Навигация и лоция СПГУВК-2004. Дмитриев В. И., Григорян в л., Катенин В. А
 Скачать 24.68 Mb.
|
|
Виды пер- спективных проек- ций Рис. 4.8. Центральная (гномоническая) проекция Глава5 НОРМАЛЬНАЯ РАВНОУГОЛЬНАЯ ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА 5.1 Общие формулы цилиндрических проекций Уравнения меридианов и параллелей цилиндрических проек- ций в общем виде определяются выражениями x = f( ϕ); y = Cλ, (5.1) где С — коэффициент пропорциональности, определяющий расстоя- ния между меридианами. Отдельные цилиндрические проекции различаются между собой лишь видом функции f( ϕ). Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 61 На рис. 5.1 показана бесконечно малая трапеция 0 0 0 0 A A A A ′ ′′ ′′′ , образованная на поверхности шара (или эллипсоида) пересечением бесконечно близких друг к другу меридианов и параллелей. Рис. 5.1. К выводу уравнений цилиндрических проекций На плоскости проекция этой трапеции изобразится прямо- угольником АА'А''А'" со сторонами dx и dy. Бесконечно малый отре- зок меридиана 0 0 A A Rd ′ ′′ = ϕ — на шаре или 0 0 A A Mdy ′ ′′ = — на эллипсоиде. Бесконечно малый отрезок параллели 0 0 cos A A rd R d ′ = λ = ϕ λ — на шаре или 0 0 cos A A N d ′ = ϕ λ — на эллипсоиде, где r - радиус параллели в широте ϕ (r = R cos ϕ для шара, r = N cos ϕ для эллипсоида). По определению масштаба ; ; dx dy m n dX dY = = Для шара ; ; cos dx dy dy m n Rd rd R d = = = ϕ λ ϕ λ для эллипсоида ; cos dx dy dy m n Md rd N d = = = ϕ λ ϕ λ 62 Раздел 2. Картография Для оценки искажения направлений ω нужно знать полуоси а и b эллипса искажений. Так как в цилиндрических проекциях глав- ные направления совпадают с меридианами и параллелями, то полу- осям а и b соответствуют экстремальные масштабы т и п,поэтому sin a b m n a b m n − − ω = = + + Таким образом, общими формулами для всех цилиндриче- ских проекций будут: для эллипсоида: для шара: ( ) ; ; x f y C = = λ ϕ ( ) ; ; x f y C = = λ ϕ ; cos dx dy m n Md N d = = ϕ ϕ λ (5.2) ; cos dx dy m n Rd R d = = ϕ ϕ λ (5.3) sin a b m n a b m n − − ω = = + + sin a b m n a b m n − − ω = = + + 5.2 Принцип построения меркаторской проекции Картографическую проекцию для составления морских нави- гационных карт, отвечающую специфическим требованиям равно- угольности и локсодромичности предложил в 1569 г. фламандский картограф Герард Кремер (1512—1594), более известный под своим латинским псевдонимом — Меркатор. Именно в меркаторской про- екции в наше время во всех странах издают практически все морские навигационные карты, используемые для обеспечения безопасности судовождения. Рассмотрим принцип построения меркаторской проекции. Примем Землю за шар, уменьшим его до необходимых размеров и далее будем рассматривать модель Земли как условный глобус, мас- штаб которого равен главному масштабу будущей карты. Поместим условный глобус в цилиндр так, чтобы по экватору он касался по- верхности цилиндра (рис. 5.2, а).При этом ось цилиндра совместится с осью условного глобуса — признак нормальной (прямой) проек- ции. Меридианы условного глобуса спроектируем на боковую по- верхность цилиндра без искажения их длин (в натуральную величи- ну), как бы выпрямляя их до полного совпадения с боковой поверх- ностью цилиндра. Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 63 Рис. 5.2.Принцип построения мерка- торской проекции Параллели жестко связаны с меридианами в точках их пере- сечения, поэтому при подобном проектировании каждая параллель будет растянута до размеров экватора. Чем больше широта паралле- ли, тем меньше ее длина и, следовательно, тем больше она растянет- ся при переносе ее на цилиндр. Степень растяжения параллелей про- порциональна sec ϕ и определяется выражением R = r cos ϕ, (5.4) где R — радиус экватора; r — радиус произвольной параллели; ϕ— широта этой параллели. Если после такого проектирования развернуть цилиндр в плоскость, то получившаяся картографическая сетка будет иметь вид взаимно перпендикулярных прямых линий (рис. 5.2, б).