Исследование задач о пограничном слое. ЭТО ТВОЙ ДИПЛОМ11. Численное исследование задач о движении слабых растворов полимеров. Выпускная квалификационная работа
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РФ ФГБОУ ВО «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт математики и информационных технологий Кафедра дифференциальных уравнений ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ СЛАБЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ. Выпускная квалификационная работа Выполнил студент 472 группы Ковтонюк Егор Владимирович _______________________ (подпись) Научный руководитель д. ф.- м. н., профессор Петрова Анна Георгиевна  Допустить к защите: Зав. кафедрой, к.т.н., доцент Понькина Елена Владимировна _______________________ (подпись) «___»_______________ 2021 г. _______________________ (подпись) _______________________ (подпись) «___»_______________ 2021 г. Работа защищена: «___»_______________ 2021 г. Оценка:_________________ Председатель ГЭК: _______________________ (подпись) _________________ Ф.И.О. Барнаул 2021 МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «АЛТАЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт математики и информационных технологий Кафедра дифференциальных уравнений ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧ О ДВИЖЕНИИ СЛАБЫХ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ выпускная квалификационная работа Выполнил: студент группы _______, ___________________________ (Ф.И.О.) _______________________ (подпись) Научный руководитель: ___________________________ (степень, звание) ___________________________ (Ф.И.О.) _______________________ (подпись)  Допустить к защите: Зав. кафедрой, д. физ-мат. н,доцент Папин Александр Алексеевич _______________________ (подпись) «___»_______________ 2021 г. Работа защищена: «___»_______________ 2021 г. Оценка: _________________ Председатель ГЭК: _______________________ (подпись) _______________________  Барнаул 2021РЕФЕРАТ Целью работы является исследование задачи о ламинарном стационарном пограничном слое вблизи пластины при обтекании её слабым водным раствором полимеров в переменных Мизеса. Для достижения этой цели решаются следующие задачи: Изучение теории погранслоя в течении вязкой жидкости. Изучение модели Павловского движения слабых водных растворов полимеров. Преобразование задачи о ламинарном стационарном погранслое вблизи пластины при обтекании её слабым водным раствором полимеров с использованием переменных Мизеса. Численное исследование полученной задачи о погранслое в переменных Мизеса. Объектом исследования является ламинарный стационарный погранслой вблизи пластины при обтекании её слабым водным раствором полимеров. Предметом исследования является система уравнений пограничного слоя в переменных Мизеса. В первой главе работы предоставлены теоретические факты, касающиеся плоского течения вязкой жидкости и плоского стационарного пограничного слоя. Во второй главе приводится формулировка задачи о ламинарном стационарном погранслое вблизи пластины при обтекании её слабым водным раствором полимеров в переменных Мизеса. В третьей главе представляются результаты численного исследования поведения решений ламинарного стационарного пограничного слоя на плоской пластине. Представлены полученные значения и наглядные графики. Численное решение задачи реализовано в среде MatLab. СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………….……………………………………..1В первой главе работы предоставлены теоретические факты, касающиеся плоского течения вязкой жидкости и плоского стационарного пограничного слоя. 0 Во второй главе приводится формулировка задачи о ламинарном стационарном погранслое вблизи пластины при обтекании её слабым водным раствором полимеров в переменных Мизеса. 0 ВВЕДЕНИЕ 7 1.Плоское течение вязкой жидкости и функция тока. 9 Приведенные в данной главе теоретические факты, обозначения и определения соответствуют обозначениям и фактам, представленным в литературе: Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974, - 712 с.[2], Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц Гидродинамика. Теоретическая физика: т.VI.-М.: Наука. 1986.-736 с.[3]. 9 1.1. Уравнения Навье Стокса. 9 Уравнения Навье-Стокса представляют собой систему дифференциальных уравнений движения сплошной среды (жидкости или газа), учитывающую её вязкость. Были выведены Л.Навье в 1822г. и опубликованы в 1827г. на основе упрощенной модели молекулярных взаимодействий. В 1845 Дж. Стокс в результате изучения стационарного движения несжимаемой жидкости получил эти уравнения в совр. форме с использованием законов сохранения массы и импульса для сплошной среды. 