Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения
 Скачать 1.54 Mb.
|
|
Пример 13 Решить дифференциальное уравнение 0 ) 2 ( 2 2 dy x dx xy y Это очень интересный пример, прямо целый триллер! Сначала убеждаемся в том, что переменные тут разделить нельзя, после чего проводим проверку на однородность: 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( 0 ) ( ) 2 ) (( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dy x dx xy y dy x dx xy y dy x dx xy y dy x dx y x y 0 ) 2 2 2 dy x dx xy y – в результате получено исходное ДУ, значит, оно является однородным. Особенность этого уравнения состоит в том, что оно содержит готовые дифференциалы, и его можно решить модифицированной заменой: tdx xdt dy tx y Но я не советую использовать такую подстановку, поскольку получится Великая китайская стена дифференциалов, где нужен глаз да глаз. С технической точки зрения выгоднее перейти к «штриховому» обозначению производной, для этого делим все члены уравнения на dx : 0 2 0 ) 2 ( 2 2 2 2 y x xy y dx dx dy x dx dx xy y И уже здесь мы совершили «опасное» преобразование! Контролируем ситуацию: уравнению 0 dx соответствует С x – семейство прямых, параллельных оси OY . Являются ли они решениями нашего ДУ? Подставим в него С x и 0 ) ( С d dx : 0 0 0 ) 2 ( 2 2 2 dy C dy C Сy y Данное равенство справедливо, если 0 С , то есть, при делении на dx мы рисковали потерять корень 0 x , и мы его потеряли – так как он УЖЕ не удовлетворяет полученному уравнению 0 2 2 2 y x xy y Следует заметить, что если бы нам изначально было дано уравнение 0 2 2 2 y x xy y , то о корне 0 x речи бы не шло. Но у нас он есть, и мы его вовремя «отловили». Продолжаем решение стандартной заменой t x t y tx y , : 0 ) ( 2 ) ( 2 2 t x t x tx x tx после подстановки упрощаем всё, что можно упростить: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 23 Разделяем переменные: x dx t t dt t t dx dt x ) 1 ( 2 И вот здесь снова СТОП: при делении на ) 1 ( t t мы рискуем потерять сразу две функции. Так как x y t , то это функции: x y x y t y x y t 1 0 1 0 0 0 Очевидно, что первая функция является решением уравнения 0 2 2 2 y x xy y Проверяем вторую – подставляем x y и её производную 1 ) ( x y : 0 2 0 1 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x 0 0 – получено верное равенство, значит, функция x y тоже является решением дифференциального уравнения. И при делении на ) 1 ( t t мы эти решения рискуем потерять. Впрочем, они могут войти в общий интеграл. Но могут и не войти. Берём это на заметку и интегрируем обе части: x dx t t dt ) 1 ( Интеграл левой части можно решить методом выделения полного квадрата, но в диффурах удобнее использовать метод неопределенных коэффициентов. Разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей: 1 ) 1 ( ) 1 ( 1 1 Bt t A t t t B t A 1 1 0 B A B A Таким образом: 1 1 1 1 1 1 ) 1 ( 1 t t t t t t – удобнее так. Берём интегралы: C x dt t t ln ln 1 1 1 C x t t ln ln 1 ln ln – так как у нас нарисовались одни логарифмы, то константу тоже заталкиваем под логарифм. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 24 Перед обратной заменой снова упрощаем всё, что можно упростить: C t x t C x t t ln ) 1 ( ln ln ln 1 ln Сбрасываем цепи: C t x t ) 1 ( И вот только теперь обратная замена x y t : Теперь вспоминаем о «потеряшках»: решение 0 y вошло в общий интеграл при значении 0 C , а вот x y – «пролетело мимо кассы», т.к. оказалось в знаменателе. Поэтому в ответе оно удостаивается отдельной фразы, и да – не забываем о потерянном решении 0 x , которое, к слову, тоже оказалось внизу Ответ: общий интеграл. Ещё решения: x y x , 0 Здесь не так трудно выразить общее решение: 1 ) 1 ( 2 2 2 2 Cx Cx y Cx y Cx Cx y Cxy Cx Cxy y Cx x y y , хотя лично я сторонник общего интеграла (за исключением каких-то совсем простых случаев). Однако, для проверки оно весьма удобно, найдём производную: 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( 1 Cx С Cx Cx Cx Cx Cx Cx Cx Cx Cx Cx y и подставим 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 , 1 Cx x C Cx Cx y Cx Cx y в левую часть уравнения: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 1 2 1 2 Cx x C Cx Cx x Cx Cx x Cx Cx y x xy y 0 ) 1 ( 1 2 1 2 ) 1 ( 2 4 2 3 3 2 4 2 Cx x C Cx Cx Cx Cx Cx x C – в результате получена правая часть уравнения, что и требовалось проверить. © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 25 Тренируемся! Пример 14 Решить дифференциальные уравнения а) y xy y x y 2 2 , дополнительно: решить задачу Коши для условия e e y ) ( и проверить полученный частный интеграл; б) и что-нибудь простенькое… вот: выполнить проверку. Однородность этих уравнений, думаю, всем виднА, но ни в коем случае не следует забывать и о Проверке №1 ;) Ибо уравнение x y y тоже однородно, но в нём можно преспокойно разделить переменные . Да, встречаются и такие уравнения! Решения и ответы в конце урока, и не забывайте, что вид ваших решений и ответов не обязан совпадать с образцом. Итак: при неравносильных преобразованиях ВСЕГДА проверяйте (по