Экватор при проектировании на цилиндр не растягивался, поэтому элементарно малый круг, расположенный на нем в точке A 01 , изобразится точно таким же кругом и на карте — кругом A 1 Произвольная параллель ϕ i растянута (искажена), поэтому элементарно малый круг A 0i , распо- ложенный на этой параллели, изобразится на карте вытянутым вдоль параллели эллипсом A i . Чем больше широта ϕ, тем больше растяже- ние параллели и, следовательно, тем сильнее проявляется искажение круга при его переносе на плоскость. Это значит, что требование равноугольности не выполнено. Чтобы проекция обладала свойством равноугольности, необходимо меридианы в каждой точке вытянуть 64 Раздел 2. Картография пропорционально растяжению параллели этой точки. Иначе говоря, меридиан в широте ϕ, необходимо удлинить настолько, чтобы эл- липс A i превратился в круг i A′ (рис. 5.2, в). Чем больше широта, тем сильнее растянута параллель и, следовательно, тем больше должен быть растянут меридиан. В результате одинаковые элементарно ма- лые круги, расположенные на разных параллелях условного глобуса, изобразятся на карте кругами разных размеров, увеличивающихся с широтой. Это свидетельствует о том, что масштаб полученной карты изменяется пропорционально широте, а точнее — пропорционально sec ϕ. По этой причине полученная картографическая сетка искажа- ет длины. В частности, важно отметить, что и длина одной минуты меридиана (одна морская миля) на такой карте по линейной величине будет непостоянной, что усложняет работу штурманов по измерению и прокладке расстояний. Если искажаются длины, то, значит, иска- жаются и площади. По этой причине остров Гренландия на карте в меркаторской проекции изображается по размерам примерно таким же, как и африканский материк, хотя в действительности площадь Африки почти в 15 раз больше площади Гренландии. Полученная таким образом проекция является прямой (ось цилиндра совмещена с осью Земли), равноугольной (элементарно малый круг на Земле изображается на карте также кругом), цилинд- рической (меридианы и параллели являются взаимно перпендику- лярными прямыми линиями). Прямоугольный вид нормальной кар- тографической сетки обусловливает прямолинейность локсодромии. 5.3 Картографическая проекция Для составления карты в меркаторской проекции необходимо знать математический закон построения карты. В общем виде этот закон для цилиндрических проекций в соответствии с уравнениями (5.1) имеет следующее выражение: ( ) ; ; x f y C = = λ ϕ где ϕ, λ - географические координаты точки на поверхности Земли; х, у - прямоугольные координаты этой же точки на карте; С - коэффи- циент пропорциональности, определяющий расстояния между мери- дианами на карте. Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 65 Для определения этого коэффициента примем Землю за эл- липсоид вращения с большой полуосью а и рассмотрим на условном глобусе произвольную точку A 0 с координатами ϕ, λ(рис. 5.3). На карте она изобразится в виде точки А с прямоугольными координа- тами х и у. Рис. 5.3.К выводу уравнений меркаторской проекции Предположим, что центральной линией проекции является экватор, который поэтому проектируется без искажений. Тогда К 0 Р 0 = КР.Но К 0 Р 0 = а λ, а КР = у. Отсюда уравнение меридианов примет вид: у = а λ. Видно, что коэффициент пропорциональности равен большой полуоси (радиусу экватора) земного эллипсоида: С = а. Для определения вида функции х = f( ϕ) в условие равно- угольности т = п следует подставить соответствующие выражения для масштабов по меридиану и по параллели: cos dx dy Md N d = ϕ ϕ λ Продифференцируем уравнение меридианов: dy ad = λ Тогда cos dx a Md N = ϕ ϕ 66 Раздел 2. Картография Решение полученного дифференциального уравнения приво- дит к табличному интегралу 0 sec M x a d N ϕ = ϕ ϕ ∫ После подстановки значений радиусов кривизны земного эл- липсоида M и N и интегрирования, получим уравнение параллелей 2 1 sin ln tg 45 , 2 1 sin e e x a e ⎡ ⎤ ϕ − ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = ° + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ϕ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ (5.5) где е — эксцентриситет земного эллипсоида. Таким образом, уравнения меркаторской проекции, выра- жающие математический закон построения карты, имеют следую- щий вид: 2 1 sin ln tg 45 ; 2 1 sin e e x a e y a ⎡ ⎤ ϕ − ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = ° + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ϕ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ = λ С помощью этих уравнений географические координаты точ- ки ϕ и λ. преобразовываются в прямоугольные картографические координаты х и у. Для Земли-шара справедливо: M = N= a = R,а экс- центриситет е = 0. Следовательно, ln tg 45 ; 2 x R y R ϕ ⎛ ⎞ = ° + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = λ Анализ уравнений проекции Меркатора позволяет сделать следующие выводы: • координата х не зависит от долготы λ.