Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
 Скачать 2.34 Mb.
|
|
b a r r + + = 0 6.8. На оси Ox найти точку, равноудалённую от точки ) 2 , 2 , 9 ( − A и от плоскости 0 3 2 6 3 : = − + − z y x P 6.9. На оси Oz найти точку, равноудалённую от точки ( ) 0 , 2 , 1 − M и от плоскости P : 0 9 6 2 3 = − + − z y x 6.10. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок 5 − = c и перпендикулярной к вектору ) 3 , 1 , 2 ( − = n 6.11. Составить уравнение плоскости, которая делит пополам тупой двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 0 5 4 3 = + − − z y x , 0 5 3 4 = + + − z y x 6.12. Найти расстояние от точки M с радиус-вектором 1 r до плоскости P , заданной уравнением ( ) D = n r, 6.13. Найти расстояние между двумя параллельными плоскостями 1 P и 2 P , заданными уравнениями ( ) 1 , D = n r и ( ) 2 , D = n r 6.14. Определить, при каких значениях параметров a и b плоскости 0 1 3 2 = − + − z y x , 0 2 = + − + b z y x , 0 10 6 = + − + z ay x : а) имеют одну общую точку; б) проходят через одну прямую; в) пересекаются по трём различным параллельным прямым. 38 7. Прямаялинияиплоскостьвпространстве Прямая линия в трёхмерном пространстве, как и на плоскости, может быть задана параметрическим векторным уравнением t a r r + = 0 ( рис.10б), где теперь трехкомпонетный вектор ) , , ( z y x = r описывает радиус-вектор точки прямой в пространстве, ) , , ( 0 0 0 0 z y x = r есть вектор, задающий начальную точку на прямой, ) , , ( z y x a a a = a есть направляющий вектор прямой, а параметр t пробегает всю числовую ось. Исключая параметр t из уравнения прямой, его можно записать в каноническом виде z y x a z z a y y a x x 0 0 0 − = − = − Если известны координаты двух точек ) , , ( 1 1 1 1 z y x = r и ) , , ( 2 2 2 2 z y x = r , через которые проходит прямая, то её направляющий вектор можно задать в виде 1 2 r r a − = , что позволяет записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки, в виде 1 2 0 1 2 0 1 2 0 z z z z y y y y x x x x − − = − − = − − Ещё один тип векторного уравнения прямой можно получить, записывая условие коллинеарности вектора 0 r r − и направляющего вектора прямой, что приводит к равенству нулю их векторному произведению: ( ) [ ] 0 a r r = − , 0 ( рис.15). Данное уравнение может быть также записано в виде [ ] b a r = , , где a есть направляющий вектор, а b - некоторый постоянный вектор. Рис .15. К выводу векторного уравнения прямой линии в пространстве 39 Если в пространстве даны две непараллельные плоскости 1 P и 2 P , заданные уравнениями 0 2 , 1 2 , 1 2 , 1 2 , 1 = + + + D z C y B x A , то своим пересечением они определяют прямую линию 2 1 P P L ∩ = , которая описывается системой уравнений: = + + + = + + + 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 D z C y B x A D z C y B x A , причём направляющий вектор прямой может быть выражен через нормальные векторы плоскостей как [ ] 2 1 ,n n a = ( рис.16), а начальная точка ) , , ( 0 0 0 z y x на прямой может быть найдена как одно из множества частных решений данной системы уравнений. Рис.16. Прямая как линия пересечения двух плоскостей Для двух пересекающихся плоскостей, рассмотренных выше, может быть введено понятие пучка плоскостей, то есть множества плоскостей, которые все проходят через прямую линию их пересечения, называемую осью пучка: ( ) ( ) 0 2 2 2 2 1 1 1 1 = + + + + + + + D z C y B x A D z C y B x A β α Различные значения параметров α и β отвечают различным направлениям нормального вектора плоскости из данного пучка. 