Д. В. Хомицкий А. В. Тележников

• Название: Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
• Дата: 08.10.2019
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Khomitsky_Angeometry(1).pdf
• Тип: Документы; #89110
• страница: 7 из 9

a
и пересекает прямую
5 3
2 1
3 1
−
−
=
+
=
−
z
y
x
7.16
Составить уравнения прямой, которая проходит через точку
(
)
3
,
5
,
4 1
−
−
M
и пересекает две прямые
1 2
2 3
3 1
−
−
=
−
+
=
+
z
y
x
,
5 1
3 1
2 2
−
−
=
+
=
−
z
y
x
7.17.
Составить параметрические уравнения общего перпендикуляра двух прямых, заданных уравнениями
4 3
,
4 2
,
7 3
+
=
+
−
=
−
=
t
z
t
y
t
x
и
12
,
8 2
,
1
−
−
=
−
=
+
=
t
z
t
y
t
x

45
Глава 4
Кривыеиповерхностивторогопорядка
8.
Эллипс, параболаигипербола
Рассматриваемые в данном разделе кривые второго порядка на плоскости могут быть получены как сечения прямого кругового конуса некоторой плоскостью в пространстве и потому носят общее название конических сечений. На рис.19 представлены примеры конических сечений, когда плоскость пересекает только одну половину конуса, и в результате в сечении получается кривая, называемая эллипсом (рис.19а; частным случаем эллипса является окружность), либо точка, являющаяся вершиной конуса, как это видно на рис.19б.
Рис.19. (а) общий и (б) частный случаи пересечения одной половины конуса плоскостью.
На рис.20 представлены примеры конических сечений, когда плоскость пересекает обе половины конуса. В результате в сечении получается кривая, состоящая из двух ветвей и называемая гиперболой (рис.20а), либо две пересекающиеся в вершине конуса прямые, как это видно на рис.20(б).

46
Рис.20. (а) общий и (б) частный случаи пересечения обоих половин конуса плоскостью под углом, не равным углу раствора конуса.
Наконец, возможна ситуация, при которой плоскость пересекает одну половину конуса, составляя при этом угол с его осью, равный углу раствора конуса.
В результате в сечении получается кривая, состоящая из одной ветви и называемая параболой (рис.21а), либо две совпавшие прямые линии, проходящие через вершину конуса (рис.21(б)).
Рис.21. (а) общий и (б) частный случаи пересечения обоих половин конуса плоскостью под углом, равным углу раствора конуса.

47
Все конические сечения, показанные на рис.19-21, обладают одним общим свойством: для любой точки
M
, лежащей на сечении, отношение расстояния
MF
до некоторой точки
F
плоскости, осуществляющей сечение, к расстоянию
1
MM
до некоторой прямой линии
δ
, лежащей в этой плоскости, есть величина постоянная:
ε
=
1
MM
MF
, где параметр
ε
называется эксцентриситетом, точка
F
называется фокусом, а прямая линия
δ
называется директрисой. Конические сечения могут быть описаны в полярной системе координат, как это показано на рис.22 на примере параболы. Начало координат, или полюс, помещается в фокус конического сечения, а полярная ось направляется вдоль оси симметрии кривой.
Рис.22. К выводу уравнения конического сечения в полярных координатах.
Используя основное свойство конического сечения, указанное выше, можно записать отношение расстояний
1
MM
MF
и найти отсюда явную зависимость
)
(
ϕ
ρ
, которая, как это следует из рис.22, имеет вид
ϕ
ε
ϕ
ρ
cos
1
)
(
−
=
p
,

