лекции по Электричеству и Магнетизму. Электричество и Магнетизм. Электрическое поле в вакууме

• Название: Электрическое поле в вакууме
• Анкор: лекции по Электричеству и Магнетизму
• Дата: 16.04.2023
• Размер: 2.11 Mb.
• Имя файла: Электричество и Магнетизм.pdf
• Тип: Глава; #1065828
• страница: 1 из 7

Глава 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ВАКУУМЕ
1.1. Закон Кулона
Электростатика – раздел учения об электричестве, в котором изучаются взаимодействия и свойства систем электрических зарядов, неподвижных отно- сительно инерциальных систем отсчета (ИСО).
Существуют два рода электрических зарядов – положительные и отри-
цательные. Силы взаимодействия неподвижных тел или частиц, обусловлен- ные электрическими зарядами этих тел или частиц называются электростати-
ческими силами. Разноименно заряженные тела притягиваются, а одноименно заряженные тела отталкивают друг друга.
Точечный заряд – заряженное тело, форма и размеры которого несущест- венны в условиях данной задачи.
В 1914 г. Милликен экспериментально доказал, что электрический заряд любой системы тел состоит из целого числа N элементарных зарядов, прибли- зительно равных e  1,610
-19
Кл; q  Ne. Единица заряда в СИ – кулон (Кл).
Для электрически изолированной системы справедлив закон сохранения
электрического заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов тел или частиц, образующих электрически изолированную систему, не изменяется при любых процессах, происходящих в этой системе.
Закон, которому подчиняется сила взаимодействия точечных зарядов, был установлен Кулоном в 1785 г.
Закон Кулона в системе СИ может быть выражен следующей формулой:
,
2 2
1
r
q
q
k
F 
(1.1) где
0 4
1


k
– коэффициент пропорциональности; r – расстояние между заря- дами; 
0
 8,8510
-12
Ф/м (фарад на метр) – электрическая постоянная. Полезно помнить, что коэффициент пропорциональности м/Ф
10 9
4 1
9 0




k
Формула (1.1) может быть записана в векторном виде:

Электрическое поле в вакууме
2
r
r
r
q
q
k
F


2 2
1

, (1.2) где r

- вектор, направленный к тому из зарядов, к которому приложена сила
(рис. 1.1).
Следует отметить, что закон Кулона справедлив для точечных зарядов,
а также для заряженных шаров и сфер. В остальных случаях сила взаимодействия тел находится с помо- щью интегрирования.
Для характеристики непрерывного распределения зарядов вдоль некото- рой линии, по некоторой поверхности или по некоторому объему вводится по- нятие о плотности заряда.
Линейная плотность заряда – это величина, показывающая какой заряд приходится на единицу длины заряженного тела []  Кл/м:
l
q
d d


. (1.3)
Поверхностная плотность заряда – это величина, показывающая какой заряд приходится на единицу площади заряженного тела []  Кл/м
2
:
S
q
d d


. (1.4)
Объемная плотность заряда – это величина, показывающая какой заряд приходится на единицу объема заряженного тела []  Кл/м
3
:
V
q
d d


. (1.5)
Если заряды распределены равномерно, то формулы (1.3) – (1.5) записы- вают в виде:
l
q


,
S
q


,
V
q


1.2. Электростатическое поле. Напряженность поля
Взаимодействие между зарядами осуществляется через электростатиче-
ское поле, которое является частным случаем электрического поля. Всякий за- ряд изменяет свойства окружающего его пространства – создает в нем электро- статическое поле. Это поле проявляет себя в том, что на заряд, помещенный в
q
1
q
2
r
F
Рис. 1.1. Закон Кулона

Электрическое поле в вакууме
3 какую-либо точку поля, действует сила. Чтобы выяснить, имеется ли в данной точке электростатическое поле, нужно поместить туда заряженное тело (проб- ный заряд) и установить, действует ли на него сила.
Пробный заряд обладает следующими свойствами: 1) это положительный точечный заряд; 2) это настолько малый заряд, что его величина не изменяет положение окружающих зарядов.
Помещая в точку пространства различные по величине пробные заряды, мы обнаружим, что отношение силы, действующей на заряд со стороны поля, к величине заряда есть величина постоянная, не зависящая от заряда, вносимого в поле: const
2 2
1 1


q
F
q
F
. Эта величина принимается в качестве основной силовой характеристики электростатического поля.
Напряженностью электростатического поля
E

