Реферат. Блицкурс Дифференциальные уравнения

• Название: Блицкурс Дифференциальные уравнения
• Анкор: Реферат
• Дата: 24.05.2022
• Размер: 1.54 Mb.
• Имя файла: diffury_demo.pdf
• Тип: Методичка; #548037
• страница: 11 из 12

уже есть слагаемое вида
x
Ae
y
x
2
cos

, и поэтому ВСЯ «заготовка» подбора подлежит домножению на «икс»:
)
2
sin
2
cos
(
)
2
sin
2
cos
(

x
Bx
x
Ax
e
x
B
x
A
e
x
y
x
x





Но такая жесть, конечно, встречается совсем редко. Впрочем, и она нипочём – с хорошими навыками интегрирования и повышенным уровнем внимания.
Иногда в правой части неоднородного уравнения находится «ассорти», например:
x
e
x
y
y
3 18 3
sin
18 9





В подобных случаях частное решение неоднородного уравнения удобно разделить на две части: и провернуть алгоритм дважды – для подбора
x
Bx
x
Ax
y
3
sin
3
cos

1


и для
x
Ce
y
3 2

, после чего просуммировать найденные решения.
Как быть если в правой части находится какая-либо функция другого вида? Если это гиперболический синус или косинус, то раскладываем их на экспоненты; в других же случаях применяют универсальный
метод вариации произвольных постоянных
, но такое задание ввиду его громоздкости вряд ли предложат в вашей отчётной работе.
Правило: если в правой части находится синус, умноженный на многочлен ИЛИ косинус (того же аргумента), умноженный на многочлен той же степени (например,
x
x
3
cos
)
1
( 
), ИЛИ их сумма, то во всех трёх случаях в качестве первоначального варианта подбора рассматриваем «полный набор», в нашем случае:
x
D
Cx
x
B
Ax
y
3
sin
)
(
3
cos
)
(





, где
D
C
B
A
,
,
,
пока ёще неизвестные коэффициенты, при этом степени неопределённых многочленов пропускать нельзя!
Правило: если в правой части находится такое произведение ИЛИ произведение этой же экспоненты на косинус такого же аргумента (например,
x
e
x
2
cos
3

), ИЛИ ЖЕ сумма таких слагаемых (например,
)
2
sin
2
cos
2
(
2
sin
2
cos
2
x
x
e
x
e
x
e
x
x
x



), то во всех
трёх случаях первоначальная версия подбора имеет вид:
)
2
sin
2
cos
(

x
B
x
A
e
y
x



© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
72
2.4. Коротко о линейных уравнениях более высоких порядков
Всё очень и очень похоже. Они тоже бывают однородные и неоднородные. Так,
линейное однородное ДУ 3-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид:
0







qy
y
p
y
r
y
, где
q
p
r
,
,
– конкретные числа.
Для данного уравнения тоже нужно составить характеристическое уравнение и уравнение и найти его корни. Характеристическое уравнение, как нетрудно догадаться, выглядит так:
0 2
3




q
p
r



, и оно в любом случае имеет ровно три корня.
Пусть, например, все корни действительны и различны:
5
;
1
;
3 3
2 1







, тогда общее решение запишется следующим образом:
const
C
C
C
e
C
e
C
e
C
y
x
x
x





3 2
1 5
3 2
3 1
,
,
где
,
Если один корень действительный
2 1


, а два других – сопряженные комплексные
i
5 3
3
,
2



, то общее решение записываем так:
const
C
C
C
x
C
e
y
x




3 2
1 2
3
,
,
где
...,
5
cos
(
Особый случай, когда все три корня кратны (одинаковы). Знакомый малыш
0


y
имеет характеристическое уравнение
0 3


с тремя совпавшими нулевыми корнями
0 3
,
2
,
1


, поэтому его общее решение записываем так:
const
C
C
C
x
C
x
C
C
y




3 2
1 2
3 2
1
,
,
где
,
Если характеристическое уравнение
0 2
3




q
p
r



имеет, например, три кратных корня
1 3
,
2
,
1



, то общее решение, соответственно, такое:
const
C
C
C
где
xe
C
e
C
y
x
x






3 2
1 2
1
,
,
...,
Оформим решение «цивилизованно»:
Пример 54
Решить однородное дифференциальное уравнение третьего порядка
0



 y
y
Решение: составим и решим характеристическое уравнение:
0
)
1
(
0 2
3








0 1


,
i


3
,
2

– получен один действительный корень и два сопряженных комплексных корня.
Ответ: общее решение
const
C
C
C
x
C
x
C
C
y




