Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
5. Переходные процессы в электрических цепях Переходные процессы в электрической цепи, это электромагнитные процессы, происходящие при изменении её состояния в течение некоторого промежутка времени. Причиной того, что состояние цепи не может измениться мгновенно, является наличие энергии в электрических и магнитных полях, запас которой в переходном процессе должен перераспределиться между полями или быть преобразованным в неэлектрические виды энергии. Невозможность скачкообразного изменения состояния полей следует из необходимости использования для решения этой задачи источника электрической энергии бесконечной мощности, т.к. в этом случае / p dw dt = = ∞ В отличие от установившихся режимов, в которых состояние цепи определяется постоянными параметрами величин ЭДС, напряжения и тока, в переходных процессах эти параметры изменяются во времени. Поэтому переходные процессы описываются дифференциальными уравнениями. Однородными, если вцепи отсутствуют источники электрической энергии, или неоднородными, если такие источники есть. В дальнейшем мы будем рассматривать переходные процессы, происходящие в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами при быстром (скачкообразном) изменении схемы соединений. 5.1. Коммутация. Законы коммутации. Начальные условия Мгновенное изменение схемы соединения или параметров элементов электрической цепи называется коммутацией. Для описания коммутации используют понятие идеального ключа или просто ключа. Идеальный ключ это элемент электрической цепи, который может находиться в двух состояниях – нулевого и бесконечно большого активного сопротивления, и мгновенно менять своё состояние в заданный момент времени. Сопротивление реального технического устройства не может измениться мгновенно, но если время его изменения существенно меньше длительности последующего процесса, то можно считать коммутацию мгновенной. На схемах замещения ключ изображают в виде механического замыкающего, размыкающего или переключающего контакта (риса, б, в. Иногда стрелкой показывают направление его движения при коммутации. При анализе переходных процессов отсчёт времени производят от момента коммутации 0 t = и вводят понятия момента времени, непосредственно Рис. 5.1 предшествующего коммутации 0 t − = , и момента времени, непосредственно следующего за коммутацией Из выражения для мощности индуктивного элемента цепи L L L L L di p u i L i dt = = следует, что для скачкообразного изменения тока / L L di dt p = ∞ ⇒ = ∞ требуется бесконечно большая мощность, поэтому ток в ветви с индуктивным элементом не может измениться скачкообразно и после коммутации сохраняет значение, которое было до коммутации. Этот вывод называется первым законом коммутации и математически записывается в виде (0 ) (0 ) L L i i − + = (5.1) Аналогично можно заключить, что напряжение на ёмкостном элементе не может измениться скачкообразно, т.к. в этом случае мощность ёмкостного элемента / C C C C C C du dt du p u i u C dt =∞ = = = ∞ будет бесконечно большой ив такой цепи не может быть обеспечен баланс мощностей. Этот вывод называется вторым законом коммутации и математически записывается в виде (0 ) (0 ) C C u u − + = (5.2) Значения токов в индуктивных элементах цепи (0 ) L i − и напряжений на ёмкостных элементах (0 ) C u − непосредственно перед коммутацией называются начальными условиями переходного процесса. Если эти значения равны нулю, то такие условия называются нулевыми начальными условиями. В противном случае начальные условия ненулевые. Вопросы для самопроверки 1. Почему состояние электрической цепи не может измениться мгновенно. Что такое коммутация 3. Что такое идеальный ключ 4. Почему ток в индуктивном элементе не может измениться скачкообразно. Почему напряжение на ёмкостном элементе не может измениться скачкообразно 6. Что такое начальные условия 