Д. В. Хомицкий А. В. Тележников
 Скачать 2.34 Mb.
|
|
r M до прямой ( ) 0 ), ( 1 = − n r r , находим ( ) ( ) ( ) ( ) n n r n n r n r n n r r D d ML − = − = − = , , , , 0 1 0 1 0 , что и является ответом к поставленной задаче. Задачидлясамостоятельногорешения 5.1. Прямая задана уравнением 0 12 4 3 = − − y x Где располагаются точки плоскости, для которых 0 12 4 3 > − − y x и 0 12 4 3 < − − y x ? 5.2. При каких значениях постоянной C прямая линия, заданная уравнением 0 3 2 = + + C y x , отсекает на оси Oy отрезки 4 1 = b и 6 2 − = b ? 5.3. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями 0 5 8 6 = + + y x и 0 3 4 2 = − − y x 5.4. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями t 1 1 a r r + = и t 2 2 a r r + = 5.5. Найти угол между прямыми, заданными уравнениями ( ) 1 1 , D = n r и ( ) 2 2 , D = n r 5.6. Найти проекцию точки ( ) 4 , 6 − P на прямую 0 3 5 4 = + − y x 5.7. Вычислить площадь треугольника, заключённого между осями координат и прямой 0 14 7 2 = − + y x 5.8. Вычислить площадь треугольника, стороны которого лежат на прямых 1 L , 2 L и 3 L , заданных следующими уравнениями: 0 11 3 : 1 = + − y x L ; 0 13 2 5 : 2 = − + y x L ; 0 3 7 9 : 3 = − + y x L 5.9. Записать уравнение прямой, проходящей через точку ) 2 , 1 ( − M и а) параллельной прямой : L 0 3 7 4 = − + y x ; б) перпендикулярной этой прямой. 32 5.10. Прямая 1 L задана уравнением ( ) D = n r, , а прямая 2 L задана уравнением t a r r + = 0 , причём ( ) 0 , ≠ a n Найти радиус-вектор точки пересечения прямых 1 L и 2 L 5.11. Найти радиус-вектор n r проекции точки M с радиус-вектором 0 r на прямую L , заданную уравнением ( ) D = n r, 5.12. Определить длину перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую 0 3 = + − y x 5.13. Даны вершины треугольника ( ) 1 , 1 − A , ( ) 1 , 2 − B и ( ) 5 , 3 C Составить уравнение перпендикуляра, опущенного из вершины А на медиану, проведённую из вершины В. 5.14. Составить уравнение прямой, проходящей через точку ( ) 5 , 3 P на одинаковых расстояниях от точек ( ) 3 , 7 − A и ( ) 15 , 11 − B 5.15. Луч света направлен по прямой 0 5 2 = + − y x Дойдя до прямой 0 7 2 3 = + − y x , луч от неё отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отражённый луч. 5.16. Определить, при каком значении параметра a прямая, заданная уравнением ( ) ( ) 0 5 8 3 9 2 2 2 = + − + − + + a a y a x a , будет: а) параллельна оси абсцисс; б) параллельна оси ординат; в) проходит через начало координат. В каждом случае написать уравнение прямой. 5.17. Определить, при каких значениях параметров m и n две прямые, заданные уравнениями 0 8 = + + n y mx и 0 1 2 = − + my x а) параллельны; б) совпадают; в) перпендикулярны. 5.18. Через точку ( ) 3 , 4 M проведена прямая, отсекающая от координатного угла треугольник, площадь которого равна 3 кв. ед. Определить точки пересечения этой прямой с осями координат. 5.19. Даны уравнения двух сторон прямоугольника 0 5 2 3 = − − y x , 0 7 3 2 = + + y x и одна из его вершин ) 1 , 2 ( − A Вычислить площадь этого прямоугольника. 