Следовательно, постоянно- му значению широты ϕ соответствует постоянное для всех долгот значение х, т. е. параллели на карте представляют собой семейст- во прямых линий, параллельных оси у; • координата у не зависит от широты ϕ. Следовательно, постоянно- му значению долготы λ соответствует постоянное для всех широт значение у, т. е. меридианы на карте представляют собой семейст- во прямых линий, параллельных оси х; • прямолинейность меридианов и параллелей подтверждает при- надлежность меркаторской проекции к категории прямых (нор- Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 67 мальных); • из прямолинейности и взаимной параллельности меридианов сле- дует, что локсодромия, пересекающая все меридианы под одним и тем же углом, также является прямой линией; • параллельность меридианов и параллелей карты взаимно перпен- дикулярным координатным линиям х и у является признаком ци- линдричности меркаторской проекции; • уравнение параллелей получено из условия равенства масштабов по меридиану и параллели, следовательно, проекция Меркатора равноугольна. Таким образом, анализ уравнений подтверждает, что мерка- торская проекция удовлетворяет основным требованиям, предъяв- ляемым к морской навигационной карте. Соблюдение этих условий на картах в меркаторской проекции позволяет прокладывать на них без искажений углы и направления, измеренные на местности, а ли- нию пути судна, идущего постоянным курсом (локсодромию), про- кладывать прямой линией при помощи обычной линейки. Кроме того, равноугольность проекции обусловливает подо- бие форм (контуров) объектов в натуре и на карте. Это в значитель- ной степени способствует опознанию местности по ее изображению (форме) на карте, и наоборот. Поэтому меркаторскую проекцию от- носят к конформным проекциям — проекциям, сохраняющим подо- бие форм. Ортодромия на земной поверхности пересекает меридианы под разными углами, отличающимися друг от друга на угол схожде- ния меридианов. На карте в проекции Меркатора меридианы - парал- лельные прямые. Следовательно, ортодромия, пересекая параллель- ные меридианы под разными углами, изобразится на карте кривой линией. То есть прокладка дуги большого круга (ортодромии) на картах в меркаторской проекции усложнена, что затрудняет плавание по кратчайшим расстояниям. Меркаторская проекция имеет и другие недостатки, с кото- рыми мореплавателям приходится мириться: • проекция не сохраняет равенство площадей; • невозможно создание меркаторской карты для приполюсных рай- онов; • масштаб на картах в меркаторской проекции изменяется с широ- той, что вносит искажения в измеренные циркулем расстояния даже в пределах одного листа карты. 68 Раздел 2. Картография 5.4 Изменение масштаба. Полоса широт практически постоянного масштаба Рассмотрим характер изменения масштаба на карте, состав- ленной в проекции Меркатора. Для этого сравним частные масштабы по двум параллелям ϕ 1 и ϕ 2 , принимая Землю за шар. Частный масштаб по параллели 0 0 A A′ с широтой ϕ 1 (см. рис. 5.1): 1 1 0 0 1 1 1 sec . cos cos AA Rd n A A R d ′ λ = = = = ′ ϕ λ ϕ ϕ (5.6) Частный масштаб по параллели 0 0 A A ′′ ′′′ с широтой ϕ 2 2 2 0 0 2 2 1 sec . cos cos A A Rd n A A R d ′′ ′′′ λ = = = = ϕ ′′ ′′′ ϕ λ ϕ (5.7) На основании полученных выражений можно заключить, что частный масштаб по параллели зависит только от широты этой па- раллели. И как следствие: масштаб вдоль параллели не изменяется. При изменении же широты масштаб изменяется: 2 2 1 1 sec cos ; sec cos n n 1 2 ϕ ϕ = = ϕ ϕ 1 2 1 2 cos cos n n ϕ = ϕ (5.8) Так как ϕ 2 > ϕ 1 то cos ϕ 2 < соs ϕ 1 , и, соответственно, соs ϕ 1 / соs ϕ 2 > 1, а это означает, что всегда n 2 > n 1 Таким образом, при изменении широты характер изменения масштаба следующий: • с увеличением широты масштаб увеличивается; • с уменьшением широты масштаб уменьшается. С учетом сжатия Земли изменение масштаба с широтой будет характеризоваться 