5.2. Классический метод расчёта переходных процессов Переходные процессы в электрических цепях описываются системой дифференциальных уравнений, составленных на основе законов Ома, Кирхгофа, электромагнитной индукции и др. для состояния цепи после коммутации. Для простых цепей эту систему уравнений можно исключением переменных свести к одному в общем случае неоднородному дифференциальному уравнению относительно какой-либо величины 1 0 1 1 1 n n n n n n d a d a da B B B B a C dt dt dt − − − + + + + = … (5.3) В качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на ёмкостном. Порядок уравнения n не превышает числа накопителей энергии вцепи (индуктивных и ёмкостных элементов. Далее решение уравнения ищут в виде суммы частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения уст св В качестве частного решения выбирают решение для установившегося режима после коммутации, которое можно найти обычными методами расчё- та цепей в установившемся режиме. Общее решение однородного уравнения 1 0 1 1 1 0 n n n n n n d a d a da B B B B a dt dt dt − − − + + + + = … (5.4) св называется свободной составляющей, так как это решение соответствует процессам вцепи при отсутствии воздействия на неё источников электрической энергии. Если свободную составляющую представить экспонентой св и подставить в уравнение (5.4), то получим ( ) 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 n n pt n n n n n n B p B p B p B Ae B p B p B p B − − − − + + + + = ⇓ + + + + = … … (5.5) Последнее выражение (5.5) называется характеристическим уравнением. Оно получается формальной заменой производных в (5.4) на k p , где k – порядок соответствующей производной. Свободная составляющая решения представляет собой сумму n линейно независимых слагаемых вида k p t k k a A e = , св t k k a A e = = ∑ . (5.6) где k p – корень характеристического уравнения (5.5). Если в решении уравнения (5.5) есть корни кратности m, то соответствующие слагаемые в (5.6) имеют вид 1 1 1 1 1 ; ; l l l p t p t p t m l l l l l m l m a A e a tA e a t A e − + + + − + − = = = … При получении в решении уравнения (5.5) комплексно сопряженных пар корней, каждой паре корней , 1 q q q q p j + = −δ ± ω в (5.6) будет соответствовать слагаемое вида 1 sin( ) q t q q q q q a a A e −δ + + = ω + ψ . На последнем этапе решения изначальных условий находят постоянные интегрирования , k q A ψ . Для этого определяют значение св ) a + и n-1 её производных в начальный момент времени ( св св св ), (0 ), (0 ) n a a a − + + + ′ ′′ … . Дифференцируя рази приравнивая полученные выражения начальным значениям, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных интегрирования св св 1 2 2 ( 1) 1 св 1 2 2 (0 ) (0 ) (0 ) n n n n n n n n n a A A A a p A p A p A a p A p A p Вопросы для самопроверки В какой форме ищут решение дифференциального уравнения, описывающего переходный процесс вцепи Что такое свободная составляющая решения Как получить характеристическое уравнение Какой вид имеют слагаемые свободной составляющей решения при различных корнях характеристического уравнения Как определяют постоянные интегрирования 5.3. Переходные процессы вцепи с индуктивными резистивным элементами Рассмотрим переходные процессы вцепи с последовательным включением индуктивного и резистивного элементов (риса. Состояние цепи после замыкания ключа S описывается дифференциальным уравнением L R di u u L Ri e dt + = + = (5.7) Общее решение этого уравнения для тока вцепи уст св i i = + . (5.8) Найдём общее решение однородного уравнения св св . (5.9) Для этого составим характеристическое уравнение – 0 Lp R + = и решим его относительно p – / p R L = − . Отсюда свободная составляющая тока – св Свободная составляющая тока представляет собой экспоненциальную функцию вида св τ = , которая изменяется от значения A до нуля за бесконечно большой промежуток времени. Скорость изменения функции определяется величиной, называемой