5.20. Даны три параллельные прямые: 0 3 15 10 = − + y x , 0 5 3 2 = + + y x , 0 9 3 2 = − + y x Установить, что первая из них лежит между двумя другими, и вычислить отношение, в котором она делит расстояние между ними. 33 5.21. Определить, лежат ли точки ) 3 , 2 ( M и ) 1 , 5 ( − N в одном, смежных или вертикальных углах, образованных при пересечении двух прямых: а) 0 5 3 = − − y x , 0 2 9 2 = − + y x ; б) 0 5 7 2 = − + y x , 0 7 3 = + + y x ; в) 0 1 12 = − + y x , 0 5 2 13 = − + y x 5.22. Составить уравнение биссектрисы угла между прямыми 0 5 3 2 = − − y x , 0 7 4 6 = + − y x , смежного с углом, содержащим точку ) 1 , 2 ( − C 5.23. Записать уравнение пучка прямых, проходящих через точку ) 5 , 4 ( − M Среди прямых из этого пучка выбрать прямую, а) параллельную прямой 0 6 3 2 : = + − y x L ; б) перпендикулярную прямой L 5.24. Записать уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 1 L и 2 L параллельно прямой 3 L , если входящие в условие задачи прямые заданы следующими уравнениями: 0 10 5 : 1 = + − y x L ; 0 9 4 8 : 2 = + + y x L ; 0 3 : 3 = + y x L 5.25. Записать уравнение биссектрис углов, образованных двумя пересекающимися прямыми 0 1 1 1 = + + C y B x A и 0 2 2 2 = + + C y B x A 5.26. Дано уравнение пучка прямых ( ) ( ) 0 25 2 3 4 5 2 = + − + + + y x y x β α Найти прямую этого пучка, отсекающую на координатных осях отличные от нуля отрезки равной величины (считая от начала координат). 5.27. Составить уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых 0 5 3 = − + y x , 0 10 2 = + − y x и отстоящей от точки ( ) 2 , 1 − − C на расстоянии 5 = d Решить задачу, не вычисляя координат точки пересечения данных прямых. 5.28. Найти расстояние между параллельными прямыми 0 1 = + + C By Ax и 0 2 = + + C By Ax 5.29. Найти расстояние от точки M с радиус-вектором 0 r до прямой L , заданной уравнением t a r r + = 1 5.30. Дано уравнение пучка прямых ( ) ( ) 0 8 5 4 1 2 3 = + − + − − y x y x β α Найти прямую из этого пучка, проходящую через середину отрезка прямой 0 4 2 = + + y x , заключённого между прямыми 0 5 3 2 = + + y x и 0 1 7 = − + y x 34 6. Плоскостьвпространстве В декартовой системе координат ( ) xyz плоскость в пространстве задаётся уравнением первой степени вида 0 = + + + D Cz By Ax Аналогично уравнению прямой на плоскости, плоскость в пространстве также может быть описана в терминах алгебраических величин отрезков ( ) c b a , , , отсекаемых ею на осях координат, что описывается уравнением 1 = + + c z b y a x Любая плоскость однозначно определяется вектором нормали к плоскости ( ) C B A , , = n и какой-либо точкой ) , , ( 0 0 0 0 z y x r , через которую данная плоскость проходит. В этом случае уравнение плоскости может быть записано в координатной форме как 0 ) ( ) ( ) ( 0 0 0 = − + − + − z z C y y B x x A , или в эквивалентной ей векторной форме ( ) 0 ), ( 0 = − n r r ( рис.13). Обращаем внимание на то, что это уравнение имеет точно такой же вид, как и уравнение прямой на плоскости. В параметрическом виде плоскость как двумерное множество требует введения двух независимых параметров u и v , которые вместе с введенным базисом на плоскости { } b a, позволяют записать параметрическое уравнение плоскости в виде v u b a r r + + = 0 Нормальный вектор очевидным образом выражается через базисные вектора плоскости по формуле [ ] b a n , = Данное обстоятельство позволяет также записать уравнение плоскости при помощи смешанного произведения как ( ) 0 , ), ( 0 = − b a r r , выражающее компланарность любого вектора в плоскости, взятого относительно некоторой начальной точки, и базисных векторов данной плоскости (рис.13). Рис.13. Расположение элементов при выводе векторного уравнения плоскости в нормальной форме. 