48 где параметр
p
наряду с эксцентриситетом
ε
есть величина постоянная для данной кривой.
Конические сечения часто встречаются в задачах небесной механики.
Так, можно показать, что траектория движения материальной точки в поле тяготения, подчиняющегося закону Ньютона, представляет собой коническое сечение, расположенное в плоскости, определяемой вектором начальной скорости точки и центром тяготения, который находится в фокусе конического сечения (см. рис.22).
В общем случае кривая второго порядка на плоскости определяется многочленом второй степени от координат вида
0 2
2 2
2 2
=
+
+
+
+
+
F
Ey
Dx
Cy
Bxy
Ax
Применяя последовательно преобразование поворота и параллельного переноса, можно добиться значительного упрощения приведённого выше уравнения, сведя его к одному из канонических типов, классифицирующих кривые второго порядка.
Рассмотрим основные свойства кривых второго порядка на координатной плоскости. Эллипс, заключённый в прямоугольник со сторонами
a
2
и
b
2
(
рис.23), в канонической системе координат с началом в его геометрическом центре описывается уравнением
1 2
2 2
2
=
+
b
y
a
x
Рис.23. Расположение основных геометрических элементов эллипса.
Параметры
b
a
≥
называются соответственно большой и малой полуосью эллипса, в случае равенства которых он становится окружностью. Крайние точки
)
0
,
( a
±
и
)
,
0
(
b
±
называют вершинами эллипса. Эллипс также может быть определён как геометрическое место точек, сумма расстояний от каждой

49 из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная:
a
r
r
2 2
1
=
+
, где
2
,
1
r
есть расстояния, или фокальные радиусы, проведенные от некоторой точки до фокусов эллипса (рис.23), которые в канонической системе координат располагаются в точках
)
0
,
(
2
,
1
c
F
±
с параметром
2 2
b
a
c
−
=
Отношение
1
<
=
a
c
ε
называется эксцентриситетом эллипса и определяет меру его
«
вытянутости». В частности, у окружности оба фокуса располагаются в начале координат и эксцентриситет равен нулю. Эллипс также характеризуется двумя параллельными прямыми
ε
a
x
±
=
, называемыми директрисами. С этими прямыми связано ещё одно свойство любого конического сечения как геометрического места точек, отношение расстояний от каждой из которых до некоторой точки (фокуса) и некоторой прямой (директрисы) есть величина постоянная и равная эксцентриситету, т.е. на рис.23 выполняется соотношение
ε
=
1 1
MM
MF
Гипербола во многих геометрических свойствах подобна эллипсу и располагается вне прямоугольника со сторонами
a
2
и
b
2
(
рис.24) и описывается в канонической системе координат уравнением
1 2
2 2
2
=
−
b
y
a
x
Рис.24. Расположение основных геометрических элементов гиперболы.

50
Крайние точки
)
0
,
( a
±
называют вершинами гиперболы. Уравнение
1 2
2 2
2
−
=
−
b
y
a
x
определяет так называемую сопряжённую гиперболу, для которой оси
Ox
и
Oy
поменялись местами. Гипербола также может быть определёна как геометрическое место точек, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная:
a
r
r
2 2
1
=
−
, где
2
,
1
r
есть расстояния, или фокальные радиусы, до фокусов гиперболы
(
рис.24), которые в канонической системе координат располагаются в точках
)
0
,
(
2
,
1
c
F
±
с параметром
2 2
b
a
c
+
=
Отношение
1
>
=
a
c
ε
называется эксцентриситетом гиперболы, а её директрисы
ε
a
x
±
=
располагаются между ветвями гиперболы и началом координат (рис.21).
Фокальные радиусы эллипса и гиперболы являются линейными функциями абсциссы её точек, т.е.
|
|
2
,
1
x
a
r
ε
±
=
При удалении от начала координат ветви гиперболы постепенно приближаются к прямым линиям, имеющим уравнения
a
bx
y
=
для правой ветви и
a
bx
y
−
=
для левой ветви гиперболы (рис.23). Эти прямые называются асимптотами гиперболы, которая, таким образом, имеет два асимптотических направления.
Парабола, в противоположность эллипсу или гиперболе, не имеет центра и может быть описана как геометрическое место точек, равноудалённых от некоторой точки плоскости, называемой фокусом, и некоторой прямой, называемой директрисой. Парабола показана на рис.22, где по определению расстояния
MF
и
1
MM
равны. В канонической системе координат уравнение параболы имеет вид
px
y
2 2
=
, при этом фокус располагается в точке
)
0
,
2
( p
F
, а директриса имеет уравнение
2
p
x
−
=
Как и для эллипса и гиперболы, фокальный радиус параболы также линейно выражается через абсциссу её точки по формуле
2
p
x
r
+
=
Из определения эксцентриситета конического сечения видно, что для параболы
1
=
ε
Параметр
p
в уравнении конического сечения в полярных координатах связан с полуосями
a
и
b
соотношением
a
b
p
2
=
Касательная к кривой второго порядка
)
(x
f
y
=
определяется как прямая линия, имеющая с данной кривой одну общую точку
0
x
, в которой тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс равен значению производной

