Д. В. Хомицкий А. В. Тележников

• Название: Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
• Дата: 08.10.2019
• Размер: 2.34 Mb.
• Имя файла: Khomitsky_Angeometry(1).pdf
• Тип: Документы; #89110
• страница: 8 из 9

9.
Основныесвойстваповерхностейвторогопорядка
Алгебраическая поверхность в декартовой системе координат задаётся выражением
0
)
,
,
(
=
z
y
x
F
, где
F
есть некоторая алгебраическая функция координат. Если данная функция представляет собой многочлен второй степени относительно всех координат, то говорят об алгебраической поверхности второго порядка. Кроме прямоугольных декартовых координат, в трёхмерном пространстве также широко используются цилиндрические и сферические координаты. Цилиндрическая система координат
)
,
,
(
z
ϕ
ρ
(
рис.26а) является обобщением полярных координат на трёхмерный случай, где добавляется третья ось
Oz
, направленная перпендикулярно плоскости
)
,
(
ϕ
ρ

57
В результате формулы перехода к цилиндрическим координатам почти не отличаются от случая полярных координат:




=
=
=
z
z
y
x
ϕ
ρ
ϕ
ρ
sin cos
Рис.26 (а) цилиндрическая и (б) сферическая системы координат
Сферическая система координат
)
,
,
(
ϕ
θ
r
(
рис.26(б)) сопоставляет каждой точке
M
пространства расстояние
OM
r
=
от неё до начала координат
O
, полярный угол
θ
между направлением
OM
и направлением оси
z
декартовой системы, а также азимутальный угол
ϕ
между проекцией луча
OM
на плоскость
)
(xy
декартовой системы и осью
x
Указанный выбор координат приводит к следующим формулам перехода от декартовых координат к сферическим:




=
=
=
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
cos sin sin cos sin
r
z
r
y
r
x
Если какая-либо из координат, например,
z
, не входит в уравнение поверхности, имеющее вид
0
)
,
(
=
y
x
F
, то говорят о цилиндрической поверхности вдоль направления
z
Такая поверхность может быть построена с помощью кривой
0
)
,
(
=
y
x
F
, называемой направляющей, которая движется по прямым линиям, параллельным оси
Oz
и называемым образующими.

58
Примером цилиндрической поверхности является параболический цилиндр с параболой в основании, показанный на рис.27а.
Если уравнение поверхности в цилиндрической системе координат не содержит угла
ϕ
и описывается уравнением
0
)
,
(
=
z
F
ρ
, то говорят о поверхности вращения с осью вращения, параллельной оси
Oz
Такая поверхность не изменяется при произвольных поворотах относительно оси вращения. Поверхности вращения обычно задаются уравнением кривой
0
)
,
(
=
z
x
F
, которая вращением вокруг оси
Oz
образует поверхность вращения. Используя формулы перехода к цилиндрическим координатам, из которых следует
2 2
y
x
+
=
ρ
, можно получить уравнение поверхности вращения из уравнения кривой как
0
)
,
(
2 2
=
+
z
y
x
F
На рис.27(б) показана поверхность вращения, описывающаяся уравнением
4 2
2 2z
y
x
=
+
Если поверхность образована прямолинейными образующими, проходящими через направляющую
0
)
,
(
=
y
x
F
и через фиксированную точку
)
,
,
(
0 0
0
z
y
x
M
, то говорят о конической поверхности с вершиной в точке
M
Примером конической поверхности является конус с эллиптическим сечением, показанный на рис.27в.
Рис.27. примеры (а) цилиндрической поверхности; (б) поверхности вращения;
(
в) конической поверхности
По аналогии с кривыми второго порядка, уравнения поверхностей второго порядка в канонической системе координат задаются как сумма квадратичных по координатам слагаемых с минимальным числом членов.
Основные типы поверхностей второго порядка следующие:

59
Эллипсоид
1 2
2 2
2 2
2
=
+
+
c
z
b
y
a
x
(
рис.28а);
Однополостный гиперболоид
1 2
2 2
2 2
2
=
−
+
c
z
b
y
a
x
(
рис.28б);
Двуполостный гиперболоид
1 2
2 2
2 2
2
−
=
−
+
c
z
b
y
a
x
(
рис.28в);
Конус второго порядка
0 2
2 2
2 2
2
=
−
+
c
z
b
y
a
x
(
рис29а);
Эллиптический параболоид
z
b
y
a
x
2 2
2 2
2
=
+
(
рис.29(б));
Гиперболический параболоид
z
b
y
a
x
2 2
2 2
2
=
−
(
рис.29в).
Из данных уравнений видно, что при равенстве двух геометрических параметров
b
a
=
, все поверхности, кроме гиперболического параболоида, будут представлять собой поверхности вращения. Эллипсоид при равенстве трёх параметров
R
c
b
a
=
=
=
представляет собой сферу радиуса
R
Рис.28. Примеры поверхностей второго порядка: (а) эллипсоид; (б) однополостный гиперболоид; (в) двуполостный гиперболоид.

