Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности

• Название: Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
• Анкор: Цепи и сигналы
• Дата: 08.11.2021
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Цепи и сигналы.docx
• Тип: Документы; #265839
• страница: 11 из 37

Индуктивность в цепях синусоидального тока

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую только индуктивный элемент (рис. 5.4).

 Будем считать, что через индуктивность течет синусоидальный ток   с начальной фазой, равной нулю   . Проходя через катушку, этот ток создает в ней ЭДС самоиндукции

 .

Подставим в это выражение значение тока и продифференцируем

 .

Напряжение, приложенное к индуктивности, должно уравновешивать ЭДС самоиндукции, то есть равняться ей по величине и иметь противоположное направление

 ; тогда   .

Но   можно представить как   , следовательно,

 .

Получается, что начальная фаза тока   , а начальная фаза напряжения равна   . Тогда разность фаз между напряжением и током будет равна  .

Отсюда следует правило: напряжение на индуктивности опережает ток по фазе на угол 90°.

Векторная диаграмма для этого случая представлена на рис. 5.5.

 Волновые диаграммы тока и напряжения показаны на рис. 5.6.

Рассмотрим выражение для напряжения   . Введем обозначение   – амплитуда напряжения. Перейдем к действующим значениям:

 или   .

Поделим напряжение на ток   . Отношение напряжения к току – это сопротивление, следовательно, величина  представляет собой индуктивное сопротивление.


Из этой формулы видно, что сопротивление индуктивности зависит от частоты: чем больше частота переменного тока, тем больше индуктивное сопротивление. При постоянном токе частота равна нулю, следовательно, индуктивное сопротивление для постоянного тока равно нулю, таким образом, индуктивность для постоянного тока представляет собой короткое замыкание.

Найдем мгновенную мощность, потребляемую индуктивностью:

 .

То есть мощность изменяется по синусоидальному закону с удвоенной частотой. График мощности показан на рис. 5.6 пунктирной линией.

Первую четверть периода мощность положительна. Это говорит о том, что индуктивность потребляет энергию источника, накапливая ее в себе в виде энергии магнитного поля. Вторую четверть периода мощность отрицательна, то есть индуктивность возвращает накопленную энергию источнику. Таким образом, в индуктивности не происходит преобразования энергии. Средняя мощность за период равна нулю, следовательно, индуктивность не обладает активной мощностью.

Максимальное значение гармонически изменяющейся мощности

получило название реактивной мощности. Перейдя к действующим значениям, получим   . Измеряется реактивная мощность в ВАр (вольт-ампер реактивный).

Следует отметить, что полученное выражение для реактивной мощности справедливо в случае, если цепь не содержит резистивных элементов.

Последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов

Рассмотрим схему, состоящую из резистора, индуктивности и емкости (рис. 5.10)


Подадим на вход этой схемы синусоидальное напряжение   .

Для упрощения расчетов будем полагать, что начальная фаза напряжения равна нулю.

По второму закону Кирхгофа напряжение на входе цепи равно сумме падений напряжения на элементах:

 .

Поскольку через все элементы цепи протекает один и тот же ток, выразим все напряжения через ток

 .

С учетом этого второй закон Кирхгофа запишется

 .

В это выражение ток входит в алгебраической, дифференциальной и интегральной формах, что усложняет решение уравнения. Свести уравнение к алгебраической форме позволяет символический метод. Запишем это уравнение в комплексной форме

 .

Разделив напряжение на ток, получим полное сопротивление цепи

 .

Но   – это индуктивное сопротивление цепи,   – это емкостное сопротивление. Следовательно, полное комплексное сопротивление цепи можно записать

 ,

где   – общее реактивное сопротивление цепи.


Построим векторную диаграмму этой цепи (рис. 5.11).

Так как по всем элементам цепи протекает один и тот же ток, построение диаграммы начинаем с вектора тока   , направив его вдоль действительной оси.

Строим диаграмму напряжений в соответствии с уравнением по второму закону Кирхгофа, последовательно суммируя напряжения. Учитываем, что напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, откладываем вектор этого напряжения вдоль вектора тока. Напряжение на индуктивности опережает ток на угол 90^о, напряжение на емкости отстает от тока на 90^о. Результирующий вектор   представляет собой напряжение на входе цепи.

 В результате того, что цепь содержит и резистивный, и реактивные элементы, сдвиг фаз между током и напряжением будет отличен как от нуля, так и от 90^о.

Из векторной диаграммы выделяют треугольник напряжений (рис. 5.12). Этот треугольник – векторный. Катетами треугольника являются активное и реактивное напряжения, гипотенузой – напряжение на входе цепи. Под реактивным напряжением понимают векторную сумму индуктивного и емкостного напряжений   . Модуль этой величины равен разности модулей

 .

Из треугольника напряжений следует, что модуль полного напряжения равен

 .

Сдвиг фаз между током и напряжением в цепи можно определить по формуле

 .

Если известны входное напряжение и угол φ, то можно определить активную и реактивную составляющие напряжения:

 ;   .

 Если поделим все стороны треугольника напряжений на одну и ту же величину тока, то получим подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 5.13), сторонами которого являются:

z – модуль полного сопротивления цепи;

R – активное сопротивление всей цепи;

 – модуль реактивного сопротивления цепи.

Из треугольника сопротивлений можно определить:

модуль полного сопротивления цепи  ;

разность фаз напряжения и тока   ;

активное сопротивление цепи   ;

реактивное сопротивление цепи   .