4 6
(
)
4 3
3
(
2 2
dy
y
xy
dx
x
y
x
является полным дифференциалом некоторой функции и имеет вид:
0
dy
y
F
dx
x
F
В данном случае:
x
y
x
x
F
4 3
3 2
2
– будем работать с этой производной.
y
xy
y
F
4 6
– про эту производную пока забываем.
1) Если
x
y
x
x
F
4 3
3 2
2
, то:
3 3
3 4
3 3
)
4 3
3
(
2 3
2 2
2 2
y
x
xdx
dx
y
dx
x
dx
x
y
x
F
где
)
( y
– некоторая, пока ещё неизвестная функция, зависящая только от «игрек».
Напоминаю, что когда мы интегрируем по «икс», то переменная «игрек» считается константой и выносится за значок интеграла.
2) Берём «недоделанный» результат предыдущего пункта
)
(
2 3
2 2
3
y
x
xy
x
F
и дифференцируем его по «игрек»:
6 0
)
)
(
2 3
(
2 2
3
xy
y
x
xy
x
y
F
y
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
44 3) Переписываем найденный результат:
)
(
6
y
xy
y
F
y
и вспоминаем про
«забытую» производную:
y
xy
y
F
4 6
Приравниваем и сокращаем:
y
y
y
xy
y
xy
y
y
4
)
(
4 6
)
(
6
Примечание
: на практике решение обычно записывают короче, объединяя пункты
№№2,3:
)...
(
0 6
0
)
)
(
2 3
(
2 2
3
y
xy
y
x
xy
x
y
F
y
y
, то есть сразу же после
нахождения производной приравнивается «забытая» производная. В последнем
равенстве
y
xy
y
xy
y
4 6
)
(
6
проводятся сокращения, откуда следует:
y
y
y
4
)
(
.
Восстанавливаем функцию
)
( y
интегрированием по «игрек»:
C
y
C
y
ydy
y
2 2
2 2
4 4
)
(
В «недоделанный» результат
)
(
2 3
2 2
3
y
x
xy
x
F
пункта №1 подставляем найденную функцию
C
y
y
2 2
)
(
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
y
x
xy
x
где
,
0 2
2 3
2 2
2 3
Константу можно записывать и в правой части, но тогда возникает заморочка с её переобозначением, и поэтому я лично привык оставлять ответ именно в таком виде.
Выполним проверку. Найдём частные производные первого порядка:
3 3
)
2 2
3
(
2 2
2 2
2 3
y
x
C
y
x
xy
x
x
F
x
)
4 6
(
4 6
0 4
0 6
0
)
2 2
3
(
2 2
2 3
y
xy
y
xy
y
xy
C
y
x
xy
x
y
F
y
Составим дифференциальное уравнение
0
dy
y
F
dx
x
F
:
0
)
4 6
(
)
4 3
3
(
2 2
dy
y
xy
dx
x
y
x
Получено исходное ДУ, значит, задание выполнено правильно.
Второй способ состоит в дифференцировании неявно заданной функции:
const
C
C
y
x
xy
x
где
,
0 2
2 3
2 2
2 3
– с тем же итоговым результатом.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
45
По «горячим следам»
решаем самостоятельно!
Пример 28
0
)
6 6
(
)
3 3
6
(
2 2
dy
xy
x
dx
y
x
y
и выполнить проверку.
Образец решения я записал максимально коротко и без пунктов, то есть приблизил его к «боевым» условиям – примерно так нужно оформлять задачу на практике.
Многочлены хорошо, а другие функции – лучше. Рассмотрим ещё пару примеров.
Пример 29
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
0 1
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
x
dy
e
x
dx
e
x
y
y
…ну а кому сейчас легко?
