соответствующий раздел
сайта
и
экстремально короткий курс по интегралам
Догоняющие – да догонят :) Едем дальше:
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
9
Интеграл левой части легко найти подведением функции под знак дифференциала, с интегралом от котангенса расправляемся стандартным приемом – с помощью бородатой тригонометрической формулы:
x
xdx
y
dy
sin cos
1 2
x
x
d
y
y
d
sin
)
(sin
1 2
)
1 2
(
2 1
C
x
y
ln sin ln
1 2
ln
2 1
В правой части у нас получился логарифм, и, согласно моей первой технической рекомендации, в этом случае константу тоже следует записать под логарифмом.
Теперь пробуем упростить общий интеграл. Поскольку у нас одни логарифмы, то от них можно (и нужно) избавиться. С помощью известных свойств (см. Приложение
Школьные формулы) максимально «упаковываем» логарифмы. Распишу очень подробно:
C
x
y
ln sin ln
1 2
ln
1 2
1
x
C
y
C
x
y
sin ln
1 2
ln ln sin
1
ln
1 2
ln
Упаковка завершена, чтобы быть варварски ободранной:
x
C
y
sin
1 2
Можно ли выразить «игрек»? Можно. Надо возвести в квадрат обе части. Но делать этого не нужно.
Третий технический совет:
если для получения общего решения нужно
возводить в степень и/или извлекать корни, то в большинстве случаев следует
воздержаться от этих действий и оставить ответ в виде общего интеграла. Дело в том, что общее решение будет смотреться вычурно и громоздко – с большими корнями, знаками
и прочим математическим трэшем.
Поэтому ответ запишем в виде общего интеграла, и лучше представить его в стильном виде
C
y
x
F
)
;
(
. Делать, повторюсь, это не обязательно, но всегда же выгодно порадовать профессора ;-)
Ответ: общий интеграл:
Очевидно, что общий интеграл дифференциального уравнения можно записать
не единственным способом. Так, например, здесь напрашивается возвести обе части в квадрат и переобозначить константу
С
C
2
:
С
x
y
sin
1 2
2
– ничем не хуже, и даже лучше – удобнее будет проверять.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
10
Как выполнить проверку? Фактически нужно найти
производную неявно заданной функции, причём выгоднее работать как раз с «последней версией», ибо, зачем возиться с корнем? Модуль удобнее раскрыть перед дифференцированием:
)
(
)
sin
)
1 2
(
(
2
Cxyв левой части знак «плюс минус» выносим за скобки и пользуемся правилом дифференцирования произведения
(Приложение Таблица производных): знак
можно с чистой совестью убрать
(формально – умножить обе части на
):
0
cos sin
2
)
1 2
(
sin
2 0
)
(sin sin
2
)
1 2
(
sin
)
0 2
(
2 2
xxyxyxxyxyделим оба слагаемых на
xsin
2
:
0
cos
)
1 2
(
sin
xyxyи на
xsin :
0
)
1 2
(
0
sin cos
)
1 2
(
sin sin
ctgxyyxxyxxyПолучено в точности исходное дифференциальное уравнение
0
)
1 2
(
сtgxyy, значит, общий интеграл найден правильно.
…Слишком трудно? Это ещё такая простенькая получилась проверка :)
Пример 4 Найти частное решение дифференциального уравнения
0
ln
yxyy, удовлетворяющее начальному условию
ey
)
1
(
. Выполнить проверку.
Решаем самостоятельно! – пробуем свои силы.
Напоминаю, что
решение задачи Коши состоит из двух этапов:
1)
нахождение общего решения;
2) нахождение требуемого частного решения.
Проверка тоже проводится в два этапа, нужно:
1) убедиться, что найденное частное решение действительно удовлетворяет начальному условию;
2) проверить, что частное решение вообще удовлетворяет дифференциальному уравнению.
Если возникли затруднения, решайте по образцу
Пример 2. Ну и в лучших традициях – полное решение и ответ в конце книги. Ссылку специально не ставлю, чтобы не было искушения =)
С боевым, а точнее, с учебным вас крещением!
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
11
Пример 5
Найти частное решение дифференциального уравнения
0 2
2
xdx
dy
e
x
y
, удовлетворяющее начальному условию
2
ln
)
0
(
y
. Выполнить проверку.