3 2
1 3
2 1
,
,
где
,
sin cos
Подобные уравнения вполне могут быть предложены для решения, и поэтому мы немного разовьём тему:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
73
Линейное однородное уравнение 4-го порядка с постоянными коэффициентами
q
p
r
s
,
,
,
имеет вид:
0








qy
y
p
y
r
y
s
y
IV
и соответствующее характеристическое уравнение
0 2
3 4





q
p
r
s




всегда имеет ровно четыре корня.
Общее решение записывается точно по таким же принципам, как и для однородных диффуров младших порядков. Единственное, закомментирую тот случай, когда все 4 корня являются кратными. Если они равны нулю, то это в точности тривиальное уравнение
0

IV
y
с общим решением:
const
C
C
C
C
x
C
x
C
x
C
C
y





4 3
2 1
3 4
2 3
2 1
,
,
,
где
,
Если, характеристическое уравнение имеет четыре одинаковых ненулевых корня, например,
3 4
,
3
,
2
,
1


, то общее решение запишется так:
const
C
C
C
C
xe
C
e
C
y
x
x




4 3
2 1
3 2
3 1
,
,
,
где
...,
Пример 55
Решить уравнения а)
0 4 
 y
y
IV
, б) да чего тут мелочиться, сразу 6-го порядка:
0


V
VI
y
y
Догадайтесь самостоятельно! И да, потренируйтесь в проверке, она, кстати, помогает в сомнительных случаях. Решения и ответы в конце книги.
Линейное НЕоднородное уравнение 3-го и более высоких порядков отличается, как легко догадаться, ненулевой правой частью
)
(x
f
и его алгоритм решения будет точно
таким же, как и для уравнений второго порядка. С той поправкой, что нам придётся находить бОльшее количество производных при подборе частного решения
y

и при проверке. Фанаты могут ознакомиться с соответствующей статьёй сайта, но это уже диффуры «третьей категории» важности.
Да уж, действительно коротко получилось, даже сам удивился….
И я вас поздравляю!
Теперь вы сможете решить почти любое ДУ вашей отчётной работы!
Более подробную информацию и дополнительные примеры можно найти в соответствующем разделе портала mathprofi.ru (ссылка на карту сайта), при этом следующим пунктом целесообразно изучить
системы дифференциальных уравнений
(если они есть в вашей учебной программе).
Из прикладной литературы рекомендую следующий решебник:
М.Л. Краснов, А.И. Киселев, Г.И. Макаренко Дифференциальные уравнения, где разобраны более редкие уравнения и методы решения, которых вообще нет на сайте.
Желаю успехов!

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
74
Решения и ответы
Пример 4. Решение: Найдем общее решение. Разделяем переменные:
Интегрируем:
Общий интеграл получен, пытаемся его упростить. Упаковываем логарифмы и
избавляемся от них:
Выражаем функцию в явном виде, используя:
– общее решение.
Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию.
Способ первый, вместо «икса» подставляем 1, вместо «игрека» – «е»:
.
Способ второй:
Подставляем найденное значение константы в общее решение.
Ответ: частное решение:
Выполним проверку. Сначала проверяем, действительно ли выполняется
начальное условие:
– да, начальное условие выполнено.
Теперь проверим, удовлетворяет ли вообще частное решение дифференциальному
уравнению. Находим производную:
Подставим полученное частное решение и найденную производную в исходное
уравнение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
75
Получено верное равенство, таким образом, решение найдено правильно.
Пример 6. Решение: Данное уравнение допускает разделение переменных.
Разделяем переменные и интегрируем:
Ответ: общий интеграл:
Примечание: тут можно получить и общее решение:
Но, согласно моему третьему техническому совету, делать это нежелательно,
поскольку такой ответ смотрится плохо.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
76
Пример 8. Решение: данное ДУ допускает разделение переменных:
Интегрируем:
Общий интеграл:
Найдем частное решение (частный интеграл), соответствующий заданному
начальному условию. Подставляем в общий интеграл и:
Ответ:
Пример 9.
а) Решение: данное уравнение допускает разделение переменных:
Левую часть
интегрируем по частям
:
В интеграле правой части
проведем замену
:
Таким образом:
Дробь правой части раскладывается в сумму
методом неопределенных
коэффициентов
, но она настолько проста, что подбор коэффициентов можно
выполнить и устно:
Обратная замена:
Ответ: общий интеграл:
б) Решение: разделяем переменные и интегрируем:
Методом
неопределенных коэффициентов
разложим подынтегральную функцию в
сумму элементарных дробей:
Примечание: интеграл можно было также найти
методом выделения полного
квадрата

