Лабунец Л.В.Цифровое моделирование оптических отражательных хара. Цифровое моделирование оптических отражательных характеристик целей
 Скачать 6.97 Mb.
|
|
2.2.4. Ковариационное приближение многомерного интеграла вероятностей Возможность практического применения многомерных мо- дельных распределений существенно зависит от скорости сходимо- сти и регулярного поведения рядов (2.14) и (2.15). Ясно, что при , , , | | n m n n m m b b b эти ряды сходятся медленно и нельзя ограни- читься малым числом членов разложения [27]. Скорость сходимо- сти ковариационного приближения многомерной ПВ (2.14) оценим для системы СВ с нулевыми МО, единичными дисперсиями и ко- эффициентами корреляции r 1, 2 , …, r (N − 1), N . В качестве истинного 76 распределения будем рассматривать эллипсоидально симметричное распределение из параметрического семейства т 1 1 1 ( ) ( ) , det N N f X R X X S R где 1 (2 )/ ( /2) N S N — площадь поверхности единичной сферы в N ; f ( y 2 ) — одномерное, монотонно убывающее при y рас- пределение с конечным (N − 1)-м моментом 1 2 1 0 ( ) N N f d ; R {r n, m } — матрица коэффициентов корреляции размером N N. Погрешности ковариационного приближения будем оценивать по критерию абсолютной ошибки, нормированной на значение истин- ной ПВ в точке МО: (2) ( | ) 0 max ( ) ( ) ( | ) , (0, , 0) N N F X d N X X D d K где значение погрешности берется с положительным знаком, если (2) ( ) ( ), N N X X и с отрицательным в противном случае. Результа- ты численного анализа представляют собой параметрическое се- мейство функции D (d | K), рассчитанной по множеству точек на по- верхностях гиперэллипсоидов равной плотности: т 1 ( 1) 0 0 1 1 ( | ) ( ) 0; (0, , 0) det . N N F X d X R X f dJ J S R Здесь f (−1) (dJ 0 ) — функция, обратная к радиальному распределению. Уровни истинной плотности рационально задавать в долях от ее значения в точке математического ожидания d N (0, …, 0). Это обеспечивает инвариантный анализ пространства для различных значений коэффициентов корреляции и одинаковые масштабы по осям d и D. 77 Рассмотрим специальную задачу вычисления интеграла по N-мерному параллелепипеду X n x n (n = 1, …, N ), важную в прило- жении к оценкам характеристик выбросов случайных процессов [29, 41−44]. Интегрирование выражения (2.14) приводит к оценке многомерного интеграла вероятностей ( 1), 1, 2 ( 1), 1, 2 ( 1), 1 1 (2) 1 1,2 1 1,2 ( 1), ( , , ) ( , , ) ( ), ! ! N N N N m m N N N N N N k k N X m k k k m N N P X x X x P x x b b G x k k (2.22) где 1 1 1 1 1 ( ), 0; ( ) ( ) , 0. m m m m m m X m m X k k m X m m k m x k G x d x k dx Если одномерная плотность распределения 1 (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению Пирсона и таким образом является весовой функцией соответствующей системы классических ортого- нальных полиномов P k (x) (k = 1, 2, …), то ее производные удобно вычислять с помощью обобщенной формулы Родрига [45]: 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1, 2, ). k k k k k d x q x c P x x k dx Здесь c k — функциональный ряд; q(x) — многочлен не выше второй степени [45, с. 591]. Из приведенной формулы непосредственно следует 1 1 1 1 1 1 { ( )} ( ) { ( )} ( ) ( ); ( ) , ( ) d q x c P x d x dx x W x W x dx q x 78 что по закону индукции дает 1 1 1 1 1 { ( )} ( ) ( ) ( 2, 3, ). k k k d x x W x k dx (2.23) Раскрывая левую часть формулы Родрига по теореме Лейбница и подставляя в полученный результат равенство (2.23), получим ре- куррентное соотношение для вычисления функций W k − 1 (x) (k = 2, 3, …): 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 1; 1 ( 1) ! ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( 1) ! ! k j k k k k k j k j j W x k d W x c P x W x q x q x k j j dx В случае гауссовского распределения выражение для производ- ных одномерных плотностей значительно упрощается: 1 1 1 1 1 1 , , 1 ( ) ( ) ( 1, 2, ). n n k k X X n n n k n k n n n n n x a d x H x k dx b b Здесь a n X n — математическое ожидание случайной величины X n , а H k (x) — полином Чебышева — Эрмита степени k: 0 1 1 1 ( ) 1; ( ) ; ( ) ( ) ( ) ( 1, 2, ). k k k H x H x x H x xH x kH x k В частном случае 2 1 2 1 exp( / 2) 0; ( ) ( 1, ..., ) 2 n X N x x x x x n N оценка (2.22) тождественно совпадает с полученной ранее Кендал- лом [27] оценкой нормального многомерного интеграла. Численный анализ сходимости рядов (2.14) и (2.22) проводился для трехмерного гауссовского распределения и значений коэффи- циентов корреляции r 1, 2 r 2, 3 −0,4…0,8 и r 1, 3 −0,6…0,6 с ша- гом 0,2 для всех возможных комбинаций, при которых обобщенная 79 дисперсия нормальной плотности положительна. В качестве истин- ных значений нормального тройного интеграла применялись значе- ния P 3 (x, x, x), табулированные в [29]. Типичные результаты вычис- лений приведены в табл. 2.3 и 2.4 и на рис. 2.4−2.9. Таблица 2.3 Корреляционное приближение интеграла P 3 (x, x, x): слабая корреляция (r 1, 2 = r 2, 3 = 0,4; r 1, 3 = 0,2) x K 0 1 2 3 4 5 P 3 (x, x, x) 0,2 0,074 0,139 0,143 0,143 0,144 0,144 0,144 0,4 0,041 0,088 0,095 0,094 0,096 0,095 0,095 0,6 0,021 0,051 0,060 0,059 0,060 0,060 0,060 0,8 0,010 0,027 0,036 0,035 0,036 0,036 0,035 1,0 0,004 0,013 0,019 0,020 0,020 0,020 0,020 1,2 0,002 0,006 0,010 0,010 0,011 0,011 0,011 1,4 0,001 0,002 0,004 0,005 0,005 0,005 0,005 1,6 0 0,001 0,002 0,002 0,002 0,002 0,002 Таблица 2.4 Корреляционное приближение интеграла P 3 (x, x, x): сильная корреляция (r 1, 2 = r 2, 3 = 0,8; r 1, 3 = 0,6) x K 0 1 2 3 4 5 P 3 (x, x, x) 0,2 0,074 0,216 0,237 0,236 0,252 0,242 0,251 0,4 0,041 0,144 0,182 0,169 0,197 0,184 0,188 0,6 0,021 0,088 0,132 0,118 0,149 0,146 0,136 0,8 0,010 0,049 0,089 0,082 0,106 0,113 0,094 1,0 0,004 0,024 0,055 0,056 0,069 0,079 0,063 1,2 0,002 0,011 0,030 0,036 0,042 0,046 0,04 1,4 0,001 0,005 0,015 0,021 0,024 0,024 0,025 1,6 0 0,002 0,007 0,011 0,013 0,011 0,015 1,8 0 0,001 0,003 0,005 0,007 0,006 0,008 80 Рис. 2.4. Относительная погрешность приближения нормальной ПВ в случае слабой корреляции r 1, 2 = r 2, 3 = 0,4; r 1, 3 = 0,2: 1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5 Рис. 2.5. Зависимость интеграла вероятностей P(x, x, x) от порогового зна- чения x в случае слабой корреляции r 1, 2 = r 2, 3 = 0,4; r 1, 3 = 0,2: 1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5; 4 — P(x, x, x) 81 Рис. 2.6. Относительная погрешность приближения