Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
1.7. Методы расчёта электрических цепей Расчёт электрической цепи производится с целью получения данных о режиме её работы или для определения параметров, обеспечивающих заданный режим. Первая задача, задача определения токов, напряжений и мощностей на участках или элементах электрической цепи при заданной схеме, параметрах элементов и источников электрической энергии называется анализом цепи. Вторая задача заключается в определении состава электрической цепи и параметров ее элементов, обеспечивающих требуемый режим работы одного или нескольких из них, называется синтезом цепи ив пределах данного курса не рассматривается. Не входит в задачу данного курса и анализ цепей с источниками тока, которые обычно рассматриваются в курсах теоретических основ электротехники. Основой для анализа электрической цепи являются законы Ома и Кирхгофа, а также методы, разработанные на их основе для оптимального решения определённого класса задач. 1.7.1. Метод непосредственного применения закона Ома Закон Ома применяется для расчёта режимов отдельных участков электрической цепи, состоящих из одного или нескольких резисторов и источников ЭДС. Однако в сочетании с эквивалентными преобразованиями он может использоваться для более сложных задач. В частности, его можно использовать для задач определения тока в какой-либо ветви двухконтурной электрической цепи или напряжения на отдельном элементе. Рассмотрим ход решения подобных задач на примере цепи рис. 1.13. Пусть известны параметры всех элементов цепи и требуется определить напряжение на Для определения напряжения по закону Ома нужно знать ток I 2 , протекающий через R 21 . Его можно найти, поэтапно преобразовав схему к цепи, состоящей из одного контура (рис. 1.13, в, и вначале вычислить ток I 1 впервой ветви. Рис. 1.13. Эквивалентное сопротивление последовательно включённых резисторов R 21 и R 22 равно 2 21 22 R R R = + , а параллельно включённых R 2 и R 3 – 23 2 3 2 3 /( ) R R Ток вцепи рис. 1.13, в можно определить с помощью обобщённого закона Ома для участка ab: 23 1 1 1 ; ab ab U R I U E R I = = Отсюда 1 Теперь можно найти напряжение U ab : 23 23 1 1 23 ab R E U R I R R = = + , а затем токи искомое напряжение 2 2 21 21 2 / ; ab I U R U R I = = 1.7.2. Метод непосредственного применения законов Кирхгофа Законы Кирхгофа являются универсальным средством анализа электрических цепей. При расчёте режима цепи сих использованием рекомендуется определённая последовательность решения. Вначале нужно определить число ветвей в и число узлов уцепи. Число ветвей определяет общее число уравнений Кирхгофа, т.к. неизвестными величинами являются токи в ветвях. Для всех у узлов цепи можно составить уравнения по первому закону Кирхгофа, однако только у уравнений будут независимыми, т.к. последнее уравнение является суммой остальных. Поэтому число уравнений составляемых по первому закону равно у , а число уравнений по второму закону – 2 в 1 в у+ . Наследующем этапе решения произвольно выбирают направления токов в ветвях цепи, а затем контуры и направления их обхода. Число контуров должно быть равно числу уравнений по второму закону Кирхгофа. Выбор контуров нужно производить таким образом, чтобы все ветви были включены, по крайней мере, в один из контуров и все контуры отличались друг от друга, по крайней мере, одной ветвью. Рис. 1.14. 28 После этого составляют уравнения для выбранных узлов цепи, считая токи, направленные к узлам положительными, а от узлов отрицательными. Затем составляют уравнения для контуров, включая в левую часть уравнений напряжения на пассивных элементах, а в правую ЭДС источников. При этом напряжения на элементах, у которых направление протекания тока совпадает с направлением движения при обходе контура, включаются в уравнение с положительным знакома остальные с отрицательным. ЭДС источников также включаются в уравнение с учётом направлений их действия и направлений обхода контура с плюсом, если эти направления совпадают, и с минусом при встречных направлениях. Рассмотрим алгоритм составления уравнений Кирхгофа для конкретной цепи, приведенной на рис. 1.14. Общее количество неизвестных токов вцепи равно шести. Цепь имеет четыре узла, поэтому для неё можно составить