называется физическая величина, равная отношению силы действующей на заряд, к величине этого за- ряда:
q
F
E



. (1.6)
Напряженность поля – вектор, направление которого совпадает с направ- лением силы, действующей на единичный положительный заряд, а модуль ра- вен величине этой силы.
Единицей напряженности в системе СИ является ньютон на кулон (Н/Кл) или вольт на метр (В/м). Как следует из формул (1.2) и (1.6), напряженность по- ля точечного заряда равна
r
r
r
q
E


2 0
4 1


, где q – заряд, создающий электростатическое поле.
Для модуля напряженности справедлива формула
2 0
4 1
r
q
E


. (1.7)

Электрическое поле в вакууме
4
1.3. Линии напряженности электростатического поля
Электростатическое поле можно изобразить графически с помощью си- ловых линий.
Силовой линией (линией напряженности) электростатического поля назы- вается линия, касательная к которой в данной точке совпадает с направлением вектора напряженности, причем густота линий пропорциональна напряженно- сти поля в данной области. Таким образом, по картине силовых линий можно судить о направлении и величине поля.
Линии напряженности поля точечного заряда – это прямые, начинающие- ся на положительном заряде и уходящие в бесконечность (рис. 1.2, а) или начи- нающиеся в бесконечности и заканчивающиеся на отрицательном заряде (рис.
1.2, б).
Поле называется однородным, если величина и направление вектора на- пряженности не зависит от координат пространства (

E

const). Силовые линии однородного поля – эквидистантные параллельные прямые. Например, поле
+
E
E
а)
б)
Рис. 1.2. Линии напряженности электростатического поля точечных зарядов
+q
E
2 1
E
а)
б)
Рис. 1.3. Линии напряженности электростатического поля: а) – однородное поле,
б) – неоднородное поле; напряженность в области 1 больше, чем напряженность в области 2

Электрическое поле в вакууме
5 создаваемое бесконечной заряженной плоскостью (рис. 1.3, а), является одно- родным, а поле, показанное на рис. 1.3, б таковым не является.
1.4. Принцип суперпозиции для напряженности электростатического поля
Если электростатическое поле создано системой точечных зарядов, то напряженность поля можно определить по принципу суперпозиции для напря-
женности: напряженность электростатического поля системы зарядов рав-
на векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в
отдельности.
Математически принцип суперпозиции выражается формулой:







n
i
i
E
E
E
E
E
1
n
2 1





. (1.8)
На рис. 1.4 показано, как направлен вектор напряженности электростати- ческого поля в точке A, по принципу суперпозиции, для систем двух одинако- вых по величине зарядов.
Если заряды распределены непрерывно, то принцип суперпозиции (1.8)
записывают в интегральном виде:


E
E


d
, (1.9) где E

d
–
напряженность поля, создаваемого малым зарядом dq. Интегрирова- ние производится по всем непрерывно распределенным зарядам.
+
E
A
E

E
+
q
q
A
a)
E
A
E

q
q
A
б)
E

Рис. 1.4. Направление вектора напряженности электростатического поля в точке A. Точка A и заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника: а) система двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов; б) система двух отрицательных зарядов

Электрическое поле в вакууме
6
Принцип суперпозиции, записанный в интегральном виде, позволяет най- ти силу взаимодействия или напряженность поля произвольного распределения зарядов.
В качестве примера определим напряженность электростатического поля на оси тонкого равномерно заряженного стержня.
Пусть стержень длиной l несет равномерно распределенный заряд с ли- нейной плотностью . Найдем напряженность E, создаваемую этим зарядом в точке, удаленной от ближайшего конца стержня на расстояние r.
Заряд, равномерно распределенный по стержню, не является точечным, поэтому непосредственно вычислить напряженность поля по формуле (1.7) невозможно. Разобьем стержень на столь малые элемен- ты, чтобы каждый из них можно было принять за материальную точку, и рас- смотрим один такой элемент длины dx (рис. 1.5). Заряд dq  dx, находящийся на рассматриваемом элементе, можно считать точечным, и по формуле (1.7) найдем напряженность в точке A, создаваемую зарядом dq:
2 0
2 0
4
d
4
d d
x
x
x
q
E





