Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
 Скачать 1.82 Mb.
|
Понятие переходных процессов. Законы коммутацииВсе законы электрических цепей, правила преобразования, методы расчета, рассмотренные ранее, относились к работе электрических цепей в так называемых установившихся режимах. В установившемся режиме токи и напряжения не изменяются с течением времени, а если изменяются по синусоидальному закону, то их амплитуда и действующее значение остаются неизменными. При включении или отключении источников питания, а также при включении или отключении отдельных элементов в цепи возникают переходные процессы, которые можно рассматривать как переход от одного установившегося режима к другому и в течение которых токи или напряжения изменяются от первоначальных установившихся значений до значений, соответствующих новому установившемуся режиму. Любое переключение в электрической цепи называют коммутацией. Коммутацию на схемах изображают действием над ключом (рис. 11.1). Считается, что коммутация происходит мгновенно, но переходной процесс занимает некоторое время. Время, необходимое для перехода цепи из одного установившегося режима в другой, связано с изменением энергии, накапливающейся в элементах схемы. Мгновенное изменение энергии невозможно, иначе получили бы систему бесконечно большой мощности, которой не существует в природе. Мы знаем, что энергия накапливается в реактивных элементах: электрическая – в емкости, магнитная – в индуктивности. Следовательно, переходные процессы могут иметь место только в цепях, содержащих накопители энергии, то есть индуктивные и емкостные элементы. Рассмотрим примеры простейших цепей, содержащих индуктивность или емкость (рис. 11.2 а, б). В схеме рис. 11.2, а до замыкания ключа S ток в цепи и напряжения на индуктивности и резисторе были равны нулю. После замыкания ключа в течение некоторого времени ток будет нарастать от нуля до некоторого установившегося значения iуст= I. По второму закону Кирхгофа данную схему можно описать следующим уравнением: . Из этого уравнения следует, что ток не может измениться мгновенно. Действительно, если бы ток изменился за бесконечно малый промежуток времени на конечную величину, то напряжение на индуктивности было бы бесконечно большим , что противоречит второму закону Кирхгофа. Отсюда следует первый закон коммутации. Ток в индуктивности не может меняться скачком, поэтому мгновенное значение тока в ветви с индуктивностью в первый момент переходного процесса остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима. Первый закон коммутации записывается: . В схеме рис. 11.2, б до замыкания ключа S ток в цепи и напряжения на емкости и резисторе были равны нулю. После замыкания ключа в течение некоторого времени емкость будет заряжаться, напряжение на емкости будет нарастать от нуля до некоторого установившегося значения uуст= U. По второму закону Кирхгофа для данной схемы можно записать следующее уравнение: . Из этого уравнения следует, что напряжение на емкости не может измениться мгновенно. Действительно, если бы оно изменилось за бесконечно малый промежуток времени на конечную величину, то производная была бы бесконечно большой , что противоречит второму закону Кирхгофа. Отсюда следует второй закон коммутации. Напряжение на емкости не может изменяться скачком, поэтому мгновенное значение напряжения на емкости в первый момент переходного процесса остается таким же, каким было в последний момент предшествующего установившегося режима. Второй закон коммутации записывается: . Классический метод расчета переходных процессовРассмотрим общий порядок расчета переходных процессов классическим методом. Известными величинами считаются ЭДС или напряжения источников и номиналы входящих в схему сопротивлений, индуктивностей, емкостей; неизвестными – токи и напряжения. Для независимых переменных составляются дифференциальные уравнения по законам Кирхгофа. Независимыми переменными являются величины, которые не могут изменяться скачком: ток индуктивности и напряжение на емкости. Если нам необходимо найти ток в некоторой к-й ветви, то исключим последовательно все остальные токи, останется одно уравнение для к-го тока и его производных: В общем виде это уравнение можно записать Правая часть fk(t) содержит в себе источники энергии. Решение этого дифференциального уравнения ищем в виде суммы частного и общего решений. Частное решение представляет собой значение тока в послекоммутационном установившемся режиме. Этот ток зависит только от источников fk(t) и называется принужденной составляющей. Для определения принужденной составляющей применяются любые методы расчета электрических цепей в послекоммутационном установившемся режиме. Общее решение по физической сути определяет электромагнитные процессы, происходящие в электрической цепи при отсутствии источников энергии. Если в цепи в момент коммутации имелись запасы электромагнитной энергии, то в отсутствие источников эта энергия не будет пополняться, но будет рассеиваться на резистивных элементах. Поэтому токи и напряжения в конечном итоге при t = ∞ будут стремиться к нулю. Эти составляющие по своему характеру не зависят от внешних источников и называются свободными составляющими. Свободная составляющая к-го тока определяется решением дифференциального уравнения этого тока при нулевых источниках: Для решения этого уравнения составляем характеристическое уравнение, заменяя символ дифференцирования параметром р: , следовательно, и так далее. Характеристическое уравнение будет иметь следующий вид: Решая это уравнение, находим корни характеристического уравнения р1, р2,…, рп. Решение для свободной составляющей тока ищем в виде . Здесь – постоянные интегрирования, которые определяются с использованием законов коммутации и независимых начальных условий. Независимыми начальными условиями называют значения независимых переменных в первый момент после коммутации t= 0. |