Навигация и лоция СПГУВК-2004. Дмитриев В. И., Григорян в л., Катенин В. А
 Скачать 24.68 Mb.
|
|
Сечения земного эллипсоида. Длина одной минуты меридиана и параллели Через нормаль к поверхности эллипсоида в данной точке можно провести бесчисленное множество плоскостей, которые назы- Глава 1. Ориентирование наблюдателя на земной поверхности 15 ваются нормальными плоскостями. Нормальные плоскости, пересе- каясь с поверхностью эллипсоида, образуют нормальные сечения. Среди множества нормальных сечений имеются два взаимно перпендикулярных сечения, радиусы кривизны которых в окрестно- сти данной точки имеют максимальное и минимальное значения. Эти сечения называют главными нормальными сечениями. Главными нормальными сечениями на поверхности эллип- соида являются меридианное сечение и сечение по первому вертика- лу. Рис. 1.7. Радиусы кривизны меридианного сечения Радиус кривизны М меридианного сечения P N eP S q (рис. 1.7) имеет минимальное значение: a e M e 3 2 2 2 (1 ) (1 sin ) − = − ϕ (1.5) Видно, что радиус кривизны меридианного сечения М зави- сит от широты места и имеет максимальное значение на полюсах ( ϕ = 90°), а минимальное значение на экваторе (ϕ = 0°). С помощью радиуса кривизны меридианного сечения М рас- считывается длина одной минуты дуги меридиана земного эллипсои- да: a e M e 2 3 2 2 2 (1 ) 1 arc1 arc1 (1 sin ) − ′ ′ ∆ = = − ϕ ′ (1.6) Сечение по первому вертикалу EKW (pиc.1.8) перпендику- лярно меридианному сечению в данной точке. 16 Раздел 1. Основные понятия навигации Рис. 1.8.Радиус кривиз- ны сечения по первому вертикалу Радиус кривизны сечения по первому вертикалу N имеет мак- симальное значение, и его величина определяется выражением ( ) 1 2 2 2 1 sin = − ϕ a N e (1.6) С помощью радиуса кривизны сечения по первому вертикалу определяется радиус параллели в любой заданной широте ср. Так, радиус параллели точки К определяется по формуле ( ) 1 2 2 2 cos cos 1 sin к к к ϕ = ϕ = − ϕ a r N e (1.7) Длина одной минуты параллели ( ) 1 2 2 2 cos 1 arc1 1 sin ϕ ′ ′ ∆ = = − ϕ a r e (1.8) Общая кривизна поверхности земного эллипсоида в данной точке характеризуется средним радиусом кривизны R: = R MN или 2 2 2 1 1 sin − = − ϕ a e R e (1.9) 1.6 Преобразование координат При одновременном использовании различных моделей Зем- ли возникает необходимость преобразования координат. Например, в Глава 1. Ориентирование наблюдателя на земной поверхности 17 случае, если координаты судна, полученные от космической навига- ционной системы, ориентированной на эллипсоид WGS-84, необхо- димо нанести на отечественную карту (эллипсоид Красовского). С этой целью рассчитывают поправки ∆ϕ и ∆λ. для перехода от координат ϕ 1 и λ 1 в первой геодезической системе к координатам ϕ 2 и λ 2 во второй геодезической системе: 2 1 ϕ = ϕ + ∆ϕ ; 2 1 λ = λ + ∆λ (1.10) Поправки ∆ϕ и ∆λрассчитываются по упрощенным форму- лам М.С. Молоденского: ( ) sin cos sin sin cos sin 2 sin1 −∆ ϕ λ − ∆ ϕ λ + ∆ ϕ + ϕ ∆α + α∆ ∆ϕ = ′′ M x y z a a R (1.11) sin cos cos sin1 −∆ λ + ∆ λ ∆λ = ′′ ϕ N x y R , (1.12) где ϕ, λ — преобразуемые географические координаты; ∆ϕ, ∆λ — искомые поправки, угл. с; ∆х, ∆y, ∆z — расстояния по осям х, у и z между центрами эллипсоидов первой и второй геодезических систем, м; а — большая полуось первого эллипсоида, м; α — сжатие первого эллипсоида; ∆а, ∆α — разности больших полуосей и сжатий первого и второго эллипсоидов, м; R M — радиус кривизны меридиана первого эллипсоида, м; R N — радиус кривизны первого вертикала первого эллипсоида, м. Использование этих формул обеспечивает вычисление по- правок ∆ϕ и ∆λ с погрешностями не превышающими единиц метров, что удовлетворяет требованиям к точности решения навигационных задач. Решение задачи упрощается, если использовать для преобра- зования координат рекомендации табл. 2.24, 2.25, 2.26 из сборника "Мореходные таблицы" (МТ-2000) [1]. 