Курсовая работа - Анализ и синтез САР. Динамический синтез систем автоматического управления
 Скачать 351.24 Kb.
|
Анализ скорректированной системы в частотной области1.4.1 Рассчитаем и построим ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной разомкнутой системы Используем передаточную функцию разомкнутой системы (1.10) Для получения частотной передаточной функции заменим S на jw и преобразуем Вещественная и мнимая части соответственно: (1.11) ; (1.12) Тогда . ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы представлены ниже. ЛАЧХ скорректированной системы сместилась вправо, следовательно, необходимые требования по точности выполняются, запасы устойчивости увеличились по сравнению с системой с пропорциональным регулятором. –– ЛАЧХ и ЛФЧХ скорректированной системы - - ЛАЧХ и ЛФЧХ системы с пропорциональным регулятором Рисунок 1.15 ЛАЧХ и ЛФЧХ систем Построим график АФЧХ по имеющимся формулам (1.11) и (1.12) и сравним его с графиком системы с пропорциональным регулятором. Он представляет собой годограф Найквиста, поэтому сделаем ниже дополнительно выводы об устойчивости системы. Составим таблицу, изменяя w от 0 до ∞: Таблица 1.3
–– годограф скорректированной системы - - годограф системы с пропорциональным регулятором Рисунок 1.16 – Годограф Найквиста Характеристическое уравнение имеет вид: Все корни характеристического уравнения, кроме одного нулевого, левые, следовательно, разомкнутая система на границе устойчивости. Для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф Найквиста, дополненный на участке разрыва дугой бесконечно большого радиуса, не охватывал особу точку (-1; j0). Данное условие выполняется, значит, замкнутая система устойчива. Построим годограф Михайлова для системы. Передаточная функция замкнутой системы: (1.13) Функция Михайлова имеет вид: (1.14) Выполним замену S на jw и выделим вещественную и мнимую части соответственно. . ; Найдем значения X(w) и Y(w), изменяя при этом w от 0 до ∞: Таблица 1.4
–– скорректированной системы - - системы с пропорциональным регулятором Рисунок 1.17 годограф Михайлова для замкнутой системы Годограф Михайлова начинается на вещественной положительной оси и при изменении частоты w от 0 до + последовательно проходит 5 квадрантов против часовой стрелки, нигде не обращаясь в ноль. Это свидетельствует об устойчивости замкнутой системы. 1.4.2 АЧХ “вход- выход системы”, “вход- выход ДОС”, “вход- выход УМ”Рассчитаем и построим для замкнутой системы АЧХ “вход- выход системы”. Для этого воспользуемся передаточной функцией замкнутой системы (1.13). Заменим sнаjw и преобразуем данное выражение: Выделим вещественную и мнимую части соответственно: Находим (1.15) График АЧХ “вход- выход системы” представлен ниже. Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход ДОС”. Запишем передаточную функцию замкнутой системы по выходу ДОС, которая имеет вид: Преобразуем данное выражение: Вещественная и мнимая части соответственно: (1.16) Получим модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу ДОС: (1.17) ––– АЧХ «вход- выход ДОС», - - - АЧХ «вход- выход системы». Рисунок 1.18 АЧХ Рассчитаем и построим АЧХ “вход- выход УМ ”. Передаточная функция замкнутой системы по выходу УМ имеет вид: (1.18) Вещественная и мнимая части соответственно: Модуль передаточной функции замкнутой системы по выходу УМ: Рисунок 1.19 АЧХ вход-выход УМ 1.4.3 Частота среза разомкнутой системы, запасы устойчивости, критический коэффициент усиления, показатель колебательностиЧастота среза и запасы устойчивости разомкнутой системы определяются по ЛАЧХ и ЛФЧХ. Определим их из рисунка 1.15 ЛАЧХ пересекает ось в точке lg(w)=1.614 дек. Тогда wср=41.072 с-1 ЛФЧХ пересекает уровень -180 при lg(w)=2.438 дек. Тогда wкр=274.35 с-1 Запас устойчивости по амплитуде найдем по годографу Найквиста: Где hзап- расстояние до точки пересечения годографа Найквиста с действительной осью. (рис. 1.16) дБ Запас устойчивости по фазе определим по рисунку 1.15: φзап=φ(wcp)+1800 φзап=54,7330 Критический коэффициент найдем с использованием критерия Гурвица: Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид: (3.1) Тогда оставим переменным параметр: K. Получим следующие коэффициенты: Для нахождения системы на границе устойчивости должны выполняться следующие условия: одинаковость знака всех коэффициентов для системы 5 порядка определитель 4=0 Решая уравнение в пакете MathCad получим следующие результаты: Показатель колебательности определим по формуле: , и N(0) находим по АЧХ замкнутой системы по выходу ДОС N(0)=1 Nmax=1.239, Следовательно. Сравним результаты с результатами, полученными в пункте 1.2.3 Таблица 1.5 – Сравнительная характеристика полученных результатов