60
Рис.29. Примеры поверхностей второго порядка: (а) конус; (б) эллиптический параболоид;
(
в) гиперболический параболоид.
Пример 1. Дано уравнение эллипса
1 2
2 2
2
=
+
c
z
a
x
, лежащего в плоскости
0
=
y
Получить уравнение эллипсоида вращения, полученного вращением этого эллипса вокруг оси
Oz
Решение. В уравнении эллипса, имеющем вид
0
)
,
(
=
z
x
F
, производим замену
2 2
y
x
x
+
→
, что сразу приводит нас к искомому уравнению эллипсоида вращения
1 2
2 2
2 2
=
+
+
c
z
a
y
x
Пример 2. Дано уравнение оси
L
круглого цилиндра:
t
x
−
=
9
,
t
y
2 4
−
=
,
t
z
2 7
+
=
, и координаты точки
)
3
,
2
,
1
(
0
−
M
, лежащей на его поверхности.
Составить уравнение цилиндра в декартовых координатах.
Решение. Круглый цилиндр можно определить как геометрическое место точек в пространстве, равноудалённых от прямой линии, являющейся осью цилиндра
(
рис.30).
Рис
.30.
Расположение элементов
, определяющих цилиндр в
пространстве

61
Пусть некоторая точка
)
,
,
(
z
y
x
M
лежит на поверхности цилиндра. Тогда условие
L
M
ML
d
d
0
=
будет являться уравнением для переменных
)
,
,
(
z
y
x
, которое и является уравнением цилиндра. Расстояние от точки в пространстве до прямой линии даётся формулой
(
)
[
]
|
|
,
0 1
a
a
r
r
−
=
ML
d
, в которой по условиям задачи
(
)
z
y
x
,
,
1
=
r
, начальная точка на прямой
(
)
7
,
4
,
9 0
=
r
и направляющий вектор прямой
(
)
2
,
2
,
1
−
−
=
a
Вычисляя с помощью определителя векторное произведения и записывая его модуль, получаем, что
2 2
2
)
2 14
(
)
2 25
(
)
22 2
2
(
3 1
y
x
z
x
z
y
d
ML
+
−
+
−
−
+
−
+
=
Подставляя вместо переменных
)
,
,
(
z
y
x
координаты точки
0
M
, находим радиус цилиндра
10 0
=
=
L
M
d
R
Таким образом, уравнение цилиндра имеет вид
10
)
2 14
(
)
2 25
(
)
22 2
2
(
3 1
2 2
2
=
+
−
+
−
−
+
−
+
y
x
z
x
z
y
Несмотря на наличие квадратного корня, это уравнение алгебраической поверхности второго порядка. Возводя обе части в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем уравнение цилиндра в виде
0 405 138 60 156 8
4 4
5 5
8 2
2 2
=
+
−
−
−
+
+
−
+
+
z
y
x
yz
xz
xy
z
y
x
Оно имеет значительно более сложный вид, чем уравнения поверхностей в каноническом виде, поскольку исходная декартова система координат не является канонической системой координат для данной поверхности. Если бы ось цилиндра была выбрана в качестве новой оси '
Oz
, а оси '
Ox
и '
Oy
располагались перпендикулярно ей, то цилиндр был бы задан в каноническом виде простым уравнением
100
)
'
(
)
'
(
2 2
=
+
y
x
Пример 3. Составить векторное уравнение прямого кругового конуса с вершиной в точке
)
(
0 0
r
M
и осью
t
a
r
r
+
=
0
, зная, что угол между его образующей и осью равен
α
Решение. Радиус-вектор любой точки конуса, если начало координат находится в его вершине, образует угол с направляющим вектором оси конуса, равный углу
α
Следовательно, уравнение конуса можно представить как скалярное произведение вектора
0
r
r
−
, где
)
,
,
(
z
y
x
=
r
, и вектора
a
:
(
)
|
cos
|
|
|
|
|
0 0
α
⋅
⋅
=
−
r
r
r
r
,