нормальной ПВ в случае сильной корреляции r 1, 2 = r 2, 3 = 0,8; r 1, 3 = 0,6: 1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5 Рис. 2.7. Зависимость интеграла вероятностей P(x, x, x) от порогового зна- чения x в случае сильной корреляции r 1, 2 = r 2, 3 = 0,8; r 1, 3 = 0,6: 1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5; 4 — P(x, x, x) 82 Рис. 2.8. Относительная погрешность приближения нормальной ПВ в случае отрицательной корреляции r 1, 2 = r 2, 3 = 0,2; r 1, 3 = −0,6: 1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5 Рис. 2.9. Зависимость интеграла вероятностей P(x, x, x) от порогового зна- чения x в случае отрицательной корреляции r 1, 2 = r 2, 3 = 0,2; r 1, 3 = −0,6: 1 — K = 0; 2 — K = 2; 3 — K = 5 83 Численные эксперименты показали, что усечение ряда (2.14) конечным числом членов до K 5 не приводит к появлению отри- цательных значений ковариационного приближения трехмерной ПВ внутри эллипсоида равной плотности по уровню d 0,1 (графики функции D(d K) не опускаются ниже биссектрисы четвертого квад- ранта). В случае слабой корреляции (| r n, m |) 0,5 ряды (2.14) и (2.22) ведут себя регулярно и уже при K 2 дают приемлемо точные при- ближения к истинным значениям (см. рис. 2.5). Для плотности рас- пределения D (d K) 0,15, а наибольшее относительное отклоне- ние от истинного значения нормального тройного интеграла (2) 3 3 ( , , ) ( | ) max 1 0, 2. ( , , ) x P x x x x K P x x x В случае сильной корреляции ряды (2.14) и (2.22) ведут себя нерегулярно (см. рис. 2.6). Для 0,2 x 0,8 ряд (2.22) дает точность приближения к P 3 (x, x, x) не хуже (x K ) 0,25 при K = 2, а для x > 0,8 при K = 3. Дальнейшее увеличение числа членов разложения до K = 4, 5 не приводит к существенному увеличению точности ковариационного приближения нормального тройного интеграла в указанном диапа- зоне изменения аргумента x. Во всех случаях наблюдается смеще- ние ковариационной оценки многомерной ПВ в сторону увеличения ее масштаба. 2.3. СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РЕАЛЬНОГО ВРЕМЕНИ ОБОБЩЕННЫХ АМПЛИТУДЫ И ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИМПУЛЬСНОЙ ЭПР ЦЕЛИ Обобщенные интегральные параметры временного профиля импульсной ЭПР представляют собой детерминированные функции случайных аргументов ( , ) и поэтому также являются случайны- ми величинами. Их собственные и смешанные начальные моменты, 84 с учетом правила статистического усреднения функций, удобно рассчитывать по формуле 2 2 2 0 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , S S n m n m t n m t a A a A d a A W d (2.24) где n = 0, 1, 2, …; m = 0, 1, 2, …, а угловые скобки … означают статистическое усреднение. Здесь и далее (с целью сокращения за- писи) не приводим выражения для начальных моментов других ста- тистик обобщенной длительности, предполагая по умолчанию, что эти выражения аналогичны. В практических приложениях интерес представляют одномер- ные распределения и их кумулянты, а также ковариационная мат- рица интегральных параметров импульсной ЭПР объекта. Матема- тические ожидания m a (t S ), m (t S ), СКО a (t S ), (t S ), коэффициенты асимметрии 3a (t S ), 3 (t S ) и