Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
 Скачать 2.34 Mb.
|
|
n m l , , компланарными? Если да, то указать, какая линейная связь между ними существует. Решение. Компланарность трёх векторов означает, что они лежат в одной плоскости и, следовательно, являются линейно зависимыми. Линейная зависимость векторов означает также линейную зависимость столбцов их координат. Матрица третьего порядка, сформированная из этих линейно зависимых столбцов, будет иметь нулевой определитель, как это было упомянуто в предыдущей главе. Вычисляя определитель, составленный из столбцов координат рассматриваемых векторов, находим, что 0 2 1 1 1 2 1 1 1 2 = − − − − − − , т.е. данные вектора являются линейно зависимыми и, следовательно, компланарными. Рассматривая матрицу их столбцов их координат, можно заметить, что первый столбец есть сумма второго и третьего, взятая со знаком минус, поэтому искомая линейная связь имеет вид ) ( n m l + − = Пример 3. Показать, что при любых векторах c b a , , векторы a и c b a b c a d ) , ( ) , ( − = являются перпендикулярными. Решение. Перпендикулярность векторов означает равенство нулю их скалярного произведения. Записывая ) , ( d a , находим, что ( ) 0 ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ) , ( ) , (( , ) , ( = ⋅ − ⋅ = − = c a b a b a c a c b a b c a a d a при любых векторах c b a , , , что и требовалось доказать. Пример 4. На плоскости даны два вектора 1 e и 2 e , причём 2 | | 1 = e , 1 | | 2 = e , а угол между данными векторами 4 π ϕ = На плоскости также построен параллелограмм, стороны которого заданы векторами a и b ( рис.6), имеющими в базисе { } 2 1 ,e e координаты ( ) 2 , 2 = a и ( ) 4 , 1 − = b Найти длины диагоналей и углы этого параллелограмма. Рис.6. Базисные векторы и построение параллелограмма для примера 4. 19 Решение. Первая диагональ в векторном виде представляет собой сумму векторов - сторон параллелограмма, а вторая диагональ – векторную разность этих сторон, т.е. b a d + = 1 и b a d − = 2 Следовательно, в базисе { } 2 1 ,e e диагонали имеют координаты ) 6 , 1 ( 1 = d и ) 2 , 3 ( 2 − = d Длина каждой из стороны может быть выражена с помощью скалярного произведения: ) , ( | | 2 , 1 2 , 1 2 , 1 d d d = Подставив сюда выражения для диагоналей, получаем ) , ( 12 | | 36 | | ) 6 , 6 ( | | 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 e e e e e e e e d + + = + + = и ) , ( 12 | | 4 | | 9 ) 2 3 , 2 3 ( | | 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 e e e e e e e e d − + = − − = Все входящие в данные выражения слагаемые известны из условия задачи, а последнее скалярное произведение вычисляем по определению как ϕ cos | || | ) , ( 2 1 2 1 e e e e = В результате получаем 2 5 | | 1 = d и 10 | | 2 = d Угол α между сторонами параллелограмма можно определить с помощью скалярного произведения как |) || (| ) , ( cos b a b a = α , где вновь производится разложение векторов a и b по базису { } 2 1 ,e e и вычисление скалярного произведения, аналогичное расчёту для 1 d и 2 d В результате получаем, что 4 π α = , а смежный угол равен соответственно 4 3 4 π π π = − Задачидлясамостоятельногорешения 3.1. Определить координаты точки M , если её радиус-вектор составляет с координатными осями равные углы, а модуль радиус-вектора равен трём. 3.2. Определить, при каких значениях α и β векторы ( ) β , 3 , 2 − a и ( ) 2 , 6 , − α b будут коллинеарными. 3.3. Дано разложение вектора c по базису { } k j i , , : k j i c 12 15 16 + − = Определить разложение по этому же базису вектора c d || , если эти векторы противоположно направлены и 75 | | = d 3.4. Сторона параллелограмма ABCD образованы векторами AB = a и AD = b Найти в этом базисе разложения векторов BD , CO и KD , где K есть середина стороны BC , а O - точка пересечения диагоналей. 