Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
 Скачать 2.34 Mb.
|
|
1. Определить тип и расположение кривой 0 68 36 8 9 4 2 2 = − − − − y x y x на плоскости. Решение. Вычисляем значение инварианта 0 36 9 0 0 4 < − = − = = C B B A δ , что говорит о принадлежности данной кривой к гиперболическому типу. Поскольку в уравнении кривой отсутствуют слагаемые с произведением координат, привести уравнение к каноническому виду можно с помощью одних лишь параллельных переносов, т.е. через выделение полного квадрата. Производя эту операцию, получаем: 0 68 36 4 ) 4 4 ( 9 ) 1 2 ( 4 2 2 = − + − + + − + − y y x x , или 0 36 ) 2 ( 9 ) 1 ( 4 2 2 = − + − − y x Производя преобразование параллельного переноса = + = − ' 2 ' 1 y y x x , получаем в новых координатах уравнение кривой в канонической форме 1 4 ) ' ( 9 ) ' ( 2 2 = − y x , описывающее гиперболу с полуосями 3 = a и 2 = b , центр которой находится в точке ) 2 , 1 ( − исходной системы координат ) , ( y x 67 Пример 2. Определить тип кривой 0 9 3 2 2 2 = + − xy x и составить её каноническое уравнение. Решение. Записываем инвариант 3 0 3 3 2 − = − − = = C B B A δ , что определяет тип данной кривой как гиперболический. Поскольку в уравнении имеется слагаемое с произведением координат, необходимо совершить преобразование поворота + = − = ϕ ϕ ϕ ϕ cos ' sin ' sin ' cos ' y x y y x x на угол ϕ , тангенс которого определяется равенством 3 0 2 ) 3 ( 2 2 2 tg − = − − ⋅ = − = C A B ϕ , откуда 6 π ϕ − = , и преобразование поворота имеет вид: + − = + = ' 2 3 ' 2 1 ' 2 1 ' 2 3 y x y y x x Подставляя эти выражения для координат в исходное уравнение кривой, получаем уравнение в виде 0 9 ' 2 3 ' 2 1 ' 2 1 ' 2 3 3 2 ' 2 1 ' 2 3 2 2 = + + − + − + y x y x y x , которое после раскрытия скобок и приведения подобных членов уже не будет содержать слагаемых с произведением координат: 0 9 ) ' ( ) ' ( 3 2 2 = + − y x , или в канонической форме 1 ) 3 ( ) ' ( ) 3 ( ) ' ( 2 2 2 2 − = − y x , что определяет сопряжённую гиперболу с полуосями 3 = a и 3 = b Пример 3. Показать, что уравнение xy z = определяет гиперболический параболоид. Решение. Уравнение содержит одно слагаемое с произведением координат, именно, xy , что говорит о необходимости использования преобразования 68 поворота в плоскости ) (Oxy Поскольку коэффициенты при 2 x и 2 y в исходном уравнении равны между собой (оба равны нулю), поворот выполняется на угол 4 π ϕ = , а новые координаты связаны со старыми по формулам ( ) 2 ' ' y x x − = и ( ) 2 ' ' y x y + = Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получаем уравнение z y x = − 2 ) ' ( ) ' ( 2 2 , что является каноническим уравнением гиперболического параболоида с параметрами 1 = = b a Пример 4. С помощью инвариантов определить тип поверхности, заданной уравнением 18 4 20 16 2 11 5 2 2 2 = + + − + + yz xz xy z y x Решение. Прежде всего вычисляем инвариант 3 I : 81 18 1458 2 2 10 2 11 8 10 8 5 3 ⋅ − = − = − − = I , т.е. поверхность является центральной и может быть описана уравнением вида 0 2 3 3 2 2 2 2 1 1 = + + + η λ λ λ x x x Характеристическое уравнение для канонических коэффициентов 3 , 2 , 1 λ имеет вид 0 2 2 10 2 11 8 10 8 5 = − − − − − λ λ λ , или 0 81 18 81 18 2 3 = ⋅ + − − λ λ λ Данное кубическое уравнение имеет целочисленные корни 18 1 = λ , 9 2 = λ и 9 3 − = λ Параметр 3 4 I I = η , где определитель четвёртого порядка 3 4 18 18 0 0 0 0 2 2 10 0 2 11 8 0 10 8 5 I I ⋅ − = − − − = , откуда 18 − = η и каноническое уравнение имеет вид 0 18 ) ' ( 9 ) ' ( 9 ) ' ( 18 2 2 2 = − − + z y x , или 1 2 ) ' ( 2 ) ' ( ) ' ( 2 2 2 = − + z y x , что является уравнением однополостного гиперболоида с полостью вдоль оси Oz 69 Задачидлясамостоятельногорешения. 