1.7 Ортодромия Одна из основных задач мореплавания в целом и навигации в частности заключается в оптимизации путей судов. В общем случае предпочтение отдается плаванию по кратчайшим расстояниям. На эллипсоиде кратчайшим расстоянием между двумя точка- ми является геодезическая линия. Это сложная линия двоякой кри- 18 Раздел 1. Основные понятия навигации визны, которая рассматривается в курсе высшей геодезии. Процесс ее расчета, прокладки на карте, а тем более проводки по ней судна достаточно трудоемок. На практике решение этой проблемы упрощают, рассматри- вая кратчайшее расстояние между двумя точками на шаре. При не- обходимости решения задач на эллипсоиде пользуются поправками за сфероидичность Земли, выбираемыми из специальных таблиц, помещенных в сборнике "Мореходные таблицы". На шаре линией кратчайшего расстояния является дуга боль- шого круга (ДБК), которую называют ортодромией. В переводе с греческого языка ортос — прямой, дромос — проход, бег. Через две произвольные точки шара В 1 и В 2 (рис. 1.9) можно провести только одну ортодромию, так как плоскость ДБК проведена через три точки: В 1 , В 2 и центр Земли. Треугольник МВ 1 b 1 прямоугольный, так как меридиан пере- секается с экватором в точке М под углом 90°. Поскольку стороны этого треугольника являются дугами окружностей больших кругов, то решают его, используя формулы сферической тригонометрии. Применяя к треугольнику МВ 1 b 1 формулу тангенса катета прямоугольного сферического треугольника, можно записать ( ) ( ) 1 1 0 tg sin tg 90 ϕ = λ − λ ° − A 0 (1.13) Рис. 1.9. Ортодромия че- рез точки В 1 В 2 Это выражение справедливо для любой точки ортодромии, поэтому полученное выражение является ее уравнением: ( ) 1 0 tg sin ctg ϕ = λ − λ A 0 , (1.14) Глава 1. Ориентирование наблюдателя на земной поверхности 19 где λ 0 и А 0 — параметры ДБК ( λ 0 — долгота пересечения ДБК с эква- тором, А 0 — направление ДБК в этой точке). Для определения А 0 и λ 0 используют формулы: ( ) 0 1 1 tg ctg sin = ϕ λ − λ A 0 ; (1.15) ( ) ( 2 1 2 1 1 2 2 1 0 tg tg sin cosec 2 2 ) λ − λ λ − λ ⎛ ⎞ = ϕ + ϕ ϕ − ϕ − λ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (1.16) ДБК достигает максимальной широты в точке V,которая на- зывается "вертекс". Вертексов два: один в северном полушарии (ви- ден на рисунке), другой — в южном. Координаты вертекса: 0 90 ϕ = ° − V A ; (1.17) 0 90 λ = λ + ° V . (1.18) Проанализируем полученные выражения с целью определе- ния свойств ортодромии. Свойства ортодромии. 1. Из выражения (1.18) и рис. 1.9 видно, что меридиан вер- текса является плоскостью симметрии ортодромии. То есть орто- дромия пересекает каждый меридиан два раза в долготах: λ i и 2 ′ λ = λ − λ i i v 2. Из выражения (1.17): если A 0 = 90° (270°), то ортодромия совпадает с мери- дианом, если A 0 = 0° (180°), то ортодромия совпадает с эквато- ром. 3. Из выражения (1.14) видно, что если неоднократно изме- нять долготу λна 360° (предположим, что совершается кругосветное путешествие по ортодромии), то правая часть уравнения не изменя- ется. Не изменится и левая часть — широта постоянна. Значит, ор- тодромия пересекает каждый меридиан каждый раз в одной и той же точке. Ортодромия — замкнутая кривая. 4. Судоводителей особо интересует направление ортодромии, то есть угол А,под которым ортодромия пересекает меридианы (курс ортодромии). Применяя теорему четырех рядом лежащих элементов сферической тригонометрии к треугольнику B 1 P N B 2 , после преобра- зований получим: 1 2 1 1 ctg tg cos cosec sin ctg = ϕ ϕ ∆λ − ϕ ∆λ A (1.19) 20 Раздел 1. Основные понятия навигации Видно, что А = f( ϕ i , λ i ), т. е. курс ДБК зависит от координат точек В 1 и В 2 .