Решение: после предварительного анализа, проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах. Выпишем члены при дифференциалах:
2 2
2 1
,
)
1
(
)
1
(
2
x
e
Q
x
e
x
P
y
y
и найдём частные производные
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 2
2
x
x
e
x
x
x
e
x
y
P
y
y
y
y
– обратите внимание, как за знак производной выносятся целые выражения с
«мёртвыми» переменными:
2 2
2 2
2 2
2 1
2 2
)
1
(
2
)
2 0
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
)
1
((
1
x
xe
x
x
e
x
x
e
x
e
x
e
x
Q
y
y
x
y
x
y
x
y
x
Q
y
P
, значит, уравнение
0 1
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
x
dy
e
x
dx
e
x
y
y
является полным дифференциалом некоторой функции
F
и имеет вид:
0
dy
y
F
dx
x
F
То есть, в нашем распоряжении оказываются частные производные первого порядка:
2 2
)
1
(
)
1
(
2
x
e
x
x
F
y
– работаем с этой производной
2 1 x
e
y
F
y
– про эту производную пока забываем
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
46
Если
2 2
)
1
(
)
1
(
2
x
e
x
x
F
y
, то:
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2 2
2 2
2 2
x
x
d
e
x
dx
e
x
F
y
y
Здесь
)
1
(
y
e
является константой, которая вынесена за знак интеграла, а сам интеграл найден методом подведения функции под знак дифференциала.
Находим частную производную по «игрек»:
2 2
2 1
)
(
1
)
(
1 1
x
e
y
x
e
y
x
e
y
F
y
y
y
y
y
Это стандартное короткое оформление задания, когда после нахождения производной сразу приравнивается «забытая» производная
2 1 x
e
y
F
y
Из последнего равенства
2 2
1
)
(
1
x
e
y
x
e
y
y
y
следует, что
0
)
(
y
y
, это простейший интеграл:
const
C
dy
y
0
)
(
Подставляем найденную функцию
C
y
)
(
в «недоделанный» результат
)
(
1 1
2
y
x
e
F
y
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
x
e
y
где
,
0 1
1 2
И как всегда – приятная неожиданность! Научимся решать задачу «зеркальным» способом, а именно:
2 2
)
1
(
)
1
(
2
x
e
x
x
F
y
– про эту производную пока забываем
2 1 x
e
y
F
y
– и начинаем «пляску» от «игрековой» производной.
Так как
2 1 x
e
y
F
y
, то
)
(
1 1
1 1
2 2
2
x
x
e
dy
e
x
x
dy
e
F
y
y
y
, где
)
(x
– пока
ещё неизвестная функция, зависящая только от «икс».
Дифференцируем этот результат по «икс» и приравниваем его к «забытой» производной:
)
(
2
)
1
(
)
(
)
)
1
((
)
(
1 2
2 1
2 2
x
x
x
e
x
x
e
x
x
e
x
F
x
y
x
x
y
x
y
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
47
В правой части выполняем почленное деление (можно это было сделать сразу):
2 2
2 2
2 2
)
1
(
2
)
1
(
2
)
(
)
1
(
2
x
xe
x
x
x
x
xe
y
x
y
уничтожаем несладкую парочку:
2 2
)
1
(
2
)
(
x
x
x
x
и восстанавливаем функцию «фи»:
C
x
x
x
d
x
xdx
x
2 2
2 2
2 2
1 1
)
1
(
)
1
(
)
1
(
2
)
(
– после чего подставляем её в
«недоделанную» функцию
)
(
1 2
x
x
e
F
y
:
C
x
x
e
F
y
2 2
1 1
1
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
x
e
y
где
,
0 1
1 2
«Зеркальный» способ решения ни в коем случае не лишний, и тем более не является «понтами». На «традиционном» пути запросто может встретиться трудный или
ОЧЕНЬ трудный интеграл, и тогда альтернативный вариант окажется просто спасением!
И, кроме того, второй способ может показаться вам удобнее чисто субъективно.
