Электрические и магнитные цепи электрические цепи постоянного тока
 Скачать 3.06 Mb.
|
|
1.4. Активные элементы электрической цепи Активными элементами электрической цепи являются источники электрической энергии. Свойства источников, как элементов электрической цепи характеризуются вольт-амперной характеристикой, называемой в этом случае внешней характеристикой источника. Внешняя характеристика это зависимость выходного напряжения источника оттока, отдаваемого нагрузке. Также как все остальные элементы электрической цепи источники могут быть линейными и нелинейными. Линейные источники обладают линейной внешней характеристикой. Если напряжение на выходе источника постоянно и не зависит оттока в нагрузке, то такой источник называется источником ЭДС или источником напряжения. Его внешняя характеристика представляет собой горизонтальную линию (линия 1 на рис. 1.5, да т.к. тангенс угла наклона ВАХ соответствует сопротивлению элемента электрической цепи, то это означает, что сопротивление источника ЭДС равно нулю. На схемах он изображается окружностью со стрелкой, указывающей направление действия ЭДС, те. направление возрастания электрического потенциала риса Можно создать также источник электрической энергии, формирующий в нагрузке неизменный ток. Внешняя характеристика такого источника будет вертикальной прямой линией (линия 2 на рис. 1.5, да сам источник будет называться источником тока. В соответствии с внешней характеристикой сопротивление двух- полюсника, обладающего свойствами источника тока, будет равно бесконечности. На электрических схемах источник тока изображается окружностью с двойной стрелкой внутри, направление которой указывает направление протекания тока (рис. 1.5, в. Источники ЭДС и тока называются идеальными источниками электрической энергии. Это связано стем, что в них нет потерь энергии, т.к. их проводимость и сопротивление бесконечны ( 2 2 0 0; / 0 I U ⋅ = ∞ = ). На самом деле не существует технических устройств, в которых в той или иной форме не происходили бы необратимые преобразования энергии. Однако эти потери можно компенсировать за счёт источников энергии внешних по отношению к рассматриваемой электрической цепи и тогда реальное техническое устройство будет обладать свойствами идеального источника по отношению к нагрузке. Простейшим примером такого устройства является стабилизированный источник питания, в котором с помощью внутренней обратной связи обеспечивается компенсация потерь внутри источника за счёт энергии питающей сети. Тем самым обеспечивается постоянство выходного напряжения до определенного значения тока нагрузки, после чего он переключается в режим работы с постоянным током, реализуя в этих двух режимах работы оба идеальных источника. Если потери электрической энергии внутри источника не компенсируются, то он имеет наклонную внешнюю характеристику (линия 3 на рис. 1.5, д. Такие источники часто называют реальными источниками. Их схему за- Рис. 1.5 16 мещения можно представить в виде источника ЭДС и последовательно включённого внутреннего сопротивления r (рис. 1.5, б. Уравнение внешней характеристики в этом случае имеет вид н н U E rI = − . (1.11) Решая его совместно с уравнением нагрузки н н н I = , мы получим значение тока вцепи н н /( ) I E r R = + . (1.12) Графически это решение соответствует точке a пересечения внешней характеристики источника (линия 3 на рис. 1.5, д) с вольтамперной характеристикой нагрузки (линия 4 на рис. 1.5, д. При изменении сопротивления нагрузки будет меняться угол β ВАХ и точка a будет скользить по внешней характеристике, определяя режим работы электрической цепи. При н ∞ ток вцепи равен нулю (рабочая точка b на рис. 1.5 д) и этот режим работы называется холостым ходом. Из выражения (1.11) следует, что в режиме холостого хода напряжение на выводах источниках равно его ЭДС E, что позволяет произвести её измерение вольтметром с большим входным сопротивлением. При н напряжение на выводах источника равно нулю (рабочая точка на рис. 1.5 д) и этот режим работы цепи называется коротким замыканием. В режиме короткого замыкания ток вцепи к r = ограничивается только внутренним сопротивлением источника r, что крайне опасно, т.к. обычно это сопротивление имеет очень малую величину и ток вцепи может достигать значений, при которых источник может выйти из строя. На всём остальном множестве точек внешней характеристики источника выделяют два режима работы цепи номинальный и согласованный. Номинальный режим работы это режим, при котором элементы электрической цепи работают в условиях соответствующих проектным. Для элементов электрических цепей номинальными параметрами, обеспечивающими номинальный режим работы, являются ток, напряжение и мощность. Согласованный режим работы цепи это режим, при котором источник отдает в нагрузку максимально возможную мощность. Из выражений (1.5) и (1.12) можно найти мощность, рассеиваемую на сопротивлении нагрузки ( ) 2 н н н н н н к 2 н (1 / ) E P R I R EI I I r Очевидно, что эта функция (линия 5 на рис. 1.5, д) имеет максимум, т.к. она обращается в нуль при н н к ⇔ = и н н 0 R I = ∞ ⇔ = . Взяв производную ни приравнивая её нулю, найдём значение сопротивления нагрузки, соответствующее максимуму мощности. Это условие имеет вид н , что соответствует току н к / 2 I I = . Ток нагрузки, равный половине тока короткого замыкания источника в силовых электрических цепях недопустим. Кроме того, КПД электрической цепи, как отношение мощности рассеиваемой в нагрузке, к мощности, рассеиваемой во всей цепи – н н кн н н 0; н н н кн н н ; 0 0 1 1 / 0,5 1 / 1,0 R I I r R r R I P R I I P P r R r R → → = →∞ → ⎧ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎪⎪ η = = = = − = ⎨ + + + ⎪ ⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎪⎩ , в согласованном режиме составляет 0,5. Столь низкий КПД также недопустим для силовых электрических цепей. Для его повышения в них стремятся обеспечить условие ни работают в режиме левее точки максимума точки d и e на рис. 1.5, д. В тоже время, в маломощных устройствах (например, в радиоэлектронных) согласованный режим работы является основным, т.к. обеспечивает в приёмнике сигнал максимальной мощности. В некоторых случаях оказывается удобным представить реальный источник электрической энергии параллельной схемой замещения с источником тока (рис. 1.5, г. Такая возможность следует из уравнения (1.11), если обе его части разделить на величину внутреннего сопротивления r. Тогда н н х к н н / / U r E r I I I I J I = − ⇓ = − = − (1.13) где х r Ug = = – ток холостого хода источника с внутренней проводимостью к r I = = ток источника J равный току короткого замыкания источника с последовательной схемой. Сопоставляя уравнения (1.11) и (1.13), получим соотношения параметров последовательной и параллельной схем замещения / ; 1/ ; / ; 1/ J E r g r E J g r g = = = = (1.14) Обе схемы по отношению к нагрузке полностью эквивалентны, т.к. эквивалентны их внешние характеристики. Однако сами источники реализованные по этим схемам будут работать по-разному в одинаковых режимах работы нагрузки. В режиме холостого хода в источнике с последовательной схемой рассеяние мощности будет равно нулю, а в источнике с параллельной – 2 / J g , те. этот режим для него будет аварийным, т.к. вся мощность источника будет рассеиваться на внутренней проводимости (сопротивлении. В режиме короткого замыкания в источнике с параллельной схемой замещения рассеяния мощности не будет, а источник с последовательной схемой будет работать в аварийном режиме, рассеивая на внутреннем сопротивлении мощность. Единственным режимом работы цепи, в котором обеспечивается эквивалентность преобразования схемы замещения по отношению к источнику, является согласованный режим. 18 С практической точки зрения имеет большое значение задача определения внутренних параметров источника E и r. Их можно определить поданным измерений напряжения и тока в режимах холостого хода и короткого замыкания, но, как уже упоминалось выше, режим короткого замыкания представляет опасность для источников с малым внутренним сопротивлением, а режим холостого хода для источников с большим внутренним сопротивлением. Поэтому эти параметры можно определить, измерив токи напряжение в нагрузке в двух произвольных режимах – I 1 , U 1 , I 2 , U 2 , а затем из уравнения (1.11) найти 1 2 1 1 2 2 2 1 ; U U r E U I r U I r I I − = = + = + − . (1.14 а) Выражения (1.14) упрощаются, если одним из режимов будет холостой ход ( 1 х ) или короткое замыкание ( 1 к ) – х х к U Ir r E U I I I − = = + = = − . (1.14 б) В источниках малой мощности можно определить внутреннее сопротивление экспериментально с помощью вольтметра. Для этого нужно измерить напряжение на выходе источника в режиме холостого хода, а затем, подключив переменное сопротивление н , найти такое значение, при котором напряжение будет равно половине напряжения холостого хода, те. вцепи наступит согласованный режим и н будет равно Вопросы для самоконтроля. Что такое внешняя характеристика источника электрической энергии Чем отличаются внешние характеристики источников ЭДС, тока и реального источника электрической энергии Почему источники ЭДС и тока называются идеальными Можно ли технически реализовать источники ЭДС и тока Перечислите типовые режимы электрической цепи. Что такое согласованный режим, ив каких устройствах он применяется Почему согласованный режим не используют в силовых цепях Какие режимы и почему опасны для источников с высокими низким внутренним сопротивлением 1.5. Основные законы электрических цепей постоянного тока Основой для расчёта режима работы любой электрической цепи являются законы Ома и Кирхгофа. Сих помощью, зная параметры элементов электрической цепи можно определить протекающие в ней токи и действующие напряжения. Можно также решить обратную задачу определения параметров цепи, обеспечивающих требуемые токи и напряжения. Закон Ома устанавливает связь между током и напряжением на участках цепи. Для любого участка цепи, не содержащего активных элементов справедливо соотношение / I U R = (1.15) Закон Ома можно записать и для участков цепи, содержащих источник ЭДС (рис. 1.6). В этом случае его называют обобщённым законом Ома. Пусть ток на участке ac протекает от точки a к точке c. Это означает, что потенциал a ϕ выше, чем c ϕ и напряжение 0 ac a c U = ϕ − ϕ > , те. положительное направление совпадает с направлением тока. Прибавим и вычтем из ac U потенциал точки b. Тогда ac a b b c ab bc U U U = ϕ − ϕ + ϕ − ϕ = + . Напряжение на резисторе участка ab всегда совпадает с направлением тока и равно ab a b U RI = ϕ − ϕ = , а напряжение на выводах источника ЭДС всегда противоположно, те. bc b c U E = ϕ − ϕ = − . Отсюда ac U RI E = − . Если направление действия ЭДС будет противоположным направлению протекания тока, то изменятся направление и знак напряжения bc b c U E = ϕ − ϕ = , и напряжение на участке ac будет равно ac U RI E = + . В общем случае ac U RI E = ∓ , а протекающий ток равен ( ) / ac I U E R = ± . (1.16) Положительный знак в (1.16) соответствует согласному направлению тока и ЭДС, а отрицательный встречному. Участок электрической цепи может содержать в общем случае n источников ЭДС и m резисторов. Тогда, используя тот же ход рассуждений, получим) В выражении (1.17) знак ЭДС в сумме принимается положительным, если её направление совпадает с положительным направлением протекания тока. Законы Кирхгофа являются частным случаем фундаментальных физических законов применительно к электрическим цепям. Первый закон Кирхгофа устанавливает связь между токами ветвей, объ- единённых в узел электрической цепи, и, по сути, является принципом непрерывности электрического тока. Поскольку узел является идеальным элементом цепи ив нем не происходит накопления или преобразования энергии, то, мысленно охватив его некоторой замкнутой поверхностью ( S на рис. 1.7), мы можем утверждать, что количество электрических зарядов входящих Рис. 1.6 20 внутрь этой поверхности за любой промежуток времени, равно количеству зарядов выходящих из не. Если при этом учесть, что заряды в электрической цепи перемещаются по проводниками образуют электрический ток, тоска- занное выше можно записать в виде 1 0 n k k i = ± = ∑ . (1.18 а) 1 1 m n m p q p q i i − = = = ∑ ∑ . (1.18 б) Выражения (1.18) представляют собой первый закон Кирхгофа, который гласит, что алгебраическая сумма токов в узлах электрической цепи равна нулю а) или, что сумма токов направленных к узлу равна суме токов направленных от узла (1.18 б. Впервой формулировке токи, направленные к узлу можно считать положительными, а от узла отрицательными. Второй закон Кирхгофа является одной из форм закона сохранения энергии. Он описывает тот факт, что при обходе контура и возвращении в исходную точку её электрический потенциал остаётся неизменным. Этот закон можно сформулировать следующим образом алгебраическая сумма падений напряжения в любом контуре электрической цепи равна алгебраической сумме действующих в нём ЭДС. Для контура с числом m резисторов и n источников ЭДС второй закон Кирхгофа можно записать в виде 1 1 m n p q p q U E = = ± = ± ∑ ∑ , (1.19) Положительные знаки в уравнении (1.19) имеют напряжения и ЭДС, направления которых совпадают с направлениями протекания токов в соответствующих элементах цепи, а отрицательные – напряжения и ЭДС, направленные встречно по отношению к токам. Вопросы для самоконтроля. Сформулируйте правило выбора знака ЭДС в обобщённом законе Ома. 2. Какому фундаментальному физическому закону (принципу) соответствует первый (второй) закон Кирхгофа 3. Сформулируйте первый (второй) закон Кирхгофа. Почему алгебраическая сумма электрических токов в узлах цепи равна нулю 4. Сформулируйте правило выбора знаков в уравнениях, составляемых для узлов электрической цепи. Рис. 1.7 21 5. Сформулируйте правило выбора знаков в уравнениях, составляемых для контуров электрической цепи. 6. Почему число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, не может быть равно числу узлов электрической цепи 7. Сформулируйте правило выбора контуров электрической цепи. 1.6. Эквивалентные преобразования электрических цепей В электрических цепях различают следующие соединения элементов последовательное, параллельное, смешанное, звездой и треугольником. Часто задачу анализа цепи можно существенно упростить, если заменить одно соединение другим эквивалентным. Последовательное соединение это соединение элементов цепи, в котором каждый элемент соединён не более чем с двумя другими, причём так, что с каждым из них у него есть только одна общая точка (риса. Это означает, что в последовательном соединении не может быть узлов и, как следствие, во всех элементах протекает один и тот же ток. В соответствии со вторым законом Кирхгофа и законом Ома 1 2 1 2 1 2 ( ) m m m U U U U IR IR IR I R R R IR = + + + = + + + = + + + = … … … , те. эквивалентное сопротивление m последовательного соединённых резисторов равно сумме их сопротивлений 1 m k k R R = = ∑ . (1.20) Параллельное соединение это соединение элементов цепи, в котором все они подключены к одной паре узлов (рис. 1.8, б. Это означает, что падение напряжения на всех элементах одинаково и равно разности потенциалов узлов. Пользуясь первым законом Кирхгофа и законом Ома можно записать 1 2 1 2 1 2 ( ) m m m I I I I UG UG UG U G G G UG = + + + = + + + = + + +Отсюда эквивалентная проводимость параллельного соединения равна 1 m k k G G = = ∑ . (1.21) Рис. 1.8 22 На практике в качестве параметра резистивных элементов обычно используют сопротивление. Поэтому выражение (1.21) можно преобразовать 1 1 1 1 1; 1 1 1 1 m k m k m m m k k q k k p q q p p R G R R R R R = = = = = ≠ = = ⇒ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ∏ ∑ ∑ ∑ В наиболее часто встречающихся случаях параллельного соединения двух и трёх резисторов эквивалентное сопротивление определяется как 1 2 1 2 3 1 2 1 2 2 3 1 3 ; R R R R R R R R R R R R R R R = = + + + . (1.22) Следует заметить, что, в отличие от последовательного соединения, понятие параллельного соединения используется также для соединения ветвей, те. параллельно соединёнными ветвями являются все ветви между двумя узлами. Смешанное соединение это произвольная комбинация последовательных и параллельных соединений. Для каждого смешанного соединения можно найти эквивалентное сопротивление путём последовательных эквивалентных преобразований отдельных элементов. Рассмотрим эту задачу на примере схемы рис. 1.9. Здесь изображены четыре ветви. В первую входит резистор R 1 ; во вторую резисторы R 2 ив третью резистор ив четвёртую – R 5 . Вторая и третья ветви соединены между собой параллельно, т.к. обе соединены с узлами a и b. Однако из этого не следует, что параллельно соединены между собой элементы этих ветвей. Это было бы справедливо только в том случае, если бы обе ветви состояли из одного элемента. На первом этапе эквивалентное преобразование возможно только для последовательного соединения R 2 и R 3 во второй ветви, т.к. вцепи нет других соединений, которые можно определить как параллельные или последовательные. Отсюда 23 Рис. 1.9 Теперь каждая из параллельных ветвей состоит из одного элемента, и они образуют между собой параллельное соединение, для которого с помощью выражения) можно найти эквивалентное сопротивление В результате мы получили последовательное соединение с эквивалентным сопротивлением 2 3 4 1 5 234 1 5 2 3 4 ( ) R R R R В сложных цепях встречаются соединения, которые нельзя свести к комбинации последовательных и параллельных. К ним относятся соединения трёхлучевой звездой и треугольником (рис. 1.10). Взаимное преобразование этих соединений часто позволяет получить более простые смешанные соединения и после этого решать задачу подобно тому, как это было сделано выше. Условиями эквивалентности преобразования являются равенство токов, подходящих к точками, а также напряжений между ними в обеих схемах. Составим для контура треугольника и узлов a и b схемы рис. 1.10, б уравнения Кирхгофа 0; ; ; ab ab bc bc ca ca ca ab a bc ab b R I R I R и решим полученную систему относительно тока ab I ca a bc b ab ab bc ca R I R Отсюда можно определить ab U ab ca a ab bc b ab ab ab ab bc ca R R I R R I U R Нов соединении звездой ab a a b b U R I R I = − . Приравнивая множители притоках в этих двух выражениях, получим ; ab ca bc ab a b ab bc ca ab bc ca R R R R R R R R R R R R = = + + + + (1.23 а) По аналогии можно записать для третьего сопротивления Рис. 1.10 24 ca bc c ab bc ca R R R R R R = + + (1.23 б) Из уравнений (1.23) можно определить сопротивления резисторов эквивалентного треугольника ; ; a b b c c a a b b c c a a b b c c a ab bc ca c a b R R R R R R R R R R R R R R R R R Примером использования преобразований трёх- полюсников может служить мостовая схема, широко используемая в технике (риса. В ней можно выделить два соединения звездой , , ; , , ca cd bc ad cd db R R R R R R и два соединения треугольником , , ; , , ca cd ad bc cd db R R R R R R . В результате преобразования любого из четырёх соединений мостовая схема приводится к смешанному соединению. На рис. 1.11, б показан результат преобразования треугольника , , ca cd ad R R R , а на рис. 1.11, в – звезды , , ad cd db R R R . В первом случае мы получаем смешанное соединение с сохранением всех узлов мостовой схемы и их потенциалов, а во втором информация о потенциале узла d утрачивается. Преобразование ветвей с источниками ЭДС. При последовательном включении n источников ЭДС и m резисторов (риса) напряжение на входе цепи можно определить по второму закону Кирхгофа как 1 2 1 1 1 1 1 p q p q m n n m p q p q U R I R I E R I E R I E E R I I R E RI Отсюда параметры эквивалентной цепи 1 1 ; m n p q p q R R E E = = = = ± ∑ ∑ (1.25) Полученное выражение U RI E = + соответствует последовательному соединению резистора и источника с ЭДС 1 n q q E E = = ± ∑ . Причём, ЭДС источника включается в сумму с положительным знаком, если направление ЭДС совпадает с направлением тока вцепи. Рис. 1.11. Ветви с источниками ЭДС могут соединяться параллельно (рис. 1.12, б) и для них также возможно эквивалентное преобразование. Попер- вому закону Кирхгофа входной ток цепи равен сумме токов в ветвях 1 2 n I I I I = + + +Эти токи можно определить по закону Ома для участка цепи с источником ЭДС как ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 2 2 ; ; n n n I U E G I U E G I U E Подставляя значения токов в исходное уравнение, получим 1 1 1 2 2 2 1 1 ( ) / n n n n n k k k k k I UG E G UG E G UG E G U G G E U E Отсюда 1 1 1 1 ; n n n k k k k k k k R G E G E G = = = = = ± ∑ ∑ ∑ . (1.26) Здесь также как в последовательном соединении положительный знак в сумме ЭДС соответствует согласному направлению ЭДС и тока в ветви. В случае отсутствия источника ЭДС в какой-либо ветви в числителе эквивалентной ЭДС будет отсутствовать соответствующее слагаемое (на рис. 1.12, б 0 n E − = ). Вопросы для самопроверки 1. Как меняется общее сопротивление последовательно соединённых резисторов при подключении нового элемента 2. Как меняется общая проводимость параллельно соединённых резисторов при подключении нового элемента 3. Возможно ли последовательное соединение ветвей электрической цепи 4. Возможно ли параллельное соединение ветвей электрической цепи. К какому виду приводится последовательное соединение резисторов и источников ЭДС при эквивалентных преобразованиях 6. К какому виду приводится параллельное соединение резисторов и источников ЭДС при эквивалентных преобразованиях Рис. 1.12. |