Навигация и лоция СПГУВК-2004. Дмитриев В. И., Григорян в л., Катенин В. А
 Скачать 24.68 Mb.
|
|
Форма 3.2 o V % л ∆ … … Решая выражение (3.9) относительно , получим формулу для практических расчетов пройденного судном расстояния с ис- пользованием относительного лага: o S o 100 л S рол рол ∆ = + , o 1 100 л S рол ∆ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (3.11) В формуле (3.11), обозначив л 1 100 л k ∆ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ — коэффициент лага, получим o л S ролk = (3.12) Таким образом, коэффициентом лага называется число, на которое надо умножить разность отсчетов лага ( рол),длятого чтобы получить пройденное судном относительное расстояние. В МТ —2000 для определения пройденного судном расстоя- ния помещена табл. 2.17, рассчитанная по формуле (3.11). Раздел 2 КАРТОГРАФИЯ Глава4 ОСНОВЫ ТЕОРИИ КАРТОГРАФИЧЕСКИХ ПРОЕКЦИЙ 4.1 Картографическая проекция Картографией называется область науки, техники и произ- водства, изучающая создание и использование картографических произведений. Картография подразделяется на математическую кар- тографию, картометрию, картоведение, проектирование и составле- ние карт, оформление и издание карт. Математическая картография разрабатывает вопросы мате- матического обоснования карт и является первой ступенью в процес- се создания карты. Картографируемая поверхность Земли имеет сложную кон- фигурацию и неправильную геометрическую форму, а поэтому не может быть описана математическими формулами. Для отображения ее на плоскости необходимо от физической поверхности Земли пе- рейти к ее математической модели. Такая математическая модель будет весьма близка к физической поверхности, однако уже выраже- на математическими формулами. При картографировании за модель Земли принимают шар или эллипсоид вращения, малая ось которого совпадает с осью вращения Земли. Эти фигуры нельзя развернуть на плоскости, поэтому при создании карт используют различные способы проектирования. При этом основная задача математической картографии состоит в том, чтобы спроектировать на плоскость систему географических коор- динат − сетку параллелей и меридианов. Картографической проекцией называется математически вы- раженный закон, связывающий географические координаты некото- 50 Раздел 2. Картография рой точки на поверхности криволинейной модели Земли с прямо- угольными координатами этой же точки на плоскости. Общие уравнения картографических проекций имеют вид: ( ) ( ) 1 2 , , , , x f y f = ϕ λ = ϕ λ где ϕ и λ — криволинейные географические координаты некоторой точки на картографируемой поверхности; х и у — прямоугольные координаты изображения этой же точки на плоскости в проекции, определяемой функциями f 1 и f 2 Свойства проекции будут зависеть от свойств и характера функций f 1 и f 2 . Поскольку этих функций может быть множество, то и получаемые проекции тоже могут быть разнообразными. Изображение семейства линий меридианов и параллелей на плоскости называется картографической сеткой. Каждой проекции соответствует определенная картографиче- ская сетка, которая и составляет математическую основу создавае- мых карт. 4.2 Масштаб Карта должна быть не только плоским, но и уменьшенным до необходимых размеров изображением поверхности. Поэтому, прежде чем проектировать на плоскость, картографируемую поверхность уменьшают. Математическая модель Земли в заданном масштабе, называется условным глобусом. Каждая карта имеет главный масштаб, который показывает общую степень уменьшения всей картографируемой поверхности при изображении на плоскости (карте): o o o , ds dS µ = где — главный масштаб карты; — бесконечно малый отрезок o µ o ds на поверхности условного глобуса; — соответствующий ему o dS бесконечно малый отрезок на картографируемой поверхности. После проектирования — развертки условного глобуса на плоскость - главный масштаб сохраняет свое численное значение Глава 4. Основы теории картографических проекций 51 лишь в определенных точках или вдоль некоторых линий на карте. Точка карты (линия), в которой масштаб изображения равен главному масштабу, называется центральной точкой (центральной линией) проекции. В других точках карты масштаб изображения бу- дет отличаться от