Следовательно, ортодромия пересекает все меридиа- ны под различными углами: 1 2 3 ≠ ≠ ≠ ≠ n A A A A . Разность углов, под которыми ортодромия пересекает мери- дианы двух точек, называется схождением (сближением) меридианов и обозначается буквой у (гамма) греческого алфавита: 2 1 γ = − A A . (1.20) Формула для расчета у может быть выведена из сферического треугольника B 1 P N B 2 . Для этого следует использовать формулы сфе- рической тригонометрии, называемые аналогиями Непера: tg cos 2 2 ctg cos 2 2 + − = ∆λ + A B a a b b Применяя их к сферическому треугольнику B 1 P N B 2 , получим: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 90 90 (180 cos 2 tg 90 90 ctg cos 2 − ° − ϕ ° − ϕ + ° − 2 = ∆λ + ° − ϕ ° − ϕ 2 A A После преобразований 2 1 2 1 1 2 ctg cos 2 2 ctg 2 sin 2 ϕ − ϕ ∆λ − = ϕ + ϕ A A (1.21) Обозначим: 1 2 2 ср ϕ + ϕ = ϕ − средняя широта. Считая, что при плавании на расстояния до 500 миль cos 1 2 ∆ϕ ≈ , получим: tg tg sin 2 2 ср γ ∆λ = ϕ (1.22) Вместе с тем на малых расстояниях угол γ тоже мал: Глава 1. Ориентирование наблюдателя на земной поверхности 21 tg 2 2 γ γ = tg 2 2 ∆λ ∆λ = (1.23) тогда sin ср γ = ∆λ ϕ Следует заметить, что угол у имеет знак, который зависит как от знака ∆λ,так и от знака ϕ ср При всех своих преимуществах ортодромия неудобна для плавания, так как для удержания на ней судна пришлось бы непре- рывно изменять его курс. 1.8 Локсодромия Для использования в практике мореплавания весьма удобна линия пути, которая пересекает все меридианы под одним и тем же углом. По этой линии судоводители могут вести суда, не изменяя при этом курса. Такая линия давно известна математикам, картогра- фам и мореплавателям. Она и называется локсодромией. Вывел ее уравнение и описал вместе с ортодромией голландский математик Снеллиус в 1624 г. В переводе с греческого языка локсос — косой, дромос — проход, бег. Так как меридианы непараллельны, то и локсодромия (рис. 1.10), пересекающая их под равными углами не является пря- мой. Она представляет собой логарифмическую спираль — линию двоякой кривизны, которая асимптотически стремится к полюсу. Для выявления свойств локсодромии выведем ее уравнение, принимая при этом Землю за шар. Рассмотрим элементарно малый отрезок локсодромии, проведенный через две точки В 1 и В 2 (Рис. 1.11). Длина дуги параллели СВ 2 и длина дуги меридиана СВ 1 , за- ключенные между этими двумя точками, определяются, исходя из длины радиусов и величины центрального утла: 2 cos = ∆λ = ϕ∆λ CB r R ; 1 = ∆ϕ CB R Треугольник В 1 СВ 2 по малости можно считать плоским: 2 1 tg = CB K CB 22 Раздел 1. Основные понятия навигации Рис. 1.10. Локсодромия через точ- ки В 1 В 2 Рис. 1.11. К выводу урав- нения локсодромии После подстановок cos cos tg tg ϕ∆λ ϕ∆λ = ⇒ = ∆ϕ ∆ϕ R K K R При переходе от элементарно малых приращений к беско- нечно малым ∆ϕ = ϕ d и ∆λ = λ d тогда cos tg ϕ λ = ϕ d K d ; tg cos ϕ λ = ϕ d d K Для решения полученного дифференциального уравнения, оно проинтегрировано в пределах изменения переменных: 2 1 1 tg cos λ ϕ2 λ ϕ ϕ λ = ϕ ∫ ∫ d d K Получен табличный интеграл, решение которого дает урав- нение локсодромии на шаре: 2 2 1 tg ln tg 45 ln tg 45 2 2 1 ⎡ ⎤ ϕ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ λ − λ = ° + − ° + ⎜ ⎟ ⎜ ⎞ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ K (1.23) Для эллипсоида (с учетом сфероидичности Земли) Глава 1. Ориентирование наблюдателя на земной поверхности 23 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 sin tg ln tg 45 2 1 cos 1 sin ln tg 45 2 1 cos ⎡ ϕ − ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎢ λ − λ = ° + − ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ + ϕ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎤ ϕ − ϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎥ − ° + ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎥ + ϕ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎦ e e e K e e e Свойства локсодромии. Из анализа уравнения (1.23) можно сделать следующие выво- ды. 1. При К = 0° (180°) tg 0 = K ; 2 1 0 λ − λ = ; 2 1 λ = λ . То есть в этих случаях локсодромия совпадает с меридианом. 2.