Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
5.4. Переходные процессы вцепи с ёмкостным и резистивным элементами Переходные процессы вцепи с последовательным включением ёмкост- ного и резистивного элементов (риса) после замыкания ключа S описываются дифференциальным уравнением C R C C du u u RC u e dt + = + = (5.19) Общее решение этого уравнения для напряжения на ёмкости уст св. (5.20) Найдём общее решение однородного уравнения св св . (5.21) Для этого составим характеристическое уравнение – 1 0 RCp + = и решим его относительно p – 1/( ) p RC = − . Отсюда свободная составляющая напряжения – св τ = = . (5.22) Постоянная времени цепи э 2 2 2 C C R Cu w RC p u τ = = ⋅ = , определяет соотношение между энергией электрического поля конденсатора э и Рис. 5.7 скоростью её преобразования в активном сопротивлении при его разряде p. Чем больше запас энергии (Си чем медленнее она преобразуется (больше R), тем длительнее переходный процесс вцепи. Установившееся значение напряжения на ёмкостном элементе уст определяется в результате расчёта цепи после окончания переходного процесса при заданном значении ЭДС e. Для искомого напряжения должен выполняться второй закон коммутации. Определив начальное значение напряжения (0 ) C u − , мы можем найти постоянную интегрирования A из уравнения (5.20) для момента коммутации. уст св уст уст ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) C C C u u u u u A A u u − + + + + − + = = + = = + ⇒ = − (5.23) 5.4.1. Подключение цепи к источнику постоянной ЭДС. Для цепи с источником постоянной ЭДС const e E = = уравнение (5.19) имеет вид C C du RC u E dt + = . Нов установившемся режиме вцепи с постоянной ЭДС напряжение на ёмкости не меняется, поэтому уст и уст . Отсюда с учётом (5.22) общее решение для напряжения уст св Ae − τ = + = + . (5.24) Для определения постоянной интегрирования A нужно знать начальное значение напряжения (0 ) C u − . До коммутации цепь была разомкнута, ном- кость могла быть заряжена до некоторого напряжения 0 (0 ) C u U − = , а т.к. м- костный элемент в схеме замещения идеальный, то его заряд при разомкнутой цепи может сохраняться сколь угодно долго. Подставляя начальное значение напряжения в (5.23), получим постоянную интегрирования 0 A U E = − и окончательное выражение для напряжения ( ) / / / 0 0 ( ) 1 t t t C u E E U e E e U e − τ − τ − τ = − − = − + . (5.25) Отсюда нетрудно найти ток вцепи) На рис. 5.7, б приведены графики функций (5.22), (5.25)-(5.26). После коммутации ток вцепи скачкообразно увеличивается до значения, определяемого сопротивлением цепи и разностью потенциалов источника и начального напряжения на ёмкости, а затем уменьшается до нуля в конце переходного процесса. Физический смысл переходного процесса при подключении цепи кис- точнику электрической энергии заключается в накоплении заряда на обкладках и энергии в электрическом поле конденсатора. Из выражения (5.25) для 112 0 t = и t = ∞ следует, что в переходном процессе энергия электрического поля э 2 C w Cu = изменяется от 2 1 0 / 2 э W СU = до величины 2 1 / 2 э W СE = . После чего остаётся постоянной. Мощность, потребляемая от источника ЭДС, и рассеиваемая резистивным элементом в виде тепла равна ( ) 2 2 0 2 / t R E U p Ri e R − τ − = = , а мощность, расходуемая на формирование электрического поля – ( ) / 2 / 0 0 t t C C E U p u i Ee E U e R − После коммутации (рис. 5.7, в) значительная часть энергии, потребляемой цепью от источника, рассеивается в виде тепла в резистивном элементе. Но т.к. постоянная времени этого процесса в два раза меньше, чем RC τ = , то он быстро затухает ( 0 R p → ) и основная часть мощности далее расходуется на изменение состояния электрического поля, пока ёмкость по окончании переходного процесса не будет заряжена до величины ЭДС ( ( ) C u E ∞ = ). 