Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
 Скачать 2.34 Mb.
|
|
x на прямую, перпендикулярную a и лежащую в плоскости P Оставив эту проекцию неизменной, мы видим, что поставленным условиям удовлетворяют все вектора, лежащие в плоскости P на прямой, параллельной вектору a и отстоящей от него на расстоянии | | | | a b ( рис.9). Рис.9. Расположение прямой и искомого вектора в примере 3. Пример 4. Доказать тождество: [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d b c b d a c a d c b a , , , , , , , = Решение. Обозначим вектор [ ] d c, как f , тогда в левой части тождества будет стоять смешанное произведение трёх векторов [ ] ( ) ( ) f b a f b a , , , , = Используя инвариантность смешанного произведения относительно аргументов векторного и скалярного произведения внутри него, получим ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) f b a f b a f b a , , , , , , = = , в последнем равенстве подставим [ ] d c f , = и раскроем двойное векторное произведение: [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) ( ) { } ( ) ( )( ) ( )( ) c b d a d b c a c b d d b c a d c b a f b a , , , , ) , ( , , , , , , , , − = = − = = , что равно значению определителя в правой части тождества после его раскрытия. 25 Задачидлясамостоятельногорешения. 4.1. В декартовом базисе { } k j i , , вычислить векторные произведения [ ] j i, , [ ] k j, , [ ] i k, , [ ] i j, , [ ] j k, , [ ] k i, 4.2. Найти площадь треугольника ABC с вершинами ) 2 , 0 , 1 ( − A , ) 5 , 2 , 1 ( − B , ) 4 , 0 , 3 ( − C 4.3. Определить, какую ориентацию имеет тройка векторов c b a , , с компонентами в правом декартовом базисе ( ) 2 , 1 , 1 = a , ( ) 1 , 1 , 2 = b , ( ) 3 , 2 , 1 − = c 4.4. Найти объём тетраэдра ABCD , вершины которого в декартовом базисе имеют координаты ( ) 1 1 1 , , z y x A , ( ) 2 2 2 , , z y x B , ( ) 3 3 3 , , z y x C и ) , , ( 0 0 0 z y x D 4.5. Даны компоненты векторов сил ( ) 6 , 4 , 2 1 = F , ( ) 3 , 2 , 1 2 − = F и ( ) 7 , 1 , 1 3 − = F , приложенных в одной точке ( ) 8 , 4 , 3 − A Определить величину и направление момента результирующей этих сил относительно точки ( ) 6 , 2 , 4 − B 4.6. Даны произвольные векторы: c b a , , , x Доказать, что векторы ] , [ 1 x a F = , ] , [ 2 x b F = и ] , [ 3 x c F = 4.7. Даны вершины треугольника ( ) 2 ; 1 ; 1 − A , ( ) 2 ; 6 ; 5 − B и ( ) 1 ; 3 ; 1 − C Вычислить длину его высоты, опущенной из вершины B на сторону AC 4.8. Известны координаты вершин тетраэдра ABCD : ( ) 5 , 2 , 0 − A , ( ) 0 , 6 , 6 B , ( ) 6 , 3 , 3 − C и ) 3 , 1 , 2 ( − D Найти длину высоты этого тетраэдра, опущенную из вершины C 4.9. Даны вершины тетраэдра: ( ) 1 , 3 , 2 A , ( ) 2 , 1 , 4 − B , ( ) 7 , 3 , 6 C , ( ) 8 , 4 , 5 − − D Найти длину его высоты, опущенной из вершины D 4.10. Объём тетраэдра 5 = V , три его вершины находятся в точках ( ) 1 , 1 , 2 − A , ( ) 1 , 0 , 3 B , ( ) 3 , 1 , 2 − C Найти координаты четвёртой вершины D , если известно, что она лежит на оси Oy 4.11. Доказать, что четыре точки ( ) 1 , 2 , 1 − A , ( ) 5 ; 1 ; 0 B , ( ) 1 , 2 , 1 − C , ( ) 3 , 1 , 2 D лежат в одной плоскости. 