Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
m m i d d t e LI LI t dt dt Ψ ω + ψ = − = − = −ω ω + ψ . (2.6) Отсюда напряжение на индуктивном элементе cos( ) sin( / 2) sin( ) L L m i m i m u u e LI t U t U t = − = ω ω + ψ = = ω + ψ + π = ω + ψ (2.7) Следовательно, амплитуда и начальная фаза напряжения равны ; / 2 m m u i U LI = ω ψ = ψ + Разделив выражение для амплитуды на 2 , получим соотношение действующих значений напряжения и тока для индуктивного элемента L U LI X I = ω = , (2.8) где L X L = ω – величина, имеющая размерность сопротивления и называемая индуктивным сопротивлением. Обратная величина 1/ 1/ L L B X L = = ω называется индуктивной проводимостью. Величина индуктивного сопротивления пропорциональна частоте тока протекающего через индуктивный элемент и физически обусловлена ЭДС самоиндукции, возникающей при его изме- Рис. 2.5. 43 нении. При увеличении частоты её значение стремится к бесконечности, а на постоянном токе ( 0 ω = ) индуктивное сопротивление равно нулю. Индуктивное сопротивление и индуктивная проводимость являются параметрами индуктивного элемента. Начальная фаза напряжения отличается от фазы тока нате. ток в индуктивном элементе отстаёт по фазе от напряжения на Представим токи напряжение комплексными значениями Отсюда, пользуясь выражениями (2.7-2.8), получим закон Ома в комплексной форме для индуктивного элемента ( / 2) / 2 i i j j j L L L L U LIe LIe e j LI jX I ψ +π ψ π = ω = ω = ω = (2.9 а) Ток в индуктивном элементе в комплексной форме равен /( ) L L L L L I U jX jB U = = − (2.9 б) Величины L jX и L jB − , входящие в выражение (2.9), называются комплексным индуктивным сопротивлением и комплексной индуктивной прово- димостью Пользуясь выражениями (2.5)-(2.6) комплексное напряжение на индуктивном элементе можно выразить также через комплексное потокосцепление ( / 2) / 2 i i j j j L L U E e e e j ψ +π ψ π = − = ωΨ = ωΨ = График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для индуктивного элемента показаны на риса и б Определим мгновенную мощность, поступающую в индуктивный элемент из внешней цепи ( ) sin( / 2) sin( ) cos cos 2 / 2 sin 2 2 2 L L L m i m i m m p u i U t I t U I t UI t = = ω + ψ + π ⋅ ω + ψ = π ⎡ ⎤ = − ω + те. мгновенная мощность изменяется синусоидально с двойной частотой, поэтому её среднее значение за период равно нулю. Энергия магнитного поля, соответствующая индуктивному элементу, равна ( ) 2 2 2 2 sin ( ) 1 cos 2 2 2 2 L m L i Li LI LI w t t = = ω + ψ = − ω Она изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой от нуля до 2 LI (риса. В течение четверти периода, когда значения тока и напряжения имеют одинаковые знаки, мощность, соответствующая индуктивному элементу, положительна и энергия накапливается в магнитном поле (положительная заштрихованная площадь на риса. В следующую четверть периода значения тока и напряжения имеют разные знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в магнитном поле, возвращается во внешнюю цепь. Причём во внешнюю цепь возвращается в точности то количество энергии, которое было накоплено, и баланс энергии за половину периода нулевой. Таким образом, в индуктивном элементе происходят непрерывные периодические колебания энергии, соответствующие её обмену между магнитным полем и внешней цепью без каких-либо потерь. Ёмкостный элемент. Если напряжение на выводах ёмкостного элемента изменяется синусоидально sin( ) C m u u U t = ω + ψ , тов соответствии сток в нм sin( ) cos( ) sin( / 2) sin( ) C u C m m u m u m i du d t i C CU CU t dt dt CU t I t ω + ψ = = = ω ω + ψ = = ω ω + ψ + π = ω + ψ , (2.10) теток в ёмкостном элементе изменяется по синусоидальному закону сам- плитудой и начальной фазой ; / 2 m m i u I CU = ω ψ = ψ + π . (2.11) Разделив выражение для амплитуды на 2 , получим соотношение действующих значений напряжения и тока для ёмкостного элемента C I CU B U = ω = , (2.12) Величина C B C = ω , имеющая размерность проводимости, называется ёмкостной проводимостью. Обратная величина 1/ 1/ C C X B C = = ω называется ёмкостным сопротивлением. Физически наличие ёмкост- ного сопротивления означает ограничение величины тока заряда- разряда ёмкостного элемента. Ёмкостное сопротивление, также как индуктивное, зависит от частоты приложенного напряжения, нов отличие от индуктивного, его значение равно бесконечности на постоянном токе и нулю при бесконечном значении частоты. Ёмкостное сопротивление и ёмкостная проводимость являются параметрами ёмкостного элемента. Начальная фаза тока отличается от фазы напряжения нате. ток в ёмкостном элементе опережает по фазе напряжение на Представим токи напряжение комплексными значениями Отсюда, пользуясь выражениями (2.10)-(2.12), получим закон Ома в комплексной форме для ёмкостного элемента Риса) Падение напряжения на ёмкостном элементе /( ) C C C C C U jX