51
)
(
'
0
x
f
Более удобным и общим является подход, в котором касательная описывается как прямая, имеющая с кривой второго порядка две совпадающих точки пересечения. Например, если уравнение прямой
L
задать в параметрической форме с указанием некоторой точки
)
(
0 0
y
x
на плоскости, через которую она проходит, а уравнение кривой второго порядка
C
задано в общем виде, то система уравнений, определяющих точки пересечения кривой
C
и прямой
L





+
=
+
=
=
+
+
+
+
+
t
a
y
y
t
a
x
x
F
Ey
Dx
Cy
Bxy
Ax
y
x
0 0
2 2
0 2
2 2
в случае касательной имеет в качестве решения два совпавших корня квадратного уравнения для параметра
t
, описывающих точки пересечения
(
рис.25). Если у данной системы есть два различных значения параметра
t
, это означает, что прямая пересекает кривую в двух различных точках, т.е. является хордой. Если же решений нет вовсе, то касательную через данную точку
)
(
0 0
y
x
, которая вовсе может не лежать на кривой второго порядка, провести нельзя.
Рис.25. Пересечение кривой второго порядка и прямой.

52
Пример 1. Записать каноническое уравнение эллипса, симметричного относительно координатных осей и проходящего через точки
)
2 2
,
2 3
(
L
и
)
0
,
6
(
N
Решение. Каноническому уравнению эллипса
1 2
2 2
2
=
+
b
y
a
x
по условию задачи удовлетворяют координаты двух конкретных точек. Подставляя их в уравнение поочерёдно, получаем систему уравнений для параметров
a
и
b
:



=
+
=
+
1 0
36 1
8 18 2
2 2
2
b
a
b
a
Решая эту систему, находим
6
=
a
и
4
=
b
, т.е. каноническое уравнение эллипса имеет вид
1 16 36 2
2
=
+
y
x
Пример 2. Доказать, что произведение расстояний от любой точки гиперболы до её асимптот есть величина постоянная.
Решение. Уравнения асимптот имеют вид
a
bx
y
±
=
, или
0
=
±
ay
bx
Используя формулу для расстояния от точки
)
,
(
y
x
до прямой с данным уравнением, записываем соответствующие расстояния как
2 2
2
,
1
b
a
ay
bx
d
+
±
=
, а их произведение, следовательно, равно
2 2
2 2
2 2
2 1
b
a
y
a
x
b
d
d
+
−
=
Поскольку координаты точки гиперболы удовлетворяют её уравнению, выражение в числителе равно
2 2
b
a
, как это нетрудно увидеть, умножив каноническое уравнение гиперболы на
2 2
b
a
Следовательно, произведение
2 1
d
d
для всех точек гиперболы есть величина постоянная.
Пример 3. Определить, какая линия задана уравнением
ϕ
ϕ
ρ
cos
2 1
1 5
)
(
−
=
в полярных координатах, и записать её каноническое уравнение в декартовых координатах:
Решение. Сравнивая данное уравнение с общим видом уравнения кривой второго порядка в полярных координатах, делаем вывод, что значение
5 0
=
ε