5.4.2. Разрядка конденсатора через резистор. Рассмотрим процесс разрядки предварительно заряженного конденсатора. Пусть идеальный ключ S длительное время находился в состоянии 1 так, что переходный процесс, связанный с накоплением заряда ёмкостным элементом завершился, а затем переключился в положение 2 (риса. К моменту коммутации ключа S напряжение конденсатора будет равно (0 ) (0 ) C C u u E − + = = (см. предыдущий раздел. После переключения конденсатор оказывается замкнутым последовательно соединёнными резистивными элементами R и r и через них протекает ток разрядки. Направление протекания тока при разрядке противоположно направлению тока при зарядке и показано на риса штриховой стрелкой. Вцепи отсутствует источник электрической энергии, поэтому переходный процесс закончится после того, как вся энергия электрического поля конден- Рис. 5.8 113 сатора 2 / э будет преобразована в тепло в резистивных элементах цепи. В этом состоянии ток вцепи прекратится, и напряжение на конденсаторе будет нулевым э 0 C W u = ⇒ = . Следовательно, установившееся значение напряжения будет нулевым уст , и напряжение будет содержать только свободную составляющую св pt u Ae = Свободную составляющую напряжения найдём в результате решения однородного дифференциального уравнения для состояния цепи после коммутации св св r C u dt + + = . (5.27) Характеристическое уравнение для (5.27) – ( ) 1 0 R r Cp + + = . Оно имеет корень [ ] 1/ ( ) p R r C = − + . Отсюда постоянная времени – ( ) R r C τ Подставляя начальное и установившееся значения в (5.23) получим постоянную интегрирования A E = . Отсюда окончательно напряжение на ёмко- стном элементе / ( ) t t R r C C u Ee Ee − − τ + = = . (5.28) Теперь можно определить ток вцепи) Из выражений (5.28)-(5.29) следует, что напряжение на ёмкостном элементе при переходном процессе монотонно изменяется от ЭДС источника до нуля, а ток вцепив момент коммутации скачкообразно возрастает до значения, а затем также монотонно снижается до нуля (рис. 5.8, б. 5.4.3. Переходные процессы при периодической коммутации. Режим периодической коммутации, аналогичный рассмотренному для RL цепи, возможен в схеме риса. На первом интервале происходит подключение цепи к источнику ЭДС и зарядка конденсатора с постоянной времени (см. раздел 5.4.1). На втором интервале С цепь отключается от источника электрической энергии и происходит разрядка конденсатора с постоянной времени 2 ( ) R r C τ = + (см. раздел 5.4.2). При малой длительности первого интервала ( 1 1 3 t < τ ) ключ S переключится с положение 2 до того как напряжение на ёмкостном элементе достигнет значения E (риса. После переключения начнется процесс рассеяния энергии накопленной в электрическом полек этому моменту э 1 ( ) / 2 C w Cu t = , где 1 1 ( ) C u t – напряжение на ёмкости на границе первого интервала. Если 1 2 3 T t − > τ , ток концу периода напряжение 2 C u снизится практически до нуля (риса. В случае 1 2 3 T t − < τ (рис. 5.9, б) накопленная в конденсаторе энергия не сможет рассеяться на втором интервале. Тогда начальные условия для первого интервала будут ненулевыми 1 2 1 0 (0 ) ( ) C C u u T t E + < = − < . На рис. 5.9 штриховой линией показаны средние значения напряжения C u . При изменении скважности в пределах 0 1,0 ≤ γ ≤ среднее значение напряжения изменяется от нуля до E . Если параллельно конденсатору подключить некоторую нагрузку, то напряжение на ней можно регулировать изменением значения γ, те. широтно-импульсным способом, и рассмотренное устройство будет простейшим широтно-импульсным регулятором напряжения. Вопросы для самопроверки Чему равна постоянная времени Сцепи Как влияет увеличение (уменьшение) величины ёмкости (сопротивления) на длительность переходного процесса Чему равно установившееся значение напряжения на (тока в) м- кости при подключении цепи к источнику ЭДС Что происходит с энергией электрического поля при разрядке конденсатора через резистор Чем ограничивается ток в первый момент времени при разрядке конденсатора через резистор Как протекают переходные процессы при периодической коммутации При каком условии напряжение на конденсаторе при периодической коммутации не будет спадать до нуля Что такое широтно-импульсный регулятор напряжения 5.5. Разрядка конденсатора через катушку индуктивности Для получения импульсов напряжения в различных устройствах часто используется процесс разрядки конденсатора через