Лабунец Л.В.Цифровое моделирование оптических отражательных хара. Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей

• Название: Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей
• Дата: 14.04.2023
• Размер: 6.97 Mb.
• Имя файла: Лабунец Л.В.Цифровое моделирование оптических отражательных хара.pdf
• Тип: Документы; #1061534
• страница: 5 из 18

Параметры расчета и результаты оценивания статистик ЭПР
аэродинамических объектов
Параметр расчета
Объект
ALCM
СУ-7Б
МИ-4
МиГ-17
A

0 0,93 0,72 0,42 1,0 1,0
k
B
21,03 0,2165 0,5224 0,0805 7,1825
k
D
0,8762 0,6988 0,2595 0,8589 0,8314
k
R
0,0097 0,0677 0,1663 1,036 0,0313
Статистика
Объект
ALCM
СУ-7Б
МИ-4
МиГ-17
m
A
, м
2 1,64 16,68 3,42 12,02 14,7

A
, м
2 2,48 10,36 2,94 7,18 13,8

3A
4,49 0,32 1,88 0,36 2,38

4A
21,21
−0,4 4,34 −0,93 6,03
A
min
, м
2 0,0395 1,59 0,2 1,48 0,7
A
max
, м
2 15,87 42,15 15,03 29,26 69,58
g
1
−0,77 1,86 −0,53
−0,018
−0,0002
g
2 1,37 4,25 7,36 0,52 3,249

54
Отметим, что характер рассеяния излучения покрытием суще- ственно влияет на моментные функции и распределение ЭПР [19].
Например, переход от гипотетического идеально рассеивающего
(A

0

1) диффузного покрытия истребителя МиГ-17 (с параметрами индикатрисы обратного отражения на длине волны 1,06 мкм
k
B

0,08052, k
D

0,8589, k
R

1,036, n


1,56 [3]) к ярко выраженно- му направленному (k
B

7,1825, k
D

0,8314, k
R

0,03134, n


1,58) приводит к увеличению диапазона изменения ЭПР и ее наибольшего значения более чем в два раза. При этом плотность распределения вероятности (ПРВ) из плоской трансформируется в существенно обостренную и скошенную в область больших значений ЭПР.
В качестве примера на рис. 2.1 представлена формирующая функция v


(u) ЭПР аэрокосмического корабля Space Shuttle.
Трансцендентное уравнение ( )
( )
B
A
F v
F u
 
решалось численными методами с помощью подпрограммы ZEROIN [24]. Абсолютная по- грешность вычисления корня не превышала 0,001.
Расчеты формирующих функций v


(u) для различных по конфигурации объектов локации показали, что поправку {

(u) − u}, характеризующую отклонение распределения ЭПР цели от форми- рующего бета-распределения (2.2), как правило, достаточно точно аппроксимирует отрезок ряда Фурье — Чебышева:
0 1
0
( )
(2 1);
2 { ( )
} (2 1) (2 1) ,
K
k k
k
k
k
u
u
h q
u
h
u
u q
u
w u
du


 








(2.4) где w(t) — весовая функция полинома q
k
(t) [25].
Выбор первого или второго рода ортонормированных полино- мов Чебышева q
k
(t) несущественно влияет на погрешность прибли- жения рядом (2.4) и в определенной степени зависит от конфигу- рации объекта. Так, для самолета СУ-7Б наибольшую точность приближения обеспечивают полиномы Чебышева первого рода
q
k
(t)

T
k
(t) [25, c. 75]. Абсолютная невязка

дискретного прибли- жения (2.1) функции распределения ЭПР объекта СУ-7Б и ее ап- проксимации системой непрерывных распределений для шести–
восьми членов ряда (2.4) во всех случаях не превышает 0,04 (рис. 2.2).

55
Напротив, для вертолета МИ-4 лучшие результаты дают полиномы
Чебышева второго рода q
k
(t)

U
k
(t) [25, c. 104] (


0,07 при K

9; рис. 2.3). Наконец для самолета МиГ-17 и крылатой ракеты ALKM точность приближения существенно не зависит от рода полиномов
Чебышева (


0,05 при K

5…8; см. рис. 2.2 и 2.3).
Коэффициенты ряда Фурье — Чебышева h
k
, k

0, 1, …, K, вы- числялись с помощью адаптивной квадратурной подпрограммы численного интегрирования QUANC8 [24]. Поправки {

(u) − u} в подынтегральном выражении заменялись линейным интерполяци- онным приближением по дискретным точкам, полученным при ре- шении уравнения
( )
( ).
B
A
F v
F u
 
Для полиномов Чебышева первого рода интервал интегрирования в силу разрыва весовой функции на его концах принимался равным
7
| 2 1 |
1 10 .
u