Решение:Сначала найдем общее решение.Данное уравнение уже содержит готовые дифференциалы
dy
и dx , а значит, решение упрощается. Разделяем переменные:
dx
xe
dy
e
e
xdx
dy
e
xdx
dy
e
e
xdx
dy
e
e
x
y
x
y
x
y
x
y
2 2
2 2
2 2
2 0
2
Интегрируем уравнение:
dx
xe
dy
e
x
y
2 2
Интеграл слева – табличный, интеграл справа – берём методом подведения
функции под знак дифференциала:
)
(
2 2
x
d
e
dy
e
x
y
C
e
e
x
y
2
Общий интеграл получен, нельзя ли удачно выразить общее решение? Можно.
Навешиваем логарифмы на обе части. Поскольку правая часть не может быть отрицательной (почему?), то знак модуля будет излишним – ставим просто скобки:
)
ln(
)
ln(
ln
2 2
C
e
y
C
e
e
x
x
y
На всякий случай
распишу:
Итак, общее решение:
const
C
C
e
y
x
где
),
ln(
2
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию
2
ln
)
0
(
y
. В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» логарифм двух:
)
ln(
2
ln
0
C
e
)
1
ln(
2
ln
C
, откуда следует, что
1
C
Более привычное оформление:
1 2
ln
)
1
ln(
)
ln(
)
0
(
0
C
C
C
e
y
Подставляем найденное значение константы
1
C
в общее решение и записываем
ответ: частное решение
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
12
Проверка. Сначала проверим, выполнено ли начальное условие
2
ln
)
0
(
y
:
2
ln
)
1 1
ln(
)
1
ln(
)
0
(
0
e
y
– гуд.
Теперь проверим, а удовлетворяет ли вообще найденное частное решение
)
1
ln(
2
x
e
y
дифференциальному уравнению. Находим производную:
)
1
(
2
)
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
1
)
)
1
(ln(
2 2
2 2
2 2
2 2
x
x
x
x
x
x
x
e
xe
x
e
e
e
e
e
y
Смотрим на исходное уравнение:
0 2
2
xdx
dy
e
x
y
– оно представлено в дифференциалах. Есть два способа проверки. Можно из найденной производной выразить дифференциал
dy
:
)
1
(
2
)
1
(
2
)
1
(
2 2
2 2
2 2
2
x
x
x
x
x
x
e
dx
xe
dy
e
xe
dx
dy
e
xe
y
после чего подставить
)
1
ln(
2
x
e
y
и
)
1
(
2 2
2
x
x
e
dx
xe
dy
в исходное уравнение
0 2
2
xdx
dy
e
x
y
Но это несколько неуклюжий вариант, здесь сподручнее разделить обе части диффура на dx :
dx
dx
xdx
dx
dy
e
x
y
0 2
2
0 2
2
x
y
e
x
y
и подставить в полученное уравнение
)
1
(
2
),
1
ln(
2 2
2
x
x
x
e
xe
y
e
y
:
0 2
)
1
(
2 2
2 2
2
)
1
ln(
x
e
xe
e
x
x
x
e
x
По свойству степеней, «разбираем» экспоненту на множители:
0 2
)
1
(
2 2
2 2
2
)
1
ln(
x
e
xe
e
e
x
x
x
e
x
и используем основное логарифмическое тождество
a
e
a
ln
:
0 2
2 0
2
)
1
(
2 1
)
1
(
2 2
2 2
x
x
x
e
xe
e
e
x
x
x
x
0 0 – получено верное равенство.
Таким образом, частное решение найдено правильно.
Пример 6
Решить дифференциальное уравнение. Ответ представить в виде общего интеграла
C
y
x
F
)
;
(
Это пример для самостоятельного решения.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
13
Какие трудности подстерегают при решении дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными?
1) Не всегда очевидно (особенно, «чайнику»), что переменные можно разделить.
Рассмотрим условный пример:
0 5
2 2
2
yxyyxxy. Здесь нужно провести вынесение множителей за скобки и отделить корни:
0
)
5
(
2 2
xyyyx. Как действовать дальше – понятно.