53
, т.е. это эллипс, а параметр
5 2
=
=
a
b
p
Используя одно из выражений для эксцентриситета
a
b
a
a
c
2 2
−
=
=
ε
, получаем систему двух уравнений для полуосей
a
и
b
Решая эту систему, находим
3 20
=
a
и
3 100
=
b
, что даёт каноническое уравнение эллипса в виде
1 100 3
400 9
2 2
=
+
y
x
Пример 4. Показать, что касательная к эллипсу, заданному каноническим уравнением, проходящая через точку эллипса
)
,
(
0 0
y
x
, описывается уравнением
1 2
0 2
0
=
+
b
y
y
a
x
x
Решение. Воспользуемся свойством касательной, согласно которому ее угловой коэффициент равен значению производной функции
)
(x
y
y
=
, описывающей зависимость ординаты точки эллипса от её абсциссы. Это означает, что уравнение касательной имеет вид
)
(
)
(
'
0 0
x
x
x
y
y
y
−
⋅
=
−
Из канонического уравнения эллипса можно получить выражение для
)
(
' x
y
, если продифференцировать обе его части по
x
, что дает нам равенство
0
)'
(
)
(
2 2
2 2
=
⋅
+
b
x
y
x
y
a
x
, откуда
)
)
(
(
)
(
'
2 2
x
y
a
b
x
x
y
⋅
⋅
−
=
Далее мы подставляем это выражение для
)
(
' x
y
в уравнение касательной, раскрываем все скобки и умножаем обе части равенства на
2
b
y
Используя каноническое уравнение эллипса и приравнивая сумму слагаемых
2 2
2 2
b
y
a
x
+
к единице, мы получаем искомое уравнение касательной.
Пример
5.
Написать уравнение касательных к окружности
0 2
8 4
2 2
=
+
−
+
+
y
x
y
x
, проходящих через начало координат.
Решение. Прямая, проходящая через начало координат, может быть задана в простейшем виде как
x
k
y
=
Точка касания является общей точкой и для прямой, и для кривой, что описывается системой уравнений



=
=
+
−
+
+
x
k
y
y
x
y
x
0 2
8 4
2 2
Подставляя второе уравнение в первое, получаем квадратное уравнение на
x
, в которое угловой коэффициент касательной входит как параметр. Условием того, что прямая будет касательной, является существование двух совпавших точек пересечения прямой и кривой, т.е. наличию двух совпавших корней у квадратного уравнения. Это условие означает равенство нулю дискриминанта:
0
)
1
(
8
)
8 4
(
2 2
=
+
−
−
k
k

54
Данное условие, в свою очередь, представляет собой квадратное уравнение для углового коэффициента
k
Положительность дискриминанта этого уравнения означает наличие искомых касательных, а его отрицательность, в свою очередь, означала бы, что указанные в условии касательные не существуют. В данном случае дискриминант положителен, и существуют два корня
1 1
=
k
и
7 1
2
=
k
, что означает существование двух касательных
x
y
=
и
7
x
y
=
, удовлетворяющих условию задачи. В существовании двух касательных к данной окружности, проходящих через начало координат, нетрудно убедиться, построив окружность непосредственно.
Задачидлясамостоятельногорешения.
8.1.
Дан эллипс
45 5
9 2
2
=
+
y
x
Найти: 1) его полуоси; 2) фокусы;
3) эксцентриситет; 4) уравнения директрис.
8.2.
Дана гипербола
144 9
16 2
2
−
=
−
y
x
Найти: 1) полуоси a и b;
2) фокусы; 3) эксцентриситет; 4) уравнения асимптот; 5) уравнения директрис.
8.3.
Определить эксцентриситет эллипса, если:
1)
его малая ось видна из фокусов под углом в
0 60
;
2)
отрезок между фокусами виден из вершин малой оси под прямым углом;
3)
расстояние между директрисами в три раза больше расстояния между фокусами;
4) отрезок перпендикуляра, опущенного из центра эллипса на его директрису, делится вершиной эллипса пополам.
8.4.
Точка
(
)
1
,
3
−
M
является концом малой оси эллипса, фокусы которого лежат на прямой
0 6
=
+
y
Составить уравнение этого эллипса, зная его эксцентриситет
2 2
=
ε
8.5.
Фокусы гиперболы совпадают с фокусами эллипса
1 9
25 2
2
=
+
y
x
Составить уравнение гиперболы, если её эксцентриситет
2
=
ε
8.6.
Дано каноническое уравнение эллипса
1 6
15 2
2
=
+
y
x
Записать уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы – в вершинах данного эллипса.
8.7.
Найти длину диаметра (хорды, проходящей через центр) эллипса
1 6
12 2
2
=
+
y
x
, направленного по биссектрисе второго координатного угла.

55 8.8.
Для эллипса, заданного в декартовой системе координат каноническим уравнением
1 16 25 2
2
=
+
y
x
, записать его уравнение в полярных координатах, если начало координат расположено а) в левом фокусе эллипса; б) в правом фокусе эллипса.
8.9.
Определить, какая линия второго порядка задана следующим уравнением в полярных координатах: а)
ϕ
ϕ
ρ
cos
2 3
1 10
)
(
−
=
; б)
ϕ
ϕ
ρ
cos
2 12
)
(
−
=
; в)
2
sin
1
)
(
2
ϕ
ϕ
ρ
=
8.10.
Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удалённых от точки
)
3
,
0
(
F
и от прямой линии
5
−
=
y
8.11.
Дано уравнение параболы
x
y
6 2
=
Записать уравнение прямой, проходящей через точку
)
1
,
4
(
N
, которая пересекала бы параболу в некоторых точках
B
и
C
так, чтобы отрезок
BC
делился бы точкой
N
пополам.
8.12.
Записать уравнение параболы, симметричной относительно оси
Oy
и проходящей через точки пересечения прямой
0
=
+
y
x
и окружности
0 8
2 2
=
+
+
y
y
x
8.13.
Показать, что касательная к кривой второго порядка, заданной своим каноническими уравнениями и проходящая через точку кривой
)
,
(
0 0
y
x
, описывается уравнением а)
1 2
0 2
0
=
−
b
y
y
a
x
x
для гиперболы, б)
)
(
0 0
x
x
p
y
y
+
=
для параболы.
8.14.
Из точки
(
)
9
,
16
−
P
проведены касательные к эллипсу
1 3
4 2
2
=
+
y
x
Вычислить расстояние d от точки P до хорды эллипса, соединяющей точки касания.
8.15.
Из левого фокуса эллипса
1 20 45 2
2
=
+
y
x
под тупым углом
α
к оси Ox
направлен луч света. Известно, что
2
−
=
α
tg
Дойдя до эллипса, луч от него отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч.

56 8.16.
Провести касательные к гиперболе
1 8
16 2
2
−
=
−
y
x
параллельно прямой
0 5
4 2
=
−
+
y
x
и вычислить расстояние d между ними.
8.17.
Доказать, что эллипс и гипербола, имеющие общие фокусы, пересекаются под прямым углом.
8.18.
Составить уравнение прямой, которая касается параболы
x
y
8 2
=
и параллельна прямой
0 3
2 2
=
−
+
y
x
8.19.
Составить, если они существуют, уравнения касательных к параболе
x
y
16 2
=
, проходящих через точку а)
)
2
,
1
(
−
A
; б)
)
4
,
1
(
B
; в)
)
5
,
1
(
C
8.20.
В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы – пересекает ли, касается или проходит вне её:
1)
0 2
=
+
−
y
x
,
x
y
8 2
=
;
2)
0 15 3
8
=
−
+
y
x
,
y
x
3 2
−
=
;
3)
0 15 5
=
−
−
y
x
,
x
y
5 2
−
=
8.21.
При каком необходимом и достаточном условии прямая
0
=
+
+
C
By
Ax
является касательной к параболе
px
y
2 2
=
?
8.22.
Составить уравнение касательной к кривой
0 11 26 12 8
6 2
=
+
−
−
+
y
x
y
xy
, если касательная проходит а) параллельно прямой
0 4
17 6
=
−
+
y
x
; б) перпендикулярно прямой
0 3
24 41
=
+
−
y
x
; в) параллельно прямой
2
=
y