Цепи и сигналы. Эквивалентное преобразование источников конечной мощности
 Скачать 1.82 Mb.
|
Включение R-, L-, C-цепи на постоянное напряжениеПусть на входе цепи (рис. 11.10) действует постоянное напряжение U. Запишем уравнение состояния цепи . Будем выполнять расчеты для напряжения емкости. Учтем, что емкостный ток можно определить по формуле . Подставим ток в дифференциальное уравнение, учитывая то, что ток через все элементы протекает один и тот же . Решение ищем в виде суммы свободной и принужденной составляющих. . Находим принужденную составляющую. Поскольку сопротивление емкости постоянному току бесконечно велико, то принужденная составляющая тока будет равна нулю iпр = 0. Падение напряжения на резистивном элементе также будет равно нулю, а индуктивность представляет собой короткое замыкание для постоянного тока, то есть UL = 0, следовательно, все напряжение источника в установившемся режиме будет приложено к емкости иСпр = U. Для определения свободной составляющей составляем характеристическое уравнение, приравнивая нулю источники и заменяя символ дифференцирования оператором р → . Находим корни уравнения . Рассмотрим решение для двух случаев корней. Апериодический процесс Решение для свободной составляющей ищем в виде , тогда . Для определения постоянных интегрирования записываем первую производную от напряжения . Находим в начальный момент переходного процесса t = 0 значения напряжения на емкости uC(0) и его производной . По второму закону коммутации , следовательно, uC(0) = 0. Первую производную находим из выражения для тока . По первому закону коммутации i(0+) = i(0-) = 0. Так как С ≠ 0, то нулю равна производная . Запишем уравнения для напряжения и его производной при t = 0 ; , Из первого уравнения находим , Подставляем во второе уравнение . Отсюда получаем: ; . Запишем окончательное решение для напряжения ;
График переходного процесса для напряжения с учетом того, что показан на рис. 11.12. Найдем выражение для тока. Для этого необходимо продифференцировать выражение для напряжения .
График переходного процесса для тока показан на рис. 11.13. 2. Колебательный процесс В этом случае корни характеристического уравнения будут комплексно-сопряженные . Постоянные времени переходного процесса определятся выражением Принужденные составляющие тока и напряжения имеют те же значения, что и в предыдущем случае Начальные условия: . Поскольку корни комплексно-сопряженные, решение для свободной составляющей ищем в виде . Запишем уравнения для напряжения и его производной: . Используя начальные условия, получаем . Из первого уравнения находим . Подставляем во второе Отсюда . Запишем решение для напряжения .
График переходного процесса будет иметь вид (рис. 11.14). Найдем ток в цепи . Приведем это выражение к привычному виду. Умножим и разделим выражение в скобках на . . Учтем, что . Рассмотрим выражение для корней характеристического уравнения . Здесь ; . Тогда , отсюда , где ω0 – резонансная частота. С учетом этого выражение для тока запишется . По правилам тригонометрических преобразований . Если принять, что , а , то . Окончательно получим . Если учесть, что , а , то выражение для тока можно записать в виде
. График изменения тока показан на рис. 11.15. Таким образом, переходной процесс будет затухающим. Скорость затухания характеризуется декрементом колебаний, равным отношению двух соседних амплитуд . Логарифмический декремент колебаний определится выражением: . |