Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
 Скачать 1.82 Mb.
|
Представление векторов комплексными числамиМетод векторных диаграмм позволяет легко и быстро складывать токи и напряжения, выраженные синусоидальными функциями, но точность этого метода, как и любого графического, невелика. Кроме того, метод векторных диаграмм не позволяет выполнять операции умножения и деления. Поэтому наибольшее распространение в теории цепей получил метод, основанный на теории комплексных чисел. Рассмотрим комплексную плоскость (рис. 4.10). Положительную часть действительной оси обозначим +1, мнимой оси +j. В математике мнимую единицу обозначают i, в теории электрических цепей j, чтобы не путать с обозначением мгновенного значения тока (i). Возьмем на комплексной плоскости точку с координатами а и b. Каждой точке комплексной плоскости можно поставить в соответствие вектор длиной А, расположенный под углом ψ к действительной оси. Поскольку любую синусоидальную величину можно представить вектором длиной А с углом наклона ψ, то этой синусоидальной величине можно поставить в соответствие точку на комплексной плоскости. Комплексное число можно представить в трех формах записи. 1. Алгебраическая форма позволяет выразить комплексное число через координаты точки. . 2. Тригонометрическая форма. Из треугольника 0Аа видно, что , а , тогда комплексное число можно записать в виде . 3. Показательная форма. Воспользуемся формулой Эйлера, связывающей тригонометрические функции с показательными: , тогда комплексное число можно записать в виде . А – модуль комплексного числа, который характеризует длину вектора; ψ – аргумент комплексного числа, который характеризует угол поворота вектора относительно действительной оси. Комплексные числа можно складывать, вычитать, делить и умножать. Как правило, сложение и вычитание производятся в алгебраической форме, а умножение и деление в показательной. Переход от одной формы к другой осуществляется по следующим правилам. Если известны координаты точки , то модуль комплексного числа А можно найти по теореме Пифагора: . Аргумент находим из треугольника 0Аа: . Поскольку угол ψ может принимать значения от 0 до 360о, то при его определении следует учитывать знаки действительной и мнимой частей: при ; при ; при ; при . Переход от показательной формы к алгебраической осуществляется через тригонометрическую форму, то есть выражаем экспоненту по формуле Эйлера и находим , а . При расчете комплексных чисел следует помнить следующие правила: ; ; . Это следует из выражения , так как , то . Две комплексные величины, имеющие равные модули и одинаковые по величине, но противоположные по знаку аргументы, называются комплексно- сопряженными. Если комплексное число , то сопряженное ему число записывается в виде . В алгебраической форме записи , сопряженное . Произведение комплексного и сопряженного чисел равно квадрату модуля комплексного числа: . Комплексные сопротивление и проводимостьОтношение комплекса напряжения к комплексу тока называется комплексным сопротивлением. Комплексное сопротивление обозначается . Комплексы напряжения и тока можно записать в показательной форме: ; . Тогда в соответствии с определением комплексное сопротивление можно представить в виде . Аргумент комплексного сопротивления φ представляет собой разность фаз напряжения и тока – это один из важнейших параметров электрической цепи. Таким образом, комплексное сопротивление учитывает не только связь между абсолютными величинами тока и напряжения, но и разность фаз между ними. Воспользовавшись формулой Эйлера, можно представить комплексное сопротивление в тригонометрической и алгебраической формах записи . Величина , представляющая собой действительную часть комплексного сопротивления цепи, называется активным сопротивлением. Активным сопротивлением обладают резистивные элементы. Величина , представляющая собой мнимую часть комплексного сопротивления, называется реактивным сопротивлением. Реактивным сопротивлением обладают индуктивные и емкостные элементы. Индуктивное и емкостное сопротивления обозначаются XL и XC, соответственно. Величина z = U/I представляет собой модуль полного комплексного сопротивления цепи. Отношение комплекса тока к комплексу напряжения называется комплексной проводимостью. . Воспользовавшись формулой Эйлера, можно представить комплексную проводимость в тригонометрической и алгебраической формах записи . Величина , представляющая действительную часть комплексной проводимости цепи, называется активной проводимостью. Активной проводимостью обладают резистивные элементы. Величина , представляющая мнимую часть комплексной проводимости, называется реактивной проводимостью. Реактивной проводимостью обладают индуктивные и емкостные элементы. Индуктивная и емкостная проводимости обозначаются bL и bC соответственно. Величина у = I / U – модуль полной комплексной проводимости. Соотношение между комплексными сопротивлением и проводимостью устанавливается следующими формулами: . Контрольные вопросы и задания 1. Что называется электрическим сигналом? 2. Какие сигналы являются периодическими? 3. Дайте характеристику аналоговым, дискретным, цифровым сигналам. 4. Пречислите основные параметры синусоидального тока. 5. Что называют действующим значением переменного тока, средним значением? 6. Какая связь существует между амплитудным и действующим значениями синусоидального тока? 7. Что называют векторной диаграммой? 8. Как построить вектор синусоидального тока или напряжения? 9. Как при помощи векторных диаграмм найти сумму и разность синусоидальных токов? 10. Назовите три формы записи комплексного числа. 11. Как осуществить переход от одной формы записи комплексного числа к другой? 12. Поясните, в чем состоит символический метод расчета цепей синусоидального тока? 13. Как от синусоидального закона изменения тока перейти к символической форме тока? 14. Что называется комплексным сопротивлением (проводимостью)? 15. Какую информацию несет в себе комплексное сопротивление? 16. Какое сопротивление (проводимость) называется активным, какое реактивным? |