, где x – расстояние от элемента dx до точки A.
Напряженность поля в точке A представляет собой геометрическую сум- му полей, создаваемых бесконечно малыми элементами dx стержня. Так как все векторы dE направлены вдоль оси стержня X, то векторное сложение заменяет- ся алгебраическим суммированием. Согласно принципу суперпозиции (1.9)







































)
(
4 1
1 4
1 4
4
d d
0 0
0 2
0
l
r
r
l
l
r
r
x
x
x
E
E
l
r
r
l
r
r
. (1.10)
Если расстояние r>>l, то формулу (1.10) можно записать в виде
2 0
4 1
r
q
E


, где q

l.
l
r
x
dx
X
E
x
A
Рис. 1.5. Напряженность поля на оси тонкого заряженного стержня

Электрическое поле в вакууме
7
Мы пришли к формуле напряженности поля точечного заряда (1.7). Итак, если расстояние до точки во много раз больше линейных размеров нити, то за- ряженную нить можно рассматривать как точечный заряд.
1.5. Электрический диполь. Поле диполя
Электрическим диполем называется система двух равных по величине и противоположных по знаку зарядов, расстояние между которыми l много меньше расстояния до точки, в которой исследуется поле (рис. 1.6).
Прямая, проходящая через оба заряда, называется осью диполя. Найдем напряженность поля на оси диполя, а также на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярно к его оси. Положение точек на этих прямых будем характеризовать их расстоянием r от центра диполя. В соответствии с опреде- лением диполя должно выполнятся условие: r >> l.
Поле в каждой точке будет представлять собой суперпозицию полей

E

и

E

, создаваемых зарядами

q и

q . На оси диполя векторы

E

и

E

направлены в противоположные стороны. Поэтому результирующая напряженность
||
E

бу- дет равна по модулю разности модулей

E

и

E

:


2 2
2 0
2 2
0
||
)
2
/
(
2 4
)
2
/
(
)
2
/
(
4 1
l
r
rl
q
l
r
q
l
r
q
E














Пренебрегая в знаменателе l/2 по сравне- нию с r, получаем
3 0
3 0
||
2 4
1 2
4 1
r
p
r
ql
E




, где p

ql – электрический момент диполя.
Отметим, что электрический момент дипо- ля следует рассматривать как вектор, на- правленный от отрицательного заряда к положительному заряду.
Для точек, лежащих на прямой, перпендикулярной к оси, векторы

E

и

E

имеют одинаковые модули, равные
E
+
E

E
||
-q
+q
r
r
r
2
+(l/2)
2
E
E
+
E

Рис. 1.6. Напряженность поля диполя
l

Электрическое поле в вакууме
8 2
0 2
2 0
4 1
)
2
/
(
4 1
r
q
l
r
q
E
E








Из подобия треугольников, опирающихся на отрезок l и на вектор

E

, следует, что
r
l
l
r
l
E
E





2 2
)
2
/
(
, откуда получается формула
3 0
3 0
4 1
4 1
r
p
r
ql
E





Характерным для поля диполя является то, что его напряженность опре- деляется не величиной образующих диполь зарядов, а электрическим моментом диполя p  ql. С расстоянием от диполя напряженность поля убывает как 1/r
3
, т.е. значительно быстрее, чем напряженность поля точечного заряда (убываю- щая как 1/r
2
). Линии напряженности поля диполя показаны на рис. 1.7.
1.6. Работа сил электростатического поля
Пусть электростатическое поле создано положительным точечным заря- дом q. В любой точке этого поля на пробный заряд q
пр
(рис. 1.8) действует пе- ременная по величине и направлению сила Кулона. Найдем работу, совершае- мую силами поля по перемещению заряда q
пр из точки 1 в точку 2.
Работа переменной силы определяется интегралом:





2 1
2 1
12
cos d
d
l
F
l
F
A


. (1.11)
По закону Кулона сила
2 2
1 0
4 1
r
q
q
F


, а dlcos  dr (рис. 1.8), тогда формулу (1.11) можно представить в виде:












2 1
0
пр
2 1
2 0
пр
12 1
1 4
d
4
r
r
qq
r
r
qq
A
. (1.12)
Из формулы (1.12) видно, что работа сил электростатического поля не за- висит от формы и длины траектории, а определяется начальным r
1
и конечным dl dr
1 2
r
r
1
r
2
+
q
q
пр

F
Рис. 1.8. Перемещение заряда q
пр из точки 1 в точку 2 в поле заряда q
E
Рис. 1.7. Поле диполя

Электрическое поле в вакууме
9
r
2
положениями заряда q
пр
. Силы, производящие такую работу называются
потенциальными (или консервативными). Работа консервативных сил на замк- нутом пути всегда равно нулю:
0
d 

l
l
F


Поделим обе части этого уравнения на величину заряда q:
0
d 

l
l
q
F


, или
0
d 

l
l
E


. (1.13)
Выражение (1.13) называют циркуляцией вектора
E

по замкнутому контуру.
Таким образом, для электростатического поля циркуляция вектора на- пряженности по любому замкнутому контуру равна нулю. Это утверждение на- зывают теоремой о циркуляции вектора
E

1.7. Потенциал и разность потенциалов
Из механики известно, что работа консервативных сил равна убыли по- тенциальной энергии системы:
2
пр
0 1
пр
0 2
p
1
p
12 4
1 4
1
r
qq
r
qq
W
W
A






Отсюда для потенциальной энергии заряда q
пр в поле заряда q получаем const
4 1
1
пр
0
p



r
qq
W
Значение const вбирается таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность потенциальная энергия обращалась в нуль. При этом условии получается, что
r
qq
W
пр
0
p
4 1


. (1.14)
Если уравнение (1.14) разделить на q
пр
, то получим физическую величи- ну, которая характеризует только поле и не зависит от величины пробного за- ряда.

Электрическое поле в вакууме
10
Физическая величина, равная отношению потенциальной энергии заряда к величине заряда, называется потенциалом поля в данной точке: пр
q
W
p


. (1.15)
Потенциал является энергетической характеристикой поля и величиной скалярной. Он численно равен потенциальной энергии, которой обладает в дан- ной точке поля единичный положительный заряд. Единицей потенциала в сис- теме СИ является вольт (В).
Из формул (1.14) и (1.15) следует, что потенциал поля точечного заряда равен
r
q
0 4
1



Если поле создается системой точечных зарядов, то потенциал поля мож- но определить по принципу суперпозиции для потенциала: потенциал электро-
статического поля системы зарядов равен алгебраической сумме потенциалов
полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:





n
i
i
1
Когда заряды распределены непрерывно, то принцип суперпозиции для потенциала записывают в интегральном виде




d
, где d – потенциал поля, создаваемого малым зарядом dq. Интегрирование про- изводится по всем непрерывно распределенным зарядам.
Из соотношения (1.15) вытекает, что W
p
 q, следовательно, работа сил поля над зарядом q
пр может быть выражена через разность потенциалов









пр
2 1
пр
2
p
1
p
12
)
(
q
q
W
W
A
, откуда следует, что пр
12
q
A




Электрическое поле в вакууме
11
Таким образом, разность потенциалов между двумя точками поля, пред-
ставляет собой физическую величину, равную отношению работы по переме-
щению заряда между этими точками к величине заряда. Разность потенциалов, как и потенциал в системе СИ измеряется в вольтах. 1 B – это разность потен- циалов между такими точками поля, при перемещении между которыми заряда в 1 Кл силы поля совершают работу в 1 Дж.
1.8. Связь между напряженностью поля и разностью потенциалов.
Эквипотенциальные поверхности
Между разностью потенциалов  и напряженностью E электростатиче- ского поля существует зависимость
q
l
F
q
A
q
W
q
W
W