Пример 30
Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
0
sin
2
sin
2 2
dy
y
x
y
dx
x
y
x
Решайте так – как вам удобно! Но на всякий-то случай пройдите обоими путями ;)
Кроме того, существуют уравнения, сводящиеся к уравнению в полных дифференциалах, которые решаются методом интегрирующего множителя. Но вероятность встречи с ними крайне мала, и поэтому мы продолжаем.
Полного вам дифференциала во второй части книги! =)
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
48
2. Дифференциальные уравнения высших порядков Дифференциальное уравнение
n -го порядка имеет вид:
0
)
...,
,
,
,
,
,
(
)
(
nyyyyyxF и
обязательно содержит производную «энного порядка»
)
(
ny и НЕ содержит производные более высоких порядков.
Так, простейшее уравнение 2-го порядка
0
)
,
,
,
(
yyyxF выглядит так:
0
y, простейшее уравнение 3-го порядка
0
)
,
,
,
,
(
yyyyxF – так:
0
y и т.д.
Принцип точно такой же: р
ешить ДУ высшего порядка – это значит, найти множество функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество называют
общим интегралом 0
)
...,
,
,
,
,
(
2 1
nCCCyxF (или
общим решением), которое содержит ровно «эн» констант. Придавая им различные значения, мы можем получить бесконечно много
частных интегралов (решений) дифференциального уравнения.
Капитан Очевидность говорит нам о том, что существуют разные типы уравнений высших порядков, и мы незамедлительно приступаем к их изучению.
2.1. Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка Уже из самого названия становится понятно, что такие сводятся к уравнениям более низкого порядка. Различают
три подтипа таких диффуров, и чтобы не плодить трёхуровневое меню, я буду использовать словесную нумерацию:
Подтип первый. Уравнения, разрешимые повторным интегрированием Данное уравнение имеет вид
)
(
)
(
xfyn
, где
)
(
xf зависит
только от «икс», и в тривиальном случае представляет собой константу.
Чтобы решить такое уравнение, нужно n раз проинтегрировать правую часть.
Пример 31 xxy2 2
Решение: данное дифференциальное уравнение имеет вид
)
(
xfy
. Интегрируем правую часть, понижая степень уравнения до 1-го порядка:
1 2
3 1
2 3
2 3
2 1
2 3
1
)
2
(
CxxCxxdxxxy
, или короче:
1 2
3 3
Cxxy
Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая
общее решение:
12 3
4 3
1 3
4 2
1 3
4 1
2 3
xCxCxxdxCxxyОтвет: общее решение:
constCCxy
2 1
4
,
где
...,
12
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
49
Проверяются такие уравнения обычно очень легко. В данном случае нужно лишь найти вторую производную:
1 2
3 1
2 3
2 1
3 4
3 1
0 3
3 1
4 12 1
3 12
C
x
x
C
x
x
C
x
C
x
x
y
x
x
x
x
C
x
x
y
2 0
2 3
3 1
3 1
2 2
1 2
3
В результате получено исходное дифференциальное уравнение
x
x
y
2 2
, значит, общее решение найдено правильно.
Пример 32
Решить дифференциальные уравнения
0
в)
,
2
sin б)
,
3
a)
y
x
x
y
y
Это пример для самостоятельного решения, … не тушуемся – решаем!
Нахождение частного решения (задача Коши) имеет свои особенности, одна из которых такова:
каков порядок уравнения – столько и начальных условий
. Это, кстати, касается и других типов диффуров, и если у вас начальных условий меньше, то в условии вашей задачи опечатка, точнее, недопечатка.
Пример 33
Найти частное решение ДУ, соответствующее заданным начальным условиям
2 1
)
0
(
,
0
)
0
(
,
0
)
0
(
,
2
y
y
y
e
y
x
Уравнение третьего порядка – три начальных условия.
Решение: данное уравнение имеет вид
)
(x
f
y
, а значит, нам нужно последовательно проинтегрировать правую часть три раза.