26 4.12. Даны вершины треугольника ( ) 3 , 1 , 2 − − A , ( ) 4 , 2 , 1 − B и ( ) 2 , 1 , 3 − − C Вычислить координаты вектора x , коллинеарного с его высотой, опущенной из вершины A на противоположную сторону, при условии, что вектор x образует с осью Oy тупой угол и что его модуль равен 34 2 4.13. Три некомпланарных вектора c b a , , приведены к общему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы этих векторов, перпендикулярна к вектору [ ] [ ] [ ] a c c b b a , , , + + 4.14. Неизвестный вектор x удовлетворяет следующей системе уравнений, где некомпланарные векторы c b a , , и числа s q p , , считаются известными: Выразить вектор x через векторы c b a , , и числа s q p , , 4.15. Доказать векторные тождества: 1) ( ) 2 2 2 2 ] , [ ] ], , [[ , , c b a c b a c b a ⋅ = + ; 2) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) c b a d d b a c d c b a , , , , , , , ⋅ − ⋅ = ; 3) [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 2 , , , , , , , c b a a c c b b a = ; 4) [ [ ] ] [ [ ] ] [ [ ] ] 0 , , , , , , = + + b a c a c b c b a ; 3) [ [ [ ]] ] [ ] ( ) [ ] ( ) c b d a d b c a d c b a , , , , , , , ⋅ − ⋅ = ; 4) [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) ( ) 2 2 2 2 2 , , , , , , , c b a a c a b a c a b a ⋅ = − ⋅ ( ) ( ) ( ) = = = , , , s q p c x b x a x 27 Глава 3 Прямыелиниииплоскости 5. Прямаялиниянаплоскости Прямая линия L на плоскости в декартовой системе координат ) , ( y x задаётся в общем виде уравнением первой степени 0 = + + C By Ax , где коэффициенты A и B не равны нулю одновременно. Уравнение общего вида путём элементарных преобразований может быть представлено как уравнение прямой с угловым коэффициентом b kx y + = или как уравнение прямой в отрезках 1 = + b y a x , где a и b есть алгебраические, т.е. с учётом знака, длины отрезков, отсекаемых данной прямой на координатных осях (Рис.10а). С использованием аппарата векторной алгебры уравнение прямой на плоскости может быть записано в параметрическом виде t a r r + = 0 , где ) , ( y x = r описывает радиус-вектор точки на прямой, ) , ( 0 0 0 y x = r есть двумерный вектор, задающий начальную точку на прямой, ) , ( y x a a = a есть направляющий вектор прямой, а параметр t пробегает всю числовую ось ( Рис.10б). Рис.10. Расположение элементов на плоскости при записи уравнения прямой (а) в отрезках и (б) в векторном виде с направляющим вектором Исключая параметр t из уравнения прямой, его можно записать в каноническом виде y x a y y a x x 0 0 − = − 28 Если известны координаты двух точек ) , ( 1 1 1 y x = r и ) , ( 2 2 2 y x = r , через которые проходит прямая, то её направляющий вектор можно задать в виде 1 2 r r a − = , что позволяет записать уравнение прямой, проходящей через две данные точки, в виде 1 2 1 1 2 1 y y y y x x x x − − = − − Кроме того, при использовании нормального вектора n к данной прямой её уравнение в векторном виде может быть записано как ( ) 0 ), ( 0 = − n r r , называемом уравнением прямой в нормальном виде. Поскольку ( ) D = n r , 0 есть постоянное число, уравнение прямой в нормальном виде также записывают как ( ) D = n r, Угол ϕ между двумя прямыми, заданными уравнениями с угловым коэффициентом 1 1 1 b x k y + = и 2 2 2 b x k y + = , может быть найден из выражения ) 1 ( ) ( tan 2 1 1 2 k k k k + − = ϕ Сравнивая уравнения прямых с угловым коэффициентом и уравнения тех же прямых в общем виде, в последнем случае угол между прямыми находим в виде ) ( ) ( tan 2 1 2 1 1 2 2 1 B B A A B A B A + − = ϕ Отсюда следует, что условием параллельности двух прямых, эквивалентное обращению в нуль числителя последнего выражения, является пропорциональность коэффициентов: 2 1 2 1 B B A A = , а условие перпендикулярности прямых