три уравнения по первому закону Кирхгофа и три по второму. На рисунке 1.14 б) стрелками показаны произвольно выбранные направления токов во всех ветвях (индексы элементов цепи соответствуют номеру ветви. По отношению к узлу b токи 2 3 5 , , I I I получились ориентированными одинаково. Это означает, что в результате решения один или два тока из трёх будут отрицательными, те. будут протекать в направлениях противоположных выбранным. Выберем из четырех узлов три, например, a, b и c и составим для них уравнения Кирхгофа 4 1 2 2 3 5 1 3 6 ) 0 ) 0 ) 0 a I I I b I I I c I I I − − = + + = − − = (1.27) Выберем теперь произвольно три замкнутых контура так, чтобы в них входили все ветви. Всего для рассматриваемой цепи можно составить семь контуров aecba, abdga, bcfdb, aecfdga, aecfdba, aecbdga, abcfdga. Любые три из них можно использовать при составлении уравнений по второму закону Кирхгофа, но лучше ограничиться малыми контурами, т.к. при этом уравнения будут более компактными, а для результата выбор контуров не имеет значения. Примем направления обхода контуров почасовой стрелке и составим уравнения 1 1 3 3 2 2 1 2 2 5 5 4 4 4 3 3 6 6 5 5 6 ) ; ) ; ) ; aecba R I R I R I E abdga R I R I R I E bcfdb R I R I R I E + − = − − + = − + + = − (1.28) Следует заметить, что направления обхода могут быть любыми, в том числе и различными для разных контуров. Решить систему уравнений (1.27-1.28) можно любым способом, нов современных математических пакетах есть средства, позволяющие легко получить результат, если представить задачу в матричной форме 1 2 3 1 2 3 4 1 2 4 5 5 4 3 5 6 6 6 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 I I I R R R I E R R R I E R R R Столбцами матрицы являются множители соответствующих токов в уравнениях Кирхгофа, а в вектор-столбец правой части включены алгебраические суммы ЭДС источников, действующих в контурах. Определив токи 1 6 I I … , можно по закону Ома найти напряжения на всех резисторах ( k k k U R I = ), а также составить баланс мощностей цепи 2 1 1 ; m n R k k S k k k k P I R P E I = = = = ± ∑ ∑ , (1.29) где R P – мощность, рассеваемая на m сопротивлениях цепи, а S P – мощность, доставляемая n источниками ЭДС. Причём, мощность источника считается положительной, если направление тока в нём совпадает с направлением ЭДС 1.7.3. Метод контурных токов Метод контурных токов используют для расчёта сложных цепей с большим количеством узлов. Он позволяет исключить уравнения, составленные по первому закону Кирхгофа. Метод основан на предположении, что в каждом контуре цепи протекает собственный ток независимый от токов в других контурах, а истинные токи в ветвях являются алгебраической суммой контурных токов, протекающих через каждую ветвь. Рассмотрим решение задачи для цепи рис. 1.14 методом контурных токов. Пусть в произвольно выбранных контурах протекают независимые контурные токи I II III , , I I I (рис. 1.15). Направление этих токов также выберем произвольно и независимо одно от другого. Составим для каждого контура уравнение по второму закону Кирхгофа, включив в левую часть падения напряжения на элементах контура, создаваемые протекающими по ним токами, а в правую часть – ЭДС источников, действующих в контуре. ЭДС источников будем Рис. 1.15 30 считать положительными, если направление их действия совпадает с направлением протекания контурного тока. Падения напряжения, создаваемые собственными токами контура, будем всегда считать положительными, а падения напряжения, создаваемые в элементах контура токами смежных контуров, будем считать положительными, если ток смежного контура протекает через смежную ветвь в том же направлении, что и собственный ток контура. Для схемы рис. 1.15 уравнения контурных токов имеют вид 1 4 6 I 4 II 6 III 4 1 6 4 I 2 4 5 II 5 III 4 6 I 5 II 3 5 6 III 6 I) ( + + ) II) ( + + ) III) +( + + ) R R R I R I R I E E E R I R R R I R I E R I R I R R R I E + + = − − + − = − = − (1.30) или в матричной форме 1 4 6 4 6 I 4 1 6 4 2 4 5 5 II 4 6 5 3 5 6 III 6 R R R R R I E E E R R R R R I E R R R R R При известном навыке уравнения (1.30) можно составлять сразу в матричной форме, если учесть, что матрица коэффициентов этой системы симметрична относительно главной диагонали, на которой расположены суммы всех