Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
m m u u m m p ui U I t t U I t UI UI t = = ω + ψ ω + ψ − ϕ = = ϕ − ω − ϕ = ϕ − ω − ϕ ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ (2.21) Из выражения (2.21) следует, что мощность имеет постоянную составляющую и переменную, изменяющуюся с двойной частотой. Положительная мощность соответствует поступлению энергии из внешней цепи в двухполюсник, а отрицательная – возврату энергии во внешнюю цепь. Так как мощность определяется произведением тока и напряжения, то потребление энергии двухполюсником происходит в интервалы времени, когда обе величины имеют одинаковый знак (риса. Баланс поступающей и возвращаемой энергии соответствует среднему за период значению мощности или активной мощности 2 а а 1 cos T P p dt UI UI U I RI GU T = = ϕ = = = = ∫ . (2.22) Активная мощность – это мощность, которая преобразуется в двухпо- люснике в тепловую или другие виды неэлектрической энергии, те. в большинстве случаев это полезная мощность. Выражение (2.22) поясняет физический смысл понятий активный токи активное напряжение. Они соответствуют той части тока или напряжения, которая расходуется на преобразование энергии в двухполюснике. Выражения для активной мощности позволяют также определить активное сопротивление и проводимость, как параметры интенсивности преобразования энергии двухполюсником. Активная мощность измеряется в ваттах Вт. Все технические устройства рассчитываются на работу в определённом номинальном) режиме. Проводники рассчитываются на определённый ток, изоляция на определённое напряжение. Поэтому мощность, приводимая в технических данных и определяющая массогабаритные показатели и стоимость изделия, соответствует произведению действующих значений тока и напряжения и называется полной или кажущейся мощностью Рис. 2.8. 51 S UI = . (2.23) Полная мощность не имеет физического смысла, но её можно определить как максимально возможную активную мощность, те. активную мощность при cos 1 ϕ = . Размерность полной мощности такая же, как и активной мощности, но для отличия единицей измерения полной мощности выбран вольт-ампер [ВА]. Отношение активной мощности к полной называют коэффициентом мощности cos cos P UI S UI ϕ = = ϕ Он равен косинусу угла сдвига фаз между током и напряжением на входе двухполюсника. Для лучшего использования оборудование должно работать с возможно более высоким коэффициентом мощности. Разработчики электроустановок стремятся обеспечить его максимальное значение. Но коэффициент мощности многих устройств, таких как трансформаторы, электродвигатели и др, сильно зависит от величины нагрузки. При снижении нагрузки он снижается, поэтому при эксплуатации оборудования нужно обеспечивать нагрузку близкую к номинальной. Кроме того, коэффициент мощности потребителей электрической энергии можно улучшить установкой конденсаторов и компенсаторов реактивной мощности. Высокий коэффициент мощности нагрузки нужен также для снижения потерь при передаче энергии. Ток в линии передачи определяется нагрузкой и равен Отсюда потери энергии в линии с сопротивлением проводников л 2 л л 2 cos R P P R I U Δ = = ϕ , те. потери в линии передачи очень сильно зависят от cos ϕ , т.к. они обратно пропорциональны квадрату его значения. Помимо преобразования электрической энергии двухполюсник постоянно обменивается ей с внешней цепью. Интенсивность этого обмена характеризуют понятием реактивной мощности 2 р р UI UI U I XI BU = ϕ = = = = . (2.24) Выражения (2.24) поясняют смысл понятий реактивный токи напряжение, а также реактивное сопротивление и проводимость. Первая пара величин определяет долю тока или напряжения, расходуемых в двухполюснике на формирование магнитных или электрических полей, а вторая пара является параметрами, определяющими интенсивность обмена энергией. Размерность реактивной мощности такая же, как у активной и полной мощности, но для отличия её измеряют в вольт-амперах реактивных [ВАр]. Из выражений (2.22)-(2.24) следует взаимосвязь активной, полной и реактивной мощности. 2 2 ; tg / S P Q Q P = + ϕ Они соответствуют сторонам прямоугольного треугольника, называемого треугольником мощностей и подобного треугольникам сопротивлений, про- водимостей, токов и напряжений. Этот треугольник можно представить также комплексным числом * cos sin j S P jQ UI jUI UIe U I ϕ = + = ϕ + ϕ = = , где S – комплексная мощность или комплекс мощности двухполюсника; * I – комплексное сопряжённое значение тока. Модуль комплекса мощности равен полной мощности | | S UI = . Активная мощность является вещественной составляющей комплекса мощности, а реактивная – мнимой. В соответствии с законом сохранения энергии активная мощность, создаваемая источниками в электрической цепи, должна полностью преобразовываться в приёмниках 2 1 1 cos m n p p p q q p q E I R I = = ϕ = ∑ ∑ , (2.25) где , p q I I – действующие значения токов, протекающих в м источнике им резистивном элементе. Можно показать, что для реактивной мощности справедливо аналогичное равенство 2 2 1 1 1 sin p q m k n k s s s L p C q s p q E I X I X I − = = = ϕ = − ∑ ∑ ∑ , (2.26) где , p q L C X X – индуктивное и ёмкостное сопротивления го иго элементов. Но тогда справедливо и равенство полных мощностей источников и при- ёмников электрической цепи 1 1 m n p q p q S S = = = ∑ ∑ (2.27) Выражения (2.25)-(2.27) называются балансом мощностей Вопросы для самопроверки 1. Что такое пассивный двухполюсник? 