главного. Поэтому, кроме главного масштаба o µ , различают еще и частный масштаб o , ds dS µ = где — частный масштаб карты; — бесконечно малый отрезок µ ds на карте; — соответствующий ему бесконечно малый отрезок на o dS картографируемой поверхности. Если главный масштаб характеризует общее уменьшение изображения, то частный масштаб характеризует степень уменьше- ния изображения только в данной точке карты. Отношение частного масштаба в данной точке по данному направлению к главному масштабу называется увеличением мас- штаба и характеризует степень искажения проекции или масштаб карты по отношению к условному глобусу: o o ds C dS µ = = µ Увеличение масштаба изменяется при переходе от одной точки карты к другой, а также по разным направлениям, проложен- ным из одной и той же точки. Это приводит к искажению длин, на- правлений, углов и площадей на проекции. Чем ближе увеличение масштаба к единице во всех точках карты, тем, следовательно, лучше и совершеннее выбранная для дан- ной карты проекция. Разность между увеличением масштаба С и единицей назы- вается относительным искажением длин или просто искажением длин: ( ) o o o 1 1 V C µ − µ µ = − = − = µ µ Если известны главный масштаб карты и ее частный масштаб в данной точке, то искажение длин может быть подсчитано сравни- тельно просто. Например, если главный масштаб o µ = 1 : 500000, а 52 Раздел 2. Картография частный масштаб µ = 1 : 434 780, то увеличение масштаба С = 1,15, а искажение длин V = 0,15 = +15%. Пусть на карте отрезок равен 50 мм, что при главном мас- штабе 1 : 500000 соответствует расстоянию в 25000 м. Следователь- но, действительное расстояние на местности, соответствующее дан- ному отрезку карты, будет равно 25000 : 1,15 = 21739 м. На картах показывают только главный масштаб, который может быть выражен в двух видах — числовом и линейном. Числовой масштаб изображается в виде дроби, числитель ко- торой единица, а знаменатель показывает, какова степень уменьше- ния длин на условном глобусе. Например; М = 1/10000 или М = 1/750000. Возможна и такая форма записи масштаба: М = 1 : 100000 или М = 0,000001. При графической работе на карте чаще используют линейный масштаб, показывающий число единиц, принятых для измерения длин на местности (км, мили), которое содержится в единице, приня- той для измерения длин на карте (мм, см). Линейный масштаб на специально вычерченной шкале показывает число километров, со- держащихся в одном миллиметре или число миль в одном сантимет- ре. Иногда вместо построения шкалы ограничиваются указанием: в 1 см — 1 кбт или в 1 см — 2 мили. На морских навигационных картах в проекции Меркатора линейный масштаб строят вдоль боковых рамок карты. На топогра- фических и географических картах линейный масштаб вычерчивают под нижней рамкой карты в виде короткой шкалы. С уменьшением масштаба карты изображения небольших объектов становятся настолько малыми, что нанесение их на карту становится невозможным. Практикой установлено, что разрешающая способность невооруженного глаза человека равна 0,1 мм. Поэтому две точки, находящиеся на расстоянии менее 0,1 мм одна от другой, усматриваются как одна. В соответствии с этим свойством зрения человека принято линейное расстояние на местности, соответствую- щее на карте отрезку в 0,1 мм, называть предельной точностью масштаба (ПТМ). Кроме того, при составлении карты неизбежны некоторые неточности за счет погрешностей проектирования, вычер- чивания контуров и погрешностей за деформацию бумаги. Поэтому при работе на карте условились считать, что предельная точность Глава 4. Основы теории картографических проекций 53 масштаба — это расстояние на местности, соответствующее отрезку на карте, равному 0,2 мм. Предельная точность масштаба зависит от масштаба карты, выражается в метрах и рассчитывается следующим образом: ПТМ = 0,0002 С, где С — знаменатель главного масштаба карты. Например, для карты масштаба 1 : 500000 ПТМ = 0,0002 × × 500000 = 100м. По сути, предельная точность масштаба равна тому мини- мальному расстоянию на местности, которое может быть изображено на карте. Масштаб и предельная точность масштаба карты характери- зуют разрешающую способность данной карты, а также определяют допустимую погрешность, с которой на этой карте могут выполнять- ся графические построения. 