Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
2. Электрические цепи синусоидального переменного тока. Понятие синусоидальный ток относится ко всем периодическим токам, изменяющимся во времени по синусоидальному закону. Этот вид тока имеет по сравнению с постоянным целый ряд преимуществ, обусловивших его широкое распространение в технике. Производство, передача и преобразование электрической энергии наиболее удобно и экономично на переменном токе. Синусоидальные токи широко используются в радиоэлектронике, электро- технологии. Всё бытовое электроснабжение также производится на переменном токе. В связи с этим, изучение явлений, закономерностей и свойств электрических цепей синусоидального переменного тока имеет особое значение, как для последующих разделов курса, таки для применения полученных знаний на практике. 2.1. Основные понятия теории и законы электрических цепей синусоидального тока 2.1.1. Синусоидальные ЭДС, токи и напряжения. Синусоидальные или гармонические величины математически описываются функциями вида ( ) sin( ); ( ) sin( ); ( ) sin( ) m e m i m u e t E t i t I t u t U t = ω + ψ = ω + ψ = ω + ψ . (2.1) где 2 /T ω = π – угловая частота функции с периодом. В правой части выражений (2.1) только одна величина является переменной – время t. Все остальные величины – константы. Значение функции в данный момент времени называется мгновенным значением и по соглашению обозначается строчной буквой. Кроме времени t, оно однозначно определяется тремя параметрами амплитудой, угловой частотой или периодом и начальной фазой. Максимальное значение функции называется амплитудой или амплитудным значением и обозначается прописной буквой с индексом m ( , , m m m E I U ). Аргумент синуса называется фазой, те. состоянием функции, а его значение в момент начала отсчёта времени (при 0 t = ) – начальной фазой ( , , e i u ψ ψ ψ ). Величину 1/ f T = , обратную периоду, называют частотой. Она связана с уг- Рис. 2.1 36 ловой частотой отношением 2 f ω = π . Промышленная сеть в России имеет частоту 50 Гц. Амплитуды функций (2.1) измеряются в единицах, соответствующих величин, те. в вольтах и амперах. Период измеряется единицами измерения времени, а частота в герцах (1 Гц. Мгновенные значения величин и их параметры по отдельности не дают представления об энергетических параметрах цепи, те. не позволяют судить о работе, совершаемой источниками электрической энергии или о мощности, рассеиваемой или преобразуемой в её элементах. Для этого требуются величины, включающие в оценку фактор времени. В цепях постоянного тока введение таких величин не требовалось, т.к. ЭДС, напряжения и токи были временными константами. На переменном токе вводится понятие действующего значения, как эквивалента теплового действия тока. По закону Джоуля-Ленца на участке электрической цепи с сопротивлением r, по которому протекает ток i, в течение элементарного промежутка времени dt выделится 2 i r dt джоулей тепла, аза период T – 2 0 T i r dt ∫ джоулей. Обозначим через I постоянный ток, при котором за тот же промежуток времени T в сопротивлении r выделится столько же тепла. Тогда 2 2 2 0 0 1 T T I rT i r dt I i dt T = ⇒ Величина I называется действующим, эффективным или среднеквадратичным значением переменного тока i. Подставляя выражение для синусоидального тока (2.1) и интегрируя, получим 2 0 1 0,707 2 T m m I I i По аналогии определяются действующие значения напряжения и ЭДС / 2 0,707 ; / 2 0,707 m m m m U U U E E E = ≈ = ≈ . Понятие действующего значения очень широко используется в цепях переменного тока. Большинство измерительных приборов градуируются в действующих значениях. Технические данные электротехнических устройств указываются в действующих значениях. В записи для действующих значений по соглашению используют прописные буквы без индекса, подчёркивая тем самым сходство этих понятий с аналогами на постоянном токе. Другой интегральной величиной, используемой в цепях переменного тока, является среднее значение 0 1 T i dt T ∫ , те. площадь, ограниченная линией функции и осью времени на протяжении периода. Но для синусоидальных функций эта величина тождественно равна нулю, т.к. площади положительной и отрицательной полуволн равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому условились под средним значением понимать среднее значение функции за положительный полупериод, те / 2 ср 0 2 2 0,637 T m m I i dt I I T = = ≈ π ∫ , и аналогично для напряжения и ЭДС – ср ср 2 / 0,637 ; 2 / 0,637 m m m m U U U E E E = π ≈ = π Вопросы для самопроверки Какими параметрами определяются синусоидальные функции времени Какое явление положено в основу понятия действующего значения переменного тока Поясните названия действующее, эффективное, среднеквадратичное значение. Как связаны между собой амплитудное и действующее значение синусоидальной величины Как определяется среднее значение синусоидальной величины 2.1.2. Получение синусоидальной ЭДС. Основными источниками энергии на переменном токе являются электромеханические генераторы, преобразующие энергию вращательного движения в электрическую. Простейшей реализацией