I I jB = − = (2.13 б) Величины C jX − и C jB , входящие в выражение (2.13), называются комплексным ёмкостным сопротивлением и комплексной ёмкостной проводимостью. График мгновенных значений тока и напряжения, а также векторная диаграмма для ёмкостного элемента показаны на риса и б. Определим мгновенную мощность, поступающую в ёмкостный элемент из внешней цепи ( ) sin( ) sin( / 2) cos cos 2 / 2 sin 2 2 2 C C C m u m u m m p u i U t I t U I t UI t = = ω + ψ ⋅ ω + ψ + π = π ⎡ ⎤ = − ω + те. мгновенная мощность изменяется синусоидально с двойной частотой, поэтому её среднее значение за период равно нулю. Энергия электрического поля, соответствующая ёмкостному элементу, равна ( ) 2 2 2 2 sin ( ) 1 cos 2 2 2 2 C m C u Cu CU CU w t t = = ω + ψ = − ω Она изменяется по синусоидальному закону с двойной частотой от нуля до 2 CU (риса. В течение четверти периода, когда значения тока и напряжения имеют одинаковые знаки, мощность, поступающая в ёмкостный элемент, положительна и энергия накапливается в электрическом поле (положительная заштрихованная площадь на риса. В следующую четверть периода значения тока и напряжения имеют разные знаки и мощность отрицательна. Это означает, что энергия, накопленная в электрическом поле, возвращается во внешнюю цепь. Причём во внешнюю цепь возвращается в точности такое количество энергии, какое было накоплено, и баланс энергии за половину периода нулевой. Таким образом, в ёмкостном элементе происходят непрерывные периодические колебания энергии, соответствующие её обмену электрическим полем и внешней цепью без каких-либо потерь. Вопросы для самопроверки Что такое идеальные элементы электрической цепи Как соотносятся по фазе токи напряжение резистивного (индуктивного, ёмкостного) элемента Как изменяется во времени энергия, соответствующая резистивному (индуктивному, ёмкостному) элементу Что такое активная мощность и чему равное значение для резистивного (индуктивного, ёмкостного) элемента 46 Какие энергетические процессы связаны с протеканием переменного тока через резистивный (индуктивный, ёмкостный) элемент Чему равно индуктивное (ёмкостное) сопротивление при постоянном токе (при очень высокой частоте Какой знак имеет комплексное индуктивное (ёмкостное) сопротивление (проводимость Чему равно среднее значение мощности индуктивного (ёмкостно- го) элемента и почему В чём принципиальное отличие резистивного элемента от индуктивного и ёмкостного? Во что преобразуется электрическая энергия соответствующая резистивному элементу электрической цепи 2.1.5. Закон Ома. Пассивный двухполюсник. Закон Ома устанавливает соотношение между током, протекающим по участку электрической цепи и падением напряжения на нм. Рассмотрим некоторый произвольный участок, подключённый к остальной цепи в двух точках и не содержащий источников электрической энергии. Такой участок цепи называется пассивным двухполюсником. Напряжение и ток в точках подключения двухполюсника называются входным напряжением и входным током. Если эти величины представить в комплексной форме , u i j j U Ue I Ie ψ ψ = = , то их отношение ( ) u u i i j j j j U Ue U e Ze Z I I Ie ψ ψ −ψ ϕ ψ = = = = (2.14) будет комплексным числом, имеющим размерность сопротивления и называемым комплексным сопротивлением. Модуль комплексного сопротивления определяет соотношение между действующими амплитудными) значениями напряжения и тока Рис. 2.7. и называется полным сопротивлением. Аргумент комплексного сопротивления u i ϕ = ψ − ψ определяет фазовое соотношением между напряжением и током, те. сдвиг фаз между ними. Причём, для обеспечения правильного соотношения между начальными фазами угол ϕ должен отсчитываться от вектора тока (риса. Тогда при опережающем напряжении сдвиг фаз будет 0 ϕ > , а при опережающем токе – 0 ϕ < Комплексное сопротивление можно представить также в алгебраической форме Z R jX = +Вещественная часть комплексного сопротивления называется активным сопротивлением, а мнимая – реактивным сопротивлением. Активное сопротивление всегда положительно, а реактивное может иметь любой знак. Если составляющие комплексного сопротивления изобразить векторами на плоскости, то активное, реактивное и полное сопротивления образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником сопротивлений (рис. 2.7, б. Для компонентов этого треугольника справедливы соотношения 2 2 ; arctg X Z R X R = + ϕ Таким образом, сдвиг фаз между током и напряжением на участке цепи определяется соотношением реактивного и активного сопротивлений. При отсутствии активной составляющей фазовый сдвиг, как следует из закона Ома для рассмотренных выше идеальных элементов цепи, составляет +90 ° при индуктивном характере реактивного сопротивления и –90 ° при ёмкост- ном характере. Наличие активной составляющей определяет для фазового смещения секторы 0 90 < ϕ < ° при