Сначала понижаем степень уравнения до второго порядка:
1 2
2 2
1
C
e
dx
e
y
x
x
Первый интеграл принёс нам константу
1
C . В уравнениях рассматриваемого типа рационально сразу же применять подходящие начальные условия.
Итак, у нас найдено
1 2
2 1
C
e
y
x
, и, очевидно, к полученному уравнению подходит начальное условие
2 1
)
0
(
y
. В соответствии с этим условием:
1 2
1 2
1
)
0
(
1 1
C
C
y
Таким образом:
1 2
1 2
x
e
y
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
50
На следующем шаге берём второй интеграл, понижая степень уравнения до первого порядка:
2 2
2 4
1 1
2 1
C
x
e
dx
e
y
x
x
Выползла константа
2
C , с которой мы немедленно расправляемся. Возникла тут у меня забавная ассоциация, что я злой дед Мазай с одноствольным ружьём. Ну и действительно, константы «отстреливаются», как только покажут уши из-под интеграла.
В соответствии с начальным условием
4 1
)
0
(
y
:
0 4
1 0
4 1
)
0
(
2 2
C
C
y
Таким образом:
x
e
y
x
2 4
1
И, наконец, третий интеграл:
4 1
2
dx
x
e
y
x
Для третьей константы используем последний патрон
8 9
)
0
(
y
:
1 8
9 0
8 1
)
0
(
3 3
C
C
y
Зайцы плачут, заряды были с солью (я же не маньяк какой-то )
Ответ: частное решение:
8 1
2
x
e
y
Выполним проверку, благо, она ненапряжная и чёткая:
1) Проверяем начальное условие
8 9
)
0
(
y
:
8 9
1 0
8 1
)
0
(
y
– выполнено.
2) Находим производную:
x
e
x
e
x
e
y
x
x
x
2 2
2 2
4 1
0 2
2 2
8 1
1 2
8 1
Проверяем начальное условие
4 1
)
0
(
y
:
4 1
0 4
1
)
0
(
y
– выполнено.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
51 3) Находим вторую производную:
1 2
1 4
1 2
2
x
x
e
x
e
y
Проверяем начальное условие
2 1
)
0
(
y
:
2 1
1 2
1
)
0
(
y
– выполнено.
4) Найдем третью производную:
x
x
x
e
e
e
y
2 2
2 0
1 2
1
Получено исходное дифференциальное уравнение
x
e
y
2
Вывод: задание выполнено верно.
Аналогичное задание для самостоятельного решения:
Пример 34
Найти частное решение уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, и выполнить проверку
6 3
y
x
,
0
)
1
(
y
,
5
)
1
(
y
,
1
)
1
(
y
Решение и ответ в конце книги.
Время от времени в дифференциальных уравнениях рассматриваемого типа приходится находить более трудные интегралы: использовать метод замены переменной,
интегрировать по частям, прибегать к другим ухищрениям. Но это уже всё зависит от вашей техники интегрирования и к сегодняшней теме не относится.
Подтип второй.
В уравнении в явном виде отсутствует функция
y
Простейшее уравнение этого подтипа в общем виде выглядит так:
0
)
,
,
(
y
y
x
F
– всё есть, а «игрека» нет. Точнее, его нет в явном виде, но он обязательно всплывёт в ходе решения.
Кроме того, вместе с «игреком» в явном виде может отсутствовать первая производная:
0
)
,
,
(
y
y
x
F
– это уже уравнение третьего порядка.
Может дополнительно отсутствовать и вторая производная:
0
)
,
,
(
IV
y
y
x
F
– уравнение четвертого порядка.
И так далее. Думаю, вы увидели закономерность, и теперь сможете без труда определить такое уравнение в практических примерах. Заостряю внимание, что во всех этих уравнениях обязательно присутствует независимая переменная «икс».
На самом деле есть общая формула и строгая формулировка, но от них легче не станет, и поэтому мы сразу переходим к практическим вопросам:
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
52
Как решать такие уравнения?
Они решаются с помощью очень простой замены.