35 По уже отмеченной аналогии с уравнением прямой на плоскости расстояние MP d от точки M в пространстве до плоскости P , заданной уравнением ( ) 0 ), ( 0 = − n r r ( рис.13), даётся формулой ( ) n n r r , 0 1 − = MP d , которая в координатной форме отличается от случая прямой на плоскости лишь наличием третьей координаты и имеет вид 2 2 2 1 1 1 C B A D Cz By Ax d MP + + + + + = Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки ) , ( 1 , 1 1 1 z y x M , ) , ( 2 , 2 2 2 z y x M и ) , ( 3 , 3 3 3 z y x M Решение. Пусть некоторая текущая точка плоскости M имеет координаты ) , , ( z y x Тогда уравнение плоскости может быть записано в виде ( ) 0 , ), ( 0 = − b a r r , где ) , , ( z y x = r , ) , , ( 1 1 1 0 z y x = r , а базисные векторы на рис.13 равны соответственно 2 1 M M = a и 3 1 M M = b Записывая смешанное произведение в виде определителя, получаем искомое уравнение плоскости: 0 1 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 = − − − − − − − − − z z y y x x z z y y x x z z y y x x Пример 2. Точка ) , , ( 0 0 0 z y x M лежит в плоскости P , заданной уравнением 0 = + + + D Cz By Ax , а вектор 1 MM имеет компоненты ) , , ( C B A Доказать, что его конец ) , , ( 1 1 1 1 z y x M на рис.14 лежит в положительном относительно плоскости P полупространстве, т.е. 0 1 1 1 > + + + D Cz By Ax Рис .14. Расположение точек и соединяющего их вектора в примере 2. 36 Решение. Поскольку по определению компонент вектора имеем A x x = − 0 1 , B y y = − 0 1 и C z z = − 0 1 , а точка M лежит в плоскости и поэтому 0 0 0 0 = + + + D Cz By Ax , непосредственным вычислением убеждаемся, что 0 0 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1 1 > + + + = + + + + + + = + + + + + + = + + + C B A C B A D Cz By Ax D C z C B y B A x A D Cz By Ax , что и требовалось доказать. Пример 3. Известны координаты вершин тетраэдра ABCD : ) 3 , 1 , 2 ( − A , ) 5 , 3 , 1 ( − B , ) 5 , 2 , 6 ( C и ) 5 , 2 , 3 ( − − D Найти длину высоты, опущенной из вершины D на грань ABC Решение. Искомую длину можно найти как расстояние от точки D до плоскости P , проходящей через три данные точки C B A , , Запишем уравнение плоскости P с помощью определителя, используя результат примера 1: 0 3 5 1 2 2 6 3 5 1 3 2 1 3 1 2 = − + − − + − − − + − z y x , откуда уравнение плоскости P есть 0 3 2 2 = − − − z y x Используя формулу для расстояния от точки до плоскости, получаем искомую длину 4 ) 1 ( ) 2 ( 2 3 ) 5 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 2 ( 3 2 2 2 2 = − + − + − − ⋅ − + − ⋅ − + ⋅ = DP d Задачидлясамостоятельногорешения. 6.1. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку ) 5 , 3 , 4 ( − M и отсекающей на всех координатных осях равные отрезки. 6.2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ) 6 , 2 , 1 ( 1 − M , ) 2 , 4 , 5 ( 2 − − M , и отсекающей равные отрезки на осях Ox и Oy 6.3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки ) , ( 1 , 1 1 1 z y x M и ) , ( 2 , 2 2 2 z y x M параллельно вектору ( ) 3 2 1 , , a a a a , причём векторы a и 2 1 M M неколлинеарны. 37 6.4. С помощью операций векторной алгебры записать уравнение плоскости v u b a r r + + = 0 в виде ( ) D = n r, 6.5. Составить уравнение плоскости, проходящей через три данные точки C B A , , , если эти точки определяют плоскость: а) ) 2 , 1 , 1 ( A , ) 3 , 3 , 2 ( B , ) 0 , 3 , 1 ( − − C ; б) ) 3 , 1 , 2 ( A , ) 5 , 2 , 1 ( − B , ) 1 , 0 , 3 ( C 6.6. Зная параметрические уравнения плоскости + − − = + + = − + = v u z v u y v u x 2 1 2 2 1 , записать её уравнение в виде 0 = + + + D Cz By Ax 6.7. Зная общее уравнение плоскости 0 1 3 2 = + + − z y x , записать её уравнение в параметрической форме v u |