Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
 Скачать 2.34 Mb.
|
|
1. Вычислить определитель третьего порядка 2 2 1 12 2 10 4 2 4 − Решение. Используя приведенную выше формулу для раскрытия детерминанта третьего порядка, с помощью непосредственного вычисления получаем 8 72 16 80 18 4 8 2 ) 20 ( 4 2 1 2 10 4 2 1 12 10 ) 2 ( 2 2 12 2 4 2 2 1 12 2 10 4 2 4 = + + − = ⋅ + ⋅ + − ⋅ = = ⋅ + ⋅ − − ⋅ = − Пример 2. Упростить выражение 1 cos sin 1 sin cos 1 0 0 β α β α Решение. Раскрывая данный определитель, получаем одно не равное нулю слагаемое ( ) β α α β β α β α β α + = ⋅ − ⋅ = ⋅ = ∆ cos sin sin cos cos cos sin sin cos 1 Пример 3. Решить систему уравнений = − = + 12 2 3 5 4 2 1 2 1 x x x x Решение. Определитель матрицы системы 0 11 3 8 2 3 1 4 ≠ − = − − = − = ∆ , поэтому существует единственное решение ∆ ∆ = 2 , 1 2 , 1 x , где определители 22 12 10 2 12 1 5 1 − = − − = − = ∆ и 33 15 48 12 3 5 4 2 = − = = ∆ , откуда находим 2 ) 11 ( 22 1 = − − = x и 3 ) 11 ( 33 2 − = − = x Обязательной проверкой убеждаемся, что найденные значения неизвестных обращают уравнения системы в тождества. 12 Пример 4. Решить систему уравнений = − − = + + = + + 1 3 4 4 2 6 3 4 4 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение. Определитель матрицы системы 0 9 ) 27 ( 1 ) 17 ( 4 ) 16 ( 2 ) 4 6 ) 1 ( 3 ( 1 ) 4 2 ) 3 ( 3 ( 4 )) 1 ( 2 ) 3 ( 6 ( 2 3 1 4 2 6 3 1 4 2 ≠ = − ⋅ + − ⋅ − − ⋅ = ⋅ − − ⋅ ⋅ + + ⋅ − − ⋅ ⋅ − − ⋅ − − ⋅ ⋅ = − − , т.е. у системы имеется единственное решение. Определяя его по формулам Крамера ∆ ∆ = 3 , 2 , 1 3 , 2 , 1 x , находим 18 3 1 1 2 6 4 1 4 4 1 − = − − = ∆ , 27 3 1 4 2 4 3 1 4 2 2 = − = ∆ , 36 1 1 4 4 6 3 4 4 2 3 − = − = ∆ , откуда 2 1 − = x , 3 2 = x , 4 3 − = x Проверкой убеждаемся, что найденные значения неизвестных обращают уравнения системы в тождества. Пример 5. Решить систему уравнений = − + = + − = + − 0 3 2 0 0 2 3 3 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x x Решение. Вычисляем определитель данной системы: 0 7 3 1 2 1 1 1 2 3 1 ≠ − = − − − = ∆ , поэтому из формул Крамера следует существование единственного нулевого (тривиального) решения 0 3 2 1 = = = x x x Пример 6. Решить систему уравнений = − + = + − 0 2 3 0 4 3 2 3 2 1 3 2 1 x x x x x x Решение. Данная система содержит большее число неизвестных, чем уравнений. Чтобы привести её к известному нам виду с квадратной матрицей, перенесём слагаемые, например, с 3 x в правую часть: 13 = + − = − 3 2 1 3 2 1 2 3 4 3 2 x x x x x x Получилась система известного вида, где роль столбца свободных членов играет столбец ( ) 3 , 3 2 4 x x − Определитель системы 0 11 ) 9 ( 2 1 3 3 2 ≠ = − − = − = ∆ , поэтому при каждом значении 3 x существует единственное решение. Применяя к этой системе формулы Крамера, находим ( ) 3 3 3 3 3 1 11 2 2 ) 3 ( 1 4 11 1 1 2 3 4 1 x x x x x x = ⋅ − − ⋅ − ⋅ = − − ∆ = , ( ) 3 3 3 3 3 2 11 16 3 ) 4 ( 2 2 11 1 2 3 4 2 1 x x x x x x = ⋅ − − ⋅ ⋅ = − ∆ = , что и составляет общее решение системы. Обязательной проверкой устанавливаем, что набор неизвестных ( ) 3 3 3 , 11 16 , 11 2 x x x при любом значении 3 x обращает уравнения системы в тождества. Пример 7. Решить систему уравнений = − = + − = + + 0 3 0 2 3 0 2 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x Решение. Определитель данной системы 0 = ∆ , что свидетельствует о зависимости трёх уравнений друг от друга. Рассмотрим первые два уравнения: их, очевидно, нельзя свести друг к другу умножением на число, и они независимы. Мы получили новую систему, состоящую из этих двух уравнений: = + − = + + 0 2 3 0 3 2 1 3 2 1 x x x x x x Она имеет вид системы, рассмотренной в предыдущем примере. Перенося неизвестную 3 x в правую часть, получаем по формулам Крамера ) 4 ( 3 3 1 − = x x и ) 4 ( 3 2 − = x x , где переменная 3 x принимает любые значения. Проверкой убеждаемся, что найденные значения неизвестных обращают все три уравнения исходной системы в тождества. 