Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
![]()
|
Переходные процессы в цепи, содержащей R-, L-, и С-элементыРассмотрим последовательную цепь, то есть простейшую цепь, содержащую резистивный индуктивный и емкостный элементы (рис. 11.10). Рассмотрим общий случай входного напряжения u = u(t). Составим уравнение состояния для этой цепи. Согласно второму закону Кирхгофа имеем: В данной схеме две независимые переменные – ток индуктивности, который является общим для всей цепи, и напряжение на емкости, поэтому для определения переходных напряжений и тока дифференциальное уравнение можно составлять для любой из этих переменных. Поскольку через все элементы протекает один и тот же ток, удобнее все напряжения выразить через ток . (11.2) В это уравнение ток входит в алгебраической, дифференциальной и интегральной формах. Чтобы свести ток к одной форме, продифференцируем уравнение то времени: (11.3) Получили дифференциальное уравнение второго порядка для тока в цепи. Следует отметить, что порядок уравнения определяется количеством накопителей энергии в цепи. В данном случае имеется два накопителя энергии – индуктивность и емкость, следовательно, получаем дифференциальное уравнение второго порядка. Решение этого уравнения ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих. Принужденная составляющая определяется в установившемся режиме при t = ∞ и либо равна нулю при постоянном напряжении, либо определяется по закону Ома при переменном напряжении. Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение. Рассмотрим два способа. 1. В уравнении (11.3) приравниваем нулю источники и заменяем символ дифференцирования , получим Запишем это уравнение в приведенном виде: . 2. Запишем уравнение для комплексного сопротивления цепи и приравняем его нулю . Сделаем замену , получим . Приведем это выражение к общему знаменателю . Запишем приведенное уравнение . Получили такое же уравнение, как и в первом случае. Найдем корни характеристического уравнения . Проанализируем это выражение. При расчете корней характеристического уравнения возможны три случая. 1. Корни действительные, различные Если дискриминант больше нуля, а это возможно в том случае, если или , то корни будут действительными и различными по величине р1 ≠ р2. В этом случае решение дифференциального уравнения для свободной составляющей ищем в виде . Переходной процесс при этом будет апериодическим. График переходного процесса показан кривой 1 на рис. 11.11.
2. Корни действительные, равные Действительные и равные по величине корни р1 = р2 = р будут в том случае, если дискриминант равен нулю, то есть, если или . В этом случае решение для свободной составляющей тока ищем в виде . Переходной процесс также будет апериодическим, но это предельный или критический режим (кривая 2 на рис. 11.11). 3. Корни комплексно-сопряженные Такой режим будет в том случае, если дискриминант отрицательный, то есть или . Корни характеристического уравнения . В этом случае переходной процесс будет затухающим колебательным, то есть ток будет изменяться относительно принужденной составляющей по синусоидальному закону с затухающей амплитудой (кривая 3 на рис. 3.11). Решение для свободной составляющей ищем в виде . В этом выражении ввели следующие обозначения: – коэффициент затухания; – частота свободных колебаний. Скорость затухания тока характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух последующих амплитуд , где Т = – период затухающих колебаний. Чаще пользуются логарифмическим декрементом колебаний . При любом характере корней свободная составляющая содержит две постоянных интегрирования, то есть две неизвестных величины, для определения которых необходимо составить два уравнения. Для определения постоянных интегрирования необходимо знать значение тока и всех его производных в начальный момент времени. Выражения для полного тока и его производной имеют вид: ; . Запишем исходное уравнение (11.2) при t = 0 . Напряжение источника и(0), как правило, известно; i(0) и иС(0) – независимые начальные условия, определяемые по состоянию цепи до коммутации и законам коммутации. Из этого выражения можно найти . При t = 0 имеем: . Решая эти уравнения относительно А1 и А2, находим постоянные интегрирования. Рассмотрим частные случаи переходных процессов в R-, L-, C-цепи. |