12 2
1 2
1
, откуда следует, что
l
E




(1.16) и
l
E





, (1.17) где l – расстояние между точками 1 и 2, не зависящее от пути перемещения заряда из одной точки в другую.
Формулы (1.16) и (1.17) позволяют рассчитать разность потенциалов и напряженность в однородном электростатическом поле. В случае неоднородно- го поля эти формулы записываются в виде





2 1
2 1
d l
E
и
z
E
y
E
x
E















z y
x
,
,
(1.18) соответственно, где E
x
, E
y
, E
z
– проекции вектора напряженности на оси коор- динат.
Представим вектор
E

через компоненты

Электрическое поле в вакууме
12

























grad
k
z
j
y
i
x
k
E
j
E
i
E
E
z
y
x







. (1.19)
Выражение в скобках называют градиентом потенциала. Согласно фор- муле (1.19) напряженность электростатического поля равна градиенту по-
тенциала, взятому со знаком минус. Эта формула позволяет рассчитать напря- женность поля в данной точке, если известен потенциал поля как функция ко- ординат.
Рассмотрим следующий пример. Пусть
)
(
)
,
,
(
3 2
z
xy
a
z
y
x



, где посто- янная a  2 В/м
3
. Требуется найти модуль вектора напряженности электриче- ского поля E в точке с координатами x
1
 1 м, y
1
 2 м, z
1
 3 м.
Решение.
По формулам (1.18) найдем значения проекций вектора
E

на оси коорди- нат:
2
z y
2
x
3
,
2
,
az
z
E
axy
y
E
ay
x
E





















Модуль вектора
E

в данной точке равен
В/м
55 729 16 16 2
)
3
(
)
2
(
)
(
2 2
2 2
2 2
2 2










z
xy
y
a
E
E
E
E
z
y
x

В электрическом поле, в разных его точках потенциалы, как правило, имеют разные значения. Однако можно выделить точки с одинаковыми потенциалами. Поверхность, проходящая через эти точки, называется эквипо-
тенциальной.
Эквипотенциальная поверхность любой конфигурации (сферическая, цилиндриче- ская, плоская) всегда перпендикулярна к линиям напряженности электростатического поля в точке их пересечения. Эквипотенциальных поверхностей вокруг каждого заряда и каждой системы зарядов можно провести бесчисленное множество. Обычно их проводят так, чтобы разности потенциалов между любыми двумя соседними эквипотенциальными поверхностями были одинаковы. Тогда густота
+
Рис.1.9. Эквипотенциальные поверхности поля точечного заряда (пунктирные линии)

Электрическое поле в вакууме
13 эквипотенциальных поверхностей характеризует напряженность поля в разных точках. Там, где эти поверхности расположены гуще, потенциал изменяется быстрее при перемещении вдоль нормали к поверхности. Следовательно, тем больше в данном месте напряженность поля.
На рис. 1.9 показаны сечения эквипотенциальных поверхностей поля по- ложительного точечного заряда (пунктирные линии). Линии напряженности
(сплошные линии) пересекают эквипотенциальные поверхности под прямым углом.
1.9. Электростатическая теорема Гаусса.
Выделим в однородном электростатическом поле площадку S, которую пронизывают линии вектора
E

. Потоком вектора напряженности через пло- щадку S называется физическая величина , равная произведению модуля век- тора напряженности электростатического поля E на величину площадки и на косинус угла  между нормалью к площадке
n

и вектором
E

(рис. 1.10, а).
В соответствии с этим определением
S
E
S
E
n cos




, где E
n
– перпендикулярная площадке S составляющая напряженности электро- статического поля.
Для неоднородного электрического поля (рис. 1.10 б) площадку S делят на элементарные бесконечно малые площадки dS, для каждой из которых поле можно считать однородным. Тогда элементарный поток вектора напряженно- сти d равен
S
E d d
n


E
n

S
а)
Рис. 1.10. Поток вектора E через площадку S: а) однородное поле; б) неоднородное поле dS
S
E
б)
n

Электрическое поле в вакууме
14
Для определения полного потока вектора напряженности сквозь всю площадку элементарные потоки суммируют (интегрируют) по всей площади:








S
S
S
S
E
S
E


d d
d n
. (1.20)
Здесь




S
S
S
E
S
E
d cos d


– скалярное произведение вектора
E

и вектора площади
n
S
S


d d

Если поверхность, сквозь кото- рую протекает поток, является замкну- той, (например, сферической), то вы- ражения для потока (1.20) записывают в виде






S
S
S
E d d
n
. (1.21)
Кружок у интеграла (1.21) означает, что интегрирование производят по замкнутой поверхности.
Поток вектора напряженности  – скалярная алгебраическая величина.
Знак потока зависит от выбора нормали к поверхности. Если поток направлен в сторону нормали, то он считается положительным, если поток направлен про- тив нормали, то он берется со знаком минус. Когда линии напряженности скользят по поверхности, не пронизывая ее, поток равен нулю. В системе СИ поток вектора напряженности измеряется в вольт-метрах (Вм).
Подсчитаем поток вектора напряженности
E

для поля одного точечного заряда q
i
, находящегося внутри произвольной замкнутой поверхности S (рис.
1.11). Выделим на поверхности элемент dS, находящийся на расстоянии r от за- ряда. Пусть заряд q
i
положительный. Тогда поток вектора
E

сквозь элемент dS:








d
4
cos d
4 1
d d
0 2
0
n
i
i
q
S
r
q
S
E
, где



cos d
d
2
r
S
– малый телесный угол, опирающийся на элемент dS.
+
q
i d
n
 dS
E
S
r
Рис.1.11. Поток вектора напряженности для поля точечного заряда через произвольную замкнутую поверхность S

Электрическое поле в вакууме
15
Интегрируя полученное выражение по всему телесному углу (в пределах от 0 до 4), получим








4 0
0 0
d
4
i
i
q
q
. (1.22)
Если электрическое поле создается системой m точечных зарядов q
1
,
q
2
,…q
m
, находящихся внутри замкнутой поверхности, то поток вектора напря- женности можно записать следующим образом:













S
S
S
S
S
S
E
S
E
S
E
S
E
E
E
S
E
d d
d d
)
(
d mn n
2
n
1
mn n
2
n
1
n
Согласно (1.22),



S
q
S
E
0 1
n
1
d
,



S
q
S
E
0 2
n
2
d
,



S
q
S
E
0
m mn d
. Следовательно,












S
m
i
i
q
q
q
q
S
E
0 1
0
m
0 2
0 1
n d
, (1.23) где m – число точечных зарядов.
Формула (1.23) представляет собой теорему Гаусса. Поток вектора на-
пряженности электростатического поля через замкнутую поверхность равен
алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, делен-
ной на 
0
Если заряды расположены по объему тела с объемной плотностью заряда
, то теорема Гаусса (1.23) принимает вид





S
V
V
S
E
0
n d
d
. (1.24)
Когда заряд q находится вне замкнутой поверхности, то поток вектора напряженности электростатического поля через нее равен нулю.
1.10. Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей
Пользуясь теоремой Гаусса можно рассчитать поля различных электро- статических систем, обладающих симметрией.
Поле бесконечной заряженной плоскости. Пусть поле создается беско- нечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью заряда .

Электрическое поле в вакууме
16
Из условия симметрии следует, что силовые линии вектора напряженно- сти параллельны друг другу и перпендикулярны заряженной пластине.
Выделим цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикуляр- ными к плоскости, и основаниями S, расположенными симметрично относи- тельно плоскости (рис. 1.12, а). Поток вектора
E

сквозь боковую поверхность этого цилиндра равен нулю, а поток через его основания будет
S
E

 2
, т.е.
S
E
S
E
S




2
d n
Заряд, заключенный внутри цилиндра, равен S. В соответствии с фор- мулой (1.23):
0 2






S
S
E
, отсюда
0
пл
2


E
Полученный результат не зависит от длины цилиндра. Таким образом, на любых расстояниях от плоскости напряженность поля одинакова по величине.
Поле бесконечной заряженной плоскости является однородным полем.
Для отрицательно заряженной плоскости результат будет таким же, лишь направление вектора
E

и линий напряженности изменится на обратное.
Рис. 1.12. (а) Поле бесконечной заряженной плоскости; (б) поле бесконечной заряженной нити; (в) шар, заряженный с объемной плотностью заряда 
q
E
E
+
S
а)
б)
+
r
H
E
в)
r
r
R
0

Электрическое поле в вакууме
17
Поле бесконечной заряженной нити. Рассмотрим поле, создаваемое бесконечной нитью, заряженной с линейной плотностью заряда . Напряжен- ность поля в любой точке направлена вдоль радиальной прямой, перпендику- лярной к проводу (рис. 1.12, б).
Выделим соосную с заряженной нитью замкнутую цилиндрическую по- верхность радиуса r и высоты H. Поток через основания этого цилиндра равен нулю, т.к. линии вектора напряженности основания не пересекают. Следова- тельно, поток вектора напряженности через цилиндрическую поверхность ра- вен потоку вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра:
rH
E
S
E
S




2
d n
Внутри цилиндрической поверхности заключен заряд q  H. По теоре- ме Гаусса должно выполняться условие
0 2





H
rH
E
, откуда следует, что
r
E
0 2


. (1.25)
Согласно формуле (1.25) напряженность поля бесконечно длинной заряженной нити обратно пропорциональна расстоянию от нити до точки, где требуется найти напряженность.
Поле равномерно заряженного шара. Пусть заряд распределен равно- мерно в вакууме по объему шара радиуса R c объемной плотностью заряда .
Проведем концентрическую с заряженным шаром замкнутую сферическую по- верхность произвольного радиуса r, где r – текущая координата (рис. 1.12, в).
Пусть r  R (точка расположена на поверхности шара или вне шара). По- ток вектора напряженности равен
2
n
4
d
r
E
S
E
S
E
S






По теореме Гаусса (1.24) должно выполняться равенство

Электрическое поле в вакууме
18 0
3 2
0 2
0 2
3 4
4 4
d
4




















R
r
E
V
r
E
V
r
E
V
, где
3 3
4
R
V


– объем шара. Откуда следует, что
2 0
3 3 r
R
E



. (1.26)
В соответствии с формулой (1.26) напряженность поля вне заряженного
шара подобна полю точечного заряда, т.е. убывает обратно пропорционально
квадрату расстояния r.
Для точек на поверхности шара r  R и
0 3
)
(



R
R
E
.(1.27)
Потенциал поля равен













c
r
R
r
r
R
r
E
0 3
2 0
3 3
d
3
d
Так как потенциал на бесконечности   0, то c  0 и
r
R
0 3
3



. (1.28)
На поверхности шара потенциал равен
0 2
3
)
(




R
R
. (1.29)
Пусть r < R (точка расположена внутри шара). Концентрическая сферическая поверхность в этом случае проведена внутри шара. Поток вектора напряженно- сти равен
2
n
4
d
r
E
S
E
S
E
S






, где r – радиус сферической поверхности (штрих у r мы опустили).
Найдем заряд q, заключенный внутри сферической поверхности. В дан- ном случае это будет заряд, находящийся в объеме части шара V, который ог- раничен сферической поверхностью:

Электрическое поле в вакууме
19 3
3 4
d
r
V
q
V









По теореме Гаусса должно выполняться равенство
0 3
2 3
4 4







r
r
E
, или
0 3


r
E
. (1.30)
Из формулы (1.30) видно, что напряженность поля равномерно заряжен- ного шара растет с увеличением расстояния от центра по линейному закону.
Найдем потенциал поля внутри шара:














1 0
2 0
6
d
3
d
c
r
r
r
r
E
Постоянную c
1
определим из условия, что потенциал на поверхности ша- ра равен (1.29):
0 2
0 2
1 6
3






R
R
c
, тогда потенциал внутри шара равен
)
(
6 3
2 2
0 0
2
r
R
R








. (1.31)
Графики зависимости E(r) и (r), построенные на основании формул
(1.26), (1.27), (1.30) и (1.28), (1.29), (1.31) показаны на рис. 1.13 а, б.
R/3
0
R
r
E(r)
a)
0
R
2
/2
0
R
r
R
2
/3
0
(r)
0
б)
Рис. 1.13. Зависимости напряженности поля (a) и потенциала (б) от расстояния r от центра заряженного шара