14 Задачидлясамостоятельногорешения. 2.1. Вычислить определитель третьего порядка: 1) 3 4 1 2 3 5 3 1 2 ; 2) 2 4 3 3 5 2 1 2 3 ; 3) 3 1 2 1 1 1 2 3 1 − − − ; 4) 7 2 6 1 4 1 5 3 2 − − − − ; 5) 3 49 2 2 35 5 4 38 3 − − − ; 6) 1 ) cos( cos ) cos( 1 cos cos cos 1 β α β β α α β α + + 2.2. Определить неизвестное x из уравнения: 1) 0 1 2 4 1 1 1 1 2 = − x x ; 2) 0 1 1 1 1 1 1 = x x x 2.3. Решить систему линейных уравнений второго порядка: 1) = + = + 17 10 2 2 1 2 1 x x x x ; 2) = + = + 4 9 5 2 5 3 2 1 2 1 x x x x 2.4. Решить систему линейных уравнений третьего порядка: 1) = + = − + = − + 3 3 2 3 2 2 3 1 3 2 1 3 2 1 x x x x x x x x ; 2) = + + = + + − = + 6 7 5 3 3 5 3 2 1 3 3 2 1 3 2 1 3 2 x x x x x x x x 2.5. Решить систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными: 1) = + + = + + 0 3 4 2 0 2 3 3 2 1 3 2 1 x x x x x x ; 2) = + − = + − 0 3 2 0 3 8 5 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 15 Глава 2 Векторнаяалгебра 3. Линейныеоперациинадвекторами. Скалярноепроизведение Вектором называется направленный отрезок, соединяющий две точки в пространстве, на плоскости, или на прямой. Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается как AB либо как одна буква полужирного шрифта, например, a Модулем вектора a ≡ | | a называется длина отрезка AB Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым и обозначается как 0 Векторы a и b называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны, что обозначается как b a || , при этом векторы могут быть одинаково либо противоположно направленными. Два вектора равны, если они одинаково направлены и имеют одинаковые длины. Заметим, что при таком определении равенства векторов их начальная точка не имеет значения, и в нашем курсе, если не оговорено специально, все векторы считаются отложенными от начала координат. Вектор, идущий из начала координат в некоторую точку M , называется радиус-вектором точки M Три вектора, параллельные некоторой плоскости, называются компланарными. Пусть даны два вектора AB = a и BC = b Их суммой b a c + = называется вектор AC , полученный по правилу треугольника (рис.5). Рис.5. Правило треугольника для сложения векторов Произведением вектора a на вещественное число α называется вектор a b α = , длина которого равна | | | | a ⋅ α , а направление совпадает с направлением a при 0 > α и противоположно ему при 0 < α Последовательное применение операций сложения и умножения на число позволяет составлять линейные комбинации векторов. Векторы 1 a , 2 a , …, n a называются линейно независимыми, если их линейная комбинация 0 a a a = + + + n n α α α K 2 2 1 1 лишь тогда, когда все числа i α равны нулю. На прямой линейно независимым является только один ненулевой вектор, на плоскости – любые два неколлинеарных вектора, в пространстве – любые три некомпланарных вектора. Максимальное число линейно независимых векторов 16 в данном пространстве называется размерностью этого пространства. Следовательно, прямая является одномерным пространством, плоскость – двумерным, а пространство с декартовыми координатами ) , , ( z y x трехмерно. Любые четыре и более вектора в трёхмерном пространстве, рассматриваемом в курсе аналитической геометрии, являются линейно зависимыми. Рассмотренные примеры представляют собой частные случаи линейного векторного пространства, подробно изучаемого в курсе линейной алгебры. Если вектор x представлен как линейная комбинация n n x x x a a a x + + + = K 2 2 1 1 , то говорят, что x разложен по системе векторов { } n a a K , 1 Линейно независимая система векторов { } n e e K , 1 данного пространства, по