сопротивлений, входящих в соответствующие контуры. Эти суммы называются собственными сопротивлениями контуров. Элементы матрицы вне главной диагонали представляют собой алгебраическую сумму сопротивлений смежных ветвей соответствующих контуров, называемых также общими или взаимными сопротивлениями. Эти сопротивления включаются в сумму с положительным знаком, если контурные токи в смежной ветви имеют одинаковое направление. Элементы вектора-столбца правой части уравнений представляют собой алгебраическую сумму ЭДС действующих в соответствующем контуре. Знаки ЭДС в сумме соответствуют правилу, принятому при составлении уравнений (1.30). После решения системы уравнений (1.30) можно определить токи в ветвях цепи как алгебраическую сумму протекающих в них контурных токов 1 I 2 II 3 III 4 I II 5 II III 6 I III ; ; ; ; ; ; I I I I I I I I I I I I I I I = = = = + = − = + 1.7.4. Метод узловых потенциалов Метод узловых потенциалов позволяет исключить уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа. Метод основан на применении закона Ома и уравнений Кирхгофа для узлов электрической цепи. С помощью закона Ома можно определить ток в ветви, если известна разность потенциалов узлов, к которым подключена ветвь, а также её проводимость и действующая в ветви ЭДС. Если затем все токи ветвей связать условиями, соответствующими закону Кирхгофа для узлов цепи, то получится система уравнений, в которой неизвестными величинами будут потенциалы узлов. Решив систему относительно этих потенциалов, мы можем затем определить токи по составленным ранее уравнениям. Рассмотрим решение задачи для цепи рис. 1.14 методом узловых потенциалов. Выберем произвольно направления токов во всех ветвях с пассивными элементами, а в ветвях с источниками ЭДС примем за положительное направление тока, совпадающее с направлением действия ЭДС так, как это показано на рис. 1.16. Тогда на основании закона Ома 1 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 6 ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ; ( ) ( ) . ac a c ab a b cb c b da d a bd b d cd c d I U E G E G I U G G I U G G I U E G E G I U G G I U E G E G = + = ϕ − ϕ + = = ϕ − ϕ = = ϕ − ϕ = + = ϕ − ϕ + = = ϕ − ϕ = + = ϕ − ϕ + (1.31) где В любой электрической цепи имеет смысл только понятие разности потенциалов. Поэтому потенциал одного из узлов можно принять за нулевую точку отсчёта для остальных потенциалов. Произвольно примем потенциал узла d равным нулю и составим для остальных узлов уравнения Кирхгофа 4 1 2 2 3 5 6 1 3 ) 0 ) 0 ) 0 a I I I b I I I c I I I + − = + − = − − Подставляя в эту систему уравнений выражения (1.31), получим 1 2 4 2 1 1 1 4 4 2 2 3 5 3 1 3 1 3 6 1 1 6 6 ( ) ( ) 0 ( ) a b c a b c a b c G G G G G E G E G G G G G G G G G G G E G E G + + ϕ − ϕ − ϕ = + − ϕ + + + ϕ − ϕ = − ϕ − ϕ + + + ϕ = − + (1.32) или в матричной форме 1 2 4 2 1 1 1 4 4 2 2 3 5 3 1 3 1 3 6 1 1 6 6 0 a b c G G G G G E G E G G G G G G G G G G G E G E G + + − − ϕ + − + + − ϕ Матрица проводимостей симметрична относительно главной диагонали, на которой расположены суммарные проводимости ветвей, сходящихся в соответствующих узлах. Вне главной диагонали расположены элементы мат Это условие не является обязательным, но существенно упрощает выбор знаков ЭДС в уравнениях Рис. 1.16 32 рицы, представляющие собой суммарные проводимости всех ветвей, соединяющих соответствующие узлы, взятые с отрицательным знаком. Элементами вектора-столбца правой части уравнений являются алгебраические суммы ЭДС источников ветвей, сходящихся в узле, умноженные на проводимости этих ветвей. ЭДС источников входят в сумму с плюсом, если они направлены к узлу и с минусом, если от узла. Пользуясь этими правилами можно составлять уравнения или проверять правильность уже составленных. После определения потенциалов из уравнений (1.32) не составляет труда найти токи в ветвях по выражениям (1.31). Частным случаем метода узловых потенциалов является метод двух узлов. Как следует из его названия, он используется для расчёта электрических цепей, имеющих два только узла. Тогда потенциал одного из них принимается равным нулю, а потенциал другого определяется как 1 1 n k k k n k k E G G = = ± ϕ = ∑ ∑ . (1.33) Знак ЭДС в числителе выбирается положительным, если она направлена к узлу, и