активно-индуктивном характере комплексного сопротивления и 0 90 > ϕ > ° при активно-ёмкостном характере. При отсутствии реактивной составляющей комплексного сопротивления сдвиг фаз между током и напряжением отсутствует, те. 0 ϕ = . Если в выражении (2.14) представить комплексное сопротивление вал- гебраической форме ар Z I R jX IR jI X U U = = + = + = + (2.15) то комплексное напряжение на входе двухполюсника можно разделить на две составляющие. Одна из них а совпадает по направлению с вектором тока и называется комплексным активным напряжением. Вторая р X = – перпендикулярна току и называется комплексным реактивным напряжением риса. Соотношение тока и напряжения в выражении (2.15) соответствует схеме, приведённой на рис. 2.7, в. На ней составляющие комплексного сопротивления представлены в виде последовательного соединения, называемого последовательной схемой замещения. Активное напряжение в этой схеме соответствует напряжению на активном сопротивлении, а реактивное – на реактивном сопротивлении. Для составляющих комплексного напряжения очевидны соотношения ар р ара) причём активное напряжение может быть только положительным, а знак реактивного напряжения определяется знаком фазового сдвига ϕ. Вектор напряжения вместе с активной и реактивной составляющими образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником напряжений. Также как вцепи постоянного тока, соотношение между током и напряжением на входе двухполюсника можно определить с помощью понятия проводимости ( ) 1 i i u u j j j j I Ie I e Ye Y U Z U Ue ψ ψ −ψ − ϕ ψ = = = = = (2.17) где 1/ Y Z = – комплексная проводимость 1/ / Y Z I U = = – модуль комплексной проводимости, называемый полной проводимостью u i ϕ = ψ − ψ – аргумент комплексной проводимости. Если в выражении (2.17) представить комплексное сопротивление вал- гебраической форме 2 2 2 2 1 1 R X Y j G jB Z R jX R X R X = = = − = − + + + , (2.18) то мы получим выражения для вещественной и мнимой части комплексной проводимости. Вещественная часть комплексной проводимости 2 2 2 R R G R X Z = = + называется активной проводимостью, а мнимая 2 2 2 X X B R X Z = = + – реактивной. Следует заметить, что активная и реактивная проводимости, в отличие от комплексной и полной проводимости, не являются обратными величинами активного и реактивного сопротивлений. Каждая из составляющих комплексной проводимости зависит от обеих составляющих комплексного сопротивления. Комплексная проводимость и её составляющие образуют на комплексной плоскости прямоугольный треугольник, называемый треугольником проводимостей (рис. 2.7, д. Для компонентов этого треугольника справедливы соотношения 2 2 ; arctg . B Y G B G = + ϕ = Из выражения (2.18) можно определить составляющие комплексного сопротивления через составляющие комплексной проводимости 2 2 2 2 2 Пользуясь понятием комплексной проводимости, можно разделить комплексный ток на входе двухполюсника на две составляющие, аналогично выполненному ранее разделению комплексного напряжения ар) где а – вектор комплексного активного тока, совпадающий по направлению с вектором напряжения р − – вектор комплексного реактивного тока, перпендикулярный вектору напряжения (рис. 2.7, г. Соотношение тока и напряжения в выражении (2.19) соответствует схеме, приве- дённой на рисе. На ней составляющие комплексной проводимости представлены в виде параллельного соединения, называемого параллельной схемой замещения. Активный ток в этой схеме соответствует току, протекающему через элемент с активной проводимостью, а реактивный – с реактивной проводимостью. Для составляющих комплексного тока очевидны соотношения ар р ара) причём активный ток может быть только положительным, а знак реактивного тока определяется знаком фазового сдвига ϕ. Вектор тока вместе с активной и реактивной составляющими образуют прямоугольный треугольник, называемый треугольником токов. Треугольники сопротивлений, напряжений, проводимостей и токов подобны друг другу, т.к. являются различными формами представления соотношения между током и напряжением на участке цепи, выражаемого законом Ома. Отличие треугольников сопротивлений и проводимостей от других треугольников заключается в том, что они строятся всегда в правой полуплоскости, т.к. активное сопротивление и проводимость всегда вещественны и положительны. Активное и реактивное сопротивление, а также активная и реактивная проводимость являются параметрами двухполюсника. Последовательная и параллельная схемы замещения (рис. 2.7, в и е) полностью эквивалентны друг другу и используются при анализе электрических цепей в соответствии с конкретными условиями задачи. В общем случае токи напряжение на входе двухполюсника смещены по фазе друг относительно друга на некоторый угол ϕ. Пусть sin( ) m u u U t = ω + ирис. Скорость поступления энергии в двухпо- |