такого источника является проводник в форме прямоугольной рамки, равномерно вращающийся с угловой скоростью ω в постоянном однородном магнитном поле (рис. 2.2). При вращении рамки изменяется величина магнитного потока, проходящего через её плоскость. В положении, когда плоскость рамки перпендикулярна к магнитным линиям поля поток Ф максимален – Ф Ф. По мере поворота рамки из этого положения он уменьшается и становится нулевым, когда плоскость рамки располагается вдоль линий поля. Затем направление потока меняет свой знаки он начинает увеличиваться. Таким образом, магнитный поток, пронизывающий рамку, изменяется в зависимости от угла её поворота по закону Ф Ф cos m = α , где α – угол между направлением линий магнитного поля и нормалью к плоскости рамки. Если рамка вращается равномерно с угловой скоростью ω ив момент времени, принятый за начало отсчёта, она находилась в угловом Рис. 2.2. положении e ψ , то e t α = ω + ψ и магнитный поток изменяется во времени в соответствии с выражением Ф Ф cos( ) m e t = ω + ψ . По закону электромагнитной индукции, в рамке наводится ЭДС, равная скорости изменения магнитного потока, те Ф Ф Ф sin( ) sin( ) m e m e m e d d t e t E t dt dt ω + ψ = − = − = ω ω + ψ = ω + ψ . Отсюда следует, что угловая частота ЭДС равна угловой скорости вращения рамки, а начальная фаза – начальному угловому положению. Амплитуда ЭДС пропорциональна максимальному значению магнитного потока и скорости вращения рамки. Амплитудное значение ЭДС повремени соответствует положению рамки, когда пронизывающий её поток нулевой, а скорость пересечения магнитных линий максимальна. По принципу действия промышленные генераторы переменного тока ничем не отличаются от рассмотренного элементарного устройства, кроме того, что рамка, в которой индуцируется ЭДС, в них неподвижна, а магнитное поле вращается вокруг не. 2.1.3. Изображение синусоидальных функций векторами. Аналитическое представление синусоидальных функций неудобно при расчётах, т.к. приводит к громоздким тригонометрическим выражениям, из которых часто бывает невозможно определить интересующий нас параметр в общем виде. Поэтому при анализе цепей переменного тока эти функции представляют в виде векторов, что позволяет перейти от тригонометрических к алгебраическим выражениями, кроме того, получить наглядное представление о количественных и фазовых соотношениях величин. Произвольная синусоидальная функция времени ( ) sin( ) m a a t A t = ω + ψ рис. 2.3, б) соответствует проекции на ось 0Y вектора с модулем равным m A , вращающегося на плоскости X0Y с постоянной угловой скоростью ω изначального положения, составляющего угол a ψ с осью 0X (риса. Если Рис. 2.3. таким же образом на плоскости изобразить несколько векторов, соответствующих разным синусоидальным функциям, имеющим одинаковую частоту, то они будут вращаться совместно, не меняя взаимного положения, которое определяется только начальной фазой этих функций. Поэтому при анализе цепей, в которых все функции имеют одинаковую частоту, её можно исключить из параметров, ограничившись только амплитудой и начальной фазой. В этом случае векторы, изображающие синусоидальные функции будут неподвижными (рис. 2.3, в. В тоже время, любой вектор на плоскости можно представить совокупностью двух координат либо двумя проекциями на оси декартовой системы координат, либо в полярной системе координат в виде модуля (длины) и угла с осью принятой за начало отсчёта (аргумента. Обе координаты в обоих случаях можно объединить в форме комплексного числа или, иначе говоря, построить вектор, изображающий синусоидальную функцию на плоскости комплексных чисел. Любая точка на комплексной плоскости или вектор, прове- дённый изначала координат в эту точку, соответствуют комплексному числу m A p jq = + * , где p – координата вектора по оси вещественных чисел, а q – по оси мнимых чисел. Такая форма записи комплексного числа называется алгебраической формой. Представив вещественную и мнимую часть вектора через его длину и угол с осью вещественных чисел, мы получим новую запись, которая называется тригонометрической формой комплексного числа. Пользуясь формулой Эйлера cos sin a j a a e j ψ = ψ + ψ , можно перейти от тригонометрической к показательной форме (cos sin ) a j m m a a m A A j A e ψ = ψ + ψ = . Здесь амплитуда синусоидальной функции является модулем комплексного числа, а начальная фаза аргументом. Алгебраическая и показательная формы записи комплексных чисел используются в расчётах. Первая для выполнения операций суммирования, а вторая – для умножения, деления и возведения в степень. Тригонометрическая форма является просто развёрнутой записью перехода от показательной формы к алгебраической. Переход от алгебраической формы к показательной осуществляется с помощью очевидных геометрических соотношений 2 2 ; arctg( / ) m a A p q q p = + ψ Множитель вида cos sin j e j φ = φ + φ играет исключительно важную роль в анализе цепей переменного тока. Он называется оператором поворота и представляет собой единичный вектор, развёрнутый относительно вещественной осина угол φ. Название оператора связано стем, что умножение на него любого вектора приводит к развороту последнего на угол φ. Веществен В электротехнике мнимая единица 1 − обозначается буквой j, т.