2 1 1 1 2 2 cos cos , n n N N = ϕ ϕ (5.9) где N 1 и N 2 — радиусы кривизны сечения по первому вертикалу на параллелях ϕ 1 и ϕ 2 Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 69 Если в выражениях (5.8) и (5.9) перейти к знаменателям чи- словых масштабов С 1 и С 2 , то получим: для Земли-шара 1 2 1 2 cos cos ; C C = ϕ ϕ (5.10) для Земли-эллипсоида 1 2 1 1 2 2 cos cos C C N N = ϕ ϕ (5.11) Особый интерес представляет отношение 0 , C C v = (5.12) где C 0 — знаменатель главного масштаба карты; С — знаменатель масштаба произвольной параллели; v — модуль параллели. Модуль параллели — число, разделив на которое знаменатель главного масштаба карты, получают знаменатель масштаба произ- вольной параллели. Модуль параллели рассчитывают, выбирая из Картографиче- ских таблиц длину Р 0 одной минуты дуги главной параллели карты по ее широте ϕ 0 , указанной в заголовке карты, а также длину Р одной минуты дуги параллели с заданной широтой ϕ: 0 v P P = (5.13) При отсутствии Картографических таблиц, Землю принима- ют за шар и расчет ведут по упрощенной формуле 0 cos cos . v = ϕ ϕ (5.14) Поскольку с увеличением широты масштаб непрерывно воз- растает, то при работе на карте это обстоятельство принимается во внимание, и отрезки расстояний на карте в проекции Меркатора из- меряются той частью линейного масштаба, который расположен около средней параллели измеряемого отрезка. Для перевода масштабов по главным параллелям, указанным на картах в проекции Меркатора, в экваториальный масштаб, можно использовать табл. 2.30, помещенную в справочнике МТ—2000. При построении линейного (широтного) масштаба вертикальную рамку нужно разбить (разделить) на отрезки, равные одной минуте дуги меридиана (одной морской миле), имеющей в различных широтах разную длину. Наиболее строгим и точным решением такой задачи был бы расчет картографических абсцисс х = f( ϕ) для всех паралле- лей от широты южной рамки до широты северной рамки карты с ши- ротным интервалом в одну минуту. Однако такой расчет является сложным и трудоемким. Этого и не требуется для практических за- дач. Поэтому при составлении карты параллели проводят через оп- 70 Раздел 2. Картография ределенные промежутки (широтный интервал) ∆ϕ, внутри которых деление рамки на минуты осуществляется разбивкой их на равные части, соответствующие средней длине минуты меридиана в данном промежутке. Внутри такой полосы широт ∆ϕ изменение масштаба настолько мало, что оно не превышает ошибок графических по- строений. Представляет интерес та разность широт, в пределах кото- рой длина минуты меридиана без ущерба для точности графических построений может быть принята постоянной величиной. Профессор В.В. Каврайский установил зависимость полосы широт практически постоянного масштаба от широты и масштаба карты: ctg , 674 N N C ϕ ′ ∆ϕ = (5.15) где С N , — знаменатель частного масштаба на рамке карты, ближай- шей к полюсу, ϕ N ,— широта этой рамки. В готовом виде величины промежутков ∆ϕ′ приводятся в Картографических таблицах. Рассчитанный (или выбранный из таб- лиц) промежуток практически постоянного масштаба округляется в меньшую сторону до значения, кратного 5 ′ или 10′, и принимается затем в качестве широтного интервала, через который на карте про- водятся параллели картографической сетки. Если выбранный или рассчитанный широтный интервал окажется меньше 5 ′,то округление производится также в меньшую сторону до значения, кратного одной целой минуте. 5.5 Единица карты Для вычисления размеров рамки карты и построения карто- графической сетки потребовалась особая единица измерения, кото- рая не была бы подвержена искажениям. Морская миля — длина ду- ги меридиана в качестве таковой не подходит, так как является пере- менной величиной. На меркаторской проекции не искажается только земной экватор, и именно поэтому одна его минута была выбрана в качестве картографической единицы длины. Длина одной минуты дуги земного экватора иначе называется экваториальной или геогра- фической милей (минутой). Длина экваториальной мили в метрах э 1 arc1 6378245 3437,75 1855,36 a ′ ′ ∆ = = = м. (5.16) Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 71 Длина графического изображения одной минуты дуги эква- тора на меркаторской проекции называется единицей карты. Единица