Пример 35
Найти общее решение дифференциального уравнения
)
1
(
9 1
x
x
y
y
Решение: в предложенном уравнении второго порядка в явном виде не участвует переменная
y
. Заменим первую производную
y
новой функцией
z
, которая зависит от
«икс»:
)
(x
z
y
Если
z
y
, то
z
y
Цель проведённой замены очевидна – понизить степень уравнения:
)
1
(
9 1
x
x
z
z
Получено самое что ни на есть обычное линейное неоднородное ДУ 1-го порядка
, с той лишь разницей, что вместо привычной функции «игрек» у нас функция «зет». Для разнообразия я решу его методом вариации произвольной постоянной
:
1) Найдём общее решение соответствующего линейного однородного уравнения:
0 1
x
z
z
Разделяем переменные и интегрируем:
1
x
z
dx
dz
1
x
dx
z
dz
C
x
z
ln
1
ln ln
const
C
x
C
z
x
C
z
где
,
1
1
ln ln
2) Варьируя постоянную C
, в неоднородном уравнении проведём замену:
1
z
x
u
z
– подставляем «зет» и «зет штрих» в уравнение
)
1
(
9 1
x
x
z
z
:
)
1
(
9
)
1
(
)
1
(
1 2
2
x
x
u
x
u
x
u
Пара слагаемых в левой части испаряются, значит, мы на верном пути:
)
1
(
9 1
x
x
u
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
53
Разделяем переменные и интегрируем:
dx
x
du
x
dx
du
2 2
)
1
(
9
)
1
(
9 1
3 1
3 2
)
1
(
3
)
1
(
3 1
9
)
1
(
9
C
x
C
x
dx
x
u
Таким образом:
1
)
1
(
3 1
1 3
x
C
x
x
u
z
Итак, функция
z
найдена, и тут на радостях можно забыть про одну вещь и машинально записать ответ. Нет-нет, ещё не всё. Вспоминаем, что в начале задания была выполнена замена
z
y
, следовательно, нужно провести обратную замену
y
z
:
1
)
1
(
3 1
2
x
C
x
y
Общее решение восстанавливаем интегрированием правой части:
2 1
3 1
2 1
ln
)
1
(
1
)
1
(
3
C
x
C
x
dx
x
C
x
y
На заключительном этапе нарисовался партизан «игрек», который, как мы помним, в дифференциальное уравнение в явном виде не входил.
Ответ: общее решение:
const
C
C
C
x
C
x
y
2 1
2 1
3
,
где
,
1
ln
)
1
(
В большинстве случае проверить такие уравнения не составляет особого труда.
Находим первую и вторую производные от ответа:
2 1
1 2
1 2
2 1
3
)
1
(
)
1
(
6
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
3
)
1
ln
)
1
((
x
C
x
x
C
x
y
x
C
x
C
x
C
x
y
и подставляем их в исходное уравнение
)
1
(
9 1
x
x
y
y
:
)
1
(
9
)
1
(
3
)
1
(
6
)
1
(
9
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
6
)
1
(
9 1
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
6 2
1 2
1 1
2 2
1
x
x
x
x
x
C
x
x
C
x
x
x
x
C
x
x
C
x
)
1
(
9
)
1
(
9
x
x
– в результате получено верное равенство, значит, общее решение найдено правильно.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
54
Если дано аналогичное уравнение с более «высокими» производными:
)
1
(
9 1
xxyy, то решение будет очень похожим.
В результате замены
zyzy
мы получим то же самое линейное уравнение
)
1
(
9 1
xxzz, однако после обратной замены у нас нарисуется диффур
первого подтипа:
1
)
1
(
3 1
2
xCxy, который следует решить двукратным интегрированием правой части:
2 1
3 1
2 1
ln
)
1
(
1
)
1
(
3
CxCxdxxCxy
– в точности ответ предыдущей задачи, который нужно проинтегрировать ещё раз:
4
)
1
(
1
ln
)
1
(
4 2
1 3
xdxCxCxyГотово.