эксцесса 4a (t S ), 4 (t S ) оценивают по фор- мулам, представленным в работе [20]. Коэффициент корреляции обобщенной амплитуды импульсной ЭПР и ее значения при стаци- онарном облучении объекта оценивают по формуле ( ) { ( ) } aA S a S A a A a A t t В соответствии с приведенными выше формулами и методикой, изложенной в работах [20, 46], рассчитывали статистические харак- теристики параметров импульсной ЭПР аэрокосмического корабля Space Shuttle со штатным ТЗП при его равновероятной ориентации относительно направления наблюдения-облучения. Для оценки ку- мулянтов с относительной погрешностью интегрирования не хуже 5 % потребовалось сформировать адаптивную сетку по углам и , содержащую 450…900 значений соответствующих параметров им- пульсной ЭПР объекта в зависимости от длительности зондирую- щего импульса. Результаты расчета кумулянтов сведены в табл. 2.5 и 2.6. Полученные данные хорошо согласуются с экспоненциальной регрессионной зависимостью (1.10) обобщенной амплитуды им- пульсной ЭПР корабля от длительности зондирующего импульса. 85 Таблица 2.5 Статистики обобщенной амплитуды импульсной ЭПР Статистика t s , нс 5 10 20 50 100 200 m a , м 2 7,05 10,71 16,13 28,04 39,04 48,22 77,09 a , м 2 9,85 13,33 16,68 23,24 28,95 32,2 46,75 3a 2,27 1,99 1,44 0,81 0,74 0,7 0,62 4a 4,11 3,17 1,18 –0,6 –0,29 –0,03 –0,068 aA 0,62 0,69 0,77 0,89 0,96 0,99 1,00 a min , м 2 0,2 0,28 0,41 0,81 1,34 1,99 5,46 a max , м 2 40,79 54,53 65,12 85,49 119,33 137,21 210,55 g a1 –0,4 –0,33 –0,48 –0,1 0,12 0,5 0,74 g a2 2,53 2,25 0,87 1,17 1,67 2,2 2,59 Таблица 2.6 Статистики обобщенной длительности импульсной ЭПР Статистика t s , нс 5 10 20 50 100 200 m , м 2 55,88 70,1 82,71 101,6 129,87 192,2 , м 2 27,08 35,52 41,36 43,88 43,22 42,64 3 –0,29 –0,06 0,17 0,25 0,07 –1,4 4 –0,77 –0,8 –0,61 –0,35 0,82 7,87 A –0,27 –0,34 –0,4 –0,41 –0,4 –0,28 min , м 2 7,7 10,62 17,84 41,07 81,19 160,61 max , м 2 115,07 157,5 193,51 217 262,29 326,3 g 1 1,28 1,31 0,98 0,8 — — g 2 1,73 2,26 2,32 2,1 — — 86 Для границ распределения параметра a min (t S ) и a max (t S ), а также его кумулянтов m a (t S ), a (t S ), aA (t S ), и 1 3 3 ( ) ( ) a S a S t t , 1 4 4 ( ){ ( ) 3} a S a S t t расчетные точки в соответствующих логарифмических масштабах min max 0 min 0 max 1 ( ) 1 ( ) ln ; ln , ( ) ( ) S S S S a t a t a t A a t A а также 0 0 1 ( ) 1 ( ) ln ; ln ; ln 1 ( ) ( ) ( ) a S a S aA S S A S A m t t t a t m a t и 1 4 1 3 3 4 1 4 1 3 0 3 0 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ln 1 ; ln 1 ( ) ( ) 3 a S a S a S a S S A A S A a t t t t a t t хорошо ложатся на прямые (рис. 2.10, 2.11). Иными словами, с приемлемой для практики точностью при t S > 5 нс имеют место следующие эмпирические нелинейные ре- грессионные зависимости [46]: (min) (min) min min 0 0 1 (max) (max) max max 0 0 1 0 0 1 0 0 1 3 30 31 3 3 3 3 0 3 ( ) ( ) 1 exp( ) ; ( ) ( ) 1 exp( ) ; ( ) ( ) 1 exp( ) ; ( ) ( ) 1 exp( ) ; 1 exp( ) ( ) ( ) ; ( ) S S S S S S a S A S S a S A S S S a S A A S a S a t A a t a a t a t A a t a a t m t m a t m m t t a t t t t a t t 4 40 41 4 4 4 4 0 4 0 1 1 exp( ) ( ) 3 3 ( ) ; ( ) ( ) 1 exp( ). S a S A A S a S aA S S t t a t t t t (2.25) |