 
Относительная точность интегрирования во всех случаях была не хуже 10
−5
В табл. 2.2 приведены значения коэффициентов разложения (2.4) для объектов локации и параметров расчета из табл. 2.1.
Таблица 2.2
Коэффициенты ряда Фурье — Чебышева
Коэффициент
Объект
ALCM
СУ-7Б
МИ-4
МиГ-17
h
0 1,428
−0,8299
−5,26
−1,086
−2,059
h
1 0,01843
−3,339
−1,888 0,4784 −2,494
h
2
−1,747 1,394 0,3972 0,7761
−1,194
h
3 0,4032 0,8013 0,3048 −0,442 2,308
h
4 0,4057
−0,7592 0,6044 0,00866 2,511
h
5
−0,4642 0,6372 0,405 −0,3016 0
h
6 0
−0,0067 0,2271 −0,1131 0
h
7 0 1,25 0,1279 0 0
h
8 0 0 0,06675 0 0
h
9 0 0 0,04024 0 0

56
Рис. 2.1 (начало). Система распределений ЭПР объекта Space Shuttle

57
Рис. 2.1 (окончание).

58
Рис. 2.2 (начало). Система распределений ЭПР объектов Миг-17 и СУ-7Б

59
Рис. 2.2 (окончание).

60
Рис. 2.3 (начало). Система распределений ЭПР объектов:
1 — ALCM; 2 — Ми-4

61
Рис. 2.3 (окончание).

62
2.2. КОВАРИАЦИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ
МНОГОМЕРНОГО ВЕРОЯТНОСТНОГО
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При решении многих задач статистической радиофизики и ра- диотехники, теории управления и систем передачи информации возникает необходимость в представлении многомерных плотно- стей вероятностей (ПВ) случайных величин (СВ) в виде, удобном для отыскания аналитических выражений интегральных функций распределения (ФР). Известные способы аппроксимации вероят- ностных законов, как правило, охватывают одномерный и двумер- ный случаи [22, 26] или многомерное нормальное распределение.
Так, в [27] приведено выражение интегральной функции нормаль- ного закона в виде степенного ряда по ковариациям.
Известны также общие методы асимптотических аппроксимаций многомерных распределений. В работе [28] предложены алгоритмы, обобщающие разложение Эджворта в теории возмущений на много- мерный случай. Применение указанных методов в целях аналитиче- ского описания интегральных ФР не всегда оправданно, так как при- водит к неприемлемо большим вычислительным затратам. В работе
[29] получено v-связное приближение N-мерной интегральной функ- ции распределения СВ (N

v

1). Однако его практическое примене- ние требует знания v- и (v

1)-мерных интегральных ФР, нахождение которых в конечном виде при значениях v

2 для подавляющего большинства вероятностных законов оказывается сложным. В данном разделе представлен удобный метод аналитического описания много- мерных плотностей вероятностей СВ и их интегральных ФР [30].
2.2.1. Кумулянтное описание вероятностного
распределения
Полной и вместе с тем удобной формой задания вероятностного распределения системы СВ X
1
, …, X
N
является бесконечный набор их совместных кумулянтов
1 1
, ,
, ,
N
N
X
X
n
n



порядков n
1
+…+ n
N
= 1, 2, … [31].
Кумулянтному описанию распределения соответствует N-мерная характеристическая функция вида
1 1
1 1
,
,
,
,
1 1
1
( ,
,
)
exp
(
)
(
)
!
!
N
N
N
N
X
X
n
n
n
n
N
N
N
n
n
N
u
u
ju
ju
n
n









 




 



(2.5)

63
На практике основной, а иногда и единственной информацией о системе СВ X
1
, …, X
N
, которую удается надежно оценить, являются их одномерные плотности вероятности
1 1
1
( )
X
x

, …,
( )
N
X
N
N
x

и ко- вариационная матрица


(
1),
,
1,1 1, (
1)
n
m
m
n
N
X X
n
N





, характеризующая стати- стические связи первого порядка. Вместе с тем известен широкий класс вероятностных распределений, высшие кумулянты которых достаточно малы. Таким образом, одним из возможных способов приближенной аппроксимации многомерных вероятностных зако- нов является пренебрежение взаимными статистическими связями второго и последующих порядков, т. е. замена истинного распреде- ления модельным распределением второго порядка, у которого совместные кумулянты третьего и последующих порядков равны нулю [31]. Модельное приближение характеристической функции в этом случае найдем из выражения (2.5):
1
(2)
1 1
,
1 1
1
( ,
,
)
( ) exp(
);
,
v
N
N
N
X
N
N
v
n m
n
m
v
n
m
n
u
u
u
U
U
b
u u



 






 

(2.6) где
1
( )
v
X
v
u

— одномерная характеристическая функция СВ X
v
;
,
,
1,1
n
m
X X
n m
b
 
— ковариация СВ X
n
и X
m
Разлагая экспоненту в ряд по степеням U и почленно интегри- руя по формуле обращения (это возможно, так как в силу свойств одномерных характеристических функций (ХФ)
1
( )
v
X
v
u