вытекает из обращения в нуль знаменателя и имеет вид 0 2 1 2 1 = + B B A A Если зафиксировать точку прямой ) , ( 0 0 y x , то в уравнении прямой с угловым коэффициентом ) ( 0 0 x x k y y − = − можно изменять параметр k , определяющий тангенс наклона прямой к оси абсцисс. В этом случае говорят о пучке прямых, проходящих через центр пучка ) , ( 0 0 y x Если даны две пересекающиеся прямые с уравнениями с 0 2 , 1 2 , 1 2 , 1 = + + C y B x A , то пучок прямых, проходящих через точку их пересечения, может быть задан с помощью двух параметров α и β как 0 ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 = + + + + + C y B x A C y B x A β α Расстояние от точки ) , ( 1 1 y x M до прямой L , заданной уравнением общего вида 0 = + + C By Ax , определяется по формуле 29 2 2 1 1 B A C By Ax d ML + + + = , являющейся координатной записью результата вычисления этого расстояния в векторном виде ( ) n n r r , 0 1 − = ML d , где прямая L задана в виде ( ) 0 ), ( 0 = − n r r , а 1 r есть радиус-вектор точки M ( рис.11). Рис.11. Нахождение расстояния от точки до прямой линии. Пример 1. На плоскости даны точки ) 0 , 6 ( − L и ) 8 , 0 ( N Записать уравнение прямой, проходящей через середину отрезка LN и отсекающей на оси Ox втрое больший отрезок, чем на оси Oy Решение. В уравнении прямой в отрезках 1 = + b y a x требуется определить два параметра a и b По условию задачи b a 3 = , кроме того, уравнению удовлетворяют координаты точки ) 4 , 3 ( − M , являющейся серединой отрезка LN Следовательно, мы имеем уравнение 1 4 3 3 = + − b b на параметр b , откуда находим 3 = b и 9 = a Уравнение искомой прямой имеет вид 1 3 9 = + y x , или 0 9 3 = − + y x Пример 2. При каком необходимом и достаточном условии прямые 1 L и 2 L , заданные на плоскости векторными уравнениями t 1 1 a r r + = и t 2 2 a r r + = а) пересекаются в единственной точке; б) параллельны, но не совпадают; в) совпадают. 30 Решение. Для первого случая необходимым и достаточным является неколлинеарность направляющих векторов прямых 1 a и 2 a , тогда на плоскости прямые пересекутся в одной точке (рис.12а). Для второго случая, следует потребовать коллинеарности направляющих векторов, при этом единственным условием, обуславливающим несовпадение прямых, является неколлинеарность вектора 2 1 r r − и направляющего вектора a a a = = 2 1 ( рис.12б). Наконец, для полного совпадения прямых необходимо и достаточно достижение коллинеарности их направляющих векторов и коллинеарность вектора 2 1 r r − с направляющим вектором a a a = = 2 1 ( рис.12в). Рис.12. Различные случаи взаимного расположения прямых в примере 2. Пример 3. На плоскости даны координаты вершин треугольника PQR : ) 5 , 0 ( P ; ) 1 , 3 ( − Q ; ) 2 , 1 ( − R Найти длину высоты треугольника, опущенной из вершины R Решение. Искомая длина есть расстояние от точки ) 2 , 1 ( − R до прямой L , проходящей через точки ) 5 , 0 ( P и ) 1 , 3 ( − Q , и описываемой уравнением 5 1 5 0 3 0 − − = − − − y x , или 0 15 3 4 = + − y x Используя упомянутую выше формулу для расстояния от точки до прямой, находим 5 ) 3 ( 4 15 ) 2 ( 3 1 4 2 2 = − + + − ⋅ − ⋅ = RL d , т.е. длина высоты 5 = h Пример 4. Найти расстояние ML d от точки M с радиус-вектором 0 r до прямой L , заданной в нормальной форме уравнением ( ) D = n r, Решение. Опустим из точки M перпендикуляр на прямую L , пересекающий её в точке 1 M Очевидно, требуется найти длину перпендикуляра |