2. Что такое полное, активное и реактивное сопротивление 3. Какой параметр электрической цепи определяет сдвиг фаз между током и напряжением 4. В каких пределах может находиться сдвиг фаз между током и напряжением в пассивной электрической цепи 53 5. В каких пределах может находиться сдвиг фаз между током и напряжением в электрической цепи с активно-индуктивным (актив- но-ёмкостным) характером комплексного сопротивления 6. От какого вектора должен отсчитываться сдвиг фаз 7. Что такое активное (реактивное) напряжение 8. Какие параметры комплексной проводимости являются обратными величинами по отношению к параметрам комплексного сопротивления. Влияет ли величина активного (реактивного) сопротивления на величину реактивной (активной) проводимости двухполюсника? 10. Что такое активный (реактивный) ток 11. Как соотносятся между собой положительные направления тока и напряжения в пассивных элементах 12. Что такое активная (реактивная, полная) мощность 13. Что такое коэффициент мощности 14. Что такое треугольник напряжений (токов, сопротивлений, прово- димостей, мощностей 15. Сформулируйте условие баланса мощностей электрической цепи. 2.1.6. Законы Кирхгофа. Как уже отмечалось при рассмотрении цепей постоянного тока, законы Кирхгофа являются формой представления фундаментальных физических законов и, следовательно, должны соблюдаться в цепях переменного тока. Получаемый как следствие принципа непрерывности электрического тока первый закон Кирхгофа, справедлив для мгновенных значений токов вуз- лах, и формулируется как алгебраическая сумма мгновенных значений токов в узлах цепи равна нулю 0 n k k i = ± = ∑ (2.28 а) Токи, положительные направления которых выбраны к узлу, включаются в сумму с положительным знакома от узла – с отрицательным. Представляя токи в комплексной форме, получим 1 0 n k k I = ± = ∑ . (2.28 б) На рис. 2.9 в качестве примера показаны токи одного из узлов. При выбранных положительных направлениях уравнение Кирхгофа для узла имеет вид 2 3 1 2 3 1 0 i i i i i i + − = ⇔ + = . Проверить справедливость этого выражения можно в любой точке временной диаграммы риса, если сложить ординаты токов 2 i и 3 i . Это же уравнение можно записать для комплексных токов и изобразить графически в виде векторных диаграмм (рис. 2.9, б ив. Векторы на диаграммах можно строить изначала координат (рис. 2.9, б, но для взаимосвязанных величин, таких как токи в узлах или падения напряжения в контурах, их можно строить последовательно, принимая за начальную точку следующего вектора конец предыдущего (рис. 2.9, в. В этом случае на векторной диаграмме лучше прослеживается взаимосвязь изображаемых величин. Второй закон Кирхгофа, как одна из форм закона сохранения энергии, справедлив для любого момента времени, те. алгебраическая сумма напряжений на всех элементах замкнутого контура электрической цепи в любой момент времени равна алгебраической сумме ЭДС источников, действующих в контуре 1 1 m n p q p q u e = = ± = ± ∑ ∑ (2.29 а) или в комплексной форме 1 1 m n q p p q U E = = ± = ± ∑ ∑ . (2.29 б) Знаки в выражениях (2.29) выбирают положительными, если положительное направление напряжения или ЭДС совпадает с направлением обхода контура, и отрицательными в случае несовпадения. Составим уравнения Кирхгофа для контура электрической цепи, показанного на рис. 2.10. Направление обхода контура выбираем произвольно. В данном случае почасовой стрелке. Тогда 2 1 1 4 1 2 2 3 1 3 1 4 1 L R C R u u u u e e di L R i i dt R i e e dt C + − − = − + ⇓ + − − = − +Рис. 2.9. Рис. 2.10. или в комплексной форме 2 1 1 4 1 2 3 3 1 4 2 1 L R C R L C U U U U E E jX I R I jX I R I E E + − − = − + ⇓ + + − = Комплексное напряжение на ёмкостном элементе в развёрнутой записи уравнения поменяло знак, т.