члены ряда непрерывны, а сам ряд по признаку Абеля сходится равномерно), получим модельное приближение ПВ второго порядка (в смысле
А.Н. Малахова [31]) для системы СВ:
(2)
1
,
1 0
( 1)
( ,
,
)
( ,
,
),
!
k
N
N
N k
N
k
x
x
Q
x
x
k








(2.7)
,
1
( ,
,
)
N k
N
Q
x
x


 
1 1
1 1
( ) exp(
)
2
n
N
X
k
n
n n
N
N
n
u
ju x U du
du











 

(2.8)

64
В частности, при k = 0 из выражения (2.8) по формуле обращения находим приближение многомерной ПВ, не учитывающее стати- стических связей системы СВ:
, 0 1
1 1
( ,
,
)
( ).
n
N
X
N
N
n
n
Q
x
x
x





(2.9)
Члены ряда (2.7) связаны между собой рекуррентным диффе- ренциальным соотношением. Из (2.8) и (2.6) получим
1
,
1 1
,
1 1
1 1
1 1
( ,
,
)
(2 )
( ) exp(
)
v
N
N
N k
N
n m
N
n
m n
N
X
k
n m
v
v v
N
v
Q
x
x
b
u u
u
ju x U du
du



 












 

 


(2.10)
Нетрудно показать, что достаточными условиями возможности дифференцирования по переменным x
n
(n = 1, …, N) под знаком ин- теграла в (2.8) является сходимость интегралов
1 1
0
( )
n
X
k
n
n
n
u
u
du



 

(2.11)
Действительно, из приведенного условия и четности функций
1
( )
n
X
n
u

при s = 0, …, k +1 следует сходимость интегралов
1 1
1 1
1 0
1
( )
2
( )
2
( )
,
v
v
v
X
X
X
s
s
k
v
v
v
v
v
v
v
v
v
u
u du
u
u du
u
u du












которые мажорируют интегралы
1 1
1 1
1 0
0 1
( )
2
( )
2
( )
n
n
n
X
X
X
s
s
k
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
du
u
u
du
u
u
du











(2.12)
Это с учетом непрерывности подынтегрального выражения в (2.12) влечет за собой равномерную сходимость правой части последнего равенства всюду относительно переменных x
n
и, как следствие, рав-

65 номерную сходимость интегралов в (2.8) и (2.10) всюду относи- тельно x
1
, …, x
N
Кроме того, из равномерной сходимости (2.12) следует непре- рывность одномерных ПВ
1
( )
n
X
n
x

и их производных порядка не выше K + 1 во всей области существования. Другими словами, предполагая в дальнейшем выполненными условия (2.11), будем рассматривать одномерные ПВ, непрерывные вместе со своими производными порядка не выше K и имеющие K-й порядок сопри- косновения с осью абсцисс на концах области существования. В случае конечного K ряд (2.7) будем усекать и рассматривать сумму первых K

1 членов.
Дифференцируя выражение (2.8) по переменным x
n
и x
m
, убеж- даемся, что результат с точностью до множителя (−b
n,m
) совпадает с общим членом суммы (2.10), т. е.


1
,
1
,
1 1
,
1 1
( ,
,
)
( ,
,
)
,
N
N
N k
N
N k
N
n m
n
m
n
m
n
Q
x
x
Q
x
x
b
x x



 

 
 
 


откуда по индукции находим выражение для общего члена ряда (2.7):


1 1
1 1
1 1
1
,
1 1
,
1 1
1 1
1 2
,0 1
( ,
,
)
( 1)
,
,
v
v
k
k
k
k
k
k
N
N
N
N
k
N k
N
n m
n
m n
n
m
n
v
k
N
N
n
m
n
m
Q
x
x
b
Q
x
x
x
x
x
x




 





 



 
 
 
  



(2.13)
Подставив формулу (2.13) в выражение (2.7) и записав резуль- тат в форме степенного ряда по элементам ковариационной матри- цы, с учетом начальной аппроксимации (2.9) окончательно полу- чим ковариационное приближение многомерной ПВ:






(
1),
1, 2 1, 2 1 ,
1,2
(
1),
(2)
1 1,2 1 ,
1 1
1 1
( ,
,
)
!
!
( ) .
N
N
N
N
m
m
m
k
k
N
N
N
N
k
k
N
N
N
k
X
m
k
m
m
b
b
x
x
k
k
d
x
dx



















(2.14)

66
Здесь
1
( )
m
X
m
x

— одномерная интегральная ФР случайной величи- ны
m
X , а индексы суммирования — элементы верхней треугольной матрицы
 
(
1),
,
1, (
1)
m
n
N
n m n
N
k




, принимающие целые неотрицательные значения из области
1 1
,
,
,
1 1
1 1
0
;
N
N
m
N
n m
m
n m
m n
n
m
n
n
n
m
k
K
k
k
k



 

 




 


Выражение (2.14) аппроксимирует многомерную ПВ СВ взве- шенной суммой произведений одномерных плотностей и их произ- водных с весовыми коэффициентами в виде степеней недиагональ- ных элементов ковариационной матрицы.