2) Сложности при самом интегрировании. Интегралы нередко возникают не самые простые, и если есть изъяны в навыках нахождения неопределенного интеграла, то со многими диффурами придется туго. К тому же у составителей сборников и методичек популярна логика
«раз уж дифференциальное уравнение является простым, тогда пусть интегралы будут посложнее».
3) Преобразования с константой – это уже относится и к диффурам других типов.
Как вы заметили, с константой в дифференциальных уравнениях можно обращаться достаточно вольно. И некоторые преобразования не всегда понятны новичку.
Рассмотрим еще один условный пример:
*
2 3
ln
2 1
1
ln
2 1
Cyx
. В нём целесообразно умножить все слагаемые на 2:
*
2 2
3
ln
1
ln
Cyx
. Полученная константа
*
2
C – это
тоже какая-то константа, которую можно обозначить через
*
*
C. Да, и поскольку в правой части логарифм, то константу
*
*
Cцелесообразно переписать в виде другой константы:
Cyxln
3
ln
1
ln
2
Беда же состоит в том, что с индексами частенько не заморачиваются, используя одну и ту же букву
С . В результате запись решения принимает следующий вид:
СyxСyxСyxln
3
ln
1
ln
3
ln
1
ln
3
ln
2 1
1
ln
2 1
2 2
2
Что за дела?! Тут же ошибки! Формально – да. А неформально – ошибок нет, подразумевается, что при преобразовании константы
С всё равно получается какая-то другая константа
С .
Или другой пример, предположим, что в ходе решения уравнения получен общий интеграл
Сxxyy
ln
2 3
. Такой ответ выглядит некрасиво, поэтому целесообразно сменить у всех множителей знаки:
Сxxyy
ln
2 3
. Формально здесь опять ошибка – справа следовало бы записать «минус цэ». Но неформально подразумевается, что коль скоро константа принимает
любые значения, то менять у неё знак не имеет смысла и можно оставить ту же букву
С .
Я буду стараться избегать небрежного подхода и проставлять у констант разные индексы при их преобразовании,
чего и вам советую делать.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
14
Пример 7
Решить дифференциальное уравнение
0
)
1
(
)
(
2 4
y
x
y
y
xy
Решение: данное уравнение допускает разделение переменных. Разделяем переменные:
1 1
2
)
1
(
)
1
(
2 4
4
x
xdx
y
ydy
y
x
dx
dy
y
x
Интегрируем:
C
x
x
y
arctg
dx
x
y
y
d
x
dx
x
y
ydy
1
ln
)
(
1 1
1 1
)
(
)
(
1
)
1 1
(
1 2
2 2
2 2
4
Константу C тут не стОит определять под логарифм, поскольку ничего путного из этого не получится.
Ответ: общий интеграл:
const
C
C
x
x
y
arctg
где
,
1
ln
)
(
2
Обратите внимание, что условие этой задачи не требуется проверки. Но я
настоятельно рекомендую по возможности ВСЕГДА проверять решение.
Ну а зачем пропускать возможные ошибки, там, где их можно 100%-но не пропустить?!
Поэтому дифференцируем полученный ответ:
0 1
1 2
0 1
1 1
)
(
1 2
0 1
1 1
)
(
)
(
1 1
0
)
1
(ln
)
(
)
)
(
(
)
(
)
1
ln
)
(
(
4 2
2 2
2 2
2 2
x
x
y
y
y
x
x
y
y
y
x
y
y
x
x
y
arctg
C
x
x
y
arctg
Приводим дроби к общему знаменателю, после чего знаменатель испаряется
(можно сказать, что мы «поднимаем» его наверх правой части и умножаем на ноль):
0
)
1
(
)
(
2 0
)
1
)(
1
(
)
1
(
)
1
(
2 4
4 4
y
x
y
y
xy
x
y
y
x
x
y
y
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, общий интеграл найден правильно.
© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
15
Пример 8 Найти частное решение ДУ.
0
cos sin cos sin
2 2
xxyyy,
0 2
yЭто пример для самостоятельного решения. Единственная подсказка – здесь получится общий интеграл, и, точнее говоря,
нужно исхитриться найти не частное решение, а
частный интеграл. Полное решение и ответ в конце урока.
Как уже отмечалось, в диффурах с разделяющимися переменными нередко вырисовываются не самые простые интегралы. И вот как раз парочка таких примеров для самостоятельного решения.
Скачать 1.54 Mb.