1.4.4 Оценки прямых показателей качестваОценим σ и tp по вещественной частотной характеристике системы. Построим вещественную частотную характеристику (ВЧХ) “вход – выход ДОС”. Для этого используем выражение (1.16). Рисунок 1.20 ВЧХ вход – выход ДОС Склонность системы к колебаниям тем больше, чем выше пик у вещественной характеристики. Оценим σ по формуле: , где максимальное значение ВЧХ; минимальное значение ВЧХ; P(0)- значение ВЧХ при w=0. Подставляем значения и находим: . tp оценим по формуле: С помощью трассировки определили wn= 65,5 c-1. Следовательно tp>0.048c-1. ЛЧХ “вход- выход ДОС” Для построения найдем L(w), используя выражение (1.15): ЛФЧХ “вход- выход ДОС” построим по формуле Подставляя ранее полученные выражения Q(w) и P(w) (1.16), получим Рисунок 1.21 ЛАЧХ и ЛФЧХ вход- выход ДОС Найдем нули и полюса замкнутой системы “вход- выход ДОС” и изобразим их на комплексной плоскости. Корни полинома числителя называют нулями передаточной функции, а корни полинома знаменателя – полюсами. Найдем их с помощью пакета MathCad [приложение 1]. Таблица 1.6– Нули и полюса замкнутой системы «вход- выход ДОС»
Рисунок 1.22 Нули и полюса на комплексной плоскости Вычислим корневые оценки прямых показателей качества [1.§ 8.6]. Степень устойчивости η – это расстояние от мнимой оси до наиболее близко расположенного к ней полюса. Ближайшим к мнимой оси является вещественный полюс, значит η – апериодическая степень устойчивости. . Ближайшие к мнимой оси полюса называются доминирующими. Доминирующие полюса дают составляющей переходного процесса затухание наиболее медленно. Поэтому по η можно получить оценку времени регулирования: Колебательность , где β– мнимая часть, α– вещественная часть доминирующих комплексно-сопряженных полюсов. Доминирующие комплексно-сопряженные полюса: -26.175±j25,657. Удаленные от начала координат полюса увеличивают перерегулирование Получаем Определим влияние нулей на оценки прямых показателей качества. Близко расположенные нуль и полюс взаимно компенсируются. Скомпенсированный нулем полюс не участвует в оценке прямых показателей качества. , где λi– вещественная часть полюса; nj- вещественная часть нуля. В данной работе близко расположенные нули и полюса отсутствуют. Оценка точности системыТочность СУ оценивается в статическом режиме – в режиме, соответствующем окончанию переходного процесса (t→). Анализ точности начинается с передаточной функции замкнутой системы по ошибке ФЕ(s). [1, § 8.3] Эту передаточную функцию разлагаем в ряд: Где сi – коэффициенты ошибки. Найдем выражения для вычисления первых двух коэффициентов ошибки и занесем в табличку. Таблица 1.7
Рассчитаем установившуюся ошибку системы для заданных в ТЗ сигналов. Тогда для входного сигнала получаем установившуюся ошибку: Для входного сигнала с постоянной скоростью, где А=6В/с, установившаяся ошибка: В Установившуюся ошибку для гармонического сигнала вида рассчитаем по следующей формуле: , (1.19) где - заданная частота, -модуль частотной передаточной функции по ошибке, А0=1В- амплитуда входного сигнала, - аргумент частотной передаточной функции по ошибке. . Поскольку частота выходного сигнала (ошибки) совпадает с частотой входного сигнала, найдем NEи φE на частоте . Определим частоту гармонического входного сигнала , для которой амплитуда установившихся колебаний на выходе усилителя мощности равна 110В при амплитуде входного сигнала 1В. определим по графику АЧХ “вход-выход УМ” (Рис. 1.19). Получаем, что w0=11,215. НайдемNE частотной передаточной функции по ошибке. Выделим вещественные и мнимые части: Модуль частотной передаточной функции по ошибке: N(w0)=0.1 Определим аргумент частотной передаточной функции по ошибке: ; . Подставляя найденные значения в формулу (1.19) получим установившуюся ошибку при гармоническом входном сигнале: | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||