постоянной времени. Чем меньше τ , тем быстрее экспонента стремится к нулю. Постоянную времени можно определить также как время, в течение которого функция изменяется в е раз. На графике это отрезок, отсекаемый на оси времени касательной в начальной точке кривой (рис. 5.2, б. Теоретически конечное значение экспоненты является асимптотой, поэтому переходный процесс должен продолжаться бесконечно. На самом деле через 3 τ , 4 τ и 5 τ значение тока будет отличаться от нуля на 5,0%, 2% и 0,67%. В технике принято считать длительностью переходного процесса время, в течение которого экспоненциальная функция достигает значения, отличающегося от установившегося значения не более чем нате. Всеми свойствами функции / t e − τ обладает также функция вида / 1 t e − τ − , стой лишь разницей, что установившимся значением для неё является единица, а не нуль. В рассматриваемой цепи м 2 2 2 L Li w R p Ri τ = = = , те. постоянная времени определяет неизменное соотношение между энергией в магнитном поле катушки индуктивности и скоростью её преобразования в активном сопротивлении. Чем больше запас энергии (L) и чем медленнее она преобразуется меньше R), тем длительнее переходный процесс вцепи. Установившееся значение тока уст определяется в результате расчёта цепи после окончания переходного процесса при заданном значении ЭДС e. Искомый ток протекает вцепи с индуктивным элементом, поэтому для него должен выполняться первый закон коммутации (0 ) (0 ) i i − + = . Определив начальное значение тока (0 ) i − , мы можем найти постоянную интегрирования A из уравнения (5.8) для момента коммутации. Рис. 5.2 уст св уст уст ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) (0 ) i i i i i A A i i − + + + + − + = = + = + ⇒ = − (5.10) 5.3.1. Подключение цепи к источнику постоянной ЭДС. В установившемся режиме ток вцепи с постоянной ЭДС не меняется, поэтому уст и уравнение (5.7) имеет вид уст . Отсюда уст и общее решение для тока уст св i i Ae R − = + = + . (5.11) В выражении (5.11) единственной неизвестной величиной является A. Для её определения нужно знать начальное значение тока (0 ) i − . До коммутации цепь была разомкнута, поэтому (0 ) (0 ) 0 i i − + = = . Подставляя это значение в (5.10), получим постоянную интегрирования / A E R = − и окончательное выражение для тока ( ) / 1 1 R R t t t L L E E E i e e I e R R R − − − τ ⎛ ⎞ = − = − = − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . (5.12) Отсюда нетрудно найти напряжения на индуктивном и резистивном элементах) На рис. 5.2, б приведены графики функций (5.12)-(5.13). После коммутации токи все напряжения вцепи изменяются по экспонентам с одинаковыми постоянными времени. Напряжение на индуктивном элементе в момент коммутации скачкообразно увеличивается до напряжения источника питания, а затем уменьшается до нуля в конце переходного процесса. Физический смысл переходного процесса при подключении цепи кис- точнику электрической энергии заключается в накоплении энергии в магнитном поле катушки. Действительно, энергия магнитного полям изменяется входе процесса в соответствии с изменением тока от нулевого значения до конечной величины м 2 W LI = , после чего остаётся постоянной. Мощность, потребляемая от источника ЭДС, и рассеиваемая резистивным элементом в виде тепла равна ( ) 2 2 / 2 / 1 2 t t R E p Ri e e R − τ − τ = = − + , а мощность, расходуемая на формирование магнитного поля – ( ) 2 / 2 / t t L L E p u i e e R − Вначале процесса (рис. 5.2, в) практически вся энергия, потребляемая цепью от источника, накапливается в магнитном поле. Затем всё большая часть её начинает рассеиваться резистивным элементом, а процесс накопления замедляется, ив установившемся режиме наступает состояние, когда вся энергия источника преобразуется в тепло в резистивном элементе. 