крайне мере, устно), не теряете ли вы решения! Какие это преобразования? Как правило, сокращение на что-то или деление на что-то. Так, например, при делении на 4 2 y нужно проверить, являются ли функции решениями дифференциального уравнения. При делении на разложимый на множители квадратный трёхчлен 5 6 2 y y есть все шансы потерять корни 5 , 1 y y , и так далее. В то же время при делении на 4 2 y или неразложимый трёхчлен 2 2 2 y y надобность в такой проверке уже отпадает – по причине того, что эти делители не обращается в ноль. Вот ещё одна опасная ситуация: Здесь, избавляясь от 1 y , следует проверить, не является ли 1 y решением ДУ. Часто в качестве такого множителя встречается «икс», «игрек», и мы рискуем потерять функции 0 , 0 y x , которые могут оказаться решениями. С другой стороны, если что-то ИЗНАЧАЛЬНО находится в знаменателе, то повода для такого беспокойства нет. Так, в однородном уравнении y x y x y 5 2 3 функция 5 x y заведомо не может быть решением, так как «заявлена» в знаменателе. Кстати, умножая обе части на y x 5 : y x y y x 2 3 ) 5 ( – мы уже «приобретаем» функцию 5 x y , которая может оказаться посторонним решением, и таки беспокоиться есть о чём :) НО. Если изначально предложено уравнение y x y y x 2 3 ) 5 ( , то эта функция наоборот – попадает под контроль (если мы сбрасываем y x 5 в знаменатель). Переходим к изучению 3-го, важнейшего типа дифференциального уравнения: © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 26 1.4. Линейное неоднородное уравнение первого порядка Если переменные разделить не удалось, и уравнение однородным не является, то перед нами с ОЧЕНЬ высокой вероятностью линейное неоднородное уравнение 1-го порядка. Данное уравнение имеет следующий вид: ) ( ) ( x q y x p y , где ) ( ), ( x q x p – члены, зависящие только от «икс». Как вариант: 1) ) (x q может быть константой (конкретным числом): k y x p y ) ( ; 2) ) (x p может быть числом: ) (x q ky y , в простейших случаях: ) (x q y y или ) (x q y y ; 3) и иногда рядом с производной красуется «иксовый» множитель: ) ( ) ( ) ( x q y x p y x r – это тоже линейное неоднородное уравнение (опционально ) (x p или ) (x q – константа). Разумеется, в практических примерах члены уравнения могут быть переставлены местами, но гораздо чаще они расположены в стандартном порядке: Пример 15 Решить дифференциальное уравнение x e y y Решение: неразделимость переменных и неоднородность этого уравнения совершенно очевидна, и перед нами линейное уравнение вида: ) (x q y y Как решить линейное неоднородное уравнение 1-го порядка? Существуют два способа решения, и сначала я познакомлю вас с наиболее распространённым методом Бернулли. Он чёткий, простой и в очередной раз приносит нам отличную новость! Линейное дифференциальное уравнение тоже можно решить одной-единственной заменой: ) ( ) ( x v x u y , где u и v – некоторые, пока ещё неизвестные функции, зависящие от «икс». Коль скоро, у нас произведение uv y , то по правилу дифференцирования произведения: v u v u uv y ) ( © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 27 Подставляем uv y и v u v u y в уравнение x e y y : x e uv v u v u Все дальнейшие действия, как вы правильно догадались, будут посвящены отысканию функций «у» и «вэ». После подстановки смотрим на два слагаемых, которые располагаются вот на этих местах: У них нужно вынести за скобки всё, что можно вынести. В данном случае: Теперь нужно составить систему уравнений. Система составляется стандартно: Приравниваем к нулю то, что находится в скобках: 0 v v (первое уравнение) Если 0 v v , тогда наш страх заметно уменьшается: x e u v u 0 x e v u – это второе уравнение. Уравнения записываем в систему: x e v u v v 0 Именно в таком порядке. Система опять же решается стандартно. Сначала из первого уравнения находим функцию ) (x v . Это простейшее уравнение с разделяющимися переменными , поэтому его решение я приведу без комментариев: x e v x v dx v dv v dx dv v v ln 0 Функция v найдена. Обратите внимание, что константу C на данном этапе мы не приписываем. Далее подставляем найденную функцию x e v во второе уравнение системы x e v u : x x e e u Да это даже не удовольствие – это мечта! © Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/ 28 Из второго уравнения находим функцию ) (x u : 1 1 dx du u C x dx u Функция u найдена. А вот здесь уже добавляем константу C . Опс. А задача-то решена! Вспоминаем, с чего всё начиналось: uv y Обе функции найдены: x e v C x u Записываем общее решение: const C e C x uv y x где , ) ( В ответе можно раскрыть скобки, это дело вкуса: Ответ: общее решение const C xe Ce y x x где , Проверка выполняется по знакомой технологии, берём ответ x x xe Ce y и находим производную: x x x x x x x x xe e Ce e x e x e C xe Ce y ) ( ) ( ) ( ) ( Подставим x x xe Ce y и x x x xe e Ce y в исходное уравнение x e y y : x x x x x x x x x x x x x x e e e xe Ce xe e Ce e xe Ce xe e Ce ) ( Получено верное равенство, таким образом, общее решение найдено правильно. Разбираем «на одном дыхании»: |