10.1. Определить тип кривой второго порядка, составить её каноническое уравнение и указать каноническую систему координат: 1) 0 6 2 = + − − y x xy ; 2) 3 9 − − = x x y ; 3) 0 1 2 6 6 6 2 2 = − − + + y x y x ; 4) 0 144 8 6 16 9 2 2 = − + − − y x y x ; 5) 0 121 10 6 2 2 2 = − + + y xy x ; 6) 0 4 9 = + xy 10.2. Проверить, что данная кривая второго порядка является центральной. Найти координаты центра и избавиться в уравнении от членов первой степени при помощи переноса начала координат в центр: 1) 0 24 38 8 17 8 2 2 = + − + + − y x y xy x ; 2) 0 1 4 5 2 = − − − + y x xy x ; 3) 0 2 7 3 16 24 8 2 2 = − − + + − y x y xy x 10.3. Доказать, что множество центров симметрии алгебраической кривой либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является прямой линией. 10.4. Определить тип поверхности и привести её уравнение к каноническому виду: 1) 0 253 216 64 18 36 16 9 2 2 2 = + − + − + + z y x z y x ; 2) 0 9 16 6 4 2 2 = + + − + y x y x ; 3) 0 65 72 54 16 36 9 4 2 2 2 = − − − − + − z y x z y x ; 4) xy z = 2 ; 5) 0 122 36 8 24 6 4 3 2 2 2 = + − + + + − z y x z y x ; 6) 0 184 72 36 8 9 4 2 2 = + − − − − z y x y x ; 7) 0 17 6 4 2 = + − − y x y ; 8) 0 30 24 24 12 3 6 2 2 2 2 = + − − − + − z y x z y x 10.5. Определить тип поверхности при помощи инвариантов: 1) 0 1 2 10 2 4 2 2 2 5 2 2 2 2 = − − − + − + − + + z y x xz yz xy z y x ; 2) 0 30 18 24 6 4 4 5 6 7 2 2 2 = + + − − − − + + z y x yz xy z y x ; 3) 0 3 2 6 4 2 2 4 3 2 2 2 2 2 = + − + − + + + + + z y x yz xz xy z y x ; 4) 0 6 3 2 12 6 4 9 4 2 2 2 = − − + − − + − + + z y x yz xz xy z y x 10.6. Определить тип поверхности в зависимости от параметра α : 0 6 4 2 6 4 3 2 3 2 1 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 = + + + − − − − − α x x x x x x x x x x 70 Литература 1. Д.В. Беклемишев, Курсаналитическойгеометрииилинейнойалгебры, М., Наука, 1987г, 320 c. 2. В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, Аналитическаягеометрия, М., Наука, 1988г, 224c. 3. А.В. Погорелов, Аналитическаягеометрия, М., Наука, 1968г, 176c. 4. Н.В. Ефимов, Краткийкурсаналитическойгеометрии, М., Наука, 1975г, 275c. 5. Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров, Сборникзадачпо аналитическойгеометрииилинейнойалгебре, М., Наука, 2003г, 496 c. 6. Д.В. Клетеник, Сборникзадачпоаналитическойгеометрии, М., Наука, 1986 г, 224c. 7. О.Н. Цубербиллер, Задачииупражненияпоаналитическойгеометрии, М., Наука, 1968г, 336c. 8. А.А. Гусак, Справочноепособиекрешениюзадач. Аналитическая геометрияилинейнаяалгебра, Минск, Тетрасистемс, 2006г, 288c. 9. Сборникзадачпоалгебреианалитическойгеометрии, под редакцией А.С. Феденко, Минск, Университетское , 1999г, 302с. 71 Содержание Стр. Глава 1. Введениевметодкоординатиметодылинейной алгебры 3 1. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости 3 2. Определители и системы линейных уравнений 2-го и 3-го порядка 9 Глава 2. Векторнаяалгебра 15 3. Линейные операции над векторами. Скалярное произведение 15 4. Векторное и смешанное произведение 21 Глава 3. Прямыелиниииплоскости 27 5. Прямая линия на плоскости 27 6. Плоскость в пространстве 34 7. Прямая линия и плоскость в пространстве 38 Глава 4. Кривыеиповерхностивторогопорядка 45 8. Эллипс, парабола и гипербола 45 9. Основные свойства поверхностей второго порядка 56 10. Канонический вид уравнений кривых и поверхностей второго порядка 63 Литература 70 |