Всегда ли в результате таких замен получается линейное неоднородное уравнение
1-го порядка
? Нет, не всегда. Запросто может получиться уравнение с разделяющимися переменными
, однородное уравнение или какая-нибудь другая интересность:
Пример 36 Решить дифференциальное уравнение
yxyx
cos
)
sin
1
(
Это пример для самостоятельного решения.
Что делать, если в уравнении рассмотренного подтипа требуется найти частное решение? Выгодно использовать ту же методику – последовательный «отстрел» констант.
Подтип третий. В дифференциальном уравнении в явном виде отсутствует независимая переменная x .
Такое уравнение решается с помощью замены
)
(
yzy
, где
z – функция, зависящая от «игрек». Следует отметить, что по правилу дифференцирования сложной функции:
)
(
)
(
)
(
yzyzyyzy
, или, если короче, в дифференциальном уравнении нужно провести подстановку:
zzyzy
, не забывая по ходу решения, что
dydzz
Встреча с такими диффурами в отчётной
работе крайне маловероятна, и поэтому я воздержусь от конкретных примеров, но на всякий случай
вот ссылка (см. низ статьи).
Вы готовы к новым свершениям? Впереди ключевые уравнения! © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
55
2.2. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка В рамках данного курса мы будем рассматривать уравнения с
постоянными коэффициентами. Такое уравнение имеет вид:
0
qyypy, где
p и
q – конкретные числа (постоянные коэффициенты), а в правой части –
строго ноль.
Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое
характеристическое уравнение:
0 2
qp
– это обычное квадратное уравнение с двумя корнями
2 1
,
, которые нам нужно найти
(алгоритм я напомнил в Приложении Школьные формулы).
При этом возможны три случая:
Случай первый. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня Если характеристическое уравнение
0 2
qp
имеет два
различных действительных корня
1
,
2
(т.е., если дискриминант
0
D), то
общее решение однородного уравнения выглядит так:
xxeCeCy2 1
2 1
, где
2 1
,
CC – константы.
Если один из корней равен нулю, то решение очевидным образом упрощается; пусть, например,
0 1
, тогда общее решение:
xxxeCCeCeCy2 2
2 1
2 0
1
Пример 37 Решить дифференциальное уравнение
0 2
yyyРешение: составим характеристическое уравнение:
0 2
2
и вычислим его дискриминант
(см. Приложение Школьные формулы):
0 9
8 1
D, значит, уравнение имеет различные действительные корни.
Порядок корней не имеет значения, но обычно их располагают в порядке возрастания:
1 2
3 1
,
2 2
3 1
2 1
–
для проверки подставляем найденные значения в квадратное уравнение и убеждаемся, что они «подходят».
Всё, что осталось сделать – записать ответ, руководствуясь формулой
xxeCeCy2 1
2 1
Ответ: общее решение:
constCCeCeCyxx
2 1
2 2
1
,
где
,
Не будет ошибкой, если записать общее решение «наоборот»:
xxeCeCy2 2
1
, но, как я отметил выше, традиционным стилем
считается расположить коэффициенты по возрастанию, сначала –2, потом 1.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
56
Как выполнить проверку? По большому счёту, достаточно проверить квадратное уравнение, т.е. подставить значения
1
,
2 2
1
в уравнение
0 2
2
, но я напомню и
общий принцип – найденное множество функций должно удовлетворять дифференциальному уравнению. Посмотрим, как это работает в нашем случае – берём ответ
xxeCeCy2 2
1
и находим производную:
xxxxeCeCeCeCy2 2
1 2
2 1
2
)
(
Далее находим вторую производную:
xxxxeCeCeCeCy2 2
1 2
2 1
4
)
2
(
и подставляем
xxeCeCy2 2
1
,
xxeCeCy2 2
1 2
и
xxeCeCy2 2
1 4
в левую 
Скачать 1.54 Mb.