к. комплексное ёмкостное сопротивление отрицательно. Анализ электрических цепей синусоидального тока 2.2.1. Неразветвлённая цепь синусоидального тока. Пусть к участку электрической цепи с последовательным соединением резистивного, индуктивного и ёмкостного элементов (рис. 2.11) приложено напряжение sin( ) m u u U t = ω + ψ и по нему протекает ток sin( ) m i i I t = ω + ψ . Сумма падений напряжения на элементах цепи , , R L C u u u в каждый момент времени будет равна R L C u или для комплексных значений – ( ) R L C L C L C U U U U RI jX I jX I I R j X X I где ( ) L C Z R j X X = + − – комплексное сопротивление. Реактивное сопротивление включает обе составляющие индуктивную и ёмкостную. Если 0 L C X X X > ⇒ > , то фазовый сдвиг напряжения и тока составляет 0 90 < ϕ < ° и участок электрической цепи имеет активно- индуктивный характер. Если 0 L C X X X < ⇒ < , то 0 90 > ϕ > − ° и характер участка цепи активно-ёмкостный. Изменение реактивного сопротивления в пределах X −∞ < < +∞ приводит к изменению фазового сдвига от 90 − ° до 90 + ° . При равенстве индуктивного и ёмкостного сопротивлений они компенсируют друг друга и сопротивление цепи число активное. В случае отсутствия вцепи резистивного элемента ( 0 R = ), комплексное сопротивление цепи будет чисто реактивным, а угол сдвига фаз 90 ; 90 L C L C X X X X > < ϕ = ° ϕ = − На рис. 2.12 приведены временные и векторные диаграммы напряжений и тока для случаев активно-индуктивного и активно-ёмкостного характера цепи, а также треугольники сопротивлений. Начальная фаза входного напряжения выбрана произвольно. При условии (риса) ток отстаёт от напряжения на некоторый угол ϕ, определяемый соотношением реактивной X и активной R составляющих комплексного сопротивления Z . Напряжение на резистивном элементе сов- Рис. 2.11. падает по фазе стоком, поэтому вектор R U совпадает по направлению с вектором. Напряжение на индуктивном элементе опережает ток на 90 °, а на ёмкостном отстаёт от него на такой же угол. Поэтому векторы L U и C U перпендикулярны направлению вектора тока и направлены в разные стороны. В результате сложения векторов R U , L U и C U мы, в соответствии с законом Кирхгофа для контура цепи, приходим в точку конца вектора U . Построение векторной диаграммы для случая L C X X < (рис. 2.12, б) аналогично, ноток при этом опережает входное напряжение. Для последовательного соединения m резистивных, n индуктивных и p ёмкостных элементов (рис. 2.13) можно составить уравнение Кирхгофа в комплексной форме аналогично тому, как это было сделано для соединения одиночных элементов, и преобразовать его с помощью закона Ома ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 2 q s m n p n p n p R L C R L C R L C L C m L C m L L L C C C L C U U U U U U U U U U R I jX I jX I R I jX I jX I I R R R j X X X X X X I R j X X I R jX = + + + + + + + + + + + = = + − + + + − = ⎡ ⎤ = + + + + + + + − − − − = ⎣ ⎦ ⎡ ⎤ = + − = + ⎣ ⎦ … … … … … … … (2.30) Отсюда 1 1 1 ; ; k k p m n k L L C C k k k R R X X X X = = = = = = ∑ ∑ ∑ (2.31) Рис. 2.12 Следовательно, участок электрической цепи с произвольным количеством резистивных, индуктивных и ёмкостных элементов можно заменить соединением одиночных элементов с эквивалентными сопротивлениями соответствующего типа, равными сумме сопротивлений элементов входящих в соединение. Раскрывая суммы индуктивных и ёмкостных сопротивлений в (2.31), можно получить значения эквивалентных индуктивностей и ёмкостей: 1 1 1 1 1 1 ; 1 1 1 1 k k n n n L L k k k k k p p C C p k k k k k X L X L L L X X C C C C = = = = = = = ω = = ω ⇒ = = = = ⇒ = ω ω ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ (2.32) В случае последовательного соединения n элементов с одинаковыми параметрами выражения (2.31)-(2.32) упрощаются ; ; / n n n R nR L nL C C Последнее равенство в (2.30) соответствует двухполюснику с активной и реактивной составляющими комплексного сопротивления. В случае неравенства ёмкостного и индуктивного сопротивления ( L C X X ≠ ) одна из реактивных составляющих полностью компенсирует другую и схему двухполюсника можно представить в виде последовательного соединения R и L или R и C. Тогда векторная диаграмма будет состоять из трёх векторов напряжения (рис. 2.14). При этом вектор входного напряжения и векторы напряжений на резистивном и реактивном элементах, те. комплексные активное и реактивное напряжения, образуют прямоугольный треуголь- Рис. 2.13. Рис. 2.14. ник. При постоянном действующем значении напряжения на входе цепи, изменение параметра одного из элементов будет менять соотношение катетов треугольника, но его гипотенуза будет оставаться неизменной. Треугольник векторов, как вообще любой треугольник, можно вписать в окружность и углы треугольника будут равны половинам дуг окружности, на которые они опираются. Следовательно, в прямоугольном треугольнике векторов гипотенуза будет диаметром описанной окружности, а сама окружность – геометрическим местом точек концов двух других векторов при всех возможных вариациях параметров элементов. Такая окружность называется круговой диаграммой и её можно определить как геометрическое место точек концов векторов активного и реактивного напряжений двухполюсника при всех возможных вариациях его параметров и постоянном входном напряжении. |