40 Расстояние от точки M с радиус-вектором 1 r до прямой L , описываемой уравнением ( ) [ ] 0 a r r = − , 0 , может быть найдено по формуле ( ) [ ] | | , 0 1 a a r r − = ML d , следующей из формулы площади параллелограмма, которой равен модуль векторного произведения (рис.17). Рис.17. Расположение элементов при нахождении расстояния от точки до прямой линии в пространстве. Если в пространстве заданы две скрещивающиеся, т.е. не параллельные и не пересекающиеся прямые 1 L и 2 L , заданные уравнениями t 1 1 a r r + = и t 2 2 a r r + = , то кратчайшее расстояние между ними может быть найдено по формуле ( ) ( ) [ ] 2 1 2 1 1 2 12 , , , a a a a r r − = d , которая следует из выражения для объёма параллелепипеда при построении, аналогичном рис.17. Пример 1. Составить параметрическое уравнение прямой L , проходящей через точку ) 4 , 1 , 5 ( − − M , в каждом из следующих случаев: 1) Прямая L параллельна прямой A , заданной уравнениями t x 6 3 + = , t y 4 2 − = , t z − = 7 ; 2) Прямая L параллельна оси Ox ; 3) Прямая L перпендикулярна плоскости 0 5 3 2 : = − + + z y x P Решение. 1) Параллельность прямых линий L и A означает, что они имеют одинаковый направляющий вектор, в качестве которого может быть выбран 41 направляющий вектор прямой A , имеющий компоненты ( ) 1 , 4 , 6 − − a Начальная точка прямой определена в условии, поэтому в данном пункте уравнения прямой L имеют вид t x 6 5 + = , t y 4 1 − − = , t z − − = 4 2) Параллельность прямой L и оси Ox означает, что в качестве направляющего вектора прямой можно взять любой ненулевой вектор, параллельный оси Ox , например, вектор ( ) 0 , 0 , 1 a Следовательно, уравнения прямой L в данном случае имеют вид t x + = 5 , 1 − = y , 4 − = z 3) Перпендикулярность прямой L и плоскости P означает, что в качестве направляющего вектора прямой может быть выбран нормальный вектор плоскости, имеющий компоненты ( ) 3 , 2 , 1 n Уравнения прямой L в данном случае будут иметь вид t x + = 5 , t y 2 1 + − = , t z 3 4 + − = Пример 2. Составить уравнения прямой L , являющейся проекцией прямой A , заданной уравнениями 4 5 5 1 6 2 − = − + = − z y x , на плоскость P , заданную уравнением 0 7 2 3 = − + − z y x ( рис.18). Рис.18. Проекция прямой линии на плоскость. Решение. Удобно составить уравнения прямой L как линии пересечения двух плоскостей P и 1 P , где плоскость P определена в условии задачи, а перпендикулярная ей плоскость 1 P проходит через прямую A с начальной точкой ) 5 , 1 , 2 ( 0 − M и имеет нормальный вектор, ортогональный 42 нормальному вектору плоскости P Пусть ) , , ( z y x M есть некоторая точка плоскости 1 P Тогда следующие три вектора: вектор ( ) 5 , 1 , 2 0 − + − = z y x M M , направляющий вектор прямой ( ) 4 , 5 , 6 − a , и нормальный вектор плоскости P ( ) 2 , 3 , 1 − n являются векторами, лежащими в одной плоскости 1 P Условие их компланарности, записанное при помощи определителя, и является уравнением плоскости 1 P : 0 2 3 1 4 5 6 5 1 2 = − − − + − z y x , или 0 53 13 8 2 = + − − z y x Система, состоящая из этого уравнения и уравнения плоскости P , и определяет уравнения искомой проекции: = + − − = − + − 0 53 13 8 2 0 7 2 3 : z y x z y x L Пример 3. Найти расстояние между двумя параллельными прямыми 1 L и 2 L , заданными уравнениями [ ] 1 , b a r = и [ ] 2 , b a