отрицательным в противном случае. Пример электрической цепи, для расчёта которой можно использовать метод двух узлов, приведён на рис. 1.17. Примем 0 b ϕ = . Тогда в соответствии с (1.33): 1 2 1 2 1 2 3 1 1 1 ab a b a E E R R U R R R − = ϕ − ϕ = ϕ Отсюда токи в ветвях 1 2 1 2 3 1 2 3 ; ; ab ab ab E U U E U I I I R R R − + = = = 1.7.5. Принцип и метод суперпозиции (наложения) Для линейных электрических цепей справедлив принцип суперпозиции, заключающийся в том, что реакция электрической цепи на суммарное воздействие равно сумме реакций на элементарные воздействия. Под реакцией электрической цепи понимается режим работы, который устанавливается в результате действия ЭДС источников электрической энергии. Метод наложения непосредственно следует из принципа суперпозиции и заключается в том, что ток в любой ветви линейной электрической цепи можно определить в виде суммы токов, создаваемых каждым источником в отдельности. Очевидно, что этот метод целесообразно применять в цепях с небольшим количеством источников. Рис. 1.17 Рассмотрим применение метода наложения на примере цепи рис. 1.18. В ней действуют два источника ЭДС. Отключим второй источник, заменив его внутренним сопротивлением ( 0 r = ). Тогда схема цепи будет соответствовать рис. 1.18, б, и для неё токи можно легко рассчитать, пользуясь, например, эквивалентными преобразованиями и законом Ома 1 3 11 21 11 31 11 21 2 3 2 3 1 2 3 ; ; E R I I I I I I R Ток 21 I получен в результате следующих выкладок 2 3 23 3 23 11 23 11 21 11 2 3 2 2 3 R R U R U I R I I I R R R R R = = ⇒ = = + + , которые можно успешно использовать при анализе других цепей и сформулировать на их основе правило распределения тока по двум параллельным ветвям ток в каждой из ветвей пропорционален отношению сопротивления другой ветви к суммарному сопротивлению обеих ветвей. Отключим теперь первый источники аналогичным методом определим токи вцепи рис. 1.18, в 2 3 22 12 22 32 22 12 1 3 1 3 2 1 3 ; ; E R I I I I I I R Складывая токи, создаваемые отдельными источниками с учётом их направлений, получим искомые токи 1 11 12 2 21 22 3 31 32 ; ; I I I I I I I I I = + = + = − 1.7.6. Метод эквивалентного источника (генератора) Метод эквивалентного источника является прямым следствием теоремы Тевенена гласящей, что ток в любой ветви сколь угодно сложной цепи можно найти, разделив напряжение, которое будет в точках подключения ветви в разомкнутом состоянии, на сумму сопротивления ветви и эквивалентного сопротивления всей цепи относительно точек подключения. Из этой теоремы следует, что по отношению к выделенной ветви всю остальную цепь можно рассматривать как источник электрической энергии с ЭДС, равной напряжению в точках подключения ветви, и внутренним сопротивлением, равным эквивалентному сопротивлению цепи относительно точек подключения. Рис. 1.18 34 Рассмотрим в качестве примера задачу определения тока в резисторе R, включённом в диагональ неуравновешенного моста (риса. Отключим резистор и определим напряжение cd U в точках его подключения (рис. 1.19, б. Для этого составим уравнение Кирхгофа для контура cdbc 4 34 2 12 2 12 4 34 0 cd cd U R I R I U R I R Ветви acb и adb соединены параллельно, поэтому токи в них независимы и равны 12 34 1 2 Отсюда 2 4 1 2 3 Далее нужно исключить источник, заменив его внутренним сопротивлением, и найти общее сопротивление цепи относительно точек cd ( cd R на рис. 1.19, в. После замены источника нулевым сопротивлением резисторы 1 2 , R R и 3 4 , R R образуют два параллельных соединения, включенных последовательно между точками cd. Поэтому 1 2 3 4 1 2 3 4 cd R R R Теперь внешнюю по отношению к резистору R цепь можно заменить эквивалентным источником (ЭИ на рис. 1.19, г) и найти искомый ток по закону Ома Вопросы для самопроверки 1. Сформулируйте правило выбора знака мощности источника в балансе мощностей электрической цепи. 2. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод контурных токов. Рис. 1.19 35 3. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод узловых потенциалов. 4. Сформулируйте правило выбора знаков ЭДС источников в методе двух узлов. 5. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод наложения. Сформулируйте основной принцип, на котором основан метод эквивалентного источника. |