20 3.5. В правильном шестиугольнике ABCDEF направления AB и AF задают базис. Найти в этом базисе координаты векторов BC , CD , DE , EF , BD , CF и CE 3.6. Найти разложение вектора c по векторам a и b : 1) ( ) 2 , 4 − = a , ( ) 5 , 3 = b , ( ) 7 , 1 − = c ; 2) ( ) 4 , 5 = a , ( ) 0 , 3 − = b , ( ) 8 , 19 = c ; 3) ( ) 2 , 6 − = a , ( ) 7 , 4 = b , ( ) 3 , 9 − = c 3.7. Даны векторы OA и OB Показать, что точка C принадлежит отрезку AB тогда и только тогда, если OB OA OC β α + = , где 0 ≥ α , 0 ≥ β и 1 = + b α 3.8. Даны координаты векторов ( ) 1 , 1 , 1 − = a , ( ) 1 , 1 , 5 = b и ( ) 2 , 3 , 0 − = c Вычислить значение следующих выражений: 1) ( ) ( ) b a c c a b , , − ; 2) ( )( ) c b b a c a , , | | | | 2 2 − + 3.9. Какому условию должны удовлетворять векторы p и q , чтобы вектор q p + был ортогонален вектору q p − ? 3.10. Даны единичные векторы a , b и c , удовлетворяющие условию 0 = + + c b a Вычислить величину ) , ( ) , ( ) , ( a c c b b a + + 3.11. Векторы a , b и c попарно образуют друг с другом углы, каждый из которых равен 60 0 Зная, что 4 | | = a , 2 | | = b и 6 | | = c , определить модуль вектора c b a p + + = 3.12. Определить геометрическое место концов переменного вектора x , если его начало находится в данной точке A и вектор x удовлетворяет условию α = ) ( a x, , где a - данный фиксированный вектор и α - данное фиксированное число. 3.13. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам ) 1 , 3 , 2 ( = a и ) 3 , 2 , 1 ( − = b , и удовлетворяет условию 6 )) 2 ( , ( − = + − k j i x 3.14. Найти проекцию вектора ) 5 , 3 , 2 ( − − = S на ось, составляющую с координатными осями Ox , Oz углы ° = 45 α , ° = 60 γ , а с осью Oy - острый угол β 3.15. Сила, определяемая вектором ) 7 , 8 , 1 ( − − = R , разложена по трём взаимно перпендикулярным направлениям, одно из которых задано 21 вектором k j i a + + = 2 2 Найти составляющую силы R в направлении вектора a 3.16. Найти вектор x , зная, что он перпендикулярен к векторам ) 1 , 3 , 2 ( − = a и ( ) 3 , 2 , 1 − = b и удовлетворяет условию ( ) 10 ) 7 2 ( , = − + k j i x 3.17. На плоскости даны два вектора 1 e и 2 e , причём 4 | | 1 = e , 2 | | 2 = e , а угол между данными векторами 3 2 π ϕ = На плоскости также построен треугольник ABC , радиус-векторы вершины которого заданы векторами OA , OB и OC В базисе { } 2 1 ,e e эти векторы имеют компоненты ( ) 2 , 2 − = OA , ( ) 1 , 2 − − = OB и ( ) 0 , 1 − = OC Найти длины диагоналей и углы треугольника ABC 4. Векторноеисмешанноепроизведение Тройка некомпланарных векторов c b a , , , отложенных от общего начала в пространстве, называется правой, если при расположении точки наблюдения в конце вектора c вращение от конца вектора a к концу вектора b происходит против часовой стрелки (рис.7а), и левой в противном случае ( рис.7б). Рис.7. Правая (а) и левая (б) тройки базисных векторов По умолчанию все базисные тройки векторов в нашем курсе имеют правую ориентацию, для определения которой, очевидно, важен порядок следования базисных векторов. С помощью трёх некомпланарных векторов c b a , , можно построить параллелепипед, рёбра которого образуют три данных вектора. Число, равное объёму данного параллелепипеда со знаком «плюс» в случае совпадающей ориентации тройки c b a , , и тройки базисных векторов, называется смешанным произведением векторов c b a , , и 22 обозначается как ( ) c b a , , В случае, когда ориентация тройки c b a , , противоположна ориентации базисной тройки, смешанное произведение равно указанному объёму со знаком «минус». При перестановке двух соседних