карты выражается, как правило, в миллиметрах и рассчитывается по формуле э э э 1 arc1 , a e C C ′ ′ ∆ = = (5.17) где С Э — знаменатель масштаба по экватору. На меркаторской проекции меридианы параллельны друг другу, а масштаб не изменяется по долготе, поэтому графическое изображение одной минуты дуги экватора равно изображению одной минуты дуги любой параллели. По этой же причине единица карты для данной карты является величиной постоянной и ее можно рас- считать по радиусу произвольной параллели: arc1 cos arc1 , r N e C C ′ ′ ϕ = = (5.18) где r — радиус параллели в широте ϕ. Единица карты используется при расчете картографической сетки меркаторской проекции, а также при графических построениях на карте в качестве постоянной единицы длины. Для стандартных масштабов значения единицы карты приво- дятся в табл. 4 сборника «Картографические таблицы». 5.6 Меридиональные част и При составлении карт каждую параллель проводят, рассчи- тывая расстояние от экватора до этой параллели в постоянных еди- ницах длины. Расстояние на меркаторской проекции по меридиану между экватором и данной параллелью, выраженное в экваториаль- ных минутах, называется меридиональной частью параллели (МЧ или D). Уравнение параллелей (5.5) для практических расчетов не- удобно. Подставляя в (5.5) величину радиуса экватора а = 3437,747 экваториальных минут, и разделив ее на модуль перехода от нату- ральных логарифмов к десятичным Mod = 0,434294, получим форму- лу для расчета меридиональной части параллели с широтой ϕ на эл- липсоиде: 72 Раздел 2. Картография 2 1 sin 7915,70447lg tg 45 2 1 sin e e D e ϕ − ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ° + ⎜ ⎟⎜ ⎟ + ϕ ⎝ ⎠⎝ ⎠ (5.19) По формуле (5.19) составлена табл. 2.28а сборника «Море- ходные таблицы» (МТ—2000). Меридиональные части параллелей Северного полушария положительны, параллелей Южного полуша- рия — отрицательны. Расстояние по меридиану на меркаторской проекции между двумя параллелями, выраженное в экваториальных минутах, называ- ется разностью меридиональных частей (РМЧ или ∆D): 2 1 РМЧ МЧ МЧ = − или 2 1 D D D ∆ = − Знак разности меридиональных частей соответствует знаку разности широт этих параллелей. При приближенном решении навигационных задач, когда Землю принимают за шар, необходимые меридиональные части ш МЧ получают по формуле ш , МЧ МЧ МЧ = + ∆ где МЧ ∆ — поправка, выбираемая из табл. 2.28б МТ—2000. 5.7 Меркаторская миля Если на карте в проекции Меркатора провести параллели че- рез одну минуту широты, то РМЧ этих параллелей представит собой длину отрезка дуги меридиана, выраженную в экваториальных мину- тах. Длина графического изображения одной минуты широты на меркаторской карте называется меркаторской милей. Вертикальная рамка карты в меркаторской проекции разбита в минутах широты так, что ее используют как шкалу широты. Поскольку одна минута широты соответствует морской миле, то шкала широты одновремен- но является и шкалой расстояний, выраженных в морских милях. Меркаторскую милю выражают в миллиметрах и рассчиты- вают по отношению длины одной минуты меридиана к знаменателю масштаба карты: 1 arc1 M С C ′ ′ ∆ δ = = Глава 5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора 73 Подставляя в числитель величину морской мили, выражен- ную в миллиметрах, получим 1000(1852,3 9,3cos 2 ) C − ϕ δ = Меркаторская миля, являясь масштабным отображением морской мили, увеличивается с ростом широты. Поэтому, как уже отмечалось, при измерении расстояний на карте необходимо пользо- ваться шкалой вертикальной рамки в том диапазоне широт, в кото- ром находится измеряемый отрезок. 5.8 Главная параллель карты При проектировании условного глобуса на касательный по экватору цилиндр (см. рис. 5.2), с увеличением широты искажения длин растут быстро. Так, частный масштаб в широте 48° будет в 1,5 раза больше масштаба на экваторе, а в широтах 60° и 70° — соответ- ственно в 2 и 3 раза больше масштаба на экваторе. Пропорционально изменению масштаба увеличится в этих широтах и длина меркатор- ской мили. Для уменьшения искажения длин в пределах листа карты ус- ловный глобус проектируют не на касательный, а на секущий ци- линдр (рис. 5.4) так, чтобы параллель сечения примерно совпадала со средней широтой картографируемого участка. Рис. 5.4. |