5.3.2. Отключение цепи от источника постоянной ЭДС. Рассмотрим процесс отключения цепи от источника постоянной ЭДС. Пусть идеальный ключ S длительное время находился в состоянии 1 так, что переходный процесс, связанный с накоплением энергии индуктивным элементом завершился, а затем переключился в положение 2 (риса. После переключения вцепи отсутствует источник электрической энергии, иона описывается однородным дифференциальным уравнением св св r i dt + + = + + = , (5.14) и, следовательно, ток содержит только свободную составляющую св pt i Ae = Корнем характеристического уравнения ( ) 0 Lp R r + + = является ( ) / p R r L = − + . Отсюда постоянная времени – /( ) L R r τ = + . Установившееся значение тока вцепив положении 1 ключа S (см. предыдущий раздел) равно начальному значению дои после коммутации (0 ) (0 ) / i i E R − + = = . Из выражения (5.10) с учётом того, что уст , постоянная интегрирования определится как (0 ) / A i E R − = = . Отсюда окончательно ток вцепи) После размыкания ключа S вцепи начинается переходный процесс, связанный с преобразованием энергии м 2 W LI = , накопленной в магнитном поле катушки, в тепло, рассеиваемое резистивными элементами R и r. Процесс преобразования заканчивается при снижении тока до нуля, те. при полном рассеянии накопленной энергии. Определим ЭДС самоиндукции вцепи Рис. 5.3 107 / t di R r e L Ee dt R − τ + = − = . (5.16) Из выражения (5.16) следует, что в момент коммутации на индуктивном элементе возникает ЭДС самоиндукции (0 ) ( ) / e R r E R + = + , превосходящая ЭДС источника враз, а на сопротивлении r – падение напряжения (0 ) (0 ) / r u ri Er R + + = = . Отключение цепи с индуктивным элементом без замыкания на сопротивление эквивалентно условию r = ∞ , где r – сопротивление разомкнутых контактов ключа. В результате на катушке и на ключе должно возникать бесконечно большое напряжение. На самом деле этого не происходит, т.к. уже при напряжении в несколько киловольт в зазоре контактов выключателя возникает электрическая дуга, которая имеет конечное электрическое сопротивление, снижающее перенапряжения. Тем не менее, это явление представляет большую опасность для оборудования и требует учёта и принятия мер для уменьшения вредных последствий. Самыми распространёнными способами снижения перенапряжений в цепях постоянного тока являются включение конденсатора и резистора параллельно контактам ключа или диода и резистора параллельно катушке индуктивности (рис. 5.4). При размыкании ключа S конденсатор начинает заряжаться риса, создавая контур для протекания тока параллельно контактам ключа. Эту же функцию выполняет диод на рис. 5.4, б. При замкнутом ключе S ЭДС источника смещает диод в отрицательном направлении, в котором он обладает высоким сопротивлением. При размыкании ключа диод смещается в положительном направлении за счёт ЭДС самоиндукции и открывает путь для протекания тока минуя ключ. 5.3.3. Переходные процессы при периодической коммутации. Переключения ключа S на схеме риса могут происходить периодически (рис. 5.5) так, что в течение времени 1 t он находится в положении 1, а в течение остальной части периода 1 T t − – в положении 2. Отношение 1 0 / 1,0 t T ≤ γ = ≤ называется скважностью. На первом интервале происходит подключение цепи к источнику ЭДС и переходный процесс будет аналогичен рассмотренному в разделе 5.3.1. На втором интервале RL цепь отключается от источника электрической энергии и замыкается на сопротивление r. Переходный процесс при этом аналогичен рассмотренному в разделе 5.3.2. Постоянная времени цепи на первом интер- Рис. 5.4 вале равна 1 / L R τ = , а на втором – 2 /( ) L R r τ = + . Отличие переходных процессов при периодической коммутации заключается только в том, что начальные условия в них могут быть ненулевыми. При малой длительности первого интервала ( 1 1 3 t < τ ) ключ S переключится с положение 2 до того как ток вцепи достигнет установившегося значения (риса. После этого начнется процесс рассеяния энергии накопленной в