9 1.1.1. Плоское течение 9 1.1.2. Функция тока. 10 1.2. Плоский стационарный пограничный слой. 11 2. Задача о стационарном пограничном слое при обтекании пластины слабым водным раствором полимера в переменных Мизеса. 18 Изложение данного пункта основывается на книге Шлихтинга [2].и статьеВ.В. Пухначев , А.Г. Петрова, О.А. Фроловская Растворы полимеров и их математические модели[4]. 18 2.1 Модель Павловского течения растворов полимеров. 18 2.2 Уравнения пограничного слоя при обтекании тонкой пластины раствором полимеров. 19 В системе (9) имеется единственный безразмерный параметр 21 2.3 Переменные Мизеса в задаче о пограничном слое при обтекании тонкой пластины раствором полимеров. 21 2.3.1 Переменные Мизеса в вязкой жидкости 21 В 1927г. Р. Мизес указал на возможность примечательного преобразования уравнений пограничного слоя в вязкой жидкости к виду, более четко раскрывающему их математические особенности. Для такого преобразования прямоугольные координаты и заменяются новыми независимыми переменными: координатой и функцией тока . Вычислим в новых координатах производные и . Имея ввиду, что ,, 22 можем найти 22 , 22 , 22 Внеся эти выражения в уравнение 22 , (5) 22 получим: 22 . 22 Далее, введем так называемое полное давление 22 22 Тогда предыдущее уравнение, если вновь перейти от к , примет вид 22 , (6) 23 также важно учитывать, что теперь 23 . 23 Таким образом получается дифференциальное уравнения для определения полного давления . Граничными условиями будут: 23 при ; при . 23 Для получения картины течения в плоскости следует перейти от переменной опять к переменной посредством преобразования 23 . 23 Преобразованное уравнение полного давления сходно с уравнением теплопроводности. В самом деле, уравнение одномерного распространения тепла, например в стержне, имеет вид 23 , (7) 23 где - температура, -время, - координата, измеряющая длину, - коэффициент температуропроводности. Правда, уравнение (6), в отличие от уравнения (7), нелинейное, так как в него вместо температуропроводности входит величина , зависящая как от независимой переменной , так и от зависимой переменной . На стенке, где ,,, уравнение (6) имеет неудобную для исследования особую точку. Левая часть уравнения принимает на стенке значение 23 24 в правой же части имеем множитель , следовательно, 24 24 Существование этой особой точки внутренне связано с особым поведением профиля скоростей на стенке, обусловленным контурными связями, и сильно затрудняет выполнение численного интегрирования. 24 2.3.2 Переменные Мизеса в случае раствора полимеров 24 В системе (4) первое уравнение этой системы является нелинейным уравнением 3-го порядка. Для понижения порядка вводится новая функция (ссылка на статью ) 24 (8) 24 В качестве аргументов теперь выступают х и [2]. В качестве новых функций возьмем : 24 24 (8) преобразуется к виду 24 (9) 24 Первое уравнение системы (4) переходит в 25 (10) 25 Из условий (5) следуют краевые условия для функции U: 25 (11) 25 Условие (6) порождает начальное условие для функции W 25 (12) 25 где функция удовлетворяет условиям согласования. 25 В результате возникает формулировка начально-краевой задачи в переменных Мизеса: найти функции , удовлетворяющие уравнениям (9)-(10) в полуполосе и условиям (11)-(12) на части её границы. 25 Краевая задача (9)-(12) для системы нелинейных, вырождающихся на левой границе уравнений до сих пор не исследована. Вопросы о существовании и единственности решения остаются открытыми. 25 3. Численное исследование задачи о пограничном слое в переменных Мизеса. 26 3.1 Нахождение функции U при заданной функции W. 26 26 26 с заданной функцией , удовлетворяющей следующим условиям: 26 , , - монотонно возрастающая выпуклая вверх функция. 26 Уравнение представляет собой нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнений 2-го порядка относительно функции . Аргумент играет роль параметра. Для этого уравнения решается краевая задача не полубесконечном интервале . Особенностью этого уравнения является сингулярность в 0: коэффициент при старшей производной в . 27 Стандартным методом решения краевых задач является метод стрельбы, основанный на сведении краевой задачи к задаче Коши, которая решается методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Однако, обращение в ноль коэффициента при старшей производной сильно затрудняет численное исследование, и приводит к необходимости построения асимптотики вблизи нуля. 27 3.1.1 Асимптотика вблизи нуля и алгоритм численного решения. 27 3.1.2 Метод стрельбы 28 Если в качестве начального значения функции задать произвольное значение = α и решить задачу численно, то в координате будет вычислено некоторое значение . Очевидно, что при случайном выборе = α величина не будет равна краевому условию, заданному для правой границы. 