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
77
Ответ: общее решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
78
Пример 11. Решение: проверим уравнение на однородность, для этого в исходное
уравнение вместо подставим, а вместо подставим:
В результате получено исходное уравнение, значит, данное ДУ является
однородным.
Проведем замену: – подставим в исходное уравнение и проведём максимальные
упрощения:
Разделяем переменные и интегрируем:
Перед обратной заменой результат целесообразно упростить:
Обратная замена:
Под корнем приведём слагаемые к общему знаменателю и вынесем из-под корня
всё, что можно. Эти действия часто приходится выполнять в ходе решения однородного
уравнения, запомните их:
Ответ: общий интеграл:
Пример 14.
а) Решение: данное уравнение является однородным, проведем замену:
После подстановки проводим максимальные упрощения:
Разделяем переменные и интегрируем:
Контроль потенциально потерянных решений:
– не является решением уравнения,
а вот, очевидно, является.
Интегрируем:
и перед обратной заменой записываем уравнение как можно компактнее:
Проведём обратную замену:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
79
Решение в общий интеграл не вошло, и поэтому его следует дополнительно
прописать в ответе:
общий интеграл:, ещё одно решение:.
Дополнительное задание: найдём частное решение, соответствующее заданному
начальному условию:
– искомый частный интеграл.
Выполним проверку:
1) Проверяем выполнение начального условия:
– получено верное равенство, т.е. начальное условие выполняется.
2) Найдём производную:
– в результате получено исходное дифференциальное уравнение.
Таким образом, решение найдено верно.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
80
б) Решение:разделим обе части уравнения на:
, при этом не является решением исходного уравнения, поэтому корней мы точно
не потеряем.
Проведем замену и максимально упростим уравнение:
Разделяем переменные, слева собираем «тэ», справа – «иксы»:
Контроль потенциально потерянных решений:
Первая функция, очевидно, является решением уравнения, проверяем вторую
подстановкой и её производной:
– получено верное равенство, значит, функция является решением.
Интегрируем:
умножим обе части на 2:
переобозначим константу через:
и «упаковываем» логарифмы:
Обратная замена:
Умножим все слагаемые на:
Решения вошли в общий интеграл при нулевом значении константы.
Ответ: общий интеграл:
Проверка: дифференцируем общий интеграл:
Получено исходное дифференциальное уравнение, значит, решение найдено верно.

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
81
Пример 17. Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным,
проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем:
– подставим во второе уравнение системы:
Таким образом:
Ответ: общее решение:.
Проверка: подставим и в левую часть исходного уравнения:
– в результате получена правая часть уравнения, значит, решение найдено верно.
Пример 19. Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным,
проведём замену:
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем:
– подставим во второе уравнение системы:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
82
Ответ:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
83
Пример 21. Решение: Данное уравнение является линейным неоднородным,
проведём замену:
(раскрыли только левые скобки!)
Составим и решим систему:
.
Из первого уравнения найдем:
Примечание: здесь использовано основное логарифмическое тождество:
Подставим найденную функцию во второе уравнение:
Таким образом, общее решение:
Найдем частное, соответствующее заданному начальному условию:
Ответ:
Пример 23. Решение: представим уравнение в виде.
Данное ДУ является уравнением Бернулли, разделим обе части на:
Проведем замену :
Получено линейное неоднородное уравнение, проведем замену:
Составим и решим систему:
Из первого уравнения найдем:
– подставим во второе уравнение:
Таким образом:
Обратная замена:
Общее решение:

© Емелин А., полную и актуальную версию книги можно найти здесь: http://mathprofi.com/knigi_i_kursy/
84
Найдем частное решение, соответствующее заданному начальному условию: