Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока

• Название: Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
• Дата: 09.09.2022
• Размер: 3.06 Mb.
• Имя файла: 1.pdf
• Тип: Документы; #669292
• страница: 7 из 29

Вопросы для самопроверки В каком случае участок цепи с резистивным, индуктивными ёмко- стным элементом будет иметь активный (активно-индуктивный, индуктивный, активно-ёмкостный, ёмкостный) характер В каком случае ток вцепи с резистивным, индуктивными ёмкост- ным элементом будет отставать (опережать) входное напряжение Чему равно эквивалентное сопротивление (индуктивность, м- кость) нескольких соединённых последовательно резистивных (индуктивных, ёмкостных) элементов Как изменится эквивалентное сопротивление (индуктивность, м- кость) последовательного соединения резистивных (индуктивных,
ёмкостных) элементов, если в цепь включить ещё один элемент Как изменится эквивалентное сопротивление (индуктивность, м- кость) последовательного соединения резистивных (индуктивных,
ёмкостных) элементов, если из цепи удалить один элемент В каком случае геометрическим местом точек концов векторов активного и реактивного напряжения будет окружность Что такое круговая диаграмма
2.2.2. Параллельное соединение ветвей. Рассмотрим в качестве примера параллельное соединение двух ветвей риса. Из первого закона Кирхгофа для узла цепи следует
1 2
1 2
i i
i
I
I
I
= +
⇔
= + . (2.33) Каждая ветвь представляет собой последовательное соединение элементов и её параметры определяются комплексным сопротивлением. Поэтому, переходя к комплексным величинам, исходную схему можно преобразовать в параллельное соединение двух комплексных сопротивлений
1 1
L
Z
R
jX
=
+
ирис, б) и для каждого тока записать выражение по закону Ома
1 1
1 2
2 2
/
;
/
;
/
I U Z U Y I
U Z
U Y
I
U Z
U Y
=
= ⋅
=
= ⋅
=
= ⋅

Подставляя эти величины в уравнение Кирхгофа (2.33), получим
1 2
1 2
1 1
1
Y Y
Y
Z
Z
Z
=
+
⇔
=
+
. (2.34) Отсюда эквивалентное комплексное сопротивление соединения
1 2
1 2
Z Z
Z
Z
Z
=
+
. (2.35) Выражения
(2.34) и (2.35) полностью идентичны аналогичным выражениям для цепи постоянного тока, стой лишь разницей, что все входящие в них параметры являются комплексными числами. Комплексные проводимости ветвей в выражении (2.34) можно представить их комплексными параметрами, тогда параметры комплексной проводимости соединения
1 2
1 2
1 2
(
)
(
)
;
L
C
L
C
L
C
G
jB G
jB
G
jB
G
G
j B
B
G G
G
B B
B
−
=
−
+
+
=
+
−
−
⇓
=
+
=
−
, где
1 2
1 2
2 2
2 2
2 2
2 2
1 2
1 Построим векторную диаграмму для параллельного соединения ветвей на риса. Падение напряжения U на обеих ветвях одинаковое. Чтобы не усложнять диаграмму несущественными элементами положим начальную фазу напряжения равной нулю. Тогда вектор U расположится на вещественной оси плоскости. Комплексное сопротивление первой ветви активно- индуктивное, поэтому ток в ней отстаёт по фазе от напряжения U на некоторый угол
1 0
ϕ > и его вектор
1
I располагается в четвёртом квадранте. Во второй ветви комплексное сопротивление активно-ёмкостное, поэтому ток
2
I опережает по фазе напряжение U на угол
2 0
ϕ < . Вектор тока на входе цепи равен сумме векторов токов в ветвях и может быть построен по правилу параллелограмма. Но координаты входного тока можно получить также, если представить токи в ветвях их активной и реактивной составляющими Рис. 2.15.

60 1
2 1а
1р
2а
2р
;
I
I
jI
I
I
jI
=
+
=
+
Отсюда входной ток
(
) (
)
(
)
(
)
1 2
1а
1р
2а
2р
1а
2а
1р
2р ар I
I
I
jI
= +те. активный и реактивный входной ток равен сумме соответствующих составляющих токов в ветвях. При этом реактивный ток впервой ветви отстаёт по фазе от напряжения на 90
°
и является индуктивным током, а во второй ветви реактивный ток опережает напряжение на 90
°
и является ёмкостным. В общем случае параллельного соединения
n
ветвей (риса) входной ток по первому закону Кирхгофа равен
1 2
1 2
n
n
i i
i
i
I
I
I
I
= + +
+ ⇔
= +
+
+
…
…
, где
/
k
k
I
U Z
=
– комплексный ток в й ветви. Отсюда
1 1
1 1
1 1
n
n
n
n
k
k
k
k
k
k
k
k
Y
Y
G
j
B
G
jB
Z
Z
=
=
=
=
=
=
=
=
−
= −
∑
∑
∑
∑
, (2.36) где
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 2
;
;
;
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
L
C
k
L
C
L
C
L
C
k
L
C
k
L
C
R
G
B
B
B
R
X
X
X
X
B
B
R
X
X
R
X
X
=
=
−
+
−
=
=
+
−
+
−
(2.37) Тогда эквивалентные параметры параллельного соединения
1 1
1 1
;
k
k
n
n
n
n
k
k
L
C
k
k
k
k
G
G
B
B
B
B
=
=
=
=
=
=
=
−
∑
∑
∑
∑
(2.38) Отсутствие какого-либо элемента в ветви эквивалентно равенству нулю соответствующего сопротивления в выражениях (2.36)-(2.38). В случае параллельного соединения
n
одиночных однотипных элементов выражения (2.37) упрощаются, т.к. сопротивления и проводимости становятся взаимообратными величинами. Это позволяет найти эквивалентные параметры параллельного соединения Рис. 2.16.

61 1
1 1
1 1;
1 1
1 1
1;
1 1
1 1
1
;
1 1
1 1
1
;
1 1
m
k
m
k
m
m
m
k
k
q
k
k
p
q
q p
p
m
k
m
k
L
m
m
m
k
L
k
q
k
k
p
q
q p
p
m
m
C
k
k
k
k
C
R
G
R
R
R
R
R
L
B
L
X
L
L
L
L
B
C
C
C
C
X
=
=
=
=
=
≠
=
=
=
=
=
≠
=
=
=
=
⇒
=
=
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=
=
=
⇒
=
=
ω
ω
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
=
= ω =
ω
⇒
=
∏
∑
∑
∑ ∏
∏
∑
∑
∑ ∏
∑
∑
(2.39) Из выражений (2.39) следует, что эквивалентное сопротивление параллельно соединённых резистивных элементов рассчитывается также как на постоянном токе, как обратная величина от суммы обратных величин (про- водимостей) отдельных сопротивлений. Аналогично сопротивлению рассчитывается эквивалентная индуктивность, а эквивалентная ёмкость параллельно соединённых идеальных конденсаторов равна простой сумме ёмкостей. В случае соединения одинаковых элементов выражения (2.39) существенно упрощаются Выражение (2.36) соответствует параллельной схеме замещения двухпо- люсника. В случае
L
C
B
B
≠
одна из составляющих реактивной проводимости полностью компенсирует другую. Тогда схему замещения можно представить параллельным соединением резистивного и индуктивного элементов или резистивного и ёмкост- ного элементов с соответствующими проводимостями. Это позволяет проследить влияние эквивалентных параметров на амплитудные и фазовые соотношения вцепи. На рис. 2.17 приведены векторные диаграммы для таких соединений. Для исключения несущественных деталей начальная фаза входного напряжения принята равной нулю и вектор напряжения имеет только вещественную составляющую. Токи в параллельных ветвях при постоянном напряжении на входе независимы друг от друга. Поэтому изменение одного из параметров приводит к изменению соответст-
Рис. 2.17.

62
вующей составляющей тока (активной или реактивной) и вектор входного тока перемещается при этом по прямой линии. Можно показать, что при питании цепи от источника тока геометрическим местом точек концов векторов активного и реактивного токов будет окружность, те. эти векторы образуют круговую диаграмму аналогичную круговой диаграмме напряжений последовательной схемы замещения двухполюсника. Вопросы для самопроверки Как связана активная (реактивная) составляющая входного тока с активными (реактивными) токами ветвей Чему равно эквивалентное сопротивление (индуктивность, м- кость) нескольких соединённых параллельно резистивных (индуктивных, ёмкостных) элементов Как изменится эквивалентное сопротивление (индуктивность, м- кость) параллельного соединения резистивных (индуктивных, м- костных) элементов, если в цепь включить ещё один элемент Как изменится эквивалентное сопротивление (индуктивность, м- кость) параллельного соединения резистивных (индуктивных, м- костных) элементов, если из цепи удалить один элемент Что представляет собой геометрическое место точек вектора активной (реактивной) составляющей входного тока при изменении активно (реактивной) проводимости цепи
2.2.3. Схемы замещения катушки индуктивности и конденсатора. Катушка индуктивности представляет собой проводник, которому в процессе изготовления придаётся определённая форма, обеспечивающая создание магнитного поля с заданными параметрами. Основным параметром катушки является индуктивность, но проводник обмотки обладает активным сопротивлением и при протекании по нему тока происходит преобразование электрической энергии в тепло. Выделение тепла увеличивается при высокой частоте за счёт поверхностного эффекта и увеличения потерь в изоляции. Кроме того, витки катушки обладают электрической ёмкостью, сопротивление которой играет заметную роль при высокой частоте. Все эти сложные физические явления приводят к тому, что в различных режимах катушка изменяет свои свойства (параметры) и не всегда допустимо считать её идеальным элементом без потерь. На низких и средних частотах схема замещения катушки представляет собой последовательное соединение резистивного и индуктивного элементов (риса. Угол
δ
, дополняющий угол
ϕ
до
90
°
называется углом потерь (рис. 2.18, б. Величина этого угла определяется активным напряжением или, что тоже са-
Рис. 2.18

мое, активным сопротивлением, те. мощностью потерь
2
RI
. Тангенс угла потерь равен ар tg
/
/(
)
U U
R
L
δ Величина обратная tg
δ
, называется добротностью катушки tg
/
L
Q
L R
=
δ = Чем выше добротность катушки, тем ближе она к идеальному индуктивному элементу электрической цепи. В конденсаторе, включённом на синусоидальное напряжение, происходит выделение тепла в изоляции за счёт конечного значения её сопротивления, а также за счет периодического изменения поляризации диэлектрика. Учесть потери энергии в конденсаторе можно включением в схему замещения активного сопротивления последовательно с
ёмкостью или параллельно ей (риса и б. Обе схемы эквивалентны и различаются только значениями параметров. Если угол, дополняющий
ϕ
до
90
°
обозначить буквой
δ
, то из треугольника напряжений рис. 2.19, в и эквивалентных преобразований двухполюсника можно получить соотношения параметров последовательной и параллельной схем замещения
2 2
1 2
2 1
/
sin ;
/
cos .
R R
C Обычно угол
δ
у большинства конденсаторов очень мал, поэтому
1 2
1 Угол
δ
, также как у катушки индуктивности, называется углом потерь и для схемы замещения риса он определяется как ар 1
tg
/
U U
R C
δ =
= Добротность конденсатора
1 1
=1/tg
1/(
)
C
Q
R C
δ Она определяет степень приближения конденсатора к идеальному ёмкостно- му элементу ив зависимости от типа конденсатора составляет величину
5
…
2000. Чем выше добротность конденсатора, тем ближе его свойства к идеальному ёмкостному элементу. Вопросы для самопроверки Что представляет собой схема замещения катушки (конденсатора Какой параметр схемы замещения катушки (конденсатора) определяет величину потерь Что такое угол потерь Рис. 2.19

64 Как определяется добротность катушки (конденсатора Как связана добротность катушки (конденсатора) с частотой питания. Смешанное соединение элементов. Анализ цепей со смешанным соединением элементов рассмотрим на примере параллельного соединения идеального конденсатора и катушки индуктивности, с учётом её тепловых потерь. Схема замещения этой цепи приведена на рис. 2.20,
а
Построим векторную диаграмму цепи (рис. 2.20, в. Обе ветви схемы соединены параллельно, поэтому токи в них формируются независимо. Ток впервой ветви
1 р X
=
=
−
=
чисто реактивный ёмкостный и опережает по фазе напряжение на 90
°
. Ток во второй ветви определяется её комплексным сопротивлением
2
L
Z
R
jX
= +
. Модуль тока равен
2 2
2
/
L
I
U
R
X
=
+
, а сдвиг фазы по отношению к напряжению
2
arctg(
/ )
L
X
R
ϕ =
. Характер сопротивления ветви активно-индуктивный, поэтому ток в ней будет отставать от напряжения. Вектор напряжения на активном сопротивлении
2
R
U
RI
=
совпадает по направлению с вектором тока
2
I , а вектор напряжения на индуктивном сопротивлении
2
L
L
U
jX I
=
перпендикулярен по отношению к нему, т.к. оператором поворота j он смещён в сторону опережения. В сумме напряжения на последовательном соединении активного и индуктивного сопротивлений равны входному напряжению цепи. При этом они образуют треугольник напряжений с вершиной прямого угла, находящейся на полуокружности круговой диаграммы, по которой эта вершина перемещается при изменениях параметров катушки. Например, приуменьшении сопротивления провода
2 0;
0;
;
/ 2
R
L
R
U
U
U
→
→
→
ϕ → π , и свойства катушки приближаются к идеальному индуктивному элементу. Аналогично можно проследить влияние вариации других параметров на фазовые соотношения вцепи. Рис. 2.20.

Рассмотрим задачу определения токов вцепи риса при заданных параметрах элементов и входном напряжении. Ход решения такой задачи на переменном токе ничем не отличается от аналогичной задачи для цепи постоянного тока, стой лишь разницей, что все расчёты нужно производить с комплексными числами. Пусть напряжение на входе цепи равно 14,1sin(
/ 6)
u
t
=
ω + π
В. Частота питания f=50 Гц ёмкость конденсатора С мкФ сопротивление катушки
R=10 Ом индуктивность катушки L=100 мГн. Вначале определим комплексные параметры цепи (рис. 2.20, б. Комплексное напряжение на входе цепи –
/ 6
/ 6
/ 6 14,1 10 2
2
j
j
j
m
U
U
e
e
e
π
π
π
=
=
=
⋅
. Угловая частота питания –
2 314,16
f
ω = π =
рад/с. Сопротивления элементов –
3 314,16 100 10 31,416
L
X
L
−
= ω Ом,
6 1/(
) 1/(314,16 90 10 ) 35,368
C
X
C
−
=
ω
=
⋅
⋅
=
Ом. Комплексные сопротивления ветвей –
/ 2 1
35,368 35,368
j
C
Z
jX
j
e
− π
= −
= Ом,
1,263 2
10 31,416 32,97
j
L
Z
R
jX
j
e
= +
=
+
=
Ом. Теперь по закону Ома определим комплексные токи в ветвях
/ 6
( / 6
/ 2)
2 / 3 1
/ 2
/ 6
( / 6 1,263)
0,74 2
1,263 2
0,455 1
2 10 0,283 0,283 0,141 0,245 A;
35,368 10 0,303 0,303 0,224 0,204 A;
32,97 0,083 0,041 0,092
A.
j
j
j
j
C
j
j
j
j
j
U
e
I
e
e
j
jX
e
U
e
I
e
e
j
Z
e
I
I
I
e
π
π +π
π
− π
π
π −
−
=
=
=
=
= −
+
−
=
=
=
=
=
−
= +Из полученных результатов следует, что приданных параметрах элементов амперметры, включённые в ветвях цепи и на её входе, покажут значения тока в конденсаторе и катушке равные А Аи А Авто время как ток на входе цепи будет в несколько раз меньше и составит А А. Отмеченные соотношения токов видны и на векторной диаграмме рис. 2.20, в, где модули векторов
1
I и
2
I существенно больше модуля вектора I . Это связано стем, что законы Кирхгофа вцепи переменного тока справедливы только для мгновенных значений и комплексных величин. Для действующих значений законы Кирхгофа будут выполняться только в том случае, если все элементы цепи одного типа, те, если все они резистивные или индуктивные или ёмкостные элементы.

66
2.2.5. Комплексный (символический) метод расчёта цепей переменного
тока
*
В цепях переменного тока с несколькими ветвями и элементами практически невозможно выполнить анализ режима работы, если основные величины будут представлены синусоидальными функциями, т.к. при этом получаются сложные тригонометрические уравнения. В случае представления функций и параметров цепи комплексными числами математическое описание сводится к линейным алгебраическим уравнениям, решение которых не вызывает затруднений. Метод расчёта цепей переменного тока, основанный на таком способе алгебраизации, называется комплексным методом. Алгоритм применения метода состоит из трёх этапов Представление всех величин и параметров цепи комплексными числами. Здесь для облегчения задачи целесообразно составление рас- чётной схемы электрической цепи, на которой все данные указаны в комплексной форме. Определение искомых величин любым методом, известным из теории цепей постоянного тока. Преобразование, если требуется, полученных величин в форму представления их синусоидальными функциями времени. Проиллюстрируем применение комплексного метода на примере электрической цепи риса. Здесь
1 14,1sin(
/ 6)
e
t
=
ω + π
В,
2 28,2sin(
/ 4)
e
t
=
ω − π
В,
2 2
R
= Ом,
3 5
R
= Ом, 100
L
=
мГн,
1 50
C
=
мкФ,
2 80
C
=
мкФ, 50
f
=
Гц. Требуется определить токи в ветвях цепи и составить баланс мощностей. Зададим положительные направления токов в ветвях так, как это показано на рисунке и, представив все величины и параметры цепи комплексными числами,
/ 6
/ 6 1
1 10
B
2
j
j
m
E
E
e
e
π
π
=
=
;
/ 4
/ 4 2
2 10
B
2
j
j
m
E
E
e
e
− π
− π
=
=
; 2 314,16
f
ω = π =
рад/с;
1 1
1 1
Z
35,37
C
jX
j
j
C
= −
= −
= −
ω
Ом
2 2
2 2
2 1
Z
2 39,79
C
R
jX
R
j
j
C
=
−
=
−
= −
ω
*
В некоторых литературных источниках векторы, изображающие синусоидальные функции, и соответствующие им комплексные числа называются символами синусоидальных функций, а метод, использующий такое представление, – символическим. Рис. 2.21.

Ом
3 3
2
Z
5 31,42
L
R
jX
R
L
j
=
+
=
+ ω = +
Ом, составим расчётную схему рис.
2.21, б Решение непосредственным применением законов Кирхгофа. Выберем произвольно два контура вцепи рис. 2.21, б (A и B) и составим для этих контуров и узла a уравнения Кирхгофа
1 2
3 1 1 3 3 1
2 2 3 3 2
)
0
)
)
a
I
I
I
A
Z I
Z I
E
B
Z I
Z или в матричной форме
1 1
3 2
1 2
3 3
2 1
1 1
0 В результате решения этой системы уравнений мы получим комплексные токи в ветвях и соответствующие им синусоидальные функции
96,43 1
1 69,57 2
2 80,31 1
1 0,070 0,622 0,625 0,625 2 sin(314,16 96,43 ) A;
0,325 0,873 0,932 0,932 2 sin(314,16 69,57 ) A;
0,255 1,495 1,516 1,516 2 sin(314,16 80,31 ) A.
j
j
j
I
j
e
i
t
I
j
e
i
t
I
j
e
i
t
−
°
−
°
−
°
= −
−
=
⇔ =
−
°
=
−
=
⇔ =
−
°
=
−
=
⇔ =
−
°
(2.40) Решение методом контурных токов. Для двух выбранных ранее контуров (рис. 2.21, б) составим уравнения по второму закону Кирхгофа для контурных токов
(
)
(
)
1 3
3 1
1 3
3 1
3 2
3 2
3 2
3 2
)
)
A
B
A
B
A
B
A
Z
Z I
Z I
E
Z
Z
Z
I
E
Z
Z
Z
I
E
B
Z I
Z
Z В результате решения мы получим контурные токи
0,070 0,622 A;
0,325 0,873 A,
A
B
I
j
I
j
= а затем истинные комплексные токи в ветвях
1 2
3
;
;
0,255 1,495 Решение методом двух узлов. Пользуясь этим методом можно определить комплексное напряжение между узлами
1 2
0,64 1
2 1
2 3
48,23 0,54 48,23
B
1 1
1
j
ab
E
E
Z
Z
U
j
e
Z
Z
Z
°
+
=
=
+
=
+
+
, а затем по закону Ома найти токи в ветвях

68
(
)
(
)
1 1
1 2
2 2
1 3
/
0,070 0,622 A;
/
0,325 0,873 A;
/
0,255 1,495 A.
ab
ab
ab
I
E
U
Z
j
I
E
U
Z
j
I
U
Z
j
=
−
= Здесь следует обратить внимание на то, что модуль напряжения между узлами цепи существенно превосходит не только модули ЭДС источников, но и их сумму. Это является следствием сложных электромагнитных процессов в цепях переменного тока, существенное влияние в которых имеют процессы обмена энергией между электрическими и магнитными полями. Наличие таких перенапряжений и их конкретное значение зависит от схемы и параметров цепи, и оно может быть определено только в результате расчётов, подобных данной задаче. Решение методом наложения. Для решения задачи этим методом составим две расчёт- ные схемы цепи, исключив из исходной схемы сначала второй источник ЭДС, аза- тем первый (риса и б. Токи в расчётной схеме риса можно найти, например, с помощью эквивалентных преобразований и закона Ома
1 11 2
3 1
2 3
11 3
21 2
3 11 2
31 2
3 0,111 0,037 A;
0,295 0,173 A;
0,406 0,135 A.
E
I
j
Z Z
Z
Z
Z
I Z
I
j
Z
Z
I Z
I
j
Z
Z
=
=
+
+
+
=
= Аналогично для схемы рис. 2.22, б
2 22 3
22 12 1
3 1
3 2
1 3
22 1
32 1
3 0,030 0,700 A;
0,181 0,659 A;
0,151 1,359 A.
E
I Z
I
j
I
j
Z Z
Z
Z
Z
Z
Z
I Z
I
j
Z
Z
=
=
−
=
=
+
+
+
+
=
= Теперь комплексные токи в ветвях можно определить как суммы частичных токов с учётом их знака, тес учётом направления протекания час-
Рис. 2.22.

69
тичных токов по отношению к положительному направлению тока в ветви. Если направление частичного тока совпадает с положительным направлением, то он суммируется, в противном случае – вычитается.
1 11 12 2
22 21 3
31 32 0,070 0,622 A;
0,325 0,873 A;
0,255 1,495 A.
I
I
I
j
I
I
I
j
I
I
I
j
=
−
= Таким образом, в результате решения задачи четырьмя различными методами мы, как и следовало ожидать, получили одинаковые значения комплексных токов в ветвях. Составим теперь для расчётной цепи баланс мощностей. Активная мощность приёмников п соответствует энергии, преобразуемой в резистивных элементах цепи
2 3
2 3
2 2
2 2
2 2
3 п 2 1,74 Вт 5 11,49 Вт Вт R
P
I R
P
P
P
=
=
⋅ =
=
=
⋅ Реактивная мощность приёмников п , соответствующая интенсивности обмена энергией между источниками и пассивной частью цепи, определяется как алгебраическая сумма мощностей реактивных элементов
1 1
2 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2 п 63,66 24,90 ВАр;
0,932 39,78 34,53 ВАр;
1,516 31,41 72,22 ВАр;
12,78 ВАр.
C
C
C
C
L
L
C
C
L
Q
I X
Q
I X
Q
I X
Q
Q
Q
Q
=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
=
=
⋅
=
= Здесь следует обратить внимание, что реактивные мощности отдельных элементов значительно превосходят суммарную мощность обмена энергией с источниками. Это означает, что вцепи происходит интенсивный обмен энергией между приёмниками, следствием которого являются отмеченные ранее перенапряжения в узлах. Активная мощность источников ЭДС, поставляющих энергию в цепь, и равна сумме мощностей каждого из источников
1 1
1 2
2 2
1 2
1 1 1
1 1 2 2 2
2 и cos cos(
) 10 0,625 cos(30 96,43 )
3,71 Вт cos(
) 20 0,932 cos( 45 69,57 ) 16,94 Вт Вт I
E I
P
E I
E I
P
P
P
=
ϕ =
ψ − ψ =
⋅
⋅
° +
° = −
=
ϕ =
ψ − ψ =
⋅
⋅
− ° +
° Отрицательное значение активной мощности первого источника ЭДС означает, что он является приёмником, а не источником электрической энергии. Реактивная мощность источников определяется как

70 1
1 1
2 2
2 1
2 1 1 1
1 1 2 2 2
2 и sin sin(
) 10 0,625 sin(30 96,43 ) 5,03 ВАр;
sin sin(
) 20 0,932 sin( 45 69,57 ) 7,75 ВАр;
12,78 ВАр.
e
e
i
e
e
i
e
e
Q
E I
E I
Q
E I
E I
Q
Q
Q
=
ϕ =
ψ − ψ =
⋅
⋅
° +
° =
=
ϕ =
ψ − ψ =
⋅
⋅
− ° +
° Таким образом, в рассмотренной электрической цепи существует баланс преобразования энергии и её обмена между источниками и пассивными элементами. Резонанс в электрических цепях Резонансом называется режим пассивного двухполюсника, содержащего индуктивные и ёмкостные элементы, при котором его входное реактивное сопротивление равно нулю. Следовательно, при резонансе токи напряжение на входе двухполюсника имеют нулевой сдвиг фаз. Явление резонанса широко используется в технике, но может также вызывать нежелательные эффекты, приводящие к выходу из строя оборудования. Простейший двухполюсник, в котором возможен режим резонанса, должен содержать один индуктивный элемент и один ёмкостный. Эти элементы можно включить в одну ветвь, те. последовательно, или в параллельные ветви. Рассмотрим свойства такого двухполюсника, называемого резонансным контуром, при различных включениях. Резонанс напряжений. Последовательное соединение катушки индуктивности и конденсатора соответствует схеме замещения с последовательным соединением резистивного, индуктивного и ёмкостного элементов (рис.
2.11). Резистивный элемент цепи соответствует сопротивлению провода катушки, но может быть также специально включённым резистором. Резонанс в этой цепи возникает, если
1 0
L
C
L
C
X
X
X
X
X
L
C
=
−
=
⇔
=
⇔
ω =
ω
. (2.41) В этом случае противоположные по фазе напряжения на индуктивном и ёмкостном сопротивлении равны
L
C
U
U
=
и компенсируют друг друга рис. 2.23). Поэтому резонанс в последовательной цепи называют резонансом напряжений. Условие резонанса (2.41) можно выполнить тремя способами изменением частоты питания
ω, индуктивности L или ёмкости C. Из выражения (2.41) можно определить частоту, при которой наступает режим резонанса или резонансную частоту
0 1
LC
ω =
(2.42) Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе равны Рис. 2.23.

71 0
0 1
L
L
C
C
ρ = ω =
=
ω
. (2.43) Эта величина называется характеристическим сопротивлением. Отношение характеристического сопротивления к активному сопротивлению называется добротностью резонансного контура
/
Q
r
= ρ . Рассмотрим характерные особенности резонанса напряжений
1) Так как реактивное сопротивление последовательного контура в режиме резонанса равно нулю, то его полное сопротивление минимально и равно активному сопротивлению
2 2
0 Вследствие этого входной ток при резонансе максимален и ограничен только активным сопротивлением контура
0 0
/
/
I
U Z
U R
=
=
. По максимуму тока можно обнаружить режим резонанса и это используется в технике при настройке резонансных контуров. В тоже время возрастание тока может быть опасно для оборудования, в котором возникает резонанс напряжений.
2) В режиме резонанса напряжения на отдельных элементах контура составляют) Из равенства (2.41) следует, что
L
C
U
U
=
и входное напряжение контура
(
)
R
L
C
R
U U
j становится равным напряжению на резистивном элементе. При этом индуктивное и ёмкостное сопротивления могут быть больше активного
L
C
X
X
R
=
> . Тогда напряжения на реактивных элементах будут больше входного напряжения. Коэффициент усиления напряжения равен добротности контура
0 0
0
L
C
L
L
C
R
R
U
U
X I
X
X
L
Q
U
U
RI
R
R
R
R
ω
ρ
=
=
=
=
=
=
= . В радиотехнических устройствах добротность резонансного контура составляет. Эффект усиления напряжения в резонансном контуре широко используется в радиотехнике и автоматике, нов энергетических установках он, как правило, нежелателен, т.к. может вызывать крайне опасные перенапряжения) Активная мощность
2 0
P I R
=
, потребляемая контуром при резонансе максимальна, т.к. максимален ток. Реактивные мощности индуктивного и
ёмкостного элементов равны
2 2
0 0
L
C
I X
I X
=
и превышают активную мощность враз, если
1
Q
> . Для понимания энергетических процессов, происходящих в резонансном контуре, определим сумму энергий электрического и магнитного полей.

Пусть ток в контуре в режиме резонанса равен
0
sin
m
i I
t
=
ω . Тогда напряжение на ёмкости отстаёт на 90
° и равно
0
cos
C
m
u
U
t
= −
ω
(рис. 2.24). Отсюда
2 2
2 2
2 2
0 0
sin cos
2 2
2 2
C
m
Cm
L
C
Li
Cu
LI
CU
w w
w
t
t
=
+
=
+
=
ω +
ω . Но
2 2
0 1
2 2
Cm
m
Cm
m
m
L
CU
LI
U
I
I
C
C
=
=
⇒
=
ω
и, следовательно,
2 2
const
2 2
m
Cm
L
C
LI
CU
w w
w
=
+
=
=
=
, те. при резонансе происходит периодический процесс обмена энергией между магнитными электрическим полем, но суммарная энергия полей остаётся постоянной и определяется индуктивностью и ёмко- стью контура (рис. 2.24). При этом источник питания поставляет в контур только энергию, идущую на покрытие тепловых потерь в резисторе, и совершенно не участвует в процессе её обмена между полями. Помимо параметров, определяющих свойства контура на частоте резонанса, для технических приложений важно знать его свойства в некотором диапазоне частот. Зависимость параметров электрической цепи от частоты входного напряжения или тока называется частотной характеристикой. Из трёх параметров резонансного контура два являются частотно зависимыми индуктивное и ёмкостное сопротивления. При частотах ниже резо-
Рис. 2.24 Рис. 2.25

73
нансной
C
L
X
X
>
и реактивное сопротивление цепи имеет ёмкостный характер, те.
0
ϕ < (риса и б. Причём при нулевой частоте
(0) 0;
(0)
(0)
L
C
X
X
X
=
= −
= −∞
и контур является ёмкостным элементом с углом сдвига фаз
/ 2
ϕ = −π . Сдвиг фаз на 90
° при постоянном токе соответствует нулевому значению тока при максимуме напряжения. После точки резонанса, реактивное сопротивление становится индуктивными в пределе стремится к бесконечности ( ) 0;
( )
( )
C
L
X
X
X
∞ =
∞ =
∞ = +∞ , а фазовый сдвиг
/ 2
ω→∞
ϕ К частотным характеристикам относятся и зависимости от частоты токов и напряжений в двухполюсниках, в которых возможен резонанс. Такие характеристики называют резонансными кривыми. Резонансные кривые для последовательного контура приведены на рис. 2.25, б ив. Кроме отмеченного ранее максимума тока в точке резонанса, из этих кривых видно, что напряжения на индуктивном и ёмкостном элементах также имеют максимумы одинаковые по значению, но смещённые относительно частоты резонанса. Максимум ёмкостного элемента смещён в сторону меньших частота максимум индуктивного – в сторону больших. Значение максимумов и их смещение зависят от добротности контура. С увеличением добротности максимальные значения увеличиваются, а их частоты стремятся к частоте резонанса. Добротность влияет также на максимум и крутизну резонансной кривой тока (рис. 2.25, в. С ростом добротности максимум и крутизна кривой увеличиваются. Чем круче и острее резонансная кривая тока, тем выше избирательность контура, те. его реакция на определённую резонансную частоту. В радиотехнике и автоматике это свойство резонансного контура используется для выделения сигнала заданной частоты. Резонанс токов. Параллельное включение катушки индуктивности и конденсатора соответствует схеме замещения риса. В ней тепловые потери в катушке и конденсаторе соответствуют мощности рассеиваемой на резистивных элементах
1
R
и
2
R
, поэтому такая цепь называется параллельным резонансным контуром с потерями. Условием Рис. 2.26

резонанса для неё является равенство нулю эквивалентной реактивной проводимости, где
1
B и
2
B – эквивалентные реактивные проводимости ветвей рис. 2.26, г. При
1 2
B
B
=
противоположные по фазе реактивные токи ветвей компенсируются (риса, поэтому резонанс в параллельном контуре называется резонансом токов. В результате компенсации реактивных токов входной ток является суммой активных составляющих токов в ветвях. Если
1 1
B
G и
2 2
B
G , те.
1 1
X
R и
2 2
X
R , то
1р
1а
2р
2а
1 2
;
;
I
I
I
I
I
I I
I
⇒
, те. токи в ветвях значительно больше входного тока. Свойство усиления тока является важнейшей особенностью резонанса токов. Степень его проявления непосредственно связана с величиной потерь в элементах цепи. В теоретическом случае отсутствия потерь в катушке ив конденсаторе
1 2
0
R
R
=
= (рис. 2.26, в) активные токи в ветвях отсутствуют и входной ток контура равен нулю (рис. 2.27, б. Полная проводимость расчётного эквивалента контура (рис. 2.26, г) равна В режиме резонанса
1 2
B
B
=
и проводимость
0 1
2
min
Y
G
G
=
+
≈
, а входное сопротивление. Приближённое равенство для проводимости в точке резонанса использовано потому, что минимум суммарной активной проводимости ветвей не соответствует частоте резонанса. Поэтому минимум полной проводимости несколько смещён относительно резонансной частоты. Реактивные мощности ветвей контура в режиме резонанса одинаковы и имеют разные знаки
2 2
1 1
2 2
Q
B U
Q
B U
=
=
=
. Это значит, что при резонансе токов, также как при резонансе напряжений, между катушкой индуктивности и конденсатором происходит периодический обмен энергией безучастия источника питания, мощность которого расходуется только на покрытие потерь энергии в активных сопротивлениях. Раскрывая реактивные проводимости ветвей через параметры цепи, получим условие резонанса в виде Рис. 2.27

75
(
)
(
)
(
)
0 0
2 2
2 2
1 0
1 0
1/
1/
C
L
R
L
R
C
′
ω
′
ω
=
′
+ ω
′
⎡
⎤
+
ω
⎣
⎦
, (2.45) где
0
′
ω
– резонансная частота. Из равенства (2.45) после преобразований получим
2 2
2 1
1 0
0 2
2 2
2 2
1
/
/
L C R
R
L C R
R
LC
−
ρ −
′
ω =
= ω
−
ρ −
. (2.46) Анализ выражений (2.45)-(2.46) позволяет отметить ряд особенностей явления резонанса в параллельном контуре
1) Резонансная частота зависит не только от параметров реактивных элементов контура, но и от активных сопротивлений
1
R и
2
R . Поэтому, вот- личие от последовательного контура, резонанс вцепи можно создать вариацией пяти параметров. Причём, изменением индуктивности или ёмкости в контуре можно создать два резонансных режима, в чём легко убедиться, анализируя условие резонанса. Выражение (2.45) является квадратным уравнением относительно L или C, и при определённых соотношениях остальных величин может дать два вещественных решения.
2) Резонанс возможен только в том случае, если оба активных сопротивления больше или меньше
ρ, т.к. иначе подкоренное выражение вот- рицательно.
3) Если
1 2
R
R
=
= ρ, то подкоренное выражение в (2.46) неопределённо и на практике это означает, что сдвиг фаз между током и напряжением на входе контура равен нулю при любой частоте.
4) В случае
1 2
;
R
R
ρ
ρ резонансная частота параллельного контура практически равна резонансной частоте последовательного контура
0 0
′
ω ≈ ω . Сложность выражения (2.45) затрудняет анализ резонансных явлений в общем виде, поэтому его обычно проводят для идеального параллельного контура рис. 2.26, в. В этом случае
1 2
1 2
1/(
);
;
B
L B
C B B
B
=
ω
= ω
=
−
и частотные характеристики проводимостей имеют вид, приведённый на риса. При частотах ниже резонансной эквивалентная проводимость
0
B
> имеет индуктивный характер. При возрастании частоты в диапазоне от
0
ω доте. имеет ёмкостный характер. Резонансные кривые идеального контура без потерь для токов в ветвях и входного тока при условии const
U
=
показаны на рис. 2.28, б. В реальном контуре активная проводимость отлична от нуля при любой частоте, поэтому входной ток не обращается в нуль. Обычно потери в конденсаторе существенно меньше потерь в катушке. В этом случае
2 0
R
≈ и схема замещения цепи имеет вид рис. 2.26, б. Резонансная частота такого контура

76
(
)
2 0
0 1
1
/
R
′
ω = ω
−
ρ
. (2.47) ниже частоты идеального контура. Из выражения (2.27) следует, что резонанс возможен только, если
1
/
1
Q
R
= ρ
> Резонансная кривая тока для схемы рис. 2.26, б приведена на рис. 2.28, в. Здесь же для сравнения штриховой линией показана резонансная кривая идеального контура. Из рисунка видно, что резонансные кривые контуров существенно отличаются. При нулевой частоте ток реального контура ограничен активным сопротивление катушки
1
R . Минимум тока имеет конечное значение и смещён относительно точки резонанса. Значение минимума и его смещение зависят от добротности контура
1
/
Q
R
= ρ
. С увеличением добротности значение минимума уменьшается и смещение стремится к нулю. Уменьшается также различие резонансных частот реального и идеального контура. Ив целом с ростом добротности кривая реального контура стремится к идеальной кривой. Частотная характеристика фазового сдвига входного тока и напряжения
( )
ϕ ω приведена на рис. 2.28, в. Она имеет максимум в области частот
0 0
′
< ω < ω , степень выраженности которого зависит от добротности. По мере снижения добротности максимальное значение уменьшается и при
1
Q
= исчезает максимум и точка пересечения характеристики с осью абсцисс, те. точка резонанса. Частотные свойства последовательного и параллельного резонансных контуров во многом противоположны. Последовательный контур в режиме резонанса обладает малым входным сопротивлением, а параллельный – большим. При низких частотах реактивное сопротивление последовательного контура имеет ёмкостный характера параллельного – индуктивный. В последовательном контуре при резонансе наблюдается усиление напряжения на реактивных элементах, а в параллельном – тока в них. Всё это позволяет использовать явление резонанса в различных контурах и сочетаниях контуров Рис. 2.28

для эффективной обработки сигналов, выделяя или подавляя в них заданные частоты или диапазоны частот. Вопросы для самопроверки Какое явление называется резонансом в электрической цепи Какому условию должен удовлетворять двухполюсник, чтобы в нём мог возникнуть режим резонанса Что такое резонансный контур Какой тип резонанса возможен в последовательном (параллельном) контуре Почему резонанс в последовательном (параллельном) контуре называется резонансом напряжений (токов Какие параметры элементов контура можно изменять, чтобы создать режим резонанса Что такое характеристическое сопротивление контура В каком случае входное напряжение последовательного контура в режиме резонанса будет меньше напряжений на реактивных элементах Чем определяется соотношение входного напряжения в режиме резонанса и напряжения на реактивных элементах Поясните физическую природу того, что напряжения на реактивных элементах в режиме резонанса могут превышать входное напряжение последовательного контура. Как влияет величина добротности контура на частотные характеристики В каком случае входной ток параллельного контура в режиме резонанса будет меньше токов в реактивных элементах В каком случае входной ток параллельного контура в режиме резонанса будет равен нулю В каком случае параллельный контур будет находится в режиме резонанса при всех частотах В каком случаев параллельном контуре режим резонанса невозможен Отчего зависит величина входного тока параллельного контура в режиме резонанса
2.2.7. Цепи с индуктивно связанными элементами Элементы электрической цепи могут располагаться в пространстве таким образом, что создаваемые ими магнитные потоки будут частично сцепляться с контурами (охватывать контуры) протекания тока других элементов. На рис. 2.29 показаны две катушки индуктивности, расположенные таким образом, что при протекании в обмотке первой катушки тока
1
i часть её магнитного потока образует потокосцепление со второй катушкой
21
Ψ .

Величина потокосцепления
21
Ψ определяется током впервой катушке и некоторым коэффициентом
21
M , зависящим от магнитных свойств среды, геометрии катушек и их взаимного положения в пространстве –
21 21 1
M i
Ψ =
. (2.48) Коэффициент
21
M называется коэффициентом взаимной индукции или взаимной индуктивностью. Единицей измерения взаимной индуктивности, также как и индуктивности, является генри [Гн]. При протекании тока по второй катушке будет создаваться потокосцеп- ление с первой –
12 12 2
M i
Ψ =
. (2.49) Пользуясь теорией электромагнитного поля, можно показать, что
12 Таким образом, полное потокосцепле- ние каждой катушки будет состоять из собственного потокосцепления и потокосцеп- ления, создаваемого другой катушкой. Прич м магнитные потоки катушек могут быть иметь одинаковые или встречные направления. Взаимное направление потоков зависит от направления намотки витков катушек и направления протекания тока в них. Если магнитные потоки катушек направлены одинаково, то составляющие потокосцепле- ния суммируются и такое включение называется согласным. В противном случае оно называется встречным. Учитывая это, можно представить полные потокосцепления катушек ив виде
1 11 12 2
22 21
;
Ψ = Ψ ± Ψ
Ψ = Ψ ± Ψ (2.50) где
11 1 1
L i
Ψ =
и
22 2 2
L i
Ψ =
– потокосцепления, создаваемые собственным током катушек или собственные потокосцепления. Положительный знак в
(2.48) соответствует согласному включению катушек. Для определения взаимного направления потоков на схемах замещения условные начала обмоток помечают точкой рис. 2.30). Если в обеих катушках положительные направления токов одина-
Рис. 2.29 Рис. 2.30

79
ково ориентированы по отношению к началам обмоток, то потоки направлены согласно. В соответствии с законом электромагнитной индукции на участке электрической цепи, с которым сцепляется изменяющийся магнитный поток, наводится ЭДС равная скорости его изменения, поэтому, с учётом (2.48)-(2.50), в катушках будут наводиться ЭДС
(
)
(
)
1 1
2 2
11 12 1
1 2
1 1
22 11 2
2 1
2 2
;
L
L
M
L
L
M
d
d
di
di
e
L
M
e
e
dt
dt
dt
dt
d
d
di
di
e
L
M
e
e
dt
dt
dt
dt
Ψ ± Ψ
Ψ
= −
= −
= −
= −
Ψ ± Ψ
Ψ
= −
= −
= −
= −
∓
∓
∓
∓
(2.51) Каждая составляющая полного потокосцепления создаёт в катушке свою ЭДС. Собственные потокосцепления катушек создают ЭДС самоиндукции
1
L
e и
2
L
e , а взаимные потокосцепления – ЭДС взаимной индукции
1
M
e и
2
M
e . Пользуясь выражениями (2.51), можно определить падения напряжения на индуктивных элементах катушек
1 1
2 2
1 2
1 1
1 2
1 2
2 2
;
,
L
L
L
M
L
L
L
M
di
di
u
e
u
u
L
M
dt
dt
di
di
u
e
u
u
L
M
dt
dt
= −
=
+
=
±
= −
=
+
=
±
(2.52) или в комплексной форме
1 2
1 1
2 1
2 2
;
L
L
U
j L I
j M I
U
j L I
j M I
= ω
± ω
= ω
± ω
(2.53) В результате того, что рассматриваемые нами катушки расположены в пространстве магнитных полей друг друга, в электрической цепи каждой из обмоток действуют ЭДС
1
M
e и
2
M
e , обусловленные током, протекающим вцепи другой обмотки. Таким образом, электрические цепи обмоток оказываются связанными друг с другом посредством магнитных полей катушек. Степень магнитной связи характеризуется коэффициентом связи
2 12 21 1
2 1 2 1 2 1
M
M
k
L L
L L
Ψ Ψ
=
=
=
<
Ψ Коэффициент связи катушек всегда меньше единицы, т.к
12 22
Ψ < Ψ и
21 11
Ψ < Ψ
. Равенство единице возможно только, если собственные и взаимные потокосцепления равны друг другу, но это невозможно в принципе, т.к. всегда существуют потоки рассеяния, те. потоки сцепляющиеся только с одной обмоткой и не охватывающие контур другой. Явление взаимной индукции лежит в основе большого количества технических устройств и целых областей техники. Это, прежде всего, трансформаторы, без которых невозможны эффективное производство и передача электрической энергии. Это значительная часть электрических машин, обеспечивающих преобразование электрической энергии в механическую. В радиотехнике, автоматике, метрологии и других высокотехнологичных областях техники используется множество элементов и устройств, основанных на явлении взаимной индукции. Рассмотрим задачу анализа электрической цепи с ин- дуктивно связанными элементами на примере последовательного соединения двух катушек риса. По второму закону Кирхгофа с учётом
(2.52) итого, что в обеих катушках протекает одинаковый ток, для контура цепи можно составить уравнения для мгновенных значений
(
) (
)
1 2
1 2
1 1
2 2
1 2
1 2
R
L
L
R
di
di
di
di
u u
u
u
u
R i L
M
L
M
R i
dt
dt
dt
dt
di
R
R Переходя к комплексным значениям, получим уравнение
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
2 2
1 1
1 2
1 2
1 2
1 2
2 2
R
L
M
M
L
R
L
L
M
U U
U
U
U
U
U
R I
j I
j M I
j M I
j I R I
R
R
j
L
L
M
I
R
R
j X
X
X
I
R
jX I
=
+
±
±
+
+
=
=
+ ω ± ω
± ω
+ ω +
=
=
+
+ ω
+
±
=
⎡
⎤
⎣
⎦
⎡
⎤
=
+
+
+
±
=
⎣
⎦
=
+
(2.54) где
M
j M
jX
ω =
– комплексное сопротивление взаимной индуктивности.
*
На схеме замещения риса в скобках указано начало второй обмотки при встречном включении Рис. 2.31

Из уравнения (2.54) следует, что взаимная индуктивность катушек при согласном включении увеличивает реактивное сопротивление цепи, а при встречном – уменьшает. На рис. 2.31 представлены векторные диаграммы для согласного (б) и встречного включения (в-г). Если индуктивность одной из катушек меньше взаимной индуктивности, то при встречном включении у неё наблюдается
«ёмкостный » эффект (рис. 2.31, г, когда напряжение отстаёт по фазе оттока, протекающего через катушку. Нов целом реактивное сопротивление цепи имеет индуктивный характер, т.к. эквивалентная индуктивность
1 2
2 0
L L
L
M
=
+
−
>
и ток отстаёт по фазе от напряжения. Различие индуктивного сопротивления при согласном и встречном включении катушек позволяет измерить их взаимную индуктивность. Для этого измеряют ток, напряжением и активную мощность при двух схемах включения и определяют реактивные сопротивления
2 2
2 2
1 1
1 2
2 2
;
X
Z
R
X
Z
R
=
−
=
−
, где
1 1
1 2
2 2
/ ;
/
Z
U I
Z
U I
=
=
– полные сопротивления, а
2 2
1 1
1 2
2 2
/ ;
/
R
P I
R
P I
=
=
– активные сопротивления цепи при первом и втором измерениях. Пусть первое измерение соответствует согласному включению, тогда
1 2
1 2
1 Вычитая одно значение из другого, получим
1 2
1 2
4 4
4
M
X
X
X
M
X
X
M
−
=
= ω
⇓
−
=
ω
(2.55) Следовательно, зная частоту
ω, при которой производились измерения, можно определить значение взаимной индуктивности. При этом принятое при выводе выражения (2.55) условие соответствия первого измерения согласному включению требуется только для оп- ределённости в записи выражений для
1
X
и
2
X . При расчёте по формуле (2.55) знак разности не имеет значения. Для маркировки выводов катушек, начал обмоток или концов, достаточно произвести два измерения тока при разных включениях и одинаковом напряжении питания. Меньший ток будет соответствовать согласному включению На рис. 2.32 точки подключения второй катушки при втором измерении указаны в скобках Рис. 2.32

Вопросы для самопроверки
1. В каком случае между электрическими цепями возникает магнитная связь
2. По какому признаку определяется согласное и встречное включение катушек
3. Что такое коэффициент связи катушек
4. Почему коэффициент связи катушек не может быть равен единице. Как определить начала и концы двух катушек
6. Нарисуйте электрическую схему для определения начали концов двух катушек.