4.3 Характеристика искажений проекции Величины искажений являются одним из основных критери- ев оценки достоинства карты. При картографировании искажения неизбежны, однако они подчиняются некоторым закономерностям и поэтому поддаются учету при работе на карте. Полную и наглядную характеристику искажений любой проекции в любой ее точке дает эллипс искажений (индикатриса). Эллипс искажений подобен изо- бражению на карте бесконечно малой окружности на поверхности Земли с центром в этой точке. На земной поверхности (рис. 4.1) по- казана окружность бесконечно малого радиуса r 0 с центром в точке М 0 . Отрезки меридиана и параллели точки М 0 , ограниченные этой бесконечно малой окружностью, спроектированы на плоскость. В общем случае вследствие бесконечно малой их величины эти отрезки изобразятся прямыми линиями, но пересечение их на карте в точке М обычно уже не образует прямого угла. Если на зем- ной поверхности точка окружности Р 0 имеет прямоугольные коорди- наты x 0 и у 0 , то проекция этой точки Р на плоскости проекции (карте) имеет косоугольные координаты х и у. 54 Раздел 2. Картография Рис. 4.1.Окружность на земной поверхности (а) и эллипс искаже- ний (б) на карте Обозначив масштаб вдоль меридиана m, а вдоль параллели п, согласно определению масштаба: 0 0 ; x y m n x y = = Так как на земной поверхности была показана окружность, то ее уравнение 2 2 2 0 0 0 x y r + = С учетом выражений для т и п уравнение кривой, изобра- жающей исходную окружность на карте в данном масштабе, будет иметь вид: 2 2 2 0 2 2 x y r m n + = или 2 2 2 2 2 2 0 0 1. x y m r n r + = Полученное выражение является уравнением эллипса в со- пряженных полудиаметрах. Из множества взаимно перпендикулярных диаметров исход- ной окружности всегда имеются два, которые в проекции изобража- ются главными осями эллипса искажений. Направления этой пары называют главными направлениями. Во многих картографических проекциях главные направления не совпадают с меридианами и па- Глава 4. Основы теории картографических проекций 55 раллелями. Однако именно по этим направлениям значения масшта- бов экстремальны: • вдоль большой оси эллипса масштаб максимален max 0 ; a r µ = • вдоль малой оси эллипса масштаб минимален min 0 b r µ = Считая 0 1, r = max , a µ = min b µ = Эллипс искажений в данной точке данной проекции выража- ет не только вектор максимального и минимального искажений, но также общий характер и степень искажений по любому другому на- правлению. Это его свойство позволяет оценивать основные харак- теристики картографических проекций: масштабы площадей p, мас- штабы длин µ, искажения углов ω. 4.4 Классификация картографических проекций В картографии проекции классифицируют по двум основным признакам: • по характеру искажений; • по виду меридианов и параллелей нормальной картогра- фической сетки. По характеру искажений различают равноугольные, равнове- ликие, равнопромежуточные и произвольные картографические про- екции. Равноугольными проекциями называются проекции, не иска- жающие направлений и углов. В таких проекциях сохраняется подо- бие фигур, масштаб зависит от положения точки на карте и не зави- сит от направления, вследствие чего эллипсы искажений во всех точ- ках карты будут превращаться в окружности различных радиусов. Для этих проекций имеют место соотношения: а = b, т = п, ω = 0, р ≠ 1. На картах, составленных в равноугольных проекциях, углы и пелен- ги можно измерять и прокладывать непосредственно с помощью транспортира и протрактора. По сравнению с другими проекциями 56 Раздел 2. Картография на них удобнее измерять расстояния. Благодаря этим особенностям они широко применяются при составлении морских навигационных карт. Равновеликими или равноплощадными называются проекции, на которых масштаб площадей во всех точках карты одинаков и площади на картах пропорциональны площадям в натуре. В проек- циях эллипсы искажений имеют различную форму в различных мес- тах карт, но площади их одинаковы. На картах в таких проекциях искажаются углы и нарушается подобие фигур. Для этих проекций справедливы соотношения: sin 1; p ab mn = = θ = 1 ; a b = 1 ; b a = ( ) tg 45 0,5 a ° + ω = Для морских навигационных карт данный вид проекций не применяется. Равнопромежуточными называются проекции, в которых на картах в каждой точке сохраняются длины по одному из главных на- правлений, т. е. в каждой точке или а = 1, или b = 1. Это неравенство масштабов обусловливает искажение углов: 1 sin 1 b b − ω = + или 1 sin 1 a a − ω = + Карты в таких проекциях в судовождении не применяются. Произвольными называются проекции, в которых не соблю- дается ни одно из указанных свойств. Из их числа в судовождении нашла применение центральная перспективная проекция, известная под названием гномонической. В этой проекции дуга большого круга — ортодромия — изображается прямой линией. По виду меридианов и параллелей нормальной сетки разли- чают конические, азимутальные, цилиндрические, перспективные и произвольные (псевдоконические, псевдоцилиндрические, полико- нические, круговые) проекции. Коническими называются такие проекции, в которых парал- лели изображаются концентрическими окружностями, а меридианы — радиальными прямыми линиями (рис. 4.2). В уравнениях этих проекций используют плоские полярные координаты: ( ) ; f ρ = ω , δ = αλ где ρ — радиус параллели на карте; δ — долгота на карте; α — ко- эффициент пропорциональности (как правило, α < 1). Глава 4. Основы теории картографических проекций 57 Рис. 4.2. Коническая проек- ция В зависимости от ориентировки конуса относительно эллип- соида различают прямые, косые и поперечные конические проекции. В прямой проекции ось конуса совпадает с земной осью, в попереч- ной проекции — перпендикулярна земной оси, в косой — занимает промежуточное положение. Азимутальные проекции являются частным видом кониче- ских проекций. Их уравнения имеют вид: ( ) ; f ρ = ω δ = λ. Как следует из уравнений этих проекций, углы между мери- дианами на местности равны углам на проекции (рис. 4.3). Так же, как и конические, азимутальные проекции могут быть прямыми, косыми и поперечными (рис. 4.4). Рис. 4.3. Азимутальная проекция 58 Раздел 2. Картография Рис. 4.4. Азимутальная проекция : а — поперечная; б — прямая; в — косая Цилиндрическими называются проекции, на которых парал- лели картографической сетки представляют собой прямые, парал- лельные экватору, а меридианы — прямые, перпендикулярные па- раллелям (рис. 4.5). Уравнения таких проекций имеют вид: x = f( ϕ); y = kλ, где х, у — прямоугольные координаты точки на карте; ϕ, λ — гео- графические координаты этой точки; k — коэффициент пропорцио- нальности. Так же, как и конические проекции, цилиндрические проек- ции могут быть прямыми, косыми и поперечными. Перспективными называют проекции земной поверхности - шара или эллипсоида — на касательную плоскость, получаемые прямым геометрическим проектированием из различных точек зре- ния (рис. 4.6). Все точки зрения лежат на диаметре условного глобуса, перпендику- лярном картинной плоскости или на продолжении этого диаметра. Глава 4. Основы теории картографических проекций 59 Перспективные проекции образуют самостоятельную группу азиму- тальных проекций, но их общие уравнения идентичны. Рис. 4.5. Цилиндрическая проекция Рис. 4.6. Перспективные проекции В зависимости от удаления D точки зрения от центра услов- ного глобуса, перспективные проекции бывают (рис. 4.7): • центральные (гномонические), когда точка зрения нахо- дится в центре условного глобуса (D = 0); • стереографические — точка зрения удалена от центра на радиус условного глобуса (D = R); • внешние — точка зрения удалена на расстояние R < D < ∞; • ортографические — точка зрения удалена в бесконечность (D = ∞). Как и все остальные проекции, перспективные проекции тоже могут быть прямыми, косыми и поперечными. Для судовождения представляет особый интерес централь- ная (гномоническая) проекция. Ее уравнения: ctg ; R ρ = ϕ ; δ = λ 2 cosec ; m = ϕ cosec . n = ϕ Неравенство масштабов по меридиану и по параллели опре- деляет неравноугольность проекции. Однако эта проекция характер- на тем, что на ней дуги больших кругов условного глобуса изобра- жаются прямыми линиями (рис. 4.8). Иначе говоря, на карте в этой проекции прямая линия, соединяющая две точки, является также и кратчайшим расстоянием между ними. Это свойство карт в гномони- |