При К = 90° (270°) tg = ∞ K ; 2 1 λ − λ — конечная величина, поэтому необходимо, чтобы выражение в квадратных скобках было равно нулю, а это возможно лишь при ϕ 2 = ϕ 1 В ы в о д : в этих случаях локсодромия совпадает с паралле- лью. В частном случае, при ϕ 2 = ϕ 1 = 0° локсодромия совпадает с эк- ватором. 3. Пусть ϕ 1 = 0°. Тогда 2 ln tg 45 ln tg 45 ln 2 ϕ ⎛ ⎞ ° + = ° = 1 = 0 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ и уравнение локсодромии примет вид: ( ) 2 2 1 ln tg 45 ctg 2 ϕ ⎛ ⎞ ° + = λ − λ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ K Потенцируя, получим: ( ) ctg 2 2 1 tg 45 2 λ −λ ϕ ⎛ ⎞ ° + = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ K e Подставляя значения λ 2 через каждые 360° (плавание вокруг света по локсодромии) можно заметить, что каждому новому значе- нию долготы соответствует новое значение широты. Иначе говоря, локсодромия пересекает каждый меридиан бесчисленное количество раз, но каждый раз в новой широте. Из анализа левой части уравне- ния виден предел, к которому при этом стремится широта: ( ) 90 tg ϕ = ° → ∞ . Локсодромия представляет собой логарифмическую спираль, асимптотически стремящуюся к полюсу. 24 Раздел 1. Основные понятия навигации Решая уравнение (1.23) относительно К,получим формулу расчета курса для плавания по локсодромии из одной точки в дру- гую: 2 arc tg ln tg 45 ln tg 45 2 2 ∆λ 1 ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ ϕ ⎛ ⎞ ⎛ ϕ ⎞ ⎢ ⎥ ° + − ° + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎣ ⎦ K (1.24) Локсодромия удобна для проводки судна из одной заданной точки в другую, однако не является кратчайшим расстоянием между этими точками. 1.9 Ортодромическая поправка В практике судовождения широко используются и ортодро- мия и локсодромия. Возникает необходимость переходить от орто- дромических направлений к локсодромическим и наоборот. На рис. 1.12 через две произвольные точки В 1 и В 2 проведены отрезки локсодромии и ортодромии. Разность направлений ортодро- мии и локсодромии в этих точках обозначена буквой ψ(пси) грече- ского алфавита. Рис. 1.12.К определению ортодромической поправ- ки Угол между ортодромией и локсодромией, проходящими че- рез две заданные точки, называется ортодромической поправкой. На расстояниях до 500 миль можно считать ортодромию и локсодромию расположенными симметрично, и тогда ψ 1 = ψ 2 = ψ. Из рис. 1.12 для точки В 1 : ψ 1 = К — А 1 ; для точки В 2 : ψ 2 = А 2 — К. Сложим: 2 ψ = А 2 — А 1 ,но А 2 — А 1 = γ , поэтому ψ = 0,5γ или Глава 2. Определение направлений в море 25 0,5 sin ср ψ = ∆λ ϕ . (1.25) Если расстояние между точками В 1 и В 2 больше 500 миль, то ψ 1 ≠ ψ 2 . В этом случае необходим непосредственный расчет орто- дромической поправки как разности направлений локсодромии и ор- тодромии по формуле ψ = − K A . (1.26) Для облегчения расчета ортодромической поправки на малых расстояниях в Мореходных таблицах (МТ —2000) помещена табл. 2.12. Следует иметь в виду, что угол ψ имеет знак, который зави- сит как от знака ∆λ, так и от знака sin ср ϕ . Правило знаков приведено в МТ —2000 в объяснении к таблице. Глава2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРАВЛЕНИЙ В МОРЕ 2.1 Системы деления горизонта Основным условием безопасности плавания корабля является безошибочное определение направления движения судна относи- тельно заданной линии пути и направлений на навигационные опас- ности. Основой для определения направлений движения судна и на окружающие судно объекты являются главные направления: N, S, Е, W.Любое из этих главных направлений может быть принято за нача- ло счета направлений. В судовождении традиционно за начало счета направлений принимают или северную или южную часть линии ис- тинного меридиана (полуденной линии) NS. Определение направле- ний относительно полуденной линии NS производится по различным системам счета в зависимости от характера решаемых навигацион- ных задач с точностью до 0,1 ′. |