магнитном полек моменту переключениям, где 1 1 ( ) i t – значение тока вцепи на границе первого интервала. Если 1 2 3 T t − > τ , ток концу периода ток вцепи снизится практически до нуля. Такой режим коммутации называется режимом прерывистого тока. В случае 1 2 3 T t − < τ рис. 5.5, б) накопленная в магнитном поле энергия не сможет рассеяться на втором интервале. Тогда начальные условия для первого интервала будут ненулевыми и ток вцепи на всём периоде не будет снижаться до нуля. Этот режим коммутации называется режимом непрерывного тока. На рис. 5.5 штриховой линией показаны средние значения тока вцепи. При изменении скважности в пределах 0 1,0 ≤ γ ≤ среднее значение тока изменяется от нуля до / E R . Таким образом, вцепи с индуктивным элементом можно регулировать ток с помощью ключа, изменяя значение γ. Этот способ регулирования тока называется широтно-импульсным, а устройство, реализующее его, – широтно-импульсным регулятором тока. 5.3.4. Подключение цепи к источнику синусоидальной ЭДС. Для анализа переходного процесса, возникающего при подключении RL цепи к источнику синусоидальной ЭДС, в правую часть уравнения (5.7) нужно подставить соответствующую функцию. Пусть действующая вцепи ЭДС равна sin m e E t = ω . Тогда установившееся значение тока можно найти поза- кону Ома как уст − ϕ , (5.17) Рис. 5.5 где / m m I E Z = , а – 2 2 ( ) ; arctg( / ) Z R L L R = + ω ϕ Свободная составляющая тока не зависит от вида источника энергии воздействующего на цепь и равна св До замыкания ключа S ток вцепи был нулевым, поэтому, в соответствии с первым законом коммутации – (0 ) (0 ) 0 i i − + = = . Пусть коммутация произошла в момент времени / t α = α ω , соответствующий фазовому углу α (рис. 5.6). Тогда установившееся значение в момент коммутации равно ( ) (0 ) sin( ) sin( ) уст уст m m i t i I t I α + α = = ω − ϕ = α − ϕ . Подставляя это значение в (5.10), получим постоянную интегрирования sin( ) m A I = − α − ϕ и окончательное выражение для тока в переходном процессе св уст i i I t I e − τ = + = ω − ϕ − α − ϕ . (5.18) Из выражения (5.18) следует, что ток вцепи при переходном процессе в общем случае представляет собой затухающие колебания с частотой ЭДС ω рис. 5.6). Однако в случае подключения цепи в момент времени / t α = ϕ ω, те. в момент, когда угол включения α = ϕ и значение установившегося тока равно нулю, переходного процесса вцепи не будет и сразу наступит установившийся режим. Наихудшие условия переходного процесса возникают вцепи при подключении её в момент ( / 2) / t α = ϕ ± π ω , те. когда угол включения / 2 α = ϕ ± π . В этом случае при условии T τ > ток примерно через половину периода достигает почти двукратного амплитудного значения установившегося режима. Этот ток называется сверхтоком и может вызывать опасные перенапряжения. Сверхтоки возникают при включении трансформаторов, двигателей переменного тока, реле, контакторов и других устройств с большой индуктивностью и требуют принятия мер по снижению их влияния на работу оборудования. Вопросы для самопроверки Чему равна постоянная времени RL цепи Как определяют длительность переходного процесса Как влияет увеличение (уменьшение) величины индуктивности сопротивления) на длительность переходного процесса Поясните физический смысл постоянной времени. Рис. 5.6 110 Чему равно установившееся значение тока в (напряжения на) индуктивности при подключении цепи к источнику ЭДС Что происходит с энергией магнитного поля при отключении цепи от источника Какие проблемы возникают при отключении цепи и как они решаются Как протекают переходные процессы при периодической коммутации При каком условии ток вцепи при периодической коммутации будет непрерывным Что такое широтно-импульсный регулятор тока При каком условии переходный процесс при подключении RL цепи к источнику синусоидальной ЭДС будет отсутствовать Что такое сверхток и при каком условии он возникает |