которой любой вектор из этого пространства можно разложить, называется базисом данного линейного пространства, а набор чисел ( ) n x x K , 1 называется координатами вектора x в данном базисе. Примером базиса является тройка взаимно перпендикулярных единичных векторов { } k j i , , декартового базиса. Базис может быть выбран по-разному, поэтому один и тот же вектор x имеет разные столбцы координат в разных базисах. При помощи столбцов координат все линейные операции с векторами могут быть выполнены с их координатными столбцами в данном базисе, например, линейной комбинации b a β α + векторов с координатами ( ) n x x K , 1 и ( ) n y y K , 1 отвечает вектор с координатами ( ) n n y x y x β α β α + + K , 1 1 Для коллинеарных векторов a и b справедливо равенство отношений соответствующих координат λ = = = n n b a b a K 1 1 , где λ есть фиксированное число. При повороте координатных осей декартовой системы координат на плоскости на угол ϕ векторы нового базиса { } ' 2 ' 1 ,e e связаны с векторами старого базиса { } 2 1 ,e e соотношениями, аналогичными формулам для связи между старыми и новыми координатами, рассмотренными в п.1 ( рис.2): + − = + = ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos 2 1 ' 2 2 1 ' 1 e e e e e e При переходе к новому базису меняются также компоненты векторов. Например, для одного и того же вектора a при замене базиса происходит изменение его компонент: ) , ( ) , ( ' 2 ' 1 2 1 a a a a → , причем замена происходит в том же порядке, что и для координат точки, замена которых рассмотрена в п.1: + = − = ϕ ϕ ϕ ϕ cos sin sin cos ' 2 ' 1 2 ' 2 ' 1 1 a a a a a a 17 Следует обратить внимание на то, что направление преобразования базисных векторов { } { } ' 2 ' 1 2 1 , , e e e e → с одной и той же матрицей поворота противоположно направлению преобразования координат, или компонент векторов ) , ( ) , ( ' 2 ' 1 2 1 a a a a → Это свойство носит общий характер и справедливо для любых линейных преобразований базиса; более подробное его рассмотрение производится в курсе векторного и тензорного анализа. Скалярным произведением ( ) b a, векторов a и b называется число, равное ϕ cos | | | | ⋅ ⋅ b a , где ϕ есть угол между a и b Длина, или модуль вектора может быть выражена через скалярное произведение как ) , ( | | 2 a a a = Векторы, для которых ( ) 0 , = b a , называются ортогональными, а базис { } n e e K , 1 , для которого выполняются соотношения ( ) 0 , = j i e e при j i ≠ и при этом 1 | | = i e , называется ортонормированным базисом. Примером ортонормированного базиса может служить стандартный базис { } k j i , , в декартовой системе координат. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов выражается через их координаты по формуле ( ) ∑ = = n i i i b a 1 ,b a , а в случае любого базиса ( ) ∑∑ = = = n i n j j i j i b a 1 1 ) , ( , e e b a Из этих соотношений следует, что в ортонормированном базисе координаты вектора можно найти при помощи скалярного произведения как ( ) i i a e a, = Пример 1. На плоскости даны векторы ( ) 3 , 2 1 − = e и ( ) 2 , 1 2 = e Найти разложение вектора ( ) 4 , 9 = a по векторам { } 2 1 ,e e Решение. Прежде всего, убеждаемся, что векторы 1 e и 2 e являются неколлинеарными и, следовательно, могут быть выбраны в качестве базиса на плоскости. Требуется найти числа 2 , 1 α в разложении 2 2 1 1 e e a α α + = Координаты вектора в левой части этого равенства в исходном базисе есть ( ) 4 , 9 = a , а координаты вектора в правой части есть ( ) 2 ) 3 ( , 1 2 2 1 2 1 ⋅ + − ⋅ ⋅ + ⋅ α α α α Приравнивая соответствующие координаты, получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными: = + − = + 4 2 3 9 2 2 1 2 1 α α α α Решая эту систему, находим 2 1 = α и 5 2 = α , что и составляет искомое разложение. |