r = Решение. Пусть точка M с радиус-вектором 1 r лежит на прямой 1 L , тогда 1 r удовлетворяет уравнению этой прямой [ ] 1 1 , b a r = Расстояние между прямыми 1 L и 2 L может быть найдено как расстояние от точки M до прямой 2 L ( рис.17), на которой выбрана некоторая начальная точка с радиус вектором 0 r Используя данные в условии уравнения прямых, получаем: [ ] [ ] [ ] a b b a a r a r a a r r 2 1 0 1 0 1 12 , , ), ( − = − = − = d , что и определяет искомое расстояние между параллельными прямыми. Задачидлясамостоятельногорешения. 7.1. Составить в каноническом виде уравнения прямых, образующих диагонали параллелограмма ABCD , три вершины которого находятся в точках ) 6 , 4 , 2 ( A , ) 4 , 5 , 3 ( − B и ) 2 , 6 , 8 ( − C 43 7.2. Составить уравнения прямой, проходящей через точку ) 2 , 1 , 1 ( − A и перпендикулярной плоскости P , если данная плоскость задана уравнениями: а) 0 1 2 3 = + + − z y x ; б) + + − = + + = + − = v u z v u y v u x 3 7 1 2 2 4 7.3. Дана прямая t a r r + = 0 и плоскость ( ) D = n r, При каком необходимом и достаточном условии: а) прямая и плоскость пересекаются (одна общая точка); б) прямая и плоскость параллельны (нет общих точек); в) прямая лежит в плоскости. 7.4. Составить уравнение оси Ox как линии пересечения двух плоскостей. 7.5. Как взаимно располагаются в пространстве прямые A и B , заданные своими уравнениями? а) + − = + = − = t z t y t x A 4 3 5 2 2 1 : , − = − = + − = t z t y t x B 2 5 2 3 4 : ; б) + = + = + = t z t y t x A 4 3 7 2 1 : , + − = − − = + = t z t y t x B 2 2 1 3 6 : 7.6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ) 5 , 3 , 2 ( − M перпендикулярно прямым A и B , заданным каноническими уравнениями 2 5 2 3 1 1 : + = − = − − z y x A и 2 7 3 1 6 2 : − + = + = − z y x B 7.7. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку ) 1 , 1 , 4 ( − − M и прямую L , заданную как линию пересечения двух плоскостей: = − − + = − + − 0 5 6 2 4 0 7 5 3 2 : z y x z y x L 7.8. Составить уравнение проекции прямой L , заданной в параметрической форме как t a x x x + = 0 , t a y y y + = 0 , t a z z z + = 0 , на плоскость P , заданной уравнением 0 = + + + D Cz By Ax 7.9. Составить уравнение плоскости P , проходящей через прямую L параллельно оси Oy , если прямая L задана как линия пересечения двух плоскостей: 44 = − + = + + − 0 3 0 9 2 3 : z x z y x L 7.10. Дана прямая t A a r r + = 0 : и плоскость ( ) D P = n r, : , не параллельные между собой. Точка M лежит на прямой A и удалена от плоскости P на расстояние ρ Найти радиус-вектор точки M 7.11. Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей ( ) ( ) 0 1 3 4 56 15 8 10 = − + + + + − − z y x z y x β α и отстоит от точки ( ) 3 , 2 , 3 − − C на расстоянии 7 = d 7.12. Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую = − + − = − − + 0 2 2 3 2 , 0 1 2 3 z y x z y x на плоскость 0 5 3 2 = − + + z y x 7.13. Даны вершины треугольника ( ) 1 , 1 , 3 − − A , ( ) 7 , 2 , 1 − B и ( ) 3 , 14 , 5 − − C Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B 7.14. Дана прямая = − − + = + + − 0 2 3 , 0 1 3 2 z y x z y x Найти разложение по базису } , , { k j i какого- нибудь её направляющего вектора a Выразить в общем виде разложение по базису } , , { k j i произвольного направляющего вектора этой прямой. 7.15. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку ( ) 3 , 2 , 1 1 − − M перпендикулярно к вектору ) 3 , 2 , 6 ( − − = |