28 При изменении параметра α для граничных условий решение задачи дает отличное от предыдущего значение исходной функции на правой границе, . Исходя из этого, используется следующий алгоритм расчета. Вычисляются значения при и . Проводится анализ, как при изменении величины α, изменилась величина : стала ли она «ближе» к величине, указанной для правой границы, или «дальше». По результатам анализа определяется новая величина параметра α и повторяется расчет. Многократным заданием величины α можно добиться совпадения вычисленной величины с величиной, указанной для правой границы, с заданной точностью расчета. 28 Таким образом, метод стрельбы не решает краевую задачу в исходной постановке, а сводит ее к последовательности более простых задач с особым образом сформулированными начальными условиями. 28 3.1.3 Метод Рунге-Кутты 4-го порядка 28 Рассматривается задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. 29 29 Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле: 29 29 Вычисление нового значения проходит в четыре стадии: 29 29 3.1.4 Вычисление функции U 29 Суть описываемого численного исследования заключается в подборе второго начального условия методом стрельбы. Для того, чтобы найти это условие, берется начальный отрезок и делится на части. После этого происходит «прогонка» начальных условий с некоторым шагом. В результате находится шаг, при котором было обнаружено самое точное значение. Затем окрестности этой точки на 1 шаг в каждую сторону заменяют начальный отрезок, который снова делится на шаги. Алгоритм повторяется вплоть до достижения значения правой границы с выбранной точностью расчета. 29 В связи с невозможностью буквального выполнения левого краевого условия при численном решении, в процессе исследования была обнаружена высокая чувствительность функции к начальному значению производной (являющейся непосредственно вторым условием) и фиксированного шага для метода Рунге-Кутты 4-го порядка. 30 Ниже представлены графические результаты решения задачи при различном числе итераций метода стрельбы и полученные соответствующие значения второго начального условия (код для построения графиков написан на языке MatLab и представлен в приложении): 30 30 31 31 32 32 Очевидно, что с ростом числа итераций метода стрельбы, итоговая точность решения значительно повышается. Визуально это выражено в постепенном схождении графиков к асимптоте. 33 Таблица 1 наглядно демонстрирует повышение точности с ростом числа итераций метода стрельбы. 33 Кол-во проходов метода стрельбы 33 Значение 33 1 33 0.00100000000000000 33 5 33 0.000999307000000000 33 10 33 0.000999252592570000 33 3.2 Нахождение функции W. 33 Функция W находится из решения следующей задачи Коши для линейного обыкновенного ДУ первого порядка, относительно переменной . 33 . 33 Данное уравнение было получены комбинацией уравнений (9) и (10) . Переменная в данном случае играет роль параметра. 33 Решение этой задачи дается формулой 33 34 Используя найденное в предыдущем пункте значение U , не зависящее от x, запишем решение в виде 34 34 и найдем по этой формуле значение . 34 Далее представлено сравнение графиков расчетного значения функции W и функции , расчеты с которой предоставлены в предыдущем пункте главы. 34 Рисунок 6. Сравнение графиков и 35 Заключение 36 В процессе выполнения работы было изучено применение переменных Мизеса для задач ламинарного пограничного слоя течения вязкой жидкости. 36 Для задачи обтекания плоской пластины слабым водным раствором полимеров (модель Павловского) также были введены переменные Мизеса и рассмотрена краевая задача на полубесконечном интервале для системы двух нелинейных уравнений. ( аналог задачи Блазиуса для раствора полимера). 36 Произведено численное исследование задачи. Построен и реализован алгоритм нахождения скорости в переменных Мизеса с использованием асимптотики в нуле. Далее предполагается решение двух связанных нелинейных задач методом итераций и на этом пути сделан первый шаг, показавший вполне правдоподобный результат. 36 Библиографический список 37 2. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. - М.: Наука, 1974, - 712 с. 37 4. В.В. Пухначев1,2, А.Г. Петрова1,3, О.А. Фроловская Растворы полимеров и их математические модели.// Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2020. С.82-91. 37 8.Овсянников М.К., Орлова Е.Г., Емельянов П.С. Основы гидромеханики.-М.: РКонусльт, 2003г. – 160с. 38 10.Самарский А.А., Гулин А.В, Численные методы: Учеб. Пособие для вузов.-М.: Наука. 1989.-432с. 38 Приложение. 39 Программа для метода стрельбы 39 |