Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности

• Название: Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
• Анкор: Цепи и сигналы
• Дата: 08.11.2021
• Размер: 1.82 Mb.
• Имя файла: Цепи и сигналы.docx
• Тип: Документы; #265839
• страница: 26 из 37

Определение оригинала по известному изображению

Используя законы Ома и Кирхгофа, находим операторные изображения токов и напряжений в цепи, используя любой метод расчета электрических цепей в установившемся режиме. По найденным изображениям определяем оригиналы. Это можно сделать двумя путями:

1) по таблицам изображений;

2) по формулам разложения.

Таблицу соотношений между оригиналом и изображением мы уже рассмотрели. Рассмотрим более подробно второй способ.

В большинстве случаев изображение можно представить в виде отношения многочленов

 .

В этом выражении знаменатель имеет более высокий порядок, чем числитель   .

Значения оператора р находим, решая характеристическое уравнение F₂(p) = 0. Вычислив т корней, ищем оригинал в виде

 ,

где   – производная от знаменателя изображения.

В том случае, если имеется нулевой корень р = 0, то знаменатель представляем в виде   , то есть

 .

Тогда формула разложения принимает вид

 .

Наличие нулевого корня свидетельствует о том, что принужденная составляющая переходного процесса не равна нулю.

В случае комплексно-сопряженных корней формулу разложения записывают только для одного корня и берут удвоенное значение действительной части этого выражения.

 .

Если среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни, то для этих корней формула разложения принимает вид

 ,

где q – количество кратных корней; m_k – порядок кратности. Например, корень со значением р₁ встречается т₁ раз, корень со значением р_k встречается т_k раз, корень со значением р_q встречается т_q раз.

Прежде чем выполнять дифференцирование, необходимо выполнить все преобразования в выражении, стоящем под знаком дифференцирования.

Контрольные вопросы и задания

1. Какой режим работы электрической цепи называют переходным?

2. Какой режим работы цепи называют установившимся?

3. Какова суть первого закона коммутации?

4. Какова суть второго закона коммутации?

5. Какой смысл имеют свободные и принужденные составляющие токов и напряжений?

6. Какие переменные называются независимыми?

7. Что называют независимыми начальными условиями?

8. Что собой представляет закон изменения тока при включении индуктивности на постоянное напряжение?

9. Что собой представляет закон изменения напряжения при включении емкости на постоянное напряжение?

10. Могут ли напряжение на индуктивности и ток емкости изменяться скачком?

11. Какие виды переходных процессов возможны в цепях с двумя накопителями энергии?

12. Что назывется постоянной времени переходного процесса, в чем состоит ее физический смысл и как ее определить?

13. Объясните порядок определения постоянных интегрирования.

14. От чего зависит характер переходного процесса при подключении индуктивности к источнику синусоидального напряжения?

15. В чем состоит операторный метод расчета переходных процессов?

16. Что собой представляют прямое и обратное преобразования Лапласа?

17. Что собой представляют изображения производной и интеграла?

18. Как записываются законы Ома и Кирхгофа в операторной форме?

19. Объясните, как определить оригинал, пользуясь формулами разложения, для различных типов корней характеристического уравнения.

Спектральный анализ непериодических сигналов

Для анализа электрических цепей, в которых действуют непериодические сигналы, используют спектральные представления, базирующиеся на паре преобразований Фурье, которые могут быть получены путем предельного перехода от ряда Фурье в комплексной форме.

Пусть имеется некоторый непериодический сигнал f(t), удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах

 .

С физической точки зрения это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной энергией, при этом

 ,

то есть модуль сигнала f(t) имеет ограниченный показатель роста.

Мысленно превратим этот сигнал в периодический путем его повторения через определенный промежуток времени, который будем считать периодом Т (рис. 13.1).

К полученному таким образом сигналу можно применить разложение Фурье в комплексной форме

 ,

где обозначили:

 ;   .

 Подставим  в предыдущее уравнение

 .

Перейдем в этом выражении к пределу, учитывая, что при Т→∞   ;   .

 .

Внутренний интеграл

 (13.1)

называется спектром сигнала.

С учетом спектра сигнала исходный сигнал можно записать

 . (13.2)

Уравнение (13.1) называют прямым преобразованием Фурье; уравнение (13.2) – обратным преобразованием Фурье.

Поскольку спектр сигнала F(jω) – комплексная функция частоты, то он может быть записан в алгебраической и показательной формах:

где

 ; 

Здесь

 – амплитудный спектр сигнала;

 – фазовый спектр сигнала.

 – спектральная плотность энергии сигнала.

Между спектрами периодического и непериодического сигналов существует следующая связь:

 .

В отличие от линейчатого спектра периодических сигналов, спектр непериодических сигналов носит сплошной характер (разница соседних частот равна dω).

Сигналы f(t) и спектры F(jω) обладают рядом свойств:

1) свойство линейности

 ,

где а_k – коэффициенты разложения;

2) дифференцирование сигнала соответствует умножению его спектра на величину jω:

 ;

3) интегрирование сигнала соответствует делению его спектра на jω:

 ;

4) смещение сигнала во времени на величину τ :

 ;

5) умножение спектров (теорема свертки):

 ;

6) изменение масштаба независимого переменного:

 .

Из всего вышеизложенного в данной главе следует, что периодический несинусоидальный и непериодический сигналы могут быть представлены суперпозицией гармонических составляющих.

Расчет цепей при непериодических воздействиях

Временным методом

При расчете электрических цепей, в которых действуют непериодические токи и напряжения, могут использоваться временной и частотный методы анализа. Частотный метод мы рассмотрели, теперь остановимся на временном методе.

В основе временного метода лежат понятия переходной и импульсной характеристик цепи.

 Переходной характеристикой g(t) называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции 1(t) (рис. 13.4).

 Импульсной характеристикой h(t) называют реакциию цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции δ(t) (δ-функции), изображенной на рис. 13.5.


По своей сути эта функция является физически нереализуемой математической абстракцией, но она обладает рядом интересных свойств и широко используется в теоретических исследованиях. Формально она представляет собой математическую идеализацию единичного импульса, площадь которого равна единице при длительности импульса τ и высоте 1/τ при τ→0 (рис. 13.6).

В зависимости от типа реакции (ток или напряжение) различают переходные и импульсные характеристики по току и напряжению:

g_i(t); g_u(t); h_i(t); h_u(t).

Использование переходной и импульсной характеристик позволяет свести расчет реакции цепи от воздействия сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие в виде единичной 1(t) или импульсной δ(t) функции, с помощью которых можно аппроксимировать исходный сигнал.

Между переходной и импульсной характеристиками существует определенная связь, которую можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величиной 1/τ, сдвинутых друг относительно друга на время τ:

 ,

то есть δ(t) функция равна производной от единичной функции.

В линейных цепях это соотношение сохраняется и для импульсных и переходных характеристик:

 .

Это уравнение справедливо для цепи с нулевыми начальными условиями g(0) = 0. Для ненулевых начальных условий g(0) ≠ 0 g(t) представляют в виде

где g₁(0) = 0. Тогда уравнение связи запишется следующим образом:

 .

Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать классический и операторный методы расчета переходных процессов, считая, что цепь подключается к источнику с единичным напряжением.

Если переходная или импульсная характеристики известны, то реакция цепи на воздействие произвольной формы может быть найдена с помощью интеграла Дюамеля, либо интеграла наложения.