сомножителей смешанное произведение меняет знак, а при так называемой циклической перестановке оно не изменяется: ( ) ( ) ( ) a c b b a c c b a , , , , , , = = Смешанное произведение равно нулю, если данные три вектора являются компланарными. Если известны координаты векторов c b a , , в правом ортонормированном базисе { } 3 2 1 , , e e e , то смешанное произведение можно найти с помощью определителя третьего порядка: ( ) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , , c c c b b b a a a = c b a Смешанное произведение ( ) c b a , , можно представить как скалярное произведение двух векторов ( ) c d, , где вектор d называется векторным произведением векторов a и b , которое обозначается как [ ] b a, и обладает следующими свойствами (рис.8): 1) Вектор [ ] b a, направлен перпендикулярно плоскости векторов a и b , будучи ориентирован так, что тройка a , b и [ ] b a, является правой; 2) Модуль [ ] b a, равен площади параллелограмма, построенного на a и b , т.е. [ ] ϕ sin | || | , b a b a = , где ϕ есть угол между a и b Рис.8. Векторное произведение векторов Из этих свойств следует, что векторное произведение антикоммутативно, т.е. [ ] [ ] a b b a , , − = , и равно нулю для случая коллинеарных векторов. Смешанное произведение не изменяется при замене аргументов в векторном и скалярном произведении с сохранением порядка следования векторов, т.е. 23 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) c b a c b a c b a , , , , , , = = В правом ортонормированном базисе { } 3 2 1 , , e e e векторное произведение может быть найдено через определитель третьего порядка [ ] 3 2 1 3 2 1 3 2 1 , b b b a a a e e e b a = Аналогично векторному произведению может быть введено двойное векторное произведение трёх векторов c b a , , , обозначаемое как [ ] [ ] c b a , , Это выражение можно раскрыть в любом базисе, в результате чего получается более удобная его запись в виде [ ] [ ] ( ) ( ) b a c c a b c b a , , , , − = Пример 1. Доказать, что для любых векторов a и b выполняется тождество [ ] ( ) 2 2 2 2 | | | | , , b a b a b a = + Решение. Модуль векторного произведения равен ϕ sin | || | b a , где ϕ есть угол между векторами a и b , а скалярное произведение равно ϕ cos | || | b a Следовательно, в левой части стоит выражение ( ) ϕ ϕ ϕ ϕ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin | | | | cos | | | | sin | | | | + = + b a b a b a , что равно 2 2 | | | | b a , то есть правой части рассматриваемого тождества. Пример 2. Для некоторых трёх векторов c b a , , выполняется равенство [ ] [ ] [ ] 0 a c c b b a = + + , , , Показать, что вектора c b a , , являются компланарными. Решение. Применим часто используемый в подобных задачах приём, заключающийся в скалярном умножении обеих частей векторного равенства на какой-либо известный вектор, в данном случае, к примеру, на вектор a : [ ] [ ] [ ] 0 ) , ( ) , , ( ) , , ( ) , , ( = = + + 0 a a c a c b a b a a Первое и третье слагаемое в левой части равны, поскольку в них входят по два совпадающих вектора, дающие нулевой объём построенного на данных тройках параллелепипедов. Следовательно, мы получили равенство [ ] 0 ) , , ( ) , , ( = = c b a c b a , что говорит о компланарности векторов c b a , , 24 Пример 3. Какое множество x векторов удовлетворяет уравнению [ ] b a x = , , где a и b есть некоторые фиксированные векторы? Решение. Векторное произведение не изменится, если один из его сомножителей изменять так, чтобы площадь параллелограмма, построенного на векторах x и a , не изменялась, а сам вектор x всё время оставался в одной плоскости P , перпендикулярной b Если вектор a есть основание параллелограмма, то его высотой будет проекция вектора |