к. буквой i принято обозначать мгновенное значение тока. 40 ные и мнимые числа 1, j, –1, –j можно рассматривать как операторы поворота 0 / 2 / 2 1 ; ; 1 ; j j j j e j e e j e π π − π = = − = − = , что облегчает восприятие преобразований векторов, связанных с операциями умножения на эти числа. Комплексное число m A , модуль которого равен амплитуде синусоидальной функции, называется комплексной амплитудой. Но амплитуда и действующее значение синусоидальной функции связаны между собой константой 1/ 2 0,707 ≈ , поэтому расчёт можно вести сразу для действующих значений, если использовать комплексные числа с соответствующим модулем / 2 m A A = . Число A называется комплексным действующим значением или просто комплексным значением. Применительно к ЭДС, напряжению и току такие комплексные величины ( , , E U I ) называют просто комплексной ЭДС, комплексным напряжением и комплексным током. Применение законов Ома и Кирхгофа предполагает использование понятия направление направление протекания тока, направление действия ЭДС, направление по отношению к узлу и др. Нов цепях переменного тока все величины (ЭДС, напряжения и токи) дважды за период меняют свои направления. Поэтому для них используют понятие положительное направление, те. направление соответствующее положительным мгновенным значениям определяемой величины. При изменении выбора направления начальная фаза синусоидальной величины изменяется на π. Следовательно, комплексные значения величин могут быть определены только с учётом выбора положительного направления. Для пассивного элемента положительное направление можно выбрать произвольно только для одной из величин – тока или напряжения. Направление второй величины должно совпадать с направлением первой, иначе будут нарушены фазовые соотношения между ними, вытекающие из физических процессов преобразования энергии. Положительное направление действия ЭДС считается заданным. Оно указывается стрелкой в условном обозначении и относительно этого направления определяется её начальная фаза. Для анализа количественных и фазовых соотношений величин на переменном токе на комплексной плоскости строят векторы, соответствующие режиму работы электрической цепи. Такая совокупность векторов называется векторной диаграммой. Вопросы для самопроверки Почему ЭДС рамки, вращающейся в однородном магнитном поле, изменяется по синусоидальному закону Чем определяется амплитуда ЭДС, наводимой в рамке, вращающейся в однородном магнитном поле Какие параметры синусоидальной функции времени отражаются изображающим её вектором 41 Какие формы представления комплексных чисел используют для изображения синусоидальных функций Для каких математических операций используют алгебраическую и показательную форму комплексных чисел Что такое оператор поворота Что такое комплексная амплитуда (комплексное значение Что такое векторная диаграмма 2.1.4. Основные элементы и параметры электрической цепи. В разделах 1.3 и 1.4 были рассмотрены основные элементы электрических цепей и их параметры. Приведённые там соотношения справедливы и на переменном токе, если в них в качестве ЭДС, напряжений и токов подставить соответствующие синусоидальные функции времени. Резистивный элемент. При протекании синусоидального тока sin( ) R m i i I t = ω + ψ по резистивному элементу на нём по закону Ома возникает падение напряжения sin( ) sin( ) R m i m u u Ri RI t U t = = ω + ψ = ω + ψ (2.2) Отсюда следует, что напряжение на резистивном элементе изменяется по синусоидальному закону с амплитудой m m U RI = и начальной фазой равной начальной фазе тока. Разделив обе части выражения для амплитуды на 2 , получим соотношение для действующих значений тока и напряжения Представим токи напряжение комплексными значениями Умножив комплексный ток R I на R , получим закон Ома для резистивного элемента в комплексной форме i i j j R R RI RIe Ue U ψ ψ = = = (2.3 а) Отсюда ток в резистивном элементе в комплексной форме равен / R R I U R = (2.3 б) График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для резистивного элемента показаны на риса и б Рис. 2.4. Мгновенная мощность, рассеиваемая на резистивном элементе равна sin( ) sin( ) (1 cos 2 ) R R R m u m i p u i U t I t UI t = = ω + ψ ⋅ ω + ψ = − ω , те. она изменяется во времени с двойной частотой и колеблется в пределах от нуля до 2 UI . В любой момент времени значения тока и напряжения имеют одинаковый знак, поэтому 0 p ≥ . Кривая изменения мощности показана на риса. Среднее за период значение мощности называется активной мощностью 2 0 1 T R P p dt UI RI T = = = ∫ . (2.4) Заштрихованная площадь на риса соответствует электрической энергии, необратимо преобразуемой резистивным элементом в неэлектрические виды энергии Индуктивный элемент. Пусть через индуктивный элемент протекает ток sin( ) L m i i I t = ω + ψ . Тогда его потокосцепление равно sin( ) sin( ) L m i m i Li LI t t Ψ = = ω + ψ = Ψ ω + ψ , (2.5) а ЭДС самоиндукции – sin( ) cos( ) i L |