62 где равенство угла между векторами заданному углу
α
обеспечивает нахождение вектора
0
r
r
−
на поверхности конуса. Модуль у косинуса угла обеспечивает выполнение равенства как для верхней половины конуса, когда угол между
0
r
r
−
и
a
острый, так и для нижней половины, когда этот угол тупой. Записав данное векторное равенство в декартовых координатах и возведя его в квадрат, чтобы избавиться от корня, мы вновь получим сумму квадратичных по координатам слагаемых, определяющих поверхность второго порядка.
Задачидлясамостоятельногорешения
9.1.
Найти точки пересечения сферы
81
)
6
(
)
5
(
)
4
(
2 2
2
=
−
+
+
+
−
z
y
x
и прямой линии
t
x
−
=
3
,
t
y
2 3
+
−
=
,
t
z
2 4
−
=
9.2.
Составить уравнение однополостного гиперболоида вращения, полученного вращением гиперболы
1 2
2 2
2
=
−
c
z
a
x
, лежащей в плоскости
0
=
y
, вокруг оси
Oz
9.3.
Направляющая конуса задана уравнениями
1 25 9
2 2
=
+
z
x
,
0
=
y
, а вершина находится в точке
)
4
,
3
,
0
(
−
S
Составить уравнение конуса.
9.4.
Составить уравнение конуса, описанного около сферы
4 2
2 2
=
+
+
z
y
x
(
т.е. касающегося данной сферы по некоторой окружности), если вершина конуса находится в точке
)
8
,
0
,
0
(
S
9.5.
Показать, что конус с направляющей кривой, заданной системой




=
=
=
)
(
)
(
)
(
t
z
t
y
t
x
χ
ψ
ϕ
и с вершиной в начале координат, может быть задан в параметрической форме с параметрами
u
и
v
в виде системы равенств




=
=
=
)
(
)
(
)
(
v
u
z
v
u
y
v
u
x
χ
ψ
ϕ
9.6.
Семейство поверхностей задано в прямоугольной системе координат уравнением, содержащим произвольный параметр
λ
Определить тип поверхности при всевозможных
λ
:
1)
λ
=
+
+
2 2
2
z
y
x
;
2)
1 2
2 2
=
+
+
z
y
x
λ
;
3)
λ
λ
=
+
+
2 2
2
z
y
x
;
4)
λ
=
−
+
2 2
2
z
y
x
;

63 5)
λ
=
−
−
2 2
2
z
y
x
;
6)
1
)
(
2 2
2
=
+
+
z
y
x
λ
;
7)
z
y
x
λ
=
+
2 2
;
8)
1 2
2
+
=
+
z
y
x
λ
λ
;
9)
λ
=
+
2 2
y
x
;
10)
λ
=
−
2 2
y
x
9.7.
Определить, лежит ли точка
)
1
,
1
,
1
(
M
внутри или вне эллипсоида
4 3
2 2
2 2
=
+
+
z
y
x
9.8.
Ось
Oz
направлена вверх. Определить, лежит ли точка
)
1
,
1
,
1
(
M
выше или ниже параболоида
z
y
x
2 2
2 2
=
+
9.9.
Сечения поверхности
0 1
3 2
2 2
2
=
−
−
+
z
y
x
плоскостями
0
=
x
,
1
=
x
,
2
=
x
спроектированы на плоскость
Oyz
Описать и изобразить эти проекции.
9.10.
Является ли линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоской кривой? Привести примеры.
9.11.
Пусть линия пересечения двух поверхностей второго порядка плоская.
Будет ли эта линия алгебраической? Если да, то какого порядка?
Привести примеры.
10.
Каноническийвидуравненийкривыхиповерхностейвторогопорядка
В общем случае кривая второго порядка на плоскости задаётся уравнением вида
0 2
2 2
2 2
=
+
+
+
+
+
F
Ey
Dx
Cy
Bxy
Ax
, а поверхность второго порядка в пространстве описывается уравнением сходной структуры, где добавляются члены с третьей координатой
z
и её всевозможными комбинациями с
x
и
y
, имеющими первый и второй порядки. Для определения типа кривой или поверхности необходимо применять преобразования координат, приводящие уравнения кривой или поверхности к одному из описанных выше канонических видов. Канонический вид уравнения кривой или поверхности второго порядка есть его запись в такой системе координат, в которой уравнение содержит лишь слагаемые в виде квадратов каждой из координат, либо в виде линейных членов, если порядок какой-то координаты в исходном уравнении не второй, а первый.
Если уравнение не содержит членов с произведением координат, то от линейных членов можно избавиться параллельным переносом начала отсчёта, что на алгебраическом языке описывается последовательным выделением полного квадрата в уравнении с последующем обозначением выражений под знаком квадрата как новых координат. Данный метод также носит название метода Лагранжа. Если же в уравнении фигурируют члены с произведением

64 координат, то необходимо производить преобразование поворота. Для кривых второго порядка, лежащих в плоскости, поворот также происходит в этой плоскости, а его угол
ϕ
определяется выражением
C
A
B
−
=
2 2
tg
ϕ
Из этого выражения следует, что при равенстве коэффициентов
A
и
C
в исходном уравнении независимо от величины ненулевого недиагонального коэффициента
B
поворот происходит на угол
4
π
ϕ
=
, а новые координаты связаны со старыми по формулам
(
)
2
'
' y
x
x
−
=
и
(
)
2
'
' y
x
y
+
=
Для приведения уравнения поверхности к каноническому виду при наличии одного слагаемого с произведением координат может быть применён аналогичный поворот в плоскости, содержащий эти координаты. Если же слагаемых с произведением координат несколько, то возможно применение метода
Лагранжа, либо использование инвариантов, о которых будет рассказано ниже.
Некоторые свойства кривых и поверхностей второго порядка могут быть определены непосредственно через коэффициенты исходного уравнения, что является следствием постоянства некоторых комбинаций этих коэффициентов при замене координат. Подобные постоянные при замене координат величины называются инвариантами преобразований координат. Так, для кривых второго порядка является инвариантом величина
2
B
AC
C
B
B
A
−
=
=
δ
, знак которой позволяет классифицировать кривую второго порядка:
0
>
δ
- кривая эллиптического типа;
0
<
δ
- кривая гиперболического типа;
0
=
δ
- кривая параболического типа.
Кривые эллиптического и гиперболического типа имеют геометрический центр и называются центральными кривыми. Координаты центра
)
,
(
0 0
y
x
можно определить из исходного уравнения кривой, решая систему уравнений



=
+
+
=
+
+
0 0
0 0
0 0
E
Cy
Bx
D
By
Ax
Поскольку определителем данной системы является инвариант
δ
, у системы есть решение и кривая является центральной лишь при
0
≠
δ
, т.е. при принадлежности к эллиптическому или гиперболическому типу.

65
Для поверхностей второго порядка, определяемых в трёхмерном пространстве
)
,
,
(
3 2
1
x
x
x
уравнением вида
0 2
44 3
1 4
3 1
,
=
+
+
∑
∑
=
=
a
x
a
x
x
a
k
k
k
j
i
j
i
ij
, где
ji
ij
a
a
=
, также существует ряд инвариантов. Наиболее важным из них является определитель третьего порядка
( )
ij
a
I
det
3
=
,
3
,
2
,
1
,
=
j
i
Если этот определитель отличен от нуля, это означает наличие у поверхности геометрического центра, координаты которого
)
,
,
(
03 02 01
x
x
x
определяются, как и в случае кривой второго порядка, системой уравнений
0 4
3 1
0
=
+
∑
=
i
j
j
ij
a
x
a
,
3
,
2
,
1
=
i
, детерминант которой есть
3
I
Для центральной поверхности её уравнение может быть записано в виде
0 2
3 3
2 2
2 2
1 1
=
+
+
+
η
λ
λ
λ
x
x
x
, где коэффициенты
i
λ
и
η
, определяющие геометрический тип поверхности, могут быть найдены при помощи инвариантов непосредственно из исходного уравнения поверхности. Так, канонические коэффициенты
i
λ
являются корнями алгебраического уравнения третьего порядка относительно
λ
(
)
0
det
=
⋅
−
ij
ij
a
δ
λ
, где
3
,
2
,
1
,
=
j
i
, а символ
1
=
ij
δ
при
j
i
=
и
0
=
ij
δ
при
j
i
≠
называется символом Кронекера и определяет элементы единичной матрицы. Данное уравнение третьего порядка называется характеристическим уравнением для матрицы
ij
a
, а его корни
3
,
2
,
1
λ
- её собственными значениями.
Симметричность матрицы
ji
ij
a
a
=
гарантирует, что все три корня являются вещественными. Параметр
η
также может быть найден через инварианты по формуле

66 3
4
I
I
=
η
, где инвариант
4
I
есть определитель четвёртого порядка, сформированный из всех коэффициентов уравнения поверхности, включая линейные члены:
( )
ij
a
I
det
4
=
,
4
,
3
,
2
,
1
,
=
j
i
Подробное исследование собственных значений матриц и их связь с каноническим видом квадратичных форм содержится в курсе линейной алгебры.
Пример