катушку индуктивности. Рис. 5.9 Если потери в конденсаторе незначительны, то его можно представить на схеме замещения идеальным ёмкостным элементом. Тогда схема цепи с катушкой индуктивности, потери в которой учитываются резистивным элементом, будет иметь вид рис. 5.10. Пусть конденсатор Сбыл предварительно заряжен до напряжения E источника, а затем ключ S переведён в положение 2. После коммутации ёмкостный элемент оказывается подключённым к последовательной цепи и начинается процесс разрядки, входе которого энергия, накопленная в ёмкостном элементе, частично преобразуется в энергию магнитного поля индуктивного элемента, а частично рассеивается в виде тепла в резистивном элементе. Процесс обмена энергией между электрическим полем ёмкостного элемента и магнитным полем индуктивного элемента продолжается до тех пор, пока вся энергия этих полей не будет рассеяна резистивным элементом. В результате вцепи установится нулевой ток при нулевом напряжении на ёмкостном элементе. Уравнение Кирхгофа для контура цепи после коммутации с учётом направлений тока и напряжений на элементах имеет вид 0 R L C C di u u u Ri L u dt + − = + − = . (5.30) Направления тока и напряжения на ёмкостном элементе противоположны, т.к. ток вцепи это ток разрядки конденсатора, поэтому C du i C dt = − . Подставляя это выражение в (5.30), получим однородное дифференциальное уравнение второго порядка 2 2 0 C C C d u du u L R dt C dt + + = . (5.31) Характеристическим уравнением для (5.31) будет уравнение 2 1/ 0 Lp Rp C + + = , (5.32) имеющее два корня – 2 2 2 1,2 0 2 1 2 2 2 1 1 R R p L L LC R ⎛ ⎞ = − ± − = −δ ± δ − ω = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎤ ρ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ = δ − ± − ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ , (5.33) Рис. 5.10 где 2 R L δ = – коэффициент затухания 0 1 LC ω = и / L C ρ = – резонансная частота и характеристическое сопротивление контура разрядки. Общее решение уравнения (5.31) для напряжения на емкостном элементе имеет вид 1 2 1 2 p t p t C u A e A e = + . (5.34) Отсюда решение для тока вцепи) В зависимости от параметров элементов цепи переходный процесс может иметь различный характер. Если 2 R > ρ , то подкоренное выражение в (5.33) вещественное, оба корня также вещественные отрицательные и переходный процесс имеет апериодический характер, те. функции (5.34) и (5.35) представляют собой сумму двух экспонент с различными постоянными времени 1 1 2 2 |1/ | |1/ | p p τ = > τ Если 2 R < ρ – корни характеристического уравнения комплексные со- пряжённые: 2 2 1,2 0 c p j j = −δ ± ω − δ = −δ ± ω , где 2 2 c 0 ω = ω − δ . (5.36) Решением дифференциального уравнения при комплексных сопряжённых корнях являются периодические синусоидальные функции, поэтому переходный процесс в этом случае имеет колебательный характер. Подставляя корни характеристического уравнения в (5.34), а затем, дифференцируя полученное выражение, получим общий вид решения для напряжения и тока ( ) ( ) ( ) c c c c c c 1 2 1 2 c 1 2 ; j t j t t C j t j t j t j t t u e A e A e i Ce A e A e j A e A e ω − ω −δ ω − ω ω − ω −δ = + ⎡ ⎤ = − −δ + + ω − ⎣ ⎦ . (5.37) В случае 2 R = ρ корни кратные и переходный процесс будет также апериодическим. Апериодический переходный процесс. Для получения решения дифференциального уравнения (5.31) нужно определить постоянные интегрирования 1 A и 2 A . Для этого нужно знать начальные условия, теток в индуктивном элементе и напряжение на ёмкост- ном элементе в момент коммутации. При общем описании процесса было установлено, что до перевода ключа в положение 2 ёмкость была заряжена до значения ЭДС источника, те. (0 ) (0 ) C C u u E − = + = , и ток в индуктивном элементе отсутствовал (0 ) (0 ) 0 i i − = + = , т.к. его цепь была разомкнута. Подставляя начальные условия в уравнения (5.34) и (5.35) при 0 t = , получим систему уравнений для определения постоянных интегрирования 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 (0 ) (0 ) (0 ) 0 (0 ) ( ) 0 C C u E u A A i i C p A p A A A E p A p A − − = = + = + = = + = Отсюда 2 1 1 2 1 2 1 2 ; p E p E A A p p p p = − = − − , и окончательное решение для напряжения и тока ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 ; p t p t C p t p t E u p e p e p p E i e e L p p = − − = − − (5.38) Из выражения (5.38) для тока можно найти напряжение на индуктивном элементе ( ) 2 1 2 1 1 2 p t p t L E u p e p e p p = − − (5.39) Функции (5.38)-(5.39) представляют собой разности двух экспонент с различными постоянными времени. На рисунке 5.11, а показаны эти кривые, а для тока приведены также составляющие его экспоненты 1 i и 2 i . После быстрого затухания второй экспоненты характер переходного процесса и его длительность определяются практически первой экспонентой. Токи напряжение на емкостном элементе в течение всего переходного процесса остаются положительными, а напряжение на индуктивном элементе меняет знак, но все функции имеют апериодический (непериодический) характер. Рис. 5.11 Ток вцепи вначале возрастает и имеет максимума затем уменьшается до нуля. Такой же характер имеет и количество энергии в магнитном поле катушки. Это значит, что вначале процесса разрядки энергия электрического поля конденсатора частично преобразуется в энергию магнитного поляка- тушки, а затем после максимума тока происходит монотонное рассеяние энергии обоих полей в резистивном элементе. 5.5.2. Колебательный переходный процесс. Для определения постоянных интегрирования при колебательном процессе используем те же начальные условия (0 ) (0 ) C C u u E − = + = и (0 ) (0 ) 0 i i − = + = . Подставляя их в (5.37), получим ( ) ( ) 1 2 1 2 c 1 2 0 A A E A A j A A + = δ + − Отсюда 1 c 2 c c c ( ); ( ) 2 2 E E A j A j = ω − δ = ω + δ ω ω , и далее из (5.37), используя формулу Эйлера, – ( ) c c c c c c cos sin ; sin t C t E u e t t E i e t L −δ −δ = ω ω + δ ω ω = ω ω (5.40) Дифференцируя выражение для тока, получим напряжение на индуктивном элементе ( ) c c c c cos sin t L E u e t t −δ = ω ω − δ ω ω . (5.41) Частота собственных затухающих колебаний цепи c ω , коэффициент затухания и резонансная частота 0 ω связаны между собой соотношениями прямоугольного треугольника (5.36). Поэтому если принять c tg / β = δ ω , то c 0 0 cos ; sin ω = ω β δ = ω β и выражения для напряжений на реактивных элементах можно представить в виде 0 c c 0 c c cos( ); cos( ). t C t L u E e t u E e t −δ −δ ω = ω − β ω ω = − ω + β ω (5.42) Функции (5.42) и кривая тока показаны на рис. 5.11, б. Они представляют собой затухающие синусоидальные колебания. Скорость затухания определяется коэффициентом δ. На рисунке показаны также огибающие амплитуд тока Переход к колебательному переходному процессу от апериодического происходит приуменьшении сопротивления контура R как следствие замедления рассеяния энергии резистивным элементом цепи. В результате в контуре возникает периодический обмен энергией между полями аналогичный обмену при резонансе, нов отличие от резонанса, где потери энергии вцепи восполнялись внешним источником, здесь процесс обмена сопровождается необратимым рассеянием и постепенным затуханием колебаний. Помимо затухания колебаний рассеяние энергии проявляется в их частоте c ω , которая меньше резонансной частоты цепи 0 ω и приближается к ней по мере уменьшения. Теоретически частота колебаний будет равна резонансной при нулевом сопротивлении контура. В этом случаев цепи установится режим незатухающих колебаний при отсутствии внешнего источника энергии. Вопросы для самопроверки 1. Какие параметры определяют характер переходного процесса при разрядке 2. Как протекает переходный процесс при апериодической разрядке конденсатора 3. Как происходит преобразование энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора, при апериодической разрядке через катушку индуктивности 4. Как протекает переходный процесс при колебательном характере переходного процесса разрядки конденсатора 5. Как происходит преобразование энергии, накопленной в электрическом поле конденсатора, при колебательном характере переходного процесса разрядки